全书综合测评（同步练习）-【学而思·PPT课件分层练习】2025-2026学年高一数学必修第三册（人教B版）

密 ○ 封 ○ 装 ○ 订 ○ 线 密 ○ 封 ○ 装 ○ 订 ○ 线 密 封 线 内 不 要 答 题 姓名 班级 考号 密 ○ 封 ○ 装 ○ 订 ○ 线 密 ○ 封 ○ 装 ○ 订 ○ 线 密 封 线 内 不 要 答 题 全书综合测评 全卷满分150分　考试用时120分钟 一、单项选择题(本题共8小题,每小题5分,共40分.在每小题给出的四个选项中,只有一项是符合题目要求的) 1.已知a=(1,2),b=(4,3),则(a-b)·b=(　　) A.-30　　　　B.-15　　　　C.-10　　　　D.5 2.在△ABC中,AD为BC边上的中线,点E为AD的中点,则=(　　) A.-　　　　B.- C.+　　　　D.+ 3.若α为第二象限角,且cos α=-,则tan 2α=(　　) A.-　　　　B.- C.　　　　D. 4.若单位向量a,b的夹角为,则a+2b与a-b的夹角的余弦值为(　　) A.　　　　B.　　　　C.-　　　　D.- 5.函数f(x)=log2|x|+cos x的大致图象是(　　) 6.已知α,β为锐角,且4sin2α+2sin2β=1,2sin 2α-sin 2β=0,则cos(2α+2β)=(　　) A.　　　　B.- C.-　　　　D.- 7.已知点O是△ABC内一点,满足+2=m,=,则实数m=(　　) A.2　　　　B.-2 C.4　　　　D.-4 8.某人用下述方法证明了正弦定理:如图1,直线l与锐角△ABC的边AB,AC(不含端点)分别相交于点D,E,设BC=a,CA=b,AB=c,∠ADE=90°,记与方向相同的单位向量为i,∵+=,∴i·(+)=i·,进而得i·+i·=i·,即acos(90°-B)=bcos(90°-A),即asin B=bsin A,钝角三角形及直角三角形也满足.请用上述方法探究:如图2,直线l与锐角△ABC的边AB,AC(不含端点)分别相交于点D,E,设BC=a,CA=b,AB=c,∠ADE=θ,则θ与△ABC的边和内角之间的等量关系为(　　) 　　 A.acos(B+θ)+bcos(A-θ)=ccos θ　　　　B.acos(B+θ)+bcos(A-θ)=csin θ C.acos(B-θ)+bcos(A+θ)=csin θ　　　　D.acos(B-θ)+bcos(A+θ)=ccos θ 二、多项选择题(本题共3小题,每小题6分,共18分.在每小题给出的选项中,有多项符合题目要求.全部选对的得6分,部分选对的得部分分,有选错的得0分) 9.已知向量a=(1,-1),b=(-2,m),c=(4,-2),则下列说法正确的是(　　) A.a与c夹角的余弦值为 B.a在c上的投影向量为c C.若a与b的夹角为钝角,则m>-2 D.若a与b的夹角为锐角,则m<-2 10.已知函数f(x)=sin(ωx+φ),其中ω>0,φ∈,若直线x=和点是f(x)图象的一组相邻的对称轴和对称中心,则下列说法正确的是(　　) A. f(x)的最小正周期是π B.函数f(x)在区间上单调递增 C.将f(x)的图象上所有点的纵坐标不变,横坐标缩短为原来的,得到函数g(x)的图象,则g= D.将函数f(x)的图象向左平移m(m>0)个单位后得到的图象关于y轴对称,则m的最小值是 11.设函数f(x)=sin(ω>0),若f(x)在[0,π]上有且仅有5个最值点,则(　　) A.f(x)在(0,π)上有且仅有3个最大值点 B.f(x)在(0,π)上有且仅有4个零点 C.ω的取值范围是 D.f(x)在上单调递增 三、填空题(本题共3小题,每小题5分,共15分) 12.若扇形的弧长是3π cm,面积是6πcm2,则该扇形圆心角的弧度数θ=　　　　.  