第04讲 正弦函数的图象与性质（知识清单+8题型讲解举三反三+强化训练）讲义-【满分全攻略备考系列】2025-2026学年（沪教版必修二）数学高一重难点讲义与测试

第04讲 正弦函数的图象与性质 知识清单 知识点01：正弦曲线和正弦函数图象的画法 知识点02：正弦函数的周期性、奇偶性、单调性、最值 题型讲解 （举三反三） 题型1：求sinx型三角函数的单调性 题型2：利用正弦型函数的单调性求参数 题型3：求含sinx（型）函数的值域和最值 题型4：由正弦（型）函数的值域（最值）求参数 题型5：由正弦（型）函数的奇偶性求参数 题型6：求正弦（型）函数的最小正周期 题型7：由正弦（型）函数的周期性求值 题型8：求正弦（型）函数的对称轴及对称中心 强化训练 一、填空题（12） 二、单选题（4） 三、解答题（5） 知识点01正弦曲线和正弦函数图象的画法 正弦函数y＝sin x，x∈R的图象叫正弦曲线． (1)几何法： ①利用单位圆画出y＝sin x，x∈[0,2π]的图象； ②将图象向左、右平行移动(每次2π个单位长度)． (2)五点法： ①画出正弦曲线在[0,2π]上的图象的五个关键点(0，0)(π，0)(2π，0).用光滑的曲线连接； ②将所得图象向左、右平行移动(每次2π个单位长度)． 知识点02正弦函数的周期性、奇偶性、单调性、最值 函数 y＝sin x 周期 2kπ(k∈Z且k≠0) 最小正周期 2π 奇偶性 奇函数 解析式 y＝sin x 图象 值域 [－1,1] 单调性 在，k∈Z上单调递增， ，k∈Z上单调递减 最值 x＝＋2kπ，k∈Z时，ymax＝1；x＝－＋2kπ，k∈Z时，ymin＝－1 题型1：求sinx型三角函数的单调性 【例1-1】（24-25高一下·上海普陀·期中）函数的单调递增区间是（   ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】解不等式，即可求得函数的单调递增区间. 【详解】求函数的单调递增区间. 由，可得， 因此，函数的单调递减区间是. 故选：C. 【例1-2】（24-25高一下·上海普陀·月考）函数，的单调减区间为 . 【答案】和 【分析】先根据诱导公式化简函数解析式，根据正弦函数图像的性质，求出函数的单调减区间，判断在上的减区间. 【详解】由题意知，所以函数的单调减区间就是的单调增区间， 已知得单调增区间为， 得，解得， 当时，增区间为，当时，增区间为， 所以在上的单调增区间为和， 即在上的单调减区间为和， 故答案为：和. 【例1-3】（24-25高一上·上海·随堂练习）求函数在上的单调减区间. 【答案】 【分析】利用整体代入换元法，结合正弦函数的性质即可求解 【详解】. 令，要求的单调减区间，即求的单调增区间. 由，，解得，. 又，令，则， ∴所求函数在上的单调减区间是 【变式1-1】（24-25高一上·上海·课后作业）下列命题中正确的个数为（    ） ①的单调增区间为（）； ②在第一象限是严格增函数； ③在上是严格增函数. A．1 B．2 C．3 D．0 【答案】A 【分析】根据正弦函数的单调性一一判断即可. 【详解】对于①：的单调增区间为（），故①错误； 对于②：函数在（）上单调递增， 在（）上单调递减，则在第一象限不单调，故②错误； 对于③：在上是严格增函数，故③正确. 故选：A 【变式1-2】（24-25高一下·上海·期末）函数，的严格减区间为 . 【答案】 【分析】由倍角公式可化简函数，然后由正弦函数单调性可得答案. 【详解】，因， 则，注意到在上单调递减， 则，则严格递减区间为：. 故答案为： 【变式1-3】求下列函数的单调区间： (1)； (2). 【答案】(1)增区间为；减区间为 (2)增区间为，减区间为 【分析】（1）由题意，利用正弦函数的单调性，得出结论； （2）由题意，利用正弦函数的单调性，得出结论. 【详解】（1）函数的增区间，即函数的减区间，为， 函数的减区间，即函数的增区间，为， 综上，函数的增区间为； 减区间为. （2）对于函数， 令，解得：； 令，解得：， 综上，函数的增区间为：， 减区间为： 题型2：利用正弦型函数的单调性求参数 【例2-1】若函数在上严格减，则正实数的取值范围是 ． 【答案】 【分析】利用三角函数的单调性求参数取值范围即可. 【详解】因为，所以，又函数在上严格减， 设其最小正周期为，则，即，则， 所以，即，解得：， 当时，，当时，， 故答案为： 【例2-2】（24-25高一下·上海·月考）已知函数在区间上是严格增函数，则的取值范围是 ． 