第7章 专题强化练1 同角三角函数的基本关系式及诱导公式的运用（同步练习）-【学而思·PPT课件分层练习】2025-2026学年高一数学必修第三册（人教B版）

专题强化练1　同角三角函数的基本关系式及诱导公式的运用 1.(2025辽宁盘锦高级中学期中)已知<α<π,则化简的结果是(　　) A.sin α-cos α　　　　B.sin α+cos α C.sin α　　　　D.-cos α 2.已知cos 31°=m,则sin 239°tan 149°=(　　) A.　　　　B. C.-　　　　D.- 3.(2025陕西西安第二高级中学月考)若θ∈(0,π),tan θ+=6,则sin θ+cos θ=(　　) A.　　　　B.-　　　　C.±　　　　D. 4.(2024四川巴中通江实验中学期中)已知α为第二象限角,且tan=-2,则cos·cos=(　　) A.-　　　　B.　　　　C.-　　　　D. 5.(2024河南新乡月考)已知α为锐角,且2tan(π-α)-3cos+5=0,tan(π+α)+6sin(π+β)=1,则sin α=(　　) A.　　　　B.　　　　C.　　　　D. 6.(2025河南郑州第四高级中学调研)我国古代数学家赵爽在注解《周髀算经》一书时介绍了“赵爽弦图”,它是由四个全等的直角三角形与一个小正方形拼成的大正方形.如图所示,记直角三角形中较小的锐角为α,大正方形的面积为S1,小正方形的面积为S2,若=25,则的值为(　　) A.　　　　B.　　　　 C.　　　　D. 7.(创新题·新考法)英国数学家泰勒发现了公式cos x=1-+-+…+(-1)n-1+…,其中n∈N*,x∈R.若T=1-+-+…+(-1)n-1+…,其中n!=1×2×3×…×n,0!=1.则下列选项中与T的值最接近的是(　　) A.-sin 8°　　　　B.-sin 18°　　　　C.-cos 8°　　　　D.-cos 18° 8.(2025广东佛山高明一中月考)已知点P(1,3)是角α终边上一点,将角α的终边逆时针旋转得到角β,则=　　　　.  9.若sin α+cos α=1,则sinnα+cosnα(n∈N*)的值为　　　　.  10.(2024四川成都简阳实验学校月考)计算:sin21°+sin22°+sin23°+…+sin289°=　　　.  11.(2025江西上饶月考)若(sin x)ln 3+3ln(sin x)=,则cos=　　　　.  12.在△ABC中,若sin(2π-A)=-sin(π-B),cos A=-cos(π-B),则C=　　　　.  13.求证:(1)=; (2) =. 14.已知f(α)=. (1)若tan α=2,求的值; (2)若f =-,-<α<-,求cos+cos的值. 15.(2024江苏盐城第一中学期末)如图,在平面直角坐标系xOy中,锐角α和钝角β的顶点与坐标原点重合,始边与x轴的非负半轴重合,终边分别与单位圆交于点A,B,且OA⊥OB. (1)求的值; (2)若cos α+cos β=,求tan β的值. 16.(2025河南南阳联考)已知关于x的方程4x2-2(+1)x+m=0的两个根分别为sin θ和cos θ,且θ∈(-2π,0). (1)求+的值; (2)求m的值; (3)求方程的两根及θ的值. 答案与分层梯度式解析 专题强化练1　同角三角函数的基本关系式及诱导公式的运用 1.A 2.B 3.A 4.B 5.C 6.C 7.C 1.A　因为<α<π,所以sin α>0,cos α<0, 所以sin α-cos α>0, 所以 == ==|sin α-cos α|=sin α-cos α. 2.B　sin 239°tan 149°=sin(180°+59°)tan(180°-31°) =-sin 59°(-tan 31°)=-sin(90°-31°)(-tan 31°) =-cos 31°(-tan 31°)=sin 31° ==. 3.A　因为tan θ+=+===6, 所以sin θcos θ=, 所以(sin θ+cos θ)2=1+2sin θcos θ=, 因为θ∈(0,π),sin θcos θ=>0, 所以sin θ>0,cos θ>0, 所以sin θ+cos θ=. 