第七章 三角函数 阶段质量评价-【新课程学案】2025-2026学年高中数学必修第三册配套练习word（人教B版）

[阶段质量评价]　　　　　　　　第七章　三角函数 A卷——基本知能盘查 (时间:120分钟　满分:150分) 一、单项选择题(本大题共8小题,每小题5分,共40分.在每小题所给的四个选项中,只有一项是符合题目要求的) 1.已知sin θ<0,tan θ<0,则角θ的终边位于 (　　) A.第一象限 B.第二象限 C.第三象限 D.第四象限 解析:选D　由sin θ<0,tan θ<0,根据三角函数的符号与角的象限间的关系,可得角θ的终边位于第四象限. 2.在平面直角坐标系中,角α的顶点与原点重合,始边与x轴的非负半轴重合,终边经过点P,则 (　　) A.sin α= B.sin α= C.cos α= D.tan α= 解析:选A　由题意得sin α==,cos α==,tan α==. 3.函数y=cos x|tan x|的图象是下列图象中的 (　　) 解析:选C　依题意,y=cos x|tan x|=由此判断出正确的选项为C. 4.已知函数f(x)=tan(ω>0)的图象与直线y=1的相邻两个交点的距离为,则f(x)的图象的一个对称中心是 (　　) A. B. C. D. 解析:选C　由函数f(x)=tan(ω>0)的图象与直线y=1的相邻两个交点的距离为,知f(x)的周期T==,解得ω=2.于是得f(x)=tan,所以f(x)的图象的对称中心的横坐标方程满足2x-=(k∈Z),解得x=+(k∈Z).可知为其一个对称中心. 5.已知sin α-cos α=,α∈,则= (　　) A.- B. C.- D. 解析:选D　由题意可得(sin α-cos α)2=1-2sin αcos α=,整理得sin αcos α=>0,且α∈,可得α∈,即sin α>0,cos α>0.可得sin α+cos α>0.因为(sin α+cos α)2=1+2sin αcos α=,可得sin α+cos α=,所以==. 6.已知函数f(x)=Asin(ωx+φ)的部分图象如图所示,则f的值为 (　　) A.- B.- C.- D.-1 解析:选A　由函数f(x)=Asin(ωx+φ)的部分图象知,A=,==-,解得ω=2.再由五点法作图可得2×+φ=π,解得φ=.∴f(x)=sin.∴f=sin=-sin=-. 7.设ω>0,若函数f(x)=2sin ωx在上单调递增,则ω的取值范围是 (　　) A. B. C. D.(0,1] 解析:选D　由x∈,ω>0,可得ωx∈.根据正弦函数的单调性,可得又ω>0,所以0<ω≤1,即ω∈(0,1]. 8.(2025·天津高考)f(x)=sin(ωx+φ)(ω>0,-π<φ<π),在上单调递增,且x=为它的一条对称轴,是它的一个对称中心,当x∈时,f(x)的最小值为 (　　) A.- B.- C.1 D.0 解析:选A　设f(x)的最小正周期为T,根据题意有(m,k∈Z), 由正弦函数的对称性可知-=(n∈Z),即=,∴ω=4n+2, 又f(x)在上单调递增,则≥-,∴≥⇒0<ω≤2, ∴ω=2,则∵φ∈(-π,π), ∴k=0,m=1时,φ=,∴f(x)=sin,当x∈时,2x+∈, 由正弦函数的单调性可知f(x)min=sin =-. 二、多项选择题(本大题共3小题,每小题6分,共18分.在每小题给出的选项中,有多项符合题目要求.全部选对的得6分,部分选对的得部分分,有选错的得0分) 9.下列函数中,在上为增函数的是 (　　) A.y=sin B.y=sin C.y=sin(-2x) D.y=tan x 解析:选BD　因为x+∈,所以y=sin在上不是增函数,故A错误;因为x-∈,所以y=sin在上是增函数,故B正确;因为-2x∈(-π,0),所以y=sin(-2x)在上不是增函数,故C错误;易知y=tan x在上为增函数,故D正确;故选BD. 10.