【答案】 【分析】问题化为在上单调递增，且，结合正弦函数的图象及相关性质列不等式求参数范围. 【详解】由，则， 由题意在上单调递增，且， 所以，则，故， 综上，，则，故. 故答案为： 【例2-3】（24-25高一上·上海·课后作业）若在区间上是严格增函数，求正实数a的最大值. 【答案】 【分析】根据三角函数单调递增，解不等式，，即可求解. 【详解】由题，，解得，. 又在区间上是严格增函数，且a为正实数， ∴故正实数a的最大值为. 【变式2-1】若定义在区间上的函数（其中常数）既没有最大值，也没有最小值，则的取值范围是 【答案】 【分析】由题意利用正弦函数得周期性和单调性，可得不等式组，解之即可求出结果. 【详解】由题意得，所以或，解得或， 故答案为：. 【变式2-2】已知（其中），且在闭区间上是严格减函数，则实数的值是 ． 【答案】 【分析】根据题意，求出函数的单调递减区间，结合函数在闭区间上是严格减函数，即可求解. 【详解】由，， 得，， 因函数在闭区间上是严格减函数， 所以，又因，所以. 故答案为：. 【变式2-3】已知函数． （1）若函数在区间上是严格增函数，求实数的取值范围； （2）求函数在区间上的所有零点． 【答案】（1）；（2）所有零点是0，，． 【分析】（1）先求得函数的在轴右侧的包含0的单调递增区间，进而得到实数的取值范围； （2）利用正弦函数的性质，利用整体代换法求得函数的所有零点，进而得到在上的所有零点. 【详解】（1）由，得，． 取，可得， ∵函数在区间上是严格增函数， ∴实数的取值范围是． （2）由，得， 则或，． 即或，． 又，∴，，． 即函数在区间上的所有零点是0，，． 【点睛】关键要注意求函数的零点时不要丢根.或. 题型3：求含sinx（型）函数的值域和最值 【例3-1】（24-25高一下·上海徐汇·期中）函数的最大值为（    ） A．1 B． C．2 D．3 【答案】A 【分析】运用拆角变换，逆用差角的正弦公式，化简函数式，即可求得其最值. 【详解】因 ，故其最大值为1. 故选：A. 【例3-2】函数的值域是 ． 【答案】 【分析】利用三角函数的值域即可求出． 【详解】 故答案为：. 【例3-3】（24-25高一下·上海长宁·期中）求函数的最小正周期、最大值，并求出取得最大值时所有的值． 【答案】最小正周期，最大值为3，当，时取得最大值 【分析】利用二倍角公式及辅助角公式化简函数式，再利用正弦函数的性质求解. 【详解】依题意，， 函数的最小正周期，函数的最大值为3， 当，即，时取得最大值． 【变式3-1】（24-25高一上·上海·课后作业）设角、满足，则的最小值为（    ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】根据三角函数的有界性得到，，又，从而，，求出，，，，则，从而得到最值. 【详解】因为，， 所以，， 所以，. 又， 则， 即，， 即，， 所以，，，， 则， 当，时，取最小值. 故选：A 【变式3-2】（24-25高一下·上海闵行·期中）函数，的值域是 ． 【答案】 【分析】利用正弦函数的性质即可求得值域. 【详解】因为，根据正弦函数的性质可知， 即函数的值域为， 故答案为：. 【变式3-3】（24-25高一下·上海静安·期中）定义行列式运算，若. (1)求和的值； (2)求函数的值域. 【答案】(1)； (2) 【分析】（1）根据行列式运算的定义得到，利用同角三角函数的基本关系结合二倍角公式求得答案即可. （2）首先对函数化简，然后根据正弦函数的值域结合二次函数的性质可知当时，函数取最大值；当时，函数取最小值，进而求出函数的值域即可. 【详解】（1）因为，所以， 则，得到，即， 由二倍角公式得， 因为，所以， 因为，所以， 解得，则. （2）由题意得，且， 则， 令，则原函数化为， 由二次函数性质得在上单调递增，在上单调递减， 则当时，；当时，， 当时，，得到， 故当时，；当时，， 故函数的值域为． 题型4：由正弦（型）函数的值域（最值）求参数 【例4-1】（24-25高一下·上海杨浦·期中）已知函数的定义域为，值域为，则的取值范围为（    ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】首先利用两角和的正弦公式化简，再根据正弦函数的性质计算可得. 【详解】因为， 因为，所以， 因为，所以， 不妨令，即，则，所以， 所以，， 所以的取值范围是. 故选：D 【例4-2】已知函数的最大值为3，则实数的值为 . 