第7章 专题强化练2 三角函数性质与图象的应用（同步练习）-【学而思·PPT课件分层练习】2025-2026学年高一数学必修第三册（人教B版）

专题强化练2　三角函数性质与图象的应用 1.(2024天津北辰第四十七中学期中)已知函数f(x)=Acos(ωx+φ)+B的图象中相邻的一个最高点和一个最低点的坐标分别为,,则函数f(x)在区间上的值域为(　　) A.[-3,0]　　　　B.[-3,0) C.(-3,0)　　　　D.[-2,1) 2.(2025辽宁沈阳东北育才学校月考)将函数y=cos x的图象向左平移个单位,再将每一点的横坐标变为原来的倍(ω>0),纵坐标变为原来的2倍,得到函数f(x)的图象.若函数f(x)在区间内至少有2个且至多有3个零点,则符合要求的所有正整数ω的值之和为(　　) A.7　　　　B.8 C.17　　　　D.18 3.(多选题)(2025山西晋中期末)已知函数f(x)=Asin(ωx+φ)A>0,ω>0,|φ|<的部分图象如图所示,则下列说法正确的是(　　) A.ω= B. f(x)的图象关于直线x=对称 C. f(x)在区间[-π,π]上有且只有2个零点 D.若f(x1)=f(x2)=-1(x1≠x2),则|x1-x2|min=π 4.(多选题)(2024河北石家庄十八中期末)已知函数f(x)=Atan(ωx+φ)的部分图象如图所示,则下列说法正确的有(　　) A.φ=,函数f(x)的最小正周期为π B. f = C.方程f(x)=sin(0≤x≤π)的解为或 D. f(2)<f <f 5.(多选题)(2025辽宁沈阳郊联体月考)已知函数f=2sin +,则(　　) A.π是函数f(x)的一个周期 B.f(x)的图象关于直线x=对称 C.f(x)的最大值与最小值之积为-3 D.f(x)在区间上单调递减 6.(2024四川南充白塔中学月考)已知函数f(x)=sin(ωx+φ),若f(x)≤f,f=-f(x),且f(x)在上单调,则ω的取值可以是(　　) A.3　　　　B.5　　　　C.7　　　　D.9 7. (多选题)(2024山东日照实验高级中学期末)已知函数f(x)=1-(x∈R),下列说法正确的是(　　) A.函数f(x)是奇函数 B.函数f(x)的值域为 C.函数f(x)是周期为π的周期函数 D.函数f(x)在上单调递减 8. (多选题)(2025山东德州模拟)已知函数f(x)=Asin(ωx+φ)(ω>0,0<φ<π),其部分图象如图所示,其中B为最高点,tan θ=,AB=,则　(　　) A.ω= B.若f(x1)=f(x2)=,则|x1-x2|min= C.f=- D.若g(x)=f(t·x)在上单调递减且g(x)≥g,则t的最大值为 9.(2024山东临沂沂水第一中学期末)已知函数f(x)=cos(ω>0)在区间上单调递增,那么实数ω的取值范围是　　　　.  10.(2024江苏盐城亭湖高级中学期末)已知点A(x1, f(x1)),B(x2, f(x2))是函数f(x)=sin(ωx+φ)图象上的任意两点,f(0)=-1,且当|f(x1)-f(x2)|=2时,|x1-x2|的最小值为π. (1)求f(x)的解析式; (2)将y=f(x)图象上所有点的横坐标变为原来的,纵坐标不变,再向左平移个单位得到y=g(x)的图象,若g(x)在区间(0,m)上有最大值没有最小值,求实数m的取值范围. 