已知函数f(x)=Asin(ωx+φ)的部分图象如图所示,则 (　　) A.A=2 B.φ= C.ω=1 D.f(x)的单调递减区间为(k∈Z) 解析:选ABD　由函数f(x)的图象,可得A=2.由f(0)=2sin φ=,可得sin φ=.因为|φ|<,所以φ=.又由f=2sin=2,可得ω+=+2kπ,即ω=2+16k(k∈Z).因为0<ω<3,所以ω=2.所以f(x)=2sin.由+2kπ≤2x+≤+2kπ(k∈Z),可得+kπ≤x≤+kπ(k∈Z).所以f(x)的单调递减区间为(k∈Z). 11.已知函数f(x)=tan,则 (　　) A.f(x)的图象关于y轴对称 B.f(x)的最小正周期为π C.f(x)在区间上单调递增 D.f(x)的图象关于点对称 解析:选AC　由|x|+≠+kπ,k∈Z得|x|≠+kπ,k∈Z,所以f(x)的定义域关于原点对称.又f(-x)=tan=tan=f(x),所以函数f(x)为偶函数,其图象关于y轴对称,故A正确. 当x>0时,f(x)=tan,作出函数f(x)在x>0时的简图,再由f(x)的图象关于y轴对称得函数f(x)的简图,如图. 根据函数图象知,函数f(x)不具有周期性,且在区间上单调递增,函数图象不关于点对称,故B、D错误,C正确.故选AC. 三、填空题(本大题共3小题,每小题5分,共15分) 12.(5分)若有一扇形的周长为60 cm,那么扇形的最大面积为　　　　 cm2.  解析:设扇形的半径为r,弧长为l,则2r+l=60.所以扇形的面积S=lr=(60-2r)r=-r2+30r=-(r-15)2+225. 当r=15时,S取得最大值,最大值为225 cm2. 答案:225 13.(5分)已知函数y=asin+b在x∈上的值域为[-5,1],则a+b的值为　　　　.  解析:因为x∈,所以2x+∈.所以sin∈.因为函数y=asin+b在x∈上的值域为[-5,1],当a>0时,asin+b∈,所以解得当a<0时,asin+b∈, 所以解得所以a=4,b=-3或a=-4,b=-1,所以a+b=1或a+b=-5. 答案:1或-5 14.(5分)已知函数f(x)=2sin(ωx+1)(ω>0)的图象在上恰有一个最高点和一个最低点,则ω的取值范围为　　　　 .  解析:因为0<x<,所以1<ωx+1<ω·+1.因为f(x)=2sin(ωx+1)在区间上恰有一个最高点和一个最低点,所以<ω·+1≤,解得3-<ω≤5-. 答案: 四、解答题(本大题共5小题,共77分.解答应写出必要的文字说明、证明过程或演算步骤) 15.(13分)化简: (1);(5分) (2)(n∈Z).(8分) 解:(1)==-1. (2)当n为偶数时,==,当n为奇数时, ==-. 16.(15分)已知函数f(x)=sin,x∈R. (1)求f(x)的单调递减区间;(7分) (2)经过怎样的图象变换使f(x)的图象关于原点对称?(仅叙述一种方案即可).(8分) 解:(1)因为f(x)=sin=-sin, 所以函数f(x)的单调递减区间,即为y=sin的单调递增区间. 令2kπ-≤2x-≤2kπ+(k∈Z),解得kπ-≤x≤kπ+(k∈Z). 所以函数f(x)的单调递减区间为(k∈Z). (2)因为伸缩变换不改变函数的奇偶性,现只研究x轴上的平移变换. 设f(x)向左平移φ个单位, 可得y=sin=sin. 若得到奇函数,可得-2φ=kπ,k∈Z,解得φ=-,k∈Z.令k=0,可得φ=, 所以把y=f(x)的图象向左平移个单位即可得到奇函数. 17.(15分)海水受日月的引力,在一定的时候发生涨落的现象叫潮.