【答案】 【分析】由辅助角公式结合正弦函数的值域计算可得. 【详解】， 因为函数的最大值为3， 所以，（舍去）， 所以实数的值为. 故答案为：. 【例4-3】（24-25高一上·上海）设函数（），若对任意的实数x都成立，求的最小值. 【答案】2 【分析】利用得，求出，进而可求的最小值. 【详解】若对任意的实数x都成立， 可得的最小值为， 可得，， 即有，，由，可得的最小值为2，此时. 【变式4-1】（24-25高一下·上海·期中）已知函数的定义域是，值域是，则的值不可能为（    ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】根据二倍角公式辅助角公式化简函数解析式可得，令，可得在区间上的值域为，作函数图象，观察图象可求的最值，由此可得结论. 【详解】因为 所以， 所以 由可得，， 令，则在区间上的值域为， 作函数，，的图象如下： 令可得，，， 令可得，或，， 结合图象可得的最小值为，故的最小值为， 的最大值为，故的最大值为， 观察四个选项，只有选项D不满足， 故选：D. 【变式4-2】（24-25高一下·上海·期中）若，则的最小值为 ． 【答案】/ 【分析】利用辅助角公式化简，即可得到，再由正弦函数的性质求出，的取值，即可得解. 【详解】因为， ， 若， 即，所以或， 根据对称性不妨令， 则，， 所以， 所以当时取得最小值. 故答案为： 【变式4-3】（24-25高一上·上海·单元测试）函数（）的定义域为，值域为，求的值. 【答案】 【分析】根据二倍角公式以及辅助角公式化简，根据的范围求出的范围，再列方程求解. 【详解】 ， 因为，所以，， 因为，所以， 所以，解得. 题型5：由正弦（型）函数的奇偶性求参数 【例5-1】（24-25高一下·上海闵行·期中）已知函数，若是偶函数，则 ． 【答案】， 【分析】利用辅助角公式化简函数解析式，再求，结合偶函数的定义和正弦函数的性质列关系式求. 【详解】因为， 所以， 所以， 所以， 因为是偶函数，所以对任意的恒成立， 所以， 所以或，， 所以（舍去）或，， 所以，， 故答案为：，. 【变式5-1】函数（其中）为偶函数，则 . 【答案】/ 【分析】由诱导公式结合题意计算可得. 【详解】由题意可得， 又，所以. 故答案为：. 【变式5-2】（24-25高一下·上海·期中）已知函数为偶函数，则 . 【答案】 【分析】根据题意，转化为，得到，进而求得的值，得到答案. 【详解】因为函数为偶函数，可得， 即，解得. 故答案为：. 【变式5-3】设函数对任意的实数均满足，则 ． 【答案】 【分析】由辅助角公式先进行化简，再利用条件可得为偶函数，可求得的值，代入求解即可. 【详解】因为， 又因为，所以函数为偶函数， 即，， ， 所以，. 故答案为：. 题型6：求正弦（型）函数的最小正周期 【例6-1】（24-25高一下·上海·期中）若是函数的一个周期，则正整数所有可能取值个数是（    ） A．2 B．3 C．4 D．5 【答案】C 【分析】（）的周期为和的最小公倍数，然后验证得到正整数所有可能取值即可. 【详解】（）的周期为和的最小公倍数， 所以为和的最小公倍数，所以，所以， 因为，，所以为250的约数，为5的整数倍，为偶数， 所以， 时，，符合题意；时，，不符合题意； 时，，符合题意；时，，不符合题意； 时，，符合题意；时，，不符合题意； 时，，符合题意；时，，不符合题意； 所以，所以满足条件的正整数的所有可能取值有4个. 故选：C 【例6-2】（24-25高一下·上海嘉定·期末）函数的最小正周期是 . 【答案】2. 【分析】根据正弦型函数的周期公式即得. 【详解】由知其最小正周期为. 故答案为：2. 【例6-3】（24-25高一下·上海·月考）已知函数． (1)求函数的最小正周期及单调递增区间； (2)求在区间上的最大值和最小值． 【答案】(1)； (2)最大值和最小值分别为． 【分析】（1）利用二倍角公式及辅助角公式化简函数，再利用正弦函数的性质求解； （2）求出指定区间上相位的范围，再利用正弦函数性质求出值域即得. 【详解】（1） ， 故函数的最小正周期； 由， 解得， 所以的单调递增区间为. （2）由，可得，此时， 所以，即． 所以在区间上的最大值和最小值分别为． 【变式6-1】下列函数中，以为最小正周期的是（    ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】逐个求得各个选项的周期，从而得出结论. 【详解】解：周期为； 周期为； 周期为； 周期为； 故选：D. 