第8章 向量的数量积与三角恒等变换 本章复习提升（同步练习）-【学而思·PPT课件分层练习】2025-2026学年高一数学必修第三册（人教B版）

本章复习提升 易混易错练 易错点1　对向量的夹角理解有误致错 1.(2025湖南长沙期末)在△ABC中,已知命题p:△ABC为钝角三角形,命题q:·>0,则p是q的(　　) A.充分不必要条件 B.必要不充分条件 C.充分必要条件 D.既不充分也不必要条件 2.在△ABC中,||=6,||=5,∠A=30°,则·=　　　　.  易错点2　混淆实数运算与向量的数量积运算致错 3.(多选题)(2025辽宁沈阳段考)下列关于向量的说法正确的是(　　) A.任意向量a,b,c都满足(a+b)·c=a·c+b·c B.若a·c=b·c且c≠0,则a=b C.若非零向量a,b满足a·b=|a|·|b|,则a∥b D.若a≠0且b≠0,则向量+与-垂直 易错点3　忽略向量平行的隐含条件致错 4.(2024山东菏泽东明第一中学月考)若平面向量a,b,c两两间的夹角相等,且|a|=|b|=1,|c|=3,则|a+b+c|=(　　) A.2　　　　B.5　　　　C.2或5　　　　D.或5 5.(2024山东临沂莒南第一中学月考)已知|a|=,|b|=2,a与b的夹角为30°,若向量a+b与λa-b的夹角为钝角,则λ的取值范围是　　　　.  易错点4　忽略角的范围致错 6.(2025北京昌平期中)已知-<α<β<,sin α=-,sin β=,则α-β=　　　　.  7.(2024北京第四中学期中)已知θ为第二象限角,且sin=,则tan θ=　　　　.  8.(2025重庆巴蜀中学月考)已知α∈,β∈,cos 2β=-,cos(α-β)=-,则α的值为　　　　.  9.(2024四川内江第六中学月考)已知sin(2α-β)=,sin β=-,且<α<π,-<β<0. (1)求cos 2α的值; (2)求角α-β的大小. 易错点5　忽略角的特殊关系致错 10.(2024安徽六安期末)已知cos=2cos,则sin=(　　) A.　　　　B.　　　　C.-　　　　D.- 11.(2024北京海淀期末)若sin=,则cos=(　　) A.-　　　　B.　　　　C.-　　　　D. 12.(2023江苏苏州第十中学期初)已知θ为锐角,cos(θ+15°)=,则cos(2θ-15°)=　　　　.  思想方法练 一、函数与方程思想在向量运算中的应用 1.已知菱形ABCD的边长为2,∠BAD=120°,点E,F分别在边BC,DC上,且=λ,=μ,若·=1,·=-,则λ+μ=(　　) A.　　　　B.　　　　C.　　　　D. 2.(多选题)(2025河南信阳阶段练习)在等腰△ABC中,A=120°,BC=3,记=a,=b,若D,E分别是线段AB,BC的中点,且点P在线段DE上,=λa+μb(λ,μ∈R),则下列说法正确的是(　　) A.若P是线段DE的中点,则λ+μ= B.λ+μ的最大值为 C.·的最小值为0 D.·的最大值为 3.(2024吉林省实验中学期中)已知平面向量a,b不共线,且|a|=1,a·b=1,记b与2a+b的夹角是θ,则θ最大时,|a-b|=　　　　.  二、数形结合思想在向量运算中的应用 4.(2024福建厦门双十中学月考)已知O是△ABC所在平面内一点,且||=2,·=-1,·=1,则∠ABC的最大值为(　　) A.　　　　B.　　　　C.　　　　D. 5.(2025福建泉州期中)已知△ABC的外接圆圆心为O,且+=2,||=||,则向量在向量上的投影向量为(　　) A.　　　　B.　　　　C.-　　　　D.- 6.(2025辽宁沈阳郊联体期中)已知平面向量a,b,c满足|a|=|a-b|=2,|a-c|=1,则b·c的最大值为　　　　.  三、分类讨论思想在三角恒等变换中的应用 7.(多选题)已知α为第一象限角,β为第三象限角,且sin=,cos=-,则cos(α+β)可以为(　　) A.-　　　　B.-　　　　C.　　　　D. 8.