一般地,早潮叫潮,晚潮叫汐.在通常情况下,船在涨潮时驶进航道,靠近码头;卸货后,在落潮时返回海洋.下面是某港口在某季节每天的时间与水深的关系表: 时刻 水深/米 时刻 水深/米 时刻 水深/米 0:00 4.25 9:00 1.75 18:00 4.25 3:00 6.75 12:00 4.25 21:00 1.75 6:00 4.25 15:00 6.75 24:00 4.25 (1)设港口在x时刻的水深为y米,现利用函数模型y=Asin(ωx+φ)+h(A>0,ω>0,-π<φ<π)建立这个港口的水深与时间的函数关系式,并求出x=7时,港口的水深;(9分) (2)一条货船的吃水深度(船底与水面的距离)为4米,安全条例规定至少要有1.5米的安全间隙(船底与洋底的距离),问该船何时能进入港口,何时应离开港口?一天内货船可以在港口待多长时间?(6分) 解:(1)由题表中数据可知最大值和最小值分别为6.75,1.75, 所以A==2.5,h==4.25. 因为T=12,所以ω===. 所以y=2.5sin+4.25. 当x=0时,y=4.25,代入上式得sin φ=0. 因为-π<φ<π,所以φ=0.所以y=2.5sinx+4.25.当x=7时, y=2.5sin+4.25=3. 所以在x=7时,港口的水深为3米. (2)因为货船需要的安全水深是4+1.5=5.5米, 所以当y≥5.5时,船可以进港. 令2.5sinx+4.25≥5.5,则sinx≥. 因为0≤x<24,解得1≤x≤5或13≤x≤17. 所以货船可以在1时进入港口,在5时出港或者在13时进港,17时出港. 因为(5-1)+(17-13)=8,所以一天内货船可以在港口待8小时. 18.(17分)设函数f(x)=Asin(ωx+φ)(A,ω,φ为常数且A>0,ω>0,0<φ<π)的部分图象如图所示. (1)求A,ω,φ的值;(7分) (2)若存在x∈,使得等式[f(x)]2-f(x)+m=0成立,求实数m的取值范围.(10分) 解:(1)由题图得A=,·=+,所以ω=2. 结合五点法作图可得,2×+φ=2kπ,k∈Z.由于0<φ<π,解得φ=. ∴函数f(x)=sin. (2)若存在x∈,即存在2x+∈,也即存在f(x)∈, 使得等式[f(x)]2-f(x)+m=0成立,即m=-f2(x)+f(x)成立. 令t=f(x),则t∈. ∴m=t-t2=-+≤. 又当t=0时,m=0,当t=时,m=-<0, ∴-<m≤,即实数m的取值范围为. 19.(17分)已知函数f(x)=Asin(ωx+φ)(A>0,ω>0,|φ|<π),在同一周期内,当x=时,f(x)取得最大值3;当x=时,f(x)取得最小值-3. (1)求函数f(x)的解析式;(4分) (2)求函数f(x)的单调递减区间;(3分) (3)若x∈时,函数h(x)=2f(x)+1-m的图象与x轴有两个交点,求实数m的取值范围.(10分) 解:(1)依题意,A=3,函数f(x)的周期T=2×=π,则ω==2. 由f=3,得2×+φ=2kπ+(k∈Z). 而|φ|<π,则k=0,φ=. 所以函数f(x)=3sin. (2)由(1),令2kπ+≤2x+≤2kπ+,k∈Z,解得kπ+≤x≤kπ+,k∈Z. 所以函数f(x)的单调递减区间是,k∈Z. (3)由(1)知,函数f(x)=3sin,当x∈时,2x+∈, 则当2x+∈,即x∈时,函数f(x)单调递增,函数值由-增大到3. 当2x+∈,即x∈时,函数f(x)单调递减,函数值由3减小到. 当x∈时,函数h(x)=2f(x)+1-m的图象与x轴有两个交点, 则h(x)=0,即f(x)=在x∈上有两个不等实根, 即直线y=与函数y=f(x)在上的图象有两个公共点. 在同一坐标系内作出直线y=与函数y=f(x)在上的图象,如图所示. 