【变式6-2】（24-25高一下·上海·期末）函数的最小正周期为 . 【答案】 【分析】利用二倍角的正弦公式化简函数，再利用正弦函数周期公式求解. 【详解】函数，其最小正周期. 故答案为： 【变式6-3】（24-25高一上·上海·单元测试）已知函数. (1)求函数的最小正周期； (2)求函数的严格减区间； (3)若时，的最小值为–2，求a的值. 【答案】(1)； (2)（）； (3). 【分析】（1）直接利用周期公式求解； （2）对函数变形后，由可求出函数的减区间； （3）由求出的范围，再利用正弦函数的性质求出其最小值，从而可求出a的值. 【详解】（1）函数的最小正周期为. （2）. 由（）， 得（）， 所以的严格减区间为（）. （3）由，得， 所以， 所以， 所以， 所以的最小值为， 所以. 题型7：由正弦（型）函数的周期性求值 【例7-1】已知函数的最小正周期为，则实数的值为（    ） A．3 B． C． D． 【答案】B 【分析】利用正弦型函数周期公式计算即可. 【详解】∵函数的最小正周期为， ∴， ∴. 故选：B 【例7-2】（24-25高一上·上海·随堂练习）已知函数的最小正周期为，则 . 【答案】 【分析】根据正弦函数周期公式求参即可. 【详解】已知函数的最小正周期为, 所以. 故答案为：. 【例7-3】（24-25高一上·上海·课堂例题）若函数的最小正周期，求正整数k的值. 【答案】，27或28. 【分析】利用最小正周期的定义建立不等式，解出参数范围，再求值即可. 【详解】∵， 即，， 故，， 故，27或28. 【变式7-1】（24-25高一上·上海·随堂练习）函数的周期为，若，则正整数 . 【答案】3，4，5，6 【分析】利用三角函数的周期的求法，求出函数周期，再根据条件解不等式，得解. 【详解】根据题意得：， ，即， ，解得：，即， . 故答案为： 【变式7-2】（24-25高一上·上海·课堂例题）已知函数（其中）的最小正周期为，求k的值. 【答案】. 【分析】利用二倍角公式结合辅助角公式化简原函数，再利用最小正周期的定义求解即可. 【详解】， ， . 因为，所以. 【变式7-3】（24-25高一下·上海·期中）设函数， (1)求在上的解； (2)求，的增区间． 【答案】(1) (2) 【分析】（1）根据函数的图象与性质直接求解即可； （2）令，，再根据即可求出增区间. 【详解】（1）令，所以或，， 因为，所以. （2）令，，解得. 因为，所以的增区间为. 题型8：求正弦（型）函数的对称轴及对称中心 【例8-1】函数的对称轴是（    ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】根据题意可令，化简即可得解. 【详解】令， 可得， 故选：A. 【例8-2】（24-25高一下·上海·期中）函数图像的对称中心的坐标是 【答案】 【分析】根据诱导公式，化简得到，结合正弦函数的性质，即可求解. 【详解】由函数，令，解得， 所以函数的对称中心的坐标为. 故答案为：. 【例8-3】（24-25高一下·上海·月考）函数图像的对称轴方程是 . 【答案】（其中为整数）. 【分析】根据正弦函数的对称性，结合伸缩变换与平移变换的影响得出. 【详解】正弦函数的对称轴是直线（其中为整数）. 因为纵坐标的伸缩变换与上下平移变换均不影响水平方向的对称性. 函数的对称轴方程为（其中为整数）. 故答案为：为（其中为整数）. 【变式8-1】函数的一条对称轴是（   ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】令即可求解. 【详解】令，可得， 令，可得. 所以函数的一条对称轴是. 故选:B. 【变式8-2】若、是函数两个不同的零点，则的最小值为 . 【答案】 【分析】根据三角函数的性质得零点满足的方程，作差即可得答案. 【详解】、是函数的零点满足， 所以，由于 所以的最小值为. 故答案为：. 【变式8-3】（24-25高一下·上海·月考）函数的图象的对称中心的坐标是 . 【答案】， 【分析】方法一：根据正弦函数的性质，利用图象变换方法；方法二：根据正弦函数的性质，利用整体代入方法求解. 【详解】方法一：图象变换法： 函数的对称中心是形如的点，其中为整数. 变换后的函数分析：函数是由原函数经过横向压缩3倍、 向左平移个单位，再向上平移1个单位得到的. 对称中心的变换： 横向压缩3倍后，原对称中心的横坐标变为 向左平移个单位后，横坐标变为 . 