8.1.1向量数量积的概念 8.1.2 向量数量积的运算律（课件）-【学而思·PPT课件分层练习】2025-2026学年高一数学必修第三册（人教B版）

该高中数学课件聚焦向量的数量积，从向量夹角概念切入，系统讲解数量积的定义、性质、投影及运算律，通过易错警示和知识辨析搭建学习支架，衔接向量基本概念与三角恒等变换。 其特色在于通过易错警示和知识辨析强化数学思维，结合三角形、正方形等实例渗透数学眼光，利用典例展示数量积的几何意义与应用。这有助于学生形成严谨的推理能力，教师可借助资料系统梳理知识，提升课堂效率。

8.1.1 向量数量积的概念 8.1.2　向量数量积的运算律 给定两个非零向量a,b,在平面内任选一点O,作 =a, =b,则称[0,π]内的∠AOB为向量a与向 量b的夹角,记作<a,b>. 　　当<a,b>=0时,向量a与向量b同向; 当<a,b>=π时,向量a与向量b反向; 　　当<a,b>= 时,称向量a与向量b垂直,记作a⊥b. 　　规定:零向量与任意向量垂直. 知识 清单破 知识点 1 两个向量的夹角 第八章 向量的数量积与三角恒等变换 高中同步 易错警示 在寻找两个向量的夹角时,两向量的起点需要重合.如果不重合,需要通过平移使得两向量的 起点重合. 第八章 向量的数量积与三角恒等变换 高中同步 1.定义 一般地,当a与b都是非零向量时,称|a||b|cos<a,b>为向量a与b的数量积(也称为内积),记作a·b, 即a·b=|a||b|·cos<a,b>. 知识点 2 向量的数量积（内积） 第八章 向量的数量积与三角恒等变换 高中同步 2.性质 设a,b是非零向量,则 (1)a⊥b⇔a·b=0. (2)|a·b|≤|a||b|. (3)a·a=|a|2,即|a|= . (4)cos<a,b>= . 第八章 向量的数量积与三角恒等变换 高中同步 易错警示 ①两向量a与b(设夹角为θ)的数量积是一个实数,不是向量,其值可以为正(当a≠0,b≠0,0°≤θ <90°时),可以为负(当a≠0,b≠0,90°<θ≤180°时),还可以为0(当a,b中至少有一个是零向量或θ =90°时).②a·b中的符号“·”既不能省略,也不能用“×”代替. 第八章 向量的数量积与三角恒等变换 高中同步 1.向量的投影 如图1所示,设非零向量 =a,过A,B分别作直线l的垂线,垂足分别为A',B',则称向量 为向 量a在直线l上的投影向量或投影.   图1 类似地,给定平面上的一个非零向量b,设b所在的直线为l,则a在直线l上的投影称为a在向量b 上的投影.如图2中,向量a在向量b上的投影为 . 知识点 3 向量的投影 第八章 向量的数量积与三角恒等变换 高中同步   图2 可以看出,一个向量在一个非零向量上的投影,一定与这个非零向量共线,但它们的方向既有 可能相同,也有可能相反. 第八章 向量的数量积与三角恒等变换 高中同步 2.投影的数量 一般地,如果a,b都是非零向量,则称|a|cos<a,b>为向量a在向量b上的投影的数量,也可以写成  . 注意:投影的数量可正,可负,也可为0. 第八章 向量的数量积与三角恒等变换 高中同步 3.向量数量积的几何意义 a·b=|a||b|cos<a,b>=(|a|cos<a,b>)·|b|,所以两个非零向量a,b的数量积a·b,等于a在向量b上的投 影的数量与b的模的乘积.这就是两个向量数量积的几何意义. 特别地,当e为单位向量时,因为|e|=1,所以a·e=|a|cos<a,e>,即任意非零向量与单位向量的数量 积,等于这个向量在单位向量e上的投影的数量. 第八章 向量的数量积与三角恒等变换 高中同步 知识拓展 向量a在向量b上的投影向量为 × . 第八章 向量的数量积与三角恒等变换 高中同步 1.交换律:a·b=b·a. 知识点 4 向量数量积的运算律 2.(λa)·b=a·(λb)=λ(a·b). 3.分配律:(a+b)·c=a·c+b·c. 第八章 向量的数量积与三角恒等变换 高中同步 易错警示 向量数量积的运算不满足消去律(a·b=a·c不能推出b=c)和乘法的结合律((a·b)·c≠a·(b·c)). 第八章 向量的数量积与三角恒等变换 高中同步 知识辨析 判断正误,正确的画“√”,错误的画“✕”. 1.两个向量的数量积仍是一个向量. (　    ) 2.设非零向量a与b的夹角为θ,则cos θ>0⇔a·b>0.(　    ) 3.