观察图象得,当≤<3,即3+1≤m<7时,直线y=与函数y=f(x)在上的图象有两个公共点, 所以实数m的取值范围是[3+1,7). B卷——高考能力达标 (时间:120分钟　满分:150分) 一、单项选择题(本大题共8小题,每小题5分,共40分.在每小题所给的四个选项中,只有一项是符合题目要求的) 1.下列四个函数中,以π为最小正周期,且在区间上单调递减的是 (　　) A.y=cos x B.y=2|sin x| C.y=cos D.y=tan x 解析:选B　由于y=cos x的周期为2π,故A不正确;由于y=2|sin x|以π为最小正周期,且在区间上为减函数,故B正确;由于y=cos的周期为=4π,故C不正确;由于y=tan x在区间上为增函数,故D不正确. 2.已知简谐运动f(x)=2cos,|φ|<的图象经过点(0,1),则该简谐运动的最小正周期T和初相φ分别为 (　　) A.T=6,φ= B.T=6,φ= C.T=6π,φ= D.T=6,φ=± 解析:选D　将(0,1)代入f(x)=2cos,得f(0)=2cos φ=1⇒cos φ=.由于|φ|<,所以φ=±,T==6. 3.函数f(x)=tan在一个周期内的图象是 (　　) 解析:选A　函数f(x)=tan的最小正周期T==2π,∵选项D的最小正周期T=-=π,故D错误;令kπ-<x-<kπ+,k∈Z,解得2kπ-<x<2kπ+,k∈Z,故f(x)=tan的单调递增区间为,k∈Z.取k=0,则f(x)=tan的单调递增区间为,故A正确,B、C错误. 4.已知点A是单位圆与x轴正半轴的交点,点B在第二象限.记∠AOB=θ且sin θ=,则= (　　) A. B. C.- D.- 解析:选D　由题意知θ∈,∴cos θ=-=-, tan θ==-.∴===-. 5.已知函数f(x)=sin,x∈.若方程f(x)=的两个解为x1,x2 ,则sin(x1+x2)= (　　) A.- B. C. D.- 解析:选B　由题意可得,x∈,则2x+∈.令2x+=,则x=,即函数f(x)=sin,x∈关于直线x=对称,则f(x)在上单调递增,在上单调递减,所以x1+x2=2×=.故sin(x1+x2)=sin=. 6.已知函数f(x)=sin 2x和g(x)的部分图象,如图所示.g(x)的图象由f(x)的图象平移而来,C,D分别在g(x),f(x)的图象上,ABCD是矩形,A,B,则g(x)的表达式是 (　　) A.g(x)=sin B.g(x)=sin C.g(x)=cos D.g(x)=cos 解析:选C　根据题意,由题图知,函数f(x)=sin 2x的图象向右平移×=个单位,得到g(x)=sin 2=sin的图象.又sin=cos=cos=cos,所以g(x)=cos. 7.(2023·全国甲卷)设甲:sin2α+sin2β=1,乙:sin α+cos β=0,则 (　　) A.甲是乙的充分条件但不是必要条件 B.甲是乙的必要条件但不是充分条件 C.甲是乙的充要条件 D.甲既不是乙的充分条件也不是乙的必要条件 解析:选B　当sin2α+sin2β=1时,例如α=,β=0,但sin α+cos β≠0,即sin2α+sin2β=1推不出sin α+cos β=0;当sin α+cos β=0时,sin2α+sin2β=(-cos β)2+sin2β=1,即sin α+cos β=0能推出sin2α+sin2β=1.综上可知,甲是乙的必要不充分条件. 8.已知函数f(x)=2sin(ω>0)恒有f(x)≤f(2π),且f(x)在上单调递增,则ω的值为 (　　) A. B. C. D.或 解析:选B　因为恒有f(x)≤f(2π),所以当x=2π时,f(x)取得最大值.所以2πω+=+2kπ,k∈Z,得ω=+k,k∈Z.