向上平移1个单位后，纵坐标变为1. 函数 的图像的对称中心的坐标为：,. 方法二：利用正弦函数的性质直接求解法: 求解对称中心：对称中心的横坐标满足方程 ，解得 ,纵坐标恒为1. 最终，函数 的图象的对称中心的坐标为：：,. 故答案为：,. 一、填空题 1．（24-25高一下·上海·期中）函数的最小正周期为 ． 【答案】 【分析】利用正弦型函数的周期公式计算. 【详解】利用正弦型函数的周期公式计算，得到函数的最小正周期为. 故答案为：2. 2．函数的最小正周期是 ． 【答案】 【分析】根据正弦函数周期公式，直接求出最小正周期. 【详解】由公式得， 故答案为：. 3．（24-25高一下·上海·期中）的单调增区间为 ． 【答案】 【分析】根据正弦函数的性质计算可得. 【详解】对于函数， 令，解得， 所以的单调递增区间为. 故答案为： 4．（24-25高一下·上海·期末）函数的严格减区间是 . 【答案】 【分析】利用辅助角公式，得到，再利用正弦型函数单调区间的求法可得到答案. 【详解】， ， 令， 解得：， 故答案为： 5．已知函数在内为严格减函数，是函数的一条对称轴，且函数为奇函数 ，则函数的表达式为 ． 【答案】 【分析】根据对称轴和对称中心可得的一般形式，结合单调性可求，再根据对称轴可求初相位，故可得解析式. 【详解】函数为奇函数，故， 故的对称中心为，而是函数的一条对称轴， 故即，故， 而在内为严格减函数，故， 故，故即，故， 而，故， 故，而，故， 故， 故答案为：. 6．（2024高一下·上海·专题练习）若函数的定义域是，值域是，则的最大值是 . 【答案】/ 【分析】令，则可得函数的定义域为，值域是，然后结合正弦函数的图象可求得结果. 【详解】的定义域是，值域是， 令，即函数的定义域为，值域是， 结合正弦函数的图象与性质，如下图， 不妨取，， 此时取得最大值为. 故答案为：. 7．已知（其中常数）是R上的偶函数，若，，则的值为 . 【答案】 【分析】根据偶函数结合可得，再根据两角和差的正弦公式求解即可. 【详解】由（其中常数）是R上的偶函数可得， 又可得，故. 又，即，，故， 则. 故 . 故答案为： 8．（24-25高一·上海·随堂练习）函数，的值域是 ． 【答案】 【分析】根据正弦函数的图象与性质，得到，进而求得函数的值域. 【详解】当时，，所以， 当时，，所以， 所以值域为， 综上所以． 图象为： 故答案为： 9．设、，且，则的最小值等于 【答案】 【分析】根据正弦函数的性质得到，即可求出、的取值，即可求出的最小值. 【详解】因为、，所以、，则、， 所以，， 又因为， 所以，即， 所以，， 所以， 所以， 所以当或时取得最小值，且. 故答案为： 10．（24-25高一下·上海闵行·月考）已知，若，使成立，则 ． 【答案】 【分析】利用辅助角公式将方程化成，通过左右两边函数的值域比较,得到两边只能等于，求得，回代求出. 【详解】由可得，， 设. 依题意，，而，故， 由，可得，， 又由可得，， 因，则， ，故，解得，. 故答案为：. 11．（24-25高一下·上海杨浦·期末）已知，如果存在实数，使得对任意的实数，都有成立，则的最小值为 ． 【答案】 【分析】根据题意，为函数的最小值，为的最大值，由正弦函数性质求解． 【详解】由题，可得为函数的最小值，为的最大值， 所以，则，又， ，得，由， 所以当时，为最小值. 故答案为：. 12．（24-25高一·上海·随堂练习）若函数在上有两个零点，则实数a的取值范围是 ． 【答案】 【分析】作出在上的图像，由有两个零点，得与在上有两个交点，由此建立关于a的不等式，解之即可得到实数a的取值范围． 【详解】令得． 作出在上的图像， 如图所示． 要使函数在上有两个零点， 需满足，所以． 故答案为：． 二、单选题 13．（24-25高一下·上海浦东新·期末）已知函数的图象关于原点中心对称，则实数的取值可能是（   ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】根据函数的对称性，求出对称中心的表达式，结合题意验证值即可求解. 【详解】函数的对称中心为：， 即，因为为函数的对称中心， 令，解得， 当时，. 故选：D 14．（24-25高一下·上海·月考）在下列哪个区间上是严格减函数（    ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】作出函数的图象，结合选项可得答案. 【详解】根据正弦函数的图象，作出函数的图象， 如图所示：    分析选项可得函数函数在区间上是严格减函数. 