13.若=-,则sin=　　　　.  14.在Rt△ABC中,∠C=90°,点P在△ABC所在平面内,满足++λ=0,当λ=1时,的值为　　　　;取得最小值时,λ的值为　　　　.  四、解答题(本题共5小题,共77分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤) 15.(13分)已知f(θ)=. (1)若f(θ)=,求cos 2θ的值; (2)若f =,且<θ<,求sin θ的值. 16.(15分)已知两个不共线的向量a,b的夹角为θ,|a|=6,|b|=2. (1)若θ为钝角,那么a+b与a-5b能否垂直?若能,求出cos θ的值;若不能,请说明理由; (2)若θ=,当k>0时,求|a-4kb|的最小值并求此时a与a-4kb的夹角. 17.(15分)设有三个乡镇,分别位于一个矩形MNPQ的两个顶点M,N及PQ的中点S处,MN=10 km,NP=5 km,现要在该矩形的区域内(含边界),且与M,N等距离的一点O处设一个宣讲站,记O点到三个乡镇的距离之和为L km. (1)设∠OMN=x(rad),试将L表示为x的函数并写出其定义域; (2)试利用(1)中的函数关系式确定宣讲站O的位置,使宣讲站O到三个乡镇的距离之和最小. 18.(17分)已知函数f(x)=Asin(ωx+φ)的部分图象如图所示. (1)求f(x)的解析式; (2)已知α∈,f(α)=,求f(2α)的值; (3)若关于x的方程f(x)=a在上有两个不同的实根x1,x2,且x1<x2,求2x1+x2的取值范围. 19.(17分)已知O为坐标原点,对于函数f(x)=asin x+bcos x,称向量=(a,b)为函数f(x)的相伴特征向量,同时称函数f(x)为向量的相伴函数. (1)设函数g(x)=sin-sin,试求g(x)的相伴特征向量; (2)记向量=(1,)的相伴函数为f(x),求当f(x)=且x∈时,sin x的值; (3)已知A(-2,3),B(2,6),=(-,1)为函数h(x)=msin的相伴特征向量,φ(x)=h,在y=φ(x)的图象上是否存在一点P,使得⊥?若存在,求出点P的坐标;若不存在,请说明理由. 答案全解全析 全书综合测评 1.B 2.B 3.A 4.D 5.C 6.B 7.D 8.D 9.ABD 10.ABD 11.ACD 1.B　因为a=(1,2),b=(4,3),所以a-b=(-3,-1),所以(a-b)·b=-3×4+(-1)×3=-15. 2.B　∵AD为BC边上的中线,∴=(+), 又∵点E为AD的中点,∴=+=+=(+)+(-)=-. 3.A　因为α为第二象限角且cos α=-,所以sin α==, 所以tan α==-,所以tan 2α===-. 4.D　由题意得a·b=1×1×cos =, 故(a+2b)·(a-b)=a2+a·b-2b2=-, |a+2b|===, |a-b|===1, 所以cos<a+2b,a-b>===-. 5.C　因为f(-x)=log2|-x|+cos(-x)=log2|x|+cos x=f(x),且f(x)的定义域为{x|x≠0},关于原点对称,所以f(x)为偶函数,其图象关于y轴对称,排除B,D.当x趋近于0时,y=log2|x|趋近于负无穷,y=cos x趋近于1,所以f(x)趋近于负无穷,排除A. 6.B　由4sin2α+2sin2β=1,得4×+2×=1,即2cos 2α+cos 2β=2①.由题知2sin 2α-sin 2β=0②, ①,②左右两边分别平方并相加,得4cos22α+4cos 2αcos 2β+cos22β+4sin22α-4sin 2αsin 2β+sin22β=4, 所以4cos 2αcos 2β-4sin 2αsin 2β=-1,即4cos(2α+2β)=-1,所以cos(2α+2β)=-. 