8.1.3 向量数量积的坐标运算（同步练习）-【学而思·PPT课件分层练习】2025-2026学年高一数学必修第三册（人教B版）

8.1.3　向量数量积的坐标运算 基础过关练 题组一　向量数量积的坐标运算 1.(2024辽宁名校联盟模拟)已知向量a=(2,1),b=(-1,3),则(a+3b)·(a-b)=(　　) A.-24　　　　B.-23　　　　C.-22　　　　D.-21 2.已知=(2,2),=(4,1),=(x,0),则当·的值最小时,x的值是(　　) A.-3　　　　B.3　　　　C.-1　　　　D.1 3.(2024山东烟台招远二中月考)已知向量a=(-2,4),b=(1,t),若a与b共线,则向量a+b在向量j=(0,-1)上的投影向量为(　　) A.j　　　　B.-j　　　　C.2j　　　　D.-2j 4.(2023重庆育才中学期中)在边长为6的正方形ABCD中,点E为DC的中点,点F在边BC上,且=,则·=　　　　.  题组二　向量的模和夹角 5.(2025辽宁鞍山期末)已知a=,|b|=3,|a+b|=,则向量a,b的夹角为(　　) A.　　　　B.　　　　C.　　　　D. 6.(多选题)(2025山东多市期末联考)已知点A(1,-2),B(2,0),C(3,-3),D(-1,-6),则(　　) A.∥　　　　B.||=|| C.cos<,>=0　　　　D.⊥ 7.(2025辽宁辽阳段考)已知向量a=(1,0),且m·a=2,n·a=-3,则|m-n|的最小值是(　　) A.3　　　　B.4　　　　C.5　　　　D.6 8.(2023山东菏泽期中)已知向量a=(2,0),b=(6,8),c=ta+b,<a,c>=<b,c>,则t=(　　) A.3　　　　B.4　　　　C.5　　　　D.6 9.(2024山东青岛第二中学阶段练习)已知向量a=(x,y),若向量(12m,5m)(m>0)与a是相反向量,且向量a在向量(3,0)上的投影向量为(-12,0),则x-y的值为(　　) A.7　　　　B.-17　　　　C.17　　　　D.-7 10.(2025辽宁名校联盟联考)已知向量a=(0,2),b=(1,m),且a与b的夹角为. (1)求|a-4b|; (2)若a-λb与a+b的夹角为锐角,求实数λ的取值范围. 题组三　向量垂直 11.(2024辽宁沈阳联合体期末)已知向量a=(1,2),b=(2,-3),若向量c满足(c+a)∥b,c⊥(a+b),则c=(　　) A.　　　　B. C.　　　　D. 12.(2024河北部分重点高中期末)在△ABC中,AD为BC边上的高,且向量=(3,5),=(1,7),则向量=(　　) A.　　　　B.　　　　C.(4,3)　　　　D.(4,4) 13.(2025山东泰安模拟)在四边形ABCD中,=(1,2),=(-4,2),则该四边形的面积是(　　) A.　　　　B.2　　　　C.5　　　　D.10 能力提升练 题组一　向量数量积的坐标运算 1.(多选题)(创新题·新定义)　定义平面向量之间的一种运算“☉”如下:对任意的a=(m,n),b=(p,q),令a☉b=mq-np,则下列说法正确的是(　　) A.若a与b共线,则a☉b=0 B.a☉b=b☉a C.对任意的λ∈R,有(λa)☉b=λ(a☉b) D.(a☉b)2+(a·b)2=|a|2|b|2 2.(2025辽宁沈阳第二十中学月考)如图,在△ABC中,∠A=90°,∠B=60°,AB=2,D为线段AC的中点,DM⊥BC,E为线段DM的中点,F为线段AB上的动点,则·的最大值与最小值的差为(　　) A.2　　　　B.　　　　C.3　　　　D.4 3.(多选题)(2025山东济南历城质检)在梯形ABCD中,AB∥CD,∠BAD=30°,AD=6,AB=3CD=6,若P为△ABC三条边上的一个动点,则·的取值可能是(　　) A.-18　　　　B.18 C.24　　　　D.56 4.(2025辽宁名校联盟联考)设平面内两个非零向量m,n的夹角为θ,定义一种运算“⊗”:m⊗n=|m||n|sin θ.试求解下列问题: (1)已知向量a,b满足a=(,),|b|=4,a·b=8,求a⊗b的值; (2)在平面直角坐标系中,已知点A(-1,-2),B(-4,-1),C(-3,1),求⊗的值; (3)已知向量a=,b=,α∈,求a⊗b的最小值. 