故选：B. 15．已知，其中，，则（    ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】利用正弦两角差公式将展开，根据已知等式对应系数相等可得，从而得，再根据以及的取值情况，即可求得的值. 【详解】因为， 所以，则，即 又，所以或，由，可知，所以. 故选：C. 16．（24-25高一下·上海·单元测试）若、，，且，则（    ） A．； B．； C．1； D．． 【答案】C 【分析】变形给定等式，构造函数，再探讨奇偶性及单调性求解即得. 【详解】由，得， 即，令函数， 则有，即函数是的奇函数， 函数在上都单调递增，于是函数在上单调递增， 由，得，因此，即， 所以，. 故选：C 三、解答题 17．（24-25高一下·上海闵行·期中）已知函数． (1)求的值域，并写出的单调递增区间； (2)求的对称轴方程，并求方程的解集． 【答案】(1)； (2)；或 【分析】（1）利用二倍角公式和辅助角公式进行三角恒等变形，然后借助正弦函数来求值域和单调区间即可； （2）然后借助正弦函数来求对称轴方程以及解三角方程即可. 【详解】（1）由， 因为，所以函数的值域为， 由解得：， 所以函数的单调递增区间是； （2）由，解得：， 即函数的对称轴方程为， 由方程， 则或， 解得或， 故方程的解为或， 18．已知函数， (1)化简的解析式并求其最小正周期； (2)求在区间上的最大值和最小值. 【答案】(1)，； (2)最大值为，最小值为. 【分析】（1）根据给定函数，利用三角恒等变换化简，然后利用周期公式求得结果. （2）由给定范围，求出的范围，再结合正弦函数的性质求出最值. 【详解】（1）依题意， ， 所以的最小正周期. （2）由（1）知，，当时，， 当，即时，，当，即时，， 所以在区间上的最大值为，最小值为. 19．（24-25高一下·上海长宁·月考）已知函数. (1)求：的单调递增区间； (2)在中，为角的对边，且满足，且，求：的值域 【答案】(1)（）； (2). 【分析】（1）根据二倍角公式和辅助角公式可化简，利用整体代入法可求单调递增区间； （2）根据正弦定理边角互化得到或，分情况讨论，当时得到角A，根据三角形内角和得出角B的范围，再利用整体代换法可求值域，当时，进行平方推导与矛盾. 【详解】（1） ， 由题意，解得， 的单调递增区间为（）. （2）由（1）知，， 又，由正弦定理得， ，， ， 或， 当，即，又，所以， 即，，则，， ，即， 当，即， ，，，即， 所以此种情况无解，舍去， 综上，的值域为. 20．（24-25高一下·上海嘉定·期末）已知函数. (1)求的单调递增区间； (2)求函数在上的零点； (3)对任意的，不等式恒成立，求的取值范围. 【答案】(1) (2) (3) 【分析】（1）化简得，根据正弦型函数的单调性得到不等式，解出即可； （2）根据题意，问题转化为，即，得或，结合，得解； （3）由，求出，当时，符合；当时，转化为，令，则，，利用单调性求出最大值得解. 【详解】（1）， 由，得. 所以的单调递增区间为. （2）令，即， 所以或， ，此时，在内解为， ，此时，在内解为， 综上，函数在上的零点为. （3）当时，，故. 原式， 当时，符合； 当时，， 令，则，， 因在上单调递增，最大值为， . 综上：的取值范围为. 21．（24-25高一下·上海金山·期中）设函数的表达式为，其中． (1)设，，若有且只有一个，使得函数取得最小值，求的取值范围； (2)若对任意的，皆有成立，且函数在区间上是严格增函数，求函数的最小正周期； (3)若存在，，且，使得成立，求的取值范围． 【答案】(1) (2) (3) 【分析】（1）求的范围，结合条件列不等式求的取值范围； （2）由条件列关系式，确定的值，再由周期公式求周期； （3）由题意存在，，且，使得成立，由此即可得解. 【详解】（1）当时，， 所以函数在区间上只有一个最小值点， 又因为， 由正弦函数的图象可知：，解得， 所以的取值范围为． （2）由，可知函数关于点对称． 因此，解得，其中为整数． 由于函数在区间上是严格增函数，所以，所以， 结合，其中为整数，所以， 又，其中为整数，所以或， 当时，，函数在区间上不是严格增函数， 当时，，函数在区间上是严格增函数，且关于点对称．所以． 因此函数的最小正周期为． （3）已知函数的值域为，因此， 又，则当且仅当时成立，即， 令，则当，时，，， 此时需存在，满足（为整数），且， 则区间内至少包含两个不同的点， 设存在整数满足， 当时，；当时，；当时，符合题意； 所以． 