一题多解 　　因为tan θ+==6, 所以tan2θ+1=6tan θ, 所以(sin θ+cos θ)2====, 又θ∈(0,π),tan θ+=6>0,所以tan θ>0,sin θ>0,cos θ>0,所以sin θ+cos θ=. 4.B　因为<α<π,所以<α-<, 又因为tan=-2<0,所以<α-<,由得 所以coscos=cos+·cos=-sincos=-×=. 5.C　由题意及诱导公式,得 解得tan α=3. 根据α为锐角且得sin α=. 6.C　设大正方形的边长为a,则直角三角形的直角边的长分别为asin α,acos α,面积S1=a2, ∴S2=S1-4×asin α·acos α=a2-2a2sin αcos α, ∴===25, 即=25. 由题意得0<α<,∴cos α≠0,故=25, 解得tan α=或tan α=(舍去), ∴===. 7.C　对于cos x=1-+-+…+(-1)n-1+…, 令x=3,得cos 3=1-+-+…+(-1)n-1·+…, 所以T=cos 3=cos°≈cos 172°=-cos 8°. 8.答案　 解析　由题可知sin α==,cos α==, 将角α的终边逆时针旋转得到角β,可得β=α+, 因此sin β=sin=cos α,cos β=cos=-sin α, 所以===. 9.答案　1 解析　∵sin α+cos α=1,∴(sin α+cos α)2=sin2α+cos2α+2sin αcos α=1. 又∵sin2α+cos2α=1,∴sin αcos α=0, ∴sin α=0或cos α=0. 当sin α=0时,cos α=1,此时sinnα+cosnα=1(n∈N*); 当cos α=0时,sin α=1,此时sinnα+cosnα=1(n∈N*). 综上,sinnα+cosnα=1. 10.答案　 解析　易知sin21°+sin289°=sin21°+cos21°=1, ∴原式=sin21°+sin22°+sin23°+…+sin244°+sin245°+cos244°+cos243°+…+cos23°+cos22°+cos21°=44+=. 11.答案　e-1 解析　由已知可得sin x>0, 设t=ln(sin x),则sin x=et, 则(sin x)ln 3+3ln(sin x)=(et)ln 3+3t=(eln 3)t+3t=2·3t=, 所以3t=,解得t=-1,所以sin x=e-1, 所以cos=sin x=e-1. 12.答案　 解析　由题意得,-sin A=-sin B①,cos A=cos B②. ①、②左右两边分别平方并相加,得sin2A+3cos2A=2,即1+2cos2A=2,即cos2A=,∴cos A=±, ∴A=或A=. 当A=时,由②得×=cos B,即cos B=, ∴B=,∴C=. 当A=时,由②得×=cos B,即cos B=-(舍去). 综上,C=. 13.证明　(1)右边= == === =左边, 所以原等式成立. (2)左边= == === ===右边, 所以原等式得证. 14.解析　f(α)= ==-cos α. (1)====-. (2)∵f =-cos=-, ∴cos=,∴cos=cos=-cos=-. ∵-<α<-,∴<-α<, ∴sin===, ∴cos=cos =cos=sin=. ∴cos+cos=-+=. 15.解析　由题意知α∈,β∈,且β=α+. (1)===-1. (2)由cos α+cos β=可得cos+cos β=, 即sin β+cos β=,所以(sin β+cos β)2=, 即1+2sin βcos β=,所以sin βcos β=-, 即=-,即=-, 解得tan β=-或tan β=-. 因为β为钝角,且sin β+cos β>0, 所以cos β<0,sin β>-cos β, 所以<-1,即tan β<-1,故tan β=-. 16.解析　因为sin θ和cos θ是方程4x2-2(+1)x+m=0的两个根,所以 (1)原式=+==sin θ+cos θ=. (2)因为sin θ+cos θ=, 所以(sin θ+cos θ)2=1+2sin θcos θ=, 所以1+2×=,解得m=. (3)由(2)可知m=,所以原方程为4x2-2(+1)x+=0,它的两根为x1=,x2=, 所以或 又因为θ∈(-2π,0),所以θ=-或θ=-. 31 学科网（北京）股份有限公司 $