(2025山东泰安模拟)已知函数f(x)=cos(x+θ)为奇函数,且f =0,其中a∈R,θ∈(0,π). (1)求a,θ的值; (2)若α∈, f +cos·cos 2α=0,求cos α-sin α的值. 四、转化与化归思想在三角恒等变换中的应用 9.(2024江苏扬州邗江一中月考)已知α为锐角,则“α=54°”是“sin 36°(1+sin α)=2cos218°cos α”的(　　) A.充分不必要条件　B.必要不充分条件 C.充要条件　　　　D.既不充分也不必要条件 10.(2024重庆期末)已知α,β满足-<α<0,-<β<,sin=-,cos=,则sin(α+β)=　　　　.  答案与分层梯度式解析 本章复习提升 1.B 3.ACD 4.C 10.B 11.A 1.B　若·>0,则-||·||·cos B>0,即cos B<0,又B∈(0,π),所以B为钝角,故必要性成立; 由△ABC为钝角三角形不一定得出B为钝角,故充分性不成立. 故p是q的必要不充分条件. 易错警示 　　在求向量夹角时,一定要先看两向量是否共起点,若不共起点,则需先将向量平移到同一起点再计算. 2.答案　-15 解析　因为||=6,||=5,∠A=30°, 所以·=||·||·cos 150°=6×5×=-15. 3.ACD　对于A,由向量的数量积对加法满足分配律可知(a+b)·c=a·c+b·c成立,故A正确; 对于B,由a·c=b·c可得|a|·|c|cos<a,c>=|b|·|c|cos<b,c>, 因为c≠0,所以|a|cos<a,c>=|b|cos<b,c>,所以a=b不一定成立, 如|a|=,<a,c>=,|b|=1,<b,c>=,此时a≠b,故B错误; 对于C,因为非零向量a,b满足a·b=|a|·|b|,所以cos<a,b>=1,即<a,b>=0,所以a∥b,故C正确; 对于D,因为·=-=-=1-1=0, 所以向量+与向量-垂直,故D正确. 易错警示 　　向量的数量积运算不满足消去律和乘法的结合律,但满足分配律,注意与实数的运算法则的区别. 4.C　由向量a,b,c两两间的夹角相等,得<a,b>=<b,c>=<a,c>=0或<a,b>=<b,c>=<a,c>=, 当<a,b>=<b,c>=<a,c>=0时,|a+b+c|=5;当<a,b>=<b,c>=<a,c>=时,|a+b+c|== =2. 5.答案　(-∞,-1)∪ 解析　由|a|=,|b|=2,a与b的夹角为30°,可得a·b=|a|·|b|·cos 30°=×2×=3. ∵向量a+b与λa-b的夹角为钝角,∴(λa-b)·(a+b)=λa2+(λ-1)a·b-b2=3λ+3(λ-1)-4=6λ-7<0,∴λ<, 又λ=-1时,λa-b与a+b反向共线,此时它们的夹角为平角,而不是钝角,∴λ<,且λ≠-1,即λ的取值范围是(-∞,-1)∪. 易错警示 　　向量a与b的夹角为锐角,则a·b>0,但a·b>0时,a与b的夹角为锐角或零角.同理,向量a与b的夹角为钝角,则a·b<0,但a·b<0时,a与b的夹角为钝角或平角.已知两向量夹角为锐角(或钝角)求参数时,容易忽略向量共线的情况,所以求解时要排除向量共线的情况. 6.答案　- 解析　∵-<α<β<,sin α=-,sin β=, ∴cos α=,cos β=, ∴cos(α-β)=cos αcos β+sin αsin β=×+×=, 又α-β∈(-π,0),∴α-β=-易错点. 7.答案　- 解析　∵θ为第二象限角,∴2kπ+<θ<2kπ+π(k∈Z),∴kπ+<+<kπ+(k∈Z), 又sin=>0, ∴2kπ+<+<2kπ+(k∈Z)易错点, ∴cos=-, ∴2sincos=sin=cos θ=-, ∴sin θ=,∴tan θ==-. 8.答案　 解析　∵cos 2β=2cos2β-1=-,∴cos2β=, 又β∈,∴cos β=-,∴sin β==,∵α∈,-β∈,∴α-β∈, 又cos(α-β)=-<0,∴α-β∈易错点,∴sin(α-β)=, ∴sin α=sin[(α-β)+β]=sin(α-β)cos β+cos(α-β)·sin β=×+×=-, 结合α∈可知α=. 