8.2.4 三角恒等变换的应用（课件）-【学而思·PPT课件分层练习】2025-2026学年高一数学必修第三册（人教B版）

该高中数学课件聚焦三角恒等变换的应用，涵盖半角公式、积化和差、和差化积等核心公式，通过知识辨析引入，以“公式清单—辨析理解—课题应用—典例解析”为脉络，搭建从公式记忆到综合应用的学习支架，帮助学生逐步掌握三角恒等变换的方法。 其亮点在于注重数学思维与数学语言的培养，通过半角公式应用中“看角、明范围、选公式”的步骤训练逻辑推理，结合典例中θ/2象限判断（如180°<θ<270°时确定θ/2为第二象限角）强化严谨表达。采用“讲解分析+典例示范”的学科特色教学方法，助力学生提升三角变换的应用能力，也为教师提供结构化的教学资源，提高教学效率。

8.2.4　三角恒等变换的应用 知识 清单破 知识点 三角变换公式 第八章 向量的数量积与三角恒等变换 高中同步 名称 内容 半角公式 sin  =± ;cos  =± ;tan  = ± (无理形式)或tan = 或  (有理形式) 积化和差公式 (1)sin αcos β= [sin(α+β)+sin(α-β)];(2)cos α sin β= [sin(α+β)-sin(α-β)]; (3)cos αcos β= [cos(α+β)+cos(α-β)];(4)sin α sin β=- [cos(α+β)-cos(α-β)] 第八章 向量的数量积与三角恒等变换 高中同步 和差化积公式 (1)sin θ+sin φ=2sin cos ;(2)sin θ-sin φ=2cos sin ; (3)cos θ+cos φ=2cos cos ;(4)cos θ- cos φ=-2sin sin  第八章 向量的数量积与三角恒等变换 高中同步 知识辨析 判断正误,正确的画“√”,错误的画“✕”. 1.对于任意的α∈R,sin  = sin α都不成立.     (　    ) 2.若α是第一象限角,则tan  = . (　    ) 第八章 向量的数量积与三角恒等变换 高中同步 1.✕    当α=2kπ(k∈Z)时,sin = sin α成立. 答案 2.√    若α是第一象限角,则 是第一或第三象限角,此时tan  = . 第八章 向量的数量积与三角恒等变换 高中同步 讲解分析 利用半角公式求值的思路 (1)看角:看已知角与待求角的二倍关系. (2)明范围:求出相应半角的范围,为定符号做准备. (3)选公式:根据已知条件及求出的半角的范围选择适当公式进行计算. (4)下结论:结合(2)求值. 疑难 情境破 疑难 1 半角公式的运用 第八章 向量的数量积与三角恒等变换 高中同步 典例 已知cos θ=- ,且180°<θ<270°,求sin 和tan 的值. 第八章 向量的数量积与三角恒等变换 高中同步 解析    ∵180°<θ<270°, ∴90°< <135°,即 是第二象限角. ∴sin = = , tan  =- =- =-2. 第八章 向量的数量积与三角恒等变换 高中同步 讲解分析 疑难 2 三角函数式的化简与三角恒等式的证明 1.化简三角函数式的思路 　　三角函数式的化简是三角恒等变换的一个重要方面,其基本方法是统一角,统一三角函 数的名称.常用方法:异名函数化为同名函数,异角化为同角,异次化为同次,弦切互化,特殊角 的三角函数与特殊值互化等. 化简的结果应满足以下几点:①能求值的尽量求值;②函数名称尽量少;③项数尽量少;④次数 尽量低;⑤分母、根号下尽量不含三角函数. 第八章 向量的数量积与三角恒等变换 高中同步 2.证明三角恒等式的思路 　　观察、分析等式两端的结构,从两端角的差异、三角函数名称及结构的差异入手,寻求 证明途径,左右归一或消除等式两端的差异,达到证明的目的. 第八章 向量的数量积与三角恒等变换 高中同步 典例 已知π<α< ,化简:  + . 第八章 向量的数量积与三角恒等变换 高中同步 解析    原式=  + . ∵π<α< ,∴ < < ,∴cos  <0,sin  >0. ∴原式= +  =- + =- cos  . 第八章 向量的数量积与三角恒等变换 高中同步 讲解分析 疑难 3 和差化积与积化和差公式的运用 1.积化和差公式的功能与关键 (1)功能:①把三角函数从一种形式(积的形式)转化为另一种形式(和差的形式). ②将非特殊角化为特殊角进行求值或化简,将函数式变形以研究其性质. (2)关键:正确地选用公式,以便把非特殊角的三角函数相约或相消,从而化为特殊角的三角函 数. 第八章 向量的数量积与三角恒等变换 高中同步 2.和差化积公式应用时的注意事项 (1)在应用和差化积公式时,三角函数必须是一次同名的,若是异名的,则需用诱导公式化为同 名,若是高次的,则需用降幂公式降为一次. (2)根据实际问题选用公式时,应从以下几个方面考虑: ①运用公式之后,能否出现特殊角; ②运用公式之后,能否提取公因式、能否约分、能否合并或消项等. 第八章 向量的数量积与三角恒等变换 高中同步 典例　已知cos α-cos β= ,sin α-sin β=- ,求sin(α+β)的值. 第八章 向量的数量积与三角恒等变换 高中同步 解析    ∵cos α-cos β= , ∴-2sin sin = .① ∵sin α-sin β=- , ∴2cos sin =- .② 易知sin ≠0, ∴由①②得-tan =- ,即tan = . ∴sin(α+β)= = = = . 第八章 向量的数量积与三角恒等变换 高中同步 $