1 学科网（北京）股份有限公司 $ 第04讲 正弦函数的图象与性质 知识清单 知识点01：正弦曲线和正弦函数图象的画法 知识点02：正弦函数的周期性、奇偶性、单调性、最值 题型讲解 （举三反三） 题型1：求sinx型三角函数的单调性 题型2：利用正弦型函数的单调性求参数 题型3：求含sinx（型）函数的值域和最值 题型4：由正弦（型）函数的值域（最值）求参数 题型5：由正弦（型）函数的奇偶性求参数 题型6：求正弦（型）函数的最小正周期 题型7：由正弦（型）函数的周期性求值 题型8：求正弦（型）函数的对称轴及对称中心 强化训练 一、填空题（12） 二、单选题（4） 三、解答题（5） 知识点01正弦曲线和正弦函数图象的画法 正弦函数y＝sin x，x∈R的图象叫正弦曲线． (1)几何法： ①利用单位圆画出y＝sin x，x∈[0,2π]的图象； ②将图象向左、右平行移动(每次2π个单位长度)． (2)五点法： ①画出正弦曲线在[0,2π]上的图象的五个关键点(0，0)(π，0)(2π，0).用光滑的曲线连接； ②将所得图象向左、右平行移动(每次2π个单位长度)． 知识点02正弦函数的周期性、奇偶性、单调性、最值 函数 y＝sin x 周期 2kπ(k∈Z且k≠0) 最小正周期 2π 奇偶性 奇函数 解析式 y＝sin x 图象 值域 [－1,1] 单调性 在，k∈Z上单调递增， ，k∈Z上单调递减 最值 x＝＋2kπ，k∈Z时，ymax＝1；x＝－＋2kπ，k∈Z时，ymin＝－1 题型1：求sinx型三角函数的单调性 【例1-1】（24-25高一下·上海普陀·期中）函数的单调递增区间是（   ） A． B． C． D． 【例1-2】（24-25高一下·上海普陀·月考）函数，的单调减区间为 . 【例1-3】（24-25高一上·上海·随堂练习）求函数在上的单调减区间. 【变式1-1】（24-25高一上·上海·课后作业）下列命题中正确的个数为（    ） ①的单调增区间为（）； ②在第一象限是严格增函数； ③在上是严格增函数. A．1 B．2 C．3 D．0 【变式1-2】（24-25高一下·上海·期末）函数，的严格减区间为 . 【变式1-3】求下列函数的单调区间： (1)； (2). 题型2：利用正弦型函数的单调性求参数 【例2-1】若函数在上严格减，则正实数的取值范围是 ． 【例2-2】（24-25高一下·上海·月考）已知函数在区间上是严格增函数，则的取值范围是 ． 【例2-3】（24-25高一上·上海·课后作业）若在区间上是严格增函数，求正实数a的最大值. 【变式2-1】若定义在区间上的函数（其中常数）既没有最大值，也没有最小值，则的取值范围是 【变式2-2】已知（其中），且在闭区间上是严格减函数，则实数的值是 ． 【变式2-3】已知函数． （1）若函数在区间上是严格增函数，求实数的取值范围； （2）求函数在区间上的所有零点． 题型3：求含sinx（型）函数的值域和最值 【例3-1】（24-25高一下·上海徐汇·期中）函数的最大值为（    ） A．1 B． C．2 D．3 【例3-2】函数的值域是 ． 【例3-3】（24-25高一下·上海长宁·期中）求函数的最小正周期、最大值，并求出取得最大值时所有的值． 【变式3-1】（24-25高一上·上海·课后作业）设角、满足，则的最小值为（    ） A． B． C． D． 【变式3-2】（24-25高一下·上海闵行·期中）函数，的值域是 ． 【变式3-3】（24-25高一下·上海静安·期中）定义行列式运算，若. (1)求和的值； (2)求函数的值域. 题型4：由正弦（型）函数的值域（最值）求参数 【例4-1】（24-25高一下·上海杨浦·期中）已知函数的定义域为，值域为，则的取值范围为（    ） A． B． C． D． 【例4-2】已知函数的最大值为3，则实数的值为 . 【例4-3】（24-25高一上·上海）设函数（），若对任意的实数x都成立，求的最小值. 【变式4-1】（24-25高一下·上海·期中）已知函数的定义域是，值域是，则的值不可能为（    ） A． B． C． D． 【变式4-2】（24-25高一下·上海·期中）若，则的最小值为 ． 【变式4-3】（24-25高一上·上海·单元测试）函数（）的定义域为，值域为，求的值. 题型5：由正弦（型）函数的奇偶性求参数 【例5-1】（24-25高一下·上海闵行·期中）已知函数，若是偶函数，则 ． 【变式5-1】函数（其中）为偶函数，则 . 