易错警示 　　除了根据题目中角的范围判断三角函数值的符号,有时还需要根据已知的三角函数值的符号深挖角的范围. 9.解析　(1)因为<α<π,所以π<2α<2π. 又-<β<0,所以0<-β<,所以π<2α-β<. 而sin(2α-β)=>0,所以2π<2α-β<, (除了已知条件中明确给出的α,β的范围外,根据sin(2α-β)的符号能进一步精准确定2α-β的取值范围) 所以cos(2α-β)==. 由-<β<0且sin β=-,得cos β=, 所以cos 2α=cos[(2α-β)+β]=cos(2α-β)cos β-sin(2α-β)sin β=×-×=. (2)因为cos 2α=2cos2α-1=,且<α<π, 所以cos α=-,故sin α=, 则sin(α-β)=sin[(2α-β)-α]=sin(2α-β)cos α-cos(2α-β)sin α=×-×=-. 又<α<π,0<-β<, 所以<α-β<, 所以α-β=. 10.B　因为+=,所以cos=sin,则sin=2cos, 即tan=2, 所以sin=2sincos ===. 11.A ∵sin=cos=cos=,∴cos= 2cos2 -1=2×-1=-. 12.答案　 解析　∵θ为锐角,cos(θ+15°)=, ∴sin(θ+15°)=. ∴sin(2θ+30°)=2sin(θ+15°)cos(θ+15°)=, cos(2θ+30°)=2cos2(θ+15°)-1=2×-1=-. ∴cos(2θ-15°)=cos(2θ+30°-45°)=cos(2θ+30°)·cos 45°+sin(2θ+30°)sin 45°=×=. 易错警示 　　不能将“2θ-15°”转化为特殊角及已知角的和、差,导致无法求解或错解. 1.D 2.ACD 4.B 5.A 7.CD 9.C 1.D　构建关于λ,μ的方程组,进而解决问题. 由题意得·=(+)·(+)=·+·+·+·=2×2×cos 120°+·μ+λ·+λ·μ=-2+4μ+4λ-2λμ=1,即4λ+4μ-2λμ=3①, ·=-·(-)=·=(1-λ)·(1-μ)=(1-λ)·(1-μ)=(1-λ)(1-μ)×2×2×cos 120°=-2(1-λ-μ+λμ)=-,即-λ-μ+λμ=-②. 联立①②,解得λ+μ=. 2.ACD　因为在等腰△ABC中,A=120°,BC=3,E为BC的中点,所以AB=AC==,令=t(0≤t≤1), 以E为原点,EC,EA所在直线分别为x轴、y轴,建立如图所示的平面直角坐标系, 则E(0,0),C,B,A,D,设P(x,y),则=, 又=t=,所以P. 对于A,=a=,=b=, 若P是线段DE的中点,则t=,所以P,则=, 又=λa+μb,即 (根据平面向量基本定理中的唯一性建立方程组) 所以λ=,μ=,所以λ+μ=,故A正确; 对于B,易得=, 又=λa+μb,即 所以λ=,μ=,所以λ+μ=+, 又0≤t≤1,所以≤λ+μ≤1,即λ+μ的最大值为1,故B错误; 对于C,D,易得=,=, 所以·=+·=t2-t+=-, 通过坐标运算,将·表示成关于t的二次函数,利用函数的性质求得最值. 又0≤t≤1,所以0≤·≤,故C,D正确. 3.答案　 解析　设|b|=x,则b·(2a+b)=2a·b+b2=2+x2, (2a+b)2=4a2+4a·b+b2=4+4+x2=8+x2, 所以|2a+b|=, 所以cos θ==. 将cos θ转化为关于x的函数,利用函数知识求θ取得最大值时x的值,进而解决问题.  所以cos2θ====, 易知当x2=4,即x=2时,cos2θ取得最小值,此时θ取得最大值,且(a-b)2=a2-2a·b+b2=1-2+4=3,所以|a-b|=. 思想方法 　　在研究向量数量积的相关问题时,将条件化为等式或函数式,通过方程或函数的知识求解是一种常用的方法. 4.B　根据·=-1,·=1可得·-·=(-)·==2,所以||=,则C点在以A为圆心,为半径的圆上. 