因为f(x)在上单调递增,所以-≤,即≥π,得0<ω≤2.因为x∈,所以ωx+∈.因为f(x)在上单调递增,所以k∈Z,得k∈Z.所以4-12k>0,且1+6k>0,k∈Z,解得-<k<,k∈Z.故k=0,ω=. 二、多项选择题(本大题共3小题,每小题6分,共18分.在每小题给出的选项中,有多项符合题目要求.全部选对的得6分,部分选对的得部分分,有选错的得0分) 9.关于函数y=tan,下列说法错误的是 (　　) A.是奇函数 B.在区间上单调递减 C.为其图象的一个对称中心 D.最小正周期为π 解析:选ABD　因为f(x)=tan,f(-x)=tan=-tan,所以函数y=tan是非奇非偶函数,故A错误;当x∈时,2x-∈.因为y=tan t在t∈上为增函数,故B错误;因为当x=时,tan=0,所以为其图象的一个对称中心,故C正确;y=tan的最小正周期为,故D错误.故选ABD. 10.已知函数f(x)=sin ωx(ω>0),对任意x有f=f,且f=-a,那么 (　　) A.f=a B.f(x)为奇函数 C.T=1 D.f=4a 解析:选BC　因为f(x)的定义域为R,f(-x)=sin(-ωx)=-sin ωx=-f(x),所以f(x)为定义在R上的奇函数,故B正确;由f=f得f(x+1)=f=f=f(x),所以f(x)是周期为1的周期函数,故C正确;由函数的周期性知f=f=f=-a,故A、D错误. 11.已知函数f(x)=Asin(ωx+φ)的部分图象如图所示,则 (　　) A.ω=2 B.f(x)的图象关于直线x=对称 C.f(x)=2cos D.f(x)在上的值域为[-2,1] 解析:选AC　由题图知,A=2,T=-=⇒T=π=⇒ω=2,故A正确;从而f(x)=2sin(2x+φ),又由f=2sin=0⇒-+φ=kπ,k∈Z⇒φ=+kπ,k∈Z,因为|φ|<,所以φ=,从而f(x)=2sin=2sin=2cos,故C正确;因为f=2sin=-≠±2,所以x=不是f(x)的对称轴,故B错误;当x∈时,令t=2x+∈,因为y=sin t在上单调递减,在上单调递增,所以ymin=-1,ymax=,故-1≤sin t≤,即-2≤2sin t≤,从而-2≤f(x)=2sin≤,即f(x)在上的值域为[-2,],故D错误.故选AC. 三、填空题(本大题共3小题,每小题5分,共15分) 12.(5分)扇形的两条半径分别与x轴正半轴、-216°角的终边相同,弧长l=7π,则半径r=　　　.  解析:由题意可知扇形的圆心角α为216°或144°,当扇形的圆心角α为216°,即α=时,r===;当扇形的圆心角α为144°,即α=时,r===.所以半径r=或r=. 答案:或 13.(5分)已知函数f(x)=Asin ωx(A>0,ω>0)的最小正周期为π,将y=f(x)的图象上所有点的横坐标伸长到原来的2倍(纵坐标不变),所得图象对应的函数为y=g(x),若g=,则f的值为　　　.  解析:因为f(x)=Asin ωx(A>0,ω>0)的最小正周期为π,所以ω==2,则f(x)=Asin 2x.将y=f(x)的图象上所有点的横坐标伸长到原来的2倍(纵坐标不变),所得图象对应的函数为g(x),则g(x)=Asin x.若g=,则g=Asin=A=,所以A=2.所以f(x)=2sin 2x,则f=2sin=2×=. 答案: 14.(5分)已知函数y=Asin(ωx+φ)的最大值是3,对称轴方程是x=,要使函数的解析式为y=3sin,还应给出的一个条件是　　　　.(填上你认为正确的一个条件即可,不必考虑所有可能的情形)  解析:若给出条件周期T=π,则ω==2,此时y=3sin(2x+φ).由对称轴方程是x=,得2×+φ=+kπ,k∈Z.取k=0,得φ=.