11. (2025四川成都期中)已知函数f(x)=sin(ωx+φ)(ω>0,0<φ<π)满足f=-f(x),若将f(x)图象上的每个点先向左平移个单位,再向上平移个单位,得到函数g(x)的图象,且g(x)为偶函数. (1)求f(x)的解析式; (2)若对于任意的x1∈,总存在x2∈,使不等式f2(x1)-(4+m)f(x1)+2m+6≤g(x2)成立,求实数m的取值范围; (3)若函数h(x)=2f(x)+1的图象在区间[a,b](a,b∈R,a<b)上至少含有20个零点,在所有满足条件的区间[a,b]中,求b-a的最小值. 答案与分层梯度式解析 专题强化练2　三角函数性质与图象的应用 1.B 2.D 3.BCD 4.BCD 5.ACD 6.A 7.ABD 8.ABD 1.B　由最高点和最低点的纵坐标可得所以由最高点和最低点的横坐标可得f(x)的最小正周期T=2×=π,所以ω==2, 所以f(x)=2cos(2x+φ)-1,由f=2cos-1=1得+φ=2kπ,k∈Z,即φ=-+2kπ,k∈Z,又|φ|<,所以φ=-,所以f(x)=2cos-1,当-<x<-时,-<2x-<-,所以-1≤cos2x-<,所以-3≤f(x)<0. 2.D　根据题意,可得f(x)=2cos, 当x∈时,ωx+∈, 要使得函数f(x)在区间内至少有2个且至多有3个零点,则≤+ω<,解得≤ω<,又ω∈N*,∴ω=3,4,5,6,∴符合要求的所有正整数ω的值之和为18. 3.BCD　根据题中图象可知A=2,又图象过点(0,), 所以f(0)=2sin φ=,即sin φ=, 又|φ|<,所以φ=, 由题图知f(x)的图象关于直线x==对称,故B正确; 由题图可知最小正周期T=∈, 可得<ω<,又f=2sin=, 所以sin+=, 结合图象可得+=+2kπ,k∈Z,解得ω=+k,k∈Z,由<+k<,k∈Z,得<k<,k∈Z, 故k=1,此时ω=+==,故A错误; 由以上分析得f(x)=2sin,令f(x)=0,可得x+=k0π,k0∈Z,即x=-+k0π,k0∈Z, 由x∈[-π,π],可得-+k0π∈[-π,π],k0∈Z,故k0=0,1,此时x=-,π,即f(x)在区间[-π,π]上有且只有2个零点,故C正确; 若f(x1)=f(x2)=-1(x1≠x2),则不妨取x1+=-+2k1π,x2+=-+2k2π,k1,k2∈Z, 因此|x1-x2|=|π+3(k1-k2)π|,k1,k2∈Z,显然当k1-k2=0时,=π,故D正确. 4.BCD　对于A,由题图可知,函数f(x)的最小正周期T=2×=,则ω===2,所以f(x)=Atan(2x+φ),因为f=Atan=0,所以+φ=kπ(k∈Z),所以φ=kπ-(k∈Z), 又|φ|<,所以φ=,故A不正确; 对于B,由A中分析得f(x)=Atan,由题图得f(0)=Atan=A=1,则f(x)=tan,所以f=tan=tan=,故B正确; 对于C,由f(x)=sin,得tan=sin,即-sin=0,即sin=0, 所以sin=0或cos=1,因为0≤x≤π,所以≤2x+≤,所以2x+=π,或2x+=2π,解得x=,或x=,故C正确; 对于D,因为f(x)=tan,所以f=tan,f=tan=tan,f(2)=tan=tan,因为<4-<1+<,且函数y=tan t在t∈上单调递增,所以f(2)<f<tan =-1,又0<3-<,故f=tan>0,所以f(2)<f<f,故D正确. 5.ACD　令x-=t,则x=t+,原函数等价为g(t)=2sin + =2sin+=2cos 2t+|cos 2t|, 所以f(x)=2cos 2x+|cos 2x|, f(x+π)=2cos[2(x+π)]+|cos[2(x+π)]|=2cos (2x+2π)+|cos(2x+2π)|=2cos 2x+|cos 2x|=f(x),故A正确. f(0)=2cos 0+|cos 0|=3,f=2cos π+|cos π|=-1,因为f(0)≠f, 所以f(x)的图象不关于直线x=对称,故B错误. f(x)=2cos 2x+|cos 2x| = 当x=kπ(k∈Z)时,f(x)取得最大值3; 当x=kπ+(k∈Z)时,f(x)取得最小值-1,故f(x)的最大值与最小值之积为-3,故C正确. 