根据题意作出图形,结合图形解决问题. 如图所示: 由图可知,当BC与圆相切时,∠ABC取得最大值, 又||=2,||=,故此时∠ABC=,即∠ABC的最大值为. 5.A　因为2=+,所以O为BC的中点, 又O为△ABC的外接圆圆心,所以BC为外接圆的一条直径,如图, 根据题意作出图形,结合图形进行分析. 又||=||,所以△ABO为等边三角形, 则∠ABC=60°,故||=||cos 60°, 所以向量在向量上的投影向量为·=·=·=. 6.答案　12 解析　根据向量的几何表示和向量的减法作出图形,再根据几何图形的特征求解,可以化难为易. 如图,设=a,=b,=c,则=a-b,=a-c,由|a|=|a-b|=2,|a-c|=1,得点B在以A为圆心,2为半径的圆上,点C在以A为圆心,1为半径的圆上, b·c=||||cos<,>,由图可知,当A,B,C三点共线(B,C的位置分别如图中的B',C')时,||取最大值4,||取最大值3,cos<,>取最大值1,所以b·c的最大值为12. 思想方法 　　平面向量兼具数与形的双重特性,是代数和几何的桥梁,在解题时通过作出图形来阐述数值间的联系能使问题变得形象、直观. 7.CD　因为α为第一象限角,所以α∈,k∈Z,所以α+∈,k∈Z. 又sin=<,所以α+是第二象限角, 所以cos=-. 因为β为第三象限角,所以β∈,k∈Z,所以β-∈,k∈Z. 又cos=-<-,所以β-是第二象限角或第三象限角. 对β-的两种情况分别求sin的值,进而求cos(α+β). 当β-是第二象限角时,sin=,此时cos(α+β)=cos=cos·cos-sinsin=-×-×=. 当β-是第三象限角时,sin=-,此时cos(α+β)=cos=cos·cos-sinsin=-×-×=. 8.解析　(1)因为f(x)=cos(x+θ)是奇函数, 所以f(x)=-f(-x),即cos(x+θ)=-cos(-x+θ),整理得cos xcos θ=0, 所以cos θ=0.又θ∈(0,π), 所以θ=, 所以f(x)=-sin x. 由f=0,得-(a+1)=0,即a=-1. (2)由(1)易知f(x)=-sin 2x. f +coscos 2α=0, 即sin=coscos 2α. 因为cos 2α=sin=sin= 2sincos, 所以sin=cos2·sin. 因为α∈,所以α+∈, 所以sin=0或cos2=. 结合α+的取值范围对sin分等于0和不等 于0讨论. 由sinα+=0,得α=, 所以cos α-sin α=cos -sin =-. 由cos2=,<α+<, 得cosα+=-, 即(cos α-sin α)=-, 所以cos α-sin α=-. 综上,cos α-sin α=-或-. 思想方法 　　在三角恒等变换中,与角的终边所在的象限、三角函数值符号的选取、参数的取值范围等有关的问题,求解时常需对其进行分类讨论. 9.C　sin 36°(1+sin α)=2sin 18°cos 18°(1+sin α)=2cos218°cos α, 利用三角恒等变换公式,将异角化为同角. 故sin 18°=cos 18°cos α-sin 18°sin α, 即cos 72°=cos(18°+α). 因为0°<α<90°,所以18°<18°+α<108°, 所以72°=18°+α,解得α=54°. 故“α=54°”是“sin 36°(1+sin α)=2cos218°cos α”的充要条件. 10.答案　- 解析　因为-<α<0,-<β<, 所以-<α-<-,0<β+<π, 又因为sin=-,cos=, 所以cos=,sin=, 结合诱导公式,将所求角转化为两个已知角的和. 所以sin(α+β)=-cos =-cos+ =sinsin-coscos =-×-×=-. 思想方法 　　转化与化归思想在三角恒等变换中的应用:①化多角的形式为单角的形式;②化多种函数名称为一种函数名称;③化未知角为已知角;④化高次为低次;⑤化非特殊角为特殊角. 31 学科网（北京）股份有限公司 $