【变式5-2】（24-25高一下·上海·期中）已知函数为偶函数，则 . 【变式5-3】设函数对任意的实数均满足，则 ． 题型6：求正弦（型）函数的最小正周期 【例6-1】（24-25高一下·上海·期中）若是函数的一个周期，则正整数所有可能取值个数是（    ） A．2 B．3 C．4 D．5 【例6-2】（24-25高一下·上海嘉定·期末）函数的最小正周期是 . 【例6-3】（24-25高一下·上海·月考）已知函数． (1)求函数的最小正周期及单调递增区间； (2)求在区间上的最大值和最小值． 【变式6-1】下列函数中，以为最小正周期的是（    ） A． B． C． D． 【变式6-2】（24-25高一下·上海·期末）函数的最小正周期为 . 【变式6-3】（24-25高一上·上海·单元测试）已知函数. (1)求函数的最小正周期； (2)求函数的严格减区间； (3)若时，的最小值为–2，求a的值. 题型7：由正弦（型）函数的周期性求值 【例7-1】已知函数的最小正周期为，则实数的值为（    ） A．3 B． C． D． 【例7-2】（24-25高一上·上海·随堂练习）已知函数的最小正周期为，则 . 【例7-3】（24-25高一上·上海·课堂例题）若函数的最小正周期，求正整数k的值. 【变式7-1】（24-25高一上·上海·随堂练习）函数的周期为，若，则正整数 . 【变式7-2】（24-25高一上·上海·课堂例题）已知函数（其中）的最小正周期为，求k的值. 【变式7-3】（24-25高一下·上海·期中）设函数， (1)求在上的解； (2)求，的增区间． 题型8：求正弦（型）函数的对称轴及对称中心 【例8-1】函数的对称轴是（    ） A． B． C． D． 【例8-2】（24-25高一下·上海·期中）函数图像的对称中心的坐标是 【例8-3】（24-25高一下·上海·月考）函数图像的对称轴方程是 . 【变式8-1】函数的一条对称轴是（   ） A． B． C． D． 【变式8-2】若、是函数两个不同的零点，则的最小值为 . 【变式8-3】（24-25高一下·上海·月考）函数的图象的对称中心的坐标是 . 一、填空题 1．（24-25高一下·上海·期中）函数的最小正周期为 ． 2．函数的最小正周期是 ． 3．（24-25高一下·上海·期中）的单调增区间为 ． 4．（24-25高一下·上海·期末）函数的严格减区间是 . 5．已知函数在内为严格减函数，是函数的一条对称轴，且函数为奇函数 ，则函数的表达式为 ． 6．（2024高一下·上海·专题练习）若函数的定义域是，值域是，则的最大值是 . 7．已知（其中常数）是R上的偶函数，若，，则的值为 . 8．（24-25高一·上海·随堂练习）函数，的值域是 ． 9．设、，且，则的最小值等于 10．（24-25高一下·上海闵行·月考）已知，若，使成立，则 ． 11．（24-25高一下·上海杨浦·期末）已知，如果存在实数，使得对任意的实数，都有成立，则的最小值为 ． 12．（24-25高一·上海·随堂练习）若函数在上有两个零点，则实数a的取值范围是 ． 二、单选题 13．（24-25高一下·上海浦东新·期末）已知函数的图象关于原点中心对称，则实数的取值可能是（   ） A． B． C． D． 14．（24-25高一下·上海·月考）在下列哪个区间上是严格减函数（    ） A． B． C． D． 15．已知，其中，，则（    ） A． B． C． D． 16．（24-25高一下·上海·单元测试）若、，，且，则（    ） A．； B．； C．1； D．． 三、解答题 17．（24-25高一下·上海闵行·期中）已知函数． (1)求的值域，并写出的单调递增区间； (2)求的对称轴方程，并求方程的解集． 18．已知函数， (1)化简的解析式并求其最小正周期； (2)求在区间上的最大值和最小值. 19．（24-25高一下·上海长宁·月考）已知函数. (1)求：的单调递增区间； (2)在中，为角的对边，且满足，且，求：的值域 20．（24-25高一下·上海嘉定·期末）已知函数. (1)求的单调递增区间； (2)求函数在上的零点； (3)对任意的，不等式恒成立，求的取值范围. 21．（24-25高一下·上海金山·期中）设函数的表达式为，其中． (1)设，，若有且只有一个，使得函数取得最小值，求的取值范围； (2)若对任意的，皆有成立，且函数在区间上是严格增函数，求函数的最小正周期； (3)若存在，，且，使得成立，求的取值范围． 1 学科网（北京）股份有限公司 $