7.D　由+2=m得+=, 易知m<0,设=,则+=, ∴A,B,D三点共线,且,反向共线,如图所示, ∵与反向共线,∴=, ∴===,解得m=-4. 8.D　设与方向相同的单位向量为i, ∵+=,∴i·(+)=i·, ∴i·+i·=i·, ∴ccos(π-θ)+acos(θ-B)=bcos[π-(A+θ)], ∴-ccos θ+acos(B-θ)=-bcos(A+θ), 即acos(B-θ)+bcos(A+θ)=ccos θ. 9.ABD　cos<a,c>===,故A正确. a在c上的投影向量为·=·=c,故B正确. 若a与b的夹角为钝角,则解得m>-2且m≠2,故C错误. 若a与b的夹角为锐角,则解得m<-2,故D正确. 10.ABD　由题意可知,f(x)的最小正周期T=4×=π,故A正确; 由T==π,ω>0得ω=2,则f(x)=sin(2x+φ),由n∈Z,解得φ=+nπ,n∈Z, 又φ∈,所以φ=,则f(x)=sin,令-+2kπ≤2x+≤+2kπ,k∈Z,解得-+kπ≤x≤+kπ,k∈Z,即函数f(x)的单调递增区间为,k∈Z,当k=0时,单调递增区间为,而⊆,故B正确;由题意可得g(x)=sin,则g=sin=,故C错误;将函数f(x)的图象向左平移m(m>0)个单位后可得y=sin=sin的图象,因为平移后所得的函数图象关于y轴对称,所以2m+=+k'π,k'∈Z,解得m=+π,k'∈Z,又m>0,故mmin=,故D正确. 11.ACD　∵x∈[0,π],ω>0,∴≤ωx+≤πω+. 令t=ωx+,则≤t≤πω+. 作出y=sin t,t∈R的部分图象如图所示. 由题意及图可知,f(x)在[0,π]上有且仅有3个最大值点,故A正确.∵f(x)在[0,π]上有且仅有5个最值点,∴≤πω+<,∴≤ω<,故C正确. 当≤πω+≤5π,即≤ω≤时,f(x)在(0,π)上有且仅有4个零点;当5π<πω+<,即<ω<时,f(x)在(0,π)上有且仅有5个零点,故B错误. ∵x∈,ω>0,∴0<ωx<ω,∴<ωx+<ω+, 由C选项可知,≤ω<,∴≤ω+<,∵<,∴f(x)在上单调递增,故D正确. 12.答案　 解析　设扇形的半径为r cm,则扇形的面积S=×3πr=6π,解得r=4,所以θ==. 13.答案　 解析　===-, 整理,得2tan 2α-9tan α-=0,即tan 2α=tan α+, 所以sin=sin 2αcos +cos 2αsin =sin 2α+cos 2α=sin αcos α+cos 2α-sin 2α=======. 14.答案　5;-1 解析　以C为坐标原点,CA,CB所在直线分别为x轴,y轴建立平面直角坐标系,如图, 设A(a,0)(a>0),B(0,b)(b>0),P(x,y),则=(a-x,-y),=(-x,b-y),=(-x,-y). 由++λ=0,得解得 当λ=1时,P,则=,=,=, 所以||=,||=,||=,所以==5. ==2+ =2+=2+(2+λ)2-2(2+λ)=λ2+2λ+2=(λ+1)2+1≥1,当且仅当λ=-1时取等号.故当取得最小值时,λ=-1. 15.解析　(1)f(θ)===cos θ.(3分) 因为f(θ)=cos θ=,所以cos 2θ=2cos2θ-1=-.(6分) (2)由题意可得f=cos=.(8分) 因为<θ<,所以0<θ-<,所以sin=.(10分) 所以sin θ=sin=sincos +cossin =×+×=. (13分) 16.解析　(1)由题意得a·b=6×2cos θ=12cos θ,所以(a+b)·(a-5b)=|a|2-4a·b-5|b|2=36-48cos θ-20=16-48cos θ.