题组二　向量的模和夹角 5.(2025辽宁本溪高级中学月考)已知向量a=,b=(-1,x),若|2a-b|2=4a2+b2+2,则实数x的值为(　　) A.0　　　　B.1　　　　C.-1　　　　D. 6.(2023安徽淮北师大附中月考)已知向量m=(1,1),n=(1,a),其中a为实数,当m与n的夹角在范围内变动时,实数a的取值范围是　(　　) A.(0,1)　　　　B. C.∪(1,)　　　　D.(1,) 7.(2025福建漳州第一中学月考)已知向量a=(2,1),b=(λ,3),若向量b在向量a上的投影向量c=(10,5),则|b-2a|=(　　) A.7　　　　B.3　　　　C.4　　　　D.5 8.(2024北京朝阳期中)已知菱形ABCD中,AC=2,BD=2,E为边CD上一点,且CE=2ED,则∠AEB的余弦值为　　　　.  答案与分层梯度式解析 8.1.3　向量数量积的坐标运算 基础过关练 1.B 2.B 3.D 5.C 6.ABD 7.C 8.C 9.D 11.D 12.D 13.C 1.B　因为a=(2,1),b=(-1,3),所以a+3b=(2,1)+(-3,9)=(-1,10),a-b=(3,-2), 所以(a+3b)·(a-b)=(-1,10)·(3,-2)=-23. 2.B　由已知可得=-=(x-2,-2),=-=(x-4,-1),所以·=(x-2)(x-4)+2=x2-6x+10=(x-3)2+1,故当x=3时,·的值最小. 3.D　因为a=(-2,4)与b=(1,t)共线,所以-2t-4=0,所以t=-2,则a+b=(-1,2),所以向量a+b在向量j=(0,-1)上的投影向量为·=·j=-2j. 4.答案　30 解析　由=知,F为线段BC上靠近点B的三等分点.以点A为坐标原点,AB所在直线为x轴,AD所在直线为y轴建立平面直角坐标系,则A(0,0),E(3,6),F(6,2),所以=(3,6),=(6,2),所以·=3×6+6×2=30. 5.C　由题意可得|a|==1, 设向量a,b的夹角为θ,θ∈[0,π], 则|a+b|==,即1+6cos θ+9=7,解得cos θ=-,所以向量a,b的夹角为. 6.ABD　对于A,=(1,2),=(-2,-4), ∵1×(-4)-2×(-2)=0,∴∥,故A正确; 对于B,=(1,2),=(2,-1),∴||==,||==,∴||=||,故B正确; 对于C,=(1,2),=(-3,-6),∴cos<,>===-1,故C错误; 对于D,=(2,-1),=(-2,-4),∵2×(-2)+(-1)×(-4)=0,∴⊥,故D正确. 7.C　设m=(x1,y1),n=(x2,y2), 由m·a=2⇒x1=2;由n·a=-3⇒x2=-3. 所以m-n=(5,y1-y2), 所以|m-n|=≥5(当且仅当y1=y2时取“=”). 8.C　∵c=ta+b=(2t+6,8),∴a·c=4t+12,b·c=12t+100,由<a,c>=<b,c>得=,∴=,解得t=5. 9.D　因为向量(12m,5m)(m>0)与a是相反向量,所以x·5m-y·12m=0且x,y<0,故5x=12y. 由向量a在向量(3,0)上的投影向量为(-12,0), 可得·=·=(x,0)=(-12,0),即x=-12,故y=-5, 则x-y=-12-(-5)=-7. 10.解析　(1)由a=(0,2),b=(1,m),可得|a|=2,|b|=,且a·b=2m, 因为a与b的夹角为,所以cos<a,b>===,解得m=1,所以b=(1,1), 则a-4b=(0,2)-4(1,1)=(-4,-2), 所以|a-4b|==2. (2)由a=(0,2),b=(1,1),可得a-λb=(0,2)-λ(1,1)=(-λ,2-λ),a+b=(0,2)+(1,1)=(1,3), 由(a-λb)·(a+b)=3(2-λ)-λ=6-4λ>0,解得λ<, 当向量a-λb与a+b共线时,1·(2-λ)=-λ·3,解得λ=-1, 所以实数λ的取值范围为(-∞,-1)∪. 11.D　设c=(m,n),则c+a=(1+m,2+n). 由(c+a)∥b,得-3×(1+m)=2×(2+n),即3m+2n=-7① . 由c⊥(a+b),a+b=(3,-1),得3m-n=0②. 联立①②,得m=-,n=-.∴c=. 