因为π是函数f(x)的一个周期,所以只需考虑f(x)在区间上是否单调递减, 易知当x∈时,2x∈,f(x)=3cos 2x单调递减; 当x∈时,2x∈,f(x)=cos 2x单调递减,又当x=时,3cos=cos=0, 即f(x)的图象在上连续不间断, 故f(x)在区间上单调递减,故D正确. 6.A　因为f(x)≤f,所以当x=时,函数f(x)=sin(ωx+φ)取到最大值,又f=-f(x),所以为f(x)图象的一个对称中心,故T=-=,k∈Z,所以T==,k∈Z,故ω=2k+1,k∈Z. 又f(x)在上单调,所以≥-=,即T=≥,所以0<ω≤12.结合选项分析,当ω=9时,f(x)=sin(9x+φ),由当x=时,函数f(x)=sin(ωx+φ)取到最大值,可得9×+φ=+2kπ,k∈Z,则φ=-π+2kπ,k∈Z,结合|φ|<,可知没有符合题意的φ值,不合题意;当ω=7时,f(x)=sin(7x+φ),由当x=时,函数f(x)=sin(ωx+φ)取到最大值,可得7×+φ=+2kπ,k∈Z,则φ=-π+2kπ,k∈Z,结合|φ|<,可知没有符合题意的φ值,不合题意;当ω=5时,f(x)=sin(5x+φ),由当x=时,f(x)=sin(ωx+φ)取到最大值,可得5×+φ=+2kπ,k∈Z,则φ=-+2kπ,k∈Z,结合|φ|<,可得φ=-,则f(x)=sin,当x∈时,5x-∈,易知y=sin t在t∈上不单调,故f(x)在上不单调,不合题意;当ω=3时,f(x)=sin(3x+φ),由当x=时,f(x)=sin(ωx+φ)取到最大值,可得3×+φ=+2kπ,k∈Z,则φ=2kπ,k∈Z,结合|φ|<,可得φ=0,则f(x)=sin 3x,满足为f(x)图象的一个对称中心,且当x∈时,3x∈,易知y=sin x在上单调递减,故f(x)在上单调递减,符合题意,故ω=3. 7.ABD　f(x)=1-==, 其定义域为R,关于原点对称, 又f(-x)=====-f(x),故f(x)为奇函数,故A正确; 因为sin x∈[-1,1],所以2sin x∈,2sin x+1∈,∈, 所以f(x)=1-∈,故B正确; f(x+π)====≠f(x), 所以f(x)不是周期为π的周期函数,故C错误; 因为y=sin x在上单调递减,y=2x在上单调递增,所以y=2sin x+1在上单调递减, 又y=2sin x+1≥,故y=在上单调递增,则y=-在上单调递减,则f(x)=1-在上单调递减,故D正确. 8.ABD　对于A,如图,过B点作x轴的垂线,垂足为C,因为tan θ=,所以=⇒=⇒cos θ=,sin θ=, 又AB=,故AC=3,BC=1,设函数f(x)的最小正周期为T, 则T=3⇒T=4⇒=4⇒ω=,故A正确. 对于B,由BC=1,知f(x)=sin,又f =0,且点在函数f(x)单调递减区间上, 所以×+φ=π+2kπ,k∈Z,解得φ=+2kπ,k∈Z,因为0<φ<π,所以φ=,则f(x)=sin, 令f(x)=,则x+=+2kπ,k∈Z,或x+=+2kπ,k∈Z,解得x=-+4k,k∈Z,或x=4k,k∈Z,则当f(x1)=f(x2)=时,|x1-x2|min=,故B正确; 对于C,由f(x)=sin,易得f=0---1--+0+++1++=0, 又由A可知函数f(x)的最小正周期为4=12×,且2 025=12×168+9, 所以f=168f+f=0---1--+0++=-,故C错误; 对于D,易知g(x)=sin,由x∈,得x+∈,又g(x)在上单调递减且g(x)≥g, 所以k∈Z,则k∈Z, 因为t存在,所以-4+24k≤+16k,k∈Z⇒k≤,k∈Z⇒k≤1,k∈Z. 