(4分) 因为θ为钝角,所以cos θ<0,所以(a+b)·(a-5b)=16-48cos θ>0, 所以a+b与a-5b不可能垂直.(6分) (2)当θ=时, a·b=6×2×cos =6,所以|a-4kb|2=|a|2-8ka·b+16k2|b|2=36-48k+64k2=64+27,(8分) 所以当k=时,|a-4kb=27,所以|a-4kb|min=3, 此时a-4kb=a-b.(10分) 因为a·=|a|2-a·b=36-9=27, 所以cos<a,a-b>===,(13分) 又<a,a-b>∈[0,π],所以a与a-b的夹角为.(15分) 17.解析　(1)过点O作OT⊥MN,交MN于点T(图略),则T为MN的中点,T,O,S三点共线, ∴MT=MN=5 km,(3分) ∴OM=ON= km,OT=5tan x km,OS=5-OT=(5-5tan x)km,(5分) ∴L=OM+ON+OS=+5-5tan x.(7分) (2)由(1)知,L=+5-5tan x=+5. 令t=,0≤x≤,则tcos x+sin x=2,(9分) ∴sin(x+φ)=2,其中tan φ=t,|φ|<, 由sin(x+φ)=≤1,得t≥或t≤-(舍去).(13分) 易知当t取最小值时,L最小,∴当t=时,φ=,x=∈,L取得最小值,即宣讲站O的位置满足x=,MO=NO=10 km,OS=(5-5)km时,可使得宣讲站到三个乡镇的距离之和最小.(15分) 18.解析　(1)由题图可知,A=1,因为f(0)=sin φ=-,且|φ|≤,所以φ=-,所以f(x)=sin,(2分) 又f=1,所以ω×-=+2kπ,k∈Z, 所以ω=2+6k,k∈Z,由0<ω≤6得ω=2,(4分) 所以f(x)=sin.(5分) (2)因为f(α)=sin=,所以cos=1-2sin2=1-2×=-, 又α∈,所以4α-∈,所以sin=-=-,(7分) 所以f(2α)=sin=sin=sincos+cossin=×+×=-.(10分) (3)令t=2x-,则当x∈时,t∈.(11分) 易知函数y=sin t在上单调递减,在上单调递增, 且sin=,sin=-1,sin=-, 因为方程f(x)=a在上有两个不同的实根x1,x2, 所以y=sin t,t∈的图象与直线y=a有两个交点,两个交点的横坐标分别记为t1,t2,且t1<t2,(13分) 在同一平面直角坐标系内作出y=sin t,t∈的图象及直线y=a,如图. 由图知-1<a≤-,由正弦函数的对称性可知=,所以t1+t2=2x1-+2x2-=3π,所以x1+x2=,(15分) 又≤t1<,所以≤x1<, 所以2x1+x2=x1+x1+x2=x1+∈.(17分) 19.解析　(1)g(x)=sin-sin=sin xcos+cos xsin+cos x=-sin x+cos x, ∴g(x)的相伴特征向量=.(2分) (2)向量=(1,)的相伴函数为f(x)=sin x+cos x, 令f(x)=,即2sin=, ∴sin=. ∵x∈,∴x+∈, ∴cos=, ∴sin x=sin=sin-cos=.(5分) (3)假设存在满足条件的点P. ∵h(x)=msin=msin x-mcos x,=(-,1)为h(x)的相伴特征向量,∴m=-2, ∴φ(x)=h=-2sin=-2sin=2cos.(7分) 设P, ∵A(-2,3),B(2,6), ∴=,=, ∵⊥,∴·=0, ∴(x+2)(x-2)+=0, 即x2-4+4cos2-18cos+18=0,(9分) ∴=-x2, ∵-2≤2cos≤2, ∴-≤2cos-≤-, ∴≤≤. 又∵-x2≤,当且仅当x=0时,等号成立, ∴x=0. ∴在y=φ(x)的图象上存在点P(0,2),使得⊥.(17分) 学科网（北京）股份有限公司 $