对于任意向量a,b,总有(a·b)2=a2·b2. (　    ) 4.若a,b,c为非零向量,|a|=|b|,则|a·c|=|b·c|. (　    ) 5.若两个非零向量a,b满足a⊥b,则|a+b|=|a-b|. (　    ) 第八章 向量的数量积与三角恒等变换 高中同步 答案 1.✕ 2.√　对于非零向量a与b,因为a·b=|a|·|b|·cos θ,|a|>0,|b|>0,所以若cos θ>0,则三者的积大于0,即 a·b>0;若a·b>0,则必有cos θ>0. 3.✕    设向量a,b的夹角为θ,则(a·b)2=(|a|·|b|·cos θ)2=a2·b2·cos2θ,显然只有当cos2θ=1时,(a·b)2=a2·b 2才成立,否则等式不成立. 4.✕    |a·c|=|a||c||cos θ|,其中θ是向量a和c的夹角,|b·c|=|b||c|·|cos α|,其中α是向量b和c的夹角,而| cos θ|和|cos α|不一定相等,故错误. 5.√ 第八章 向量的数量积与三角恒等变换 高中同步 讲解分析 疑难 情境破 疑难 向量数量积的应用 1.利用向量的数量积求模或线段长度 a·a=a2=|a|2或|a|= 是求向量的模及用向量求解图形中线段长度的依据,即求一个向量的 模,先求这个向量与自身的数量积(一定非负),再求它的算术平方根,所得结果即为该向量的 模;求线段长度时,将其转化为求向量的模. 第八章 向量的数量积与三角恒等变换 高中同步 2.利用向量的数量积求夹角 求两个非零向量a,b的夹角θ或其余弦值,一般利用夹角公式cos θ= ,根据题中条件分别 确定|a|,|b|和a·b后代入即可.确定θ时要注意θ∈[0,π],当cos θ>0时,θ∈ ;当cos θ<0 时,θ∈  ;当cos θ=0时,θ= . 　　注意:利用向量求平面图形中的角时,要分清向量的方向,向量的夹角与平面图形中对应 的角满足相等或互补的关系. 第八章 向量的数量积与三角恒等变换 高中同步 3.利用向量的数量积求参数 已知两个向量垂直时,可求相关参数的值.具体方法是利用向量的数量积为0列出方程(组),通 过解方程(组)求出其中参数的值. 第八章 向量的数量积与三角恒等变换 高中同步 4.利用向量的数量积判断三角形的形状 利用向量的数量积判断三角形的形状时,一般从角的方面来考虑,即先利用两个向量的夹角 公式求出夹角,再下结论. 第八章 向量的数量积与三角恒等变换 高中同步 典例1 已知△ABC中,BC的中点为M,( + )⊥ , - - =2 · , =  ,| |= 3,则∠B=　　　    ,| |=　　　    . 第八章 向量的数量积与三角恒等变换 高中同步 思路点拨    根据已知条件判断出△ABC的形状,进而求出∠B;利用| |=| - |=  即可求解. 第八章 向量的数量积与三角恒等变换 高中同步 解析    连接AM. 由( + )⊥ ,得( + )· =0, 即2 · =0,故AM⊥BC. 由 - - =2 · , 得( + )2= ,即4 = , ∴| |=2| |. ∴△ABC为等腰直角三角形,如图所示,   第八章 向量的数量积与三角恒等变换 高中同步 ∴∠B=∠C= ,| |=| |=3,| |= | |=3 ,| |= | |= ,| |= | |=1, ∴| |=| - |=  =  = = . 第八章 向量的数量积与三角恒等变换 高中同步 答案     ;  第八章 向量的数量积与三角恒等变换 高中同步 典例2　已知正方形ABCD的边长为2,圆O内切于正方形ABCD,MN为圆O的一条动直径,点P 为正方形ABCD边界上任一点,则 · 的取值范围是　　　    . 第八章 向量的数量积与三角恒等变换 高中同步 解析    如图所示,连接PO.   由题意得, + =2 , - = . ∵圆O为正方形ABCD的内切圆,MN为圆O的一条动直径,∴MN=2, ∴ · = [( + )2-( - )2] = [(2 )2- ]= -1. ∵点P为正方形ABCD边界上任一点,O为正方形ABCD内切圆的圆心, ∴1≤| |≤ ,∴1≤ ≤2, 第八章 向量的数量积与三角恒等变换 高中同步 故0≤ -1≤1, 故 · 的取值范围是[0,1]. 第八章 向量的数量积与三角恒等变换 高中同步 答案    [0,1] 第八章 向量的数量积与三角恒等变换 高中同步 $