12.D　由题知AD⊥BC. 因为=(3,5),=(1,7), 所以=-=(-2,2), 设=λ,λ∈R,则·=(+λ)·=·+λ=-6+10+8λ=0,解得λ=-, 则=-=(4,4). 13.C　因为=(1,2),=(-4,2),所以||=,||=2,·=1×(-4)+2×2=0,即⊥,所以S四边形ABCD=||×||=××2=5. 能力提升练 1.ACD 2.D 3.BC 5.D 6.C 7.D 1.ACD　对于A,若a与b共线,则a☉b=mq-np=0,故A正确;对于B,b☉a=pn-qm,而a☉b=mq-np,若a☉b=b☉a,则pn-qm=mq-np,即pn=mq,此等式不一定成立,故B错误;对于C,(λa)☉b=λmq-λnp, λ(a☉b)=λ(mq-np)=λmq-λnp,故C正确; 对于D,(a☉b)2+(a·b)2=(mq-np)2+(mp+nq)2=(m2+n2)(p2+q2)=|a|2|b|2,故D正确. 2.D　以A为坐标原点,,的方向分别为x轴、y轴的正方向建立平面直角坐标系, 在△ABC中,∠A=90°,∠B=60°,AB=2, 所以AC=2,则B(2,0),C(0,2),D(0,), 所以=(2,-2), 设F(m,0)(0≤m≤2),=t,则(xM,yM-2)=(2t,-2t), 所以M(2t,2-2t),故=(2t,-2t), 因为DM⊥BC,所以·=4t-6+12t=0,解得t=, 所以M,故E, 则=, 则·=2+=2m+6,因为0≤m≤2,所以6≤2m+6≤10, 故·的最大值与最小值的差为10-6=4. 3.BC　·=||||cos <,>=6||cos <,>, 而||cos <,>表示在上的投影的数量, 如图,显然当点P位于点A时,||cos <,>最小,此时||=0,则·=0. 过点D作DO⊥AB,垂足为O, 因为∠BAD=30°,所以DO=AD=3,则AO=3, 以O为原点,OB,OD所在直线分别为x轴、y轴建立平面直角坐标系, 则A(-3,0),D(0,3),C(2,3),B(3,0), 则=(3,3),=(-,3),=(5,3), 则·=3×(-)+3×3=0,即AD⊥BC, 所以当点P位于点C或点B时,||cos <,>取得最大值, 则·=3×5+3×3=54,此时·=54. 综上所述,·的取值范围为[0,54]. 4.解析　(1)由已知可得,|a|==. 又|b|=4,a·b=8, 所以cos<a,b>===. 因为<a,b>∈[0,π],所以sin<a,b>===, 所以a⊗b=|a||b|sin<a,b>=×4×=4. (2)由已知可得,=(-3,1),=(1,2), 所以||=,||=,·=-3×1+1×2=-1, 则cos<,>===-. 又<,>∈[0,π], 所以sin<,>===, 所以⊗=||||sin<,>=××=7. (3)由已知可得a·b=-×+×=0, 所以a⊥b,则<a,b>=,则sin<a,b>=sin =1. 又|a|=|b|=, 所以a⊗b=|a||b|sin<a,b>=+=+=+=++10=tan2α++10. 因为α∈,所以tan α>0, 所以tan2α++10≥2+10=16, 当且仅当tan2α=,即tan α=时等号成立, 所以a⊗b的最小值为16. 5.D　由|2a-b|2=(2a-b)2=4|a|2-4a·b+|b|2=4a2+b2+2,得a·b=-. 由a=,b=(-1,x),得a·b=x×(-1)+x=-x,所以-x=-,解得x=. 6.C　设向量m,n的起点均为O(O为坐标原点),终点分别为A,B,则=(1,1),即A(1,1).如图所示,当点B位于B1或B2时,m与n的夹角为,即∠AOB1=∠AOB2=,此时∠B1Ox=-=,∠B2Ox=+=,故B1,B2(1,), 又m与n的夹角不为零,故a≠1,所以实数a的取值范围是∪(1,). 7.D　由题意可得b在a上的投影向量为·=(2,1)=(10,5),所以=5,解得λ=11,则b=(11,3),所以b-2a=(7,1),故|b-2a|==5. 8.答案　 解析　设AC与BD交于点O,以O为坐标原点,AC,BD所在直线分别为x轴、y轴建立如图所示的平面直角坐标系,则A(,0),B(0,1),E, 所以=,=, 所以cos∠AEB====. 31 学科网（北京）股份有限公司 $