则t=+16k≤+16=,故D正确. 9.答案　∪ 解析　易得f(x)=cos=sin ωx, 由ω>0且≤x≤,知≤ωx≤, 因为函数f(x)在区间上单调递增, 所以⊆,k∈Z, 所以k∈Z, 解得8k-2≤ω≤6k+,k∈Z, 由8k-2≤6k+,6k+>0,得-<k≤, 又k∈Z,所以k=0或k=1, 因为ω>0,所以当k=0时,0<ω≤; 当k=1时,6≤ω≤, 所以实数ω的取值范围是∪. 10.解析　(1)因为f(0)=sin φ=-1,-<φ<0,所以φ=-,因为f(x)=sin(ωx+φ), 所以f(x)max=,f(x)min=-, 又当|f(x1)-f(x2)|=2时,|x1-x2|的最小值为π, 所以最小正周期T=2π,又ω>0,所以ω=1, 所以f(x)=sin. (2)将y=f(x)图象上所有点的横坐标变为原来的,纵坐标不变,得到y=sin的图象,再将y=sin的图象向左平移个单位得到y=g(x)=sin=sin的图象, 当x∈(0,m)时,2x+∈, 因为g(x)在区间(0,m)上有最大值没有最小值, 所以<2m+≤,解得<m≤, 故实数m的取值范围为. 11.解析　(1)因为f=-f(x), 所以f(x+π)=-f=f(x), 所以函数f(x)的最小正周期为π, 又ω>0,故ω==2,则f(x)=sin(2x+φ). 由题意得,g(x)=sin+=sin+, 因为g(x)为偶函数,所以φ+=kπ+(k∈Z),可得φ=kπ+(k∈Z), 因为0<φ<π,所以φ=,所以f(x)=sin. (2)由(1)知g(x)=sin+=cos 2x+, 由题意可知y=f2(x)-(4+m)f(x)+2m+6在上的最大值应小于或等于g(x)在上的最大值. 当x∈时,2x∈,所以g(x)=cos 2x+∈, 所以f2(x)-(4+m)f(x)+2m+6≤对于任意的x∈恒成立, 当x∈时,2x+∈,f(x)=sin ∈[0,1],令t=f(x), 则t2-(4+m)t+2m+6≤,t∈[0,1], 可得m≤t-2+, 由于t∈[0,1],所以t-2∈[-2,-1], 令s=2-t,y=s+,其中s∈[1,2], 设s1<s2,s1,s2∈[1,2], 则y1-y2=s1+-=s1-s2+- =s1-s2+=(s1-s2)×, 由于s1-s2<0,2s1s2-1>0,故y1-y2<0,所以y1<y2, 则y=s+在[1,2]上单调递增,故y=s+的最大值为2+=,则t-2+的最小值为-, 故m≤-,即m的取值范围为. (3)由题意知h(x)=2sin+1, 令h(x)=0,得sin=-, 故2x+=2kπ+,k∈Z,或2x+=2kπ+,k∈Z, 解得x=kπ+,k∈Z,或x=kπ+,k∈Z, 故h(x)的零点为x=kπ+,k∈Z,或x=kπ+,k∈Z, 所以相邻两个零点之间的距离为或, 若b-a最小,则a和b都是h(x)的零点,此时在区间[a,π+a]、[a,2π+a]、…、[a,sπ+a] (s∈N*)上,h(x)分别恰有3,5,7,…,2s+1个零点, 所以在区间[a,9π+a]上恰有19个零点, 从而在区间(9π+a,b]上至少有一个零点,所以b-a-9π≥,所以(b-a)min=. 31 学科网（北京）股份有限公司 $