此时y=3sin,符合题意. 答案:周期T=π 四、解答题(本大题共5小题,共77分.解答应写出必要的文字说明、证明过程或演算步骤) 15.(13分)已知sin(α+β)=1, (1)求α,β满足的关系;(5分) (2)求证:tan(2α+β)+tan β=0.(8分) 解:(1)因为sin(α+β)=1,则α+β=2kπ+(k∈Z),所以α=2kπ+-β(k∈Z). (2)证明:由(1)知,k∈Z,tan(2α+β)+tan β=tan+tan β=tan(4kπ+π-β)+tan β=tan(π-β)+tan β=-tan β+tan β=0.所以原等式成立. 16.(15分)已知函数f(x)=3sin,x∈R. (1)求f(x)的最小正周期及取最大值时x的取值;(7分) (2)求f(x)在区间上的取值范围.(8分) 解:(1)函数f(x)=3sin,x∈R, 由T==π,得函数f(x)的最小正周期为π. 由2x-=2kπ+,k∈Z,即x=kπ+,k∈Z,得sin=1. 所以当x=kπ+,k∈Z时,函数f(x)取得最大值3. (2)由-≤x≤,得-≤2x-≤,于是-1≤sin≤. 因此-3≤3sin≤, 所以f(x)在区间上的取值范围为. 17.(15分)已知函数f(x)=2sin(ωx+φ)的部分图象如图所示.该图象与y轴交于点A(0, ),与x轴交于B,C两点,D为图象的最高点,且△BCD的面积为. (1)求f(x)的解析式及其单调递增区间;(9分) (2)若将f(x)的图象向右平移个单位,再将所得图象上所有点的横坐标伸长为原来的2倍(纵坐标不变),得到函数g(x)的图象.若g(α)= ,求cos的值.(6分) 解:(1)由题意,函数f(x)=2sin(ωx+φ),可得△BCD的高为2.又△BCD的面积为, 即=×2×BC,可得BC=, ∴T=BC.∴T=π.则ω==2. ∵图象与y轴交于点A(0,),可得=2sin φ,即 sin φ=.又0<φ<,∴φ=. 故f(x)的解析式为 f(x)=2sin. 令2kπ-≤2x+≤2kπ+,k∈Z,解得 kπ-≤x≤kπ+,k∈Z. 故f(x)的单调递增区间为,k∈Z. (2)将f(x)的图象向右平移个单位,可得 y=2sin=2sin, 再将所得图象上所有点的横坐标伸长为原来的2倍(纵坐标不变),可得y=2sin. ∴函数 g(x)=2sin. 由g(α)=,得2sin=, ∴sin=>0. ∵<α<π,则<α+<π, 所以cos=- =-. 18.(17分)已知质点从P0(,-1)开始,沿以原点为圆心,2为半径的圆作匀速圆周运动,质点运动的角速度为ω弧度/秒(0<ω<2),经过x秒,质点运动到点P,设点P的纵坐标为y,令y=f(x),将f(x)的图象向左平移2个单位后图象关于y轴对称. (1)求函数f(x)的解析式;(10分) (2)求函数f(x)的单调递减区间及[0,3]上的最值.(7分) 解:(1)设f(x)=Asin(ωx+φ).由P0(,-1)知,tan φ=-. 因为|φ|<,所以φ=-.又A=2,所以f(x)=2sin. 将f(x)的图象向左平移2个单位后所得函数g(x)=2sin. 因为y=g(x)的图象关于y轴对称,所以2ω-=kπ+(k∈Z),解得ω=+(k∈Z). 又0<ω<2,所以当k=0时,ω=.所以f(x)=2sin. (2)由(1)得f(x)=2sin,令2kπ+≤x-≤2kπ+(k∈Z), 解得6k+2≤x≤6k+5(k∈Z).所以函数f(x)的单调递减区间为[6k+2,6k+5](k∈Z). 当0≤x≤3时,-≤x-≤,当x=0时,f(x)min=f(0)=-1;当x=2时,f(x)max=f(2)=2. 故函数f(x)的单调递减区间为[6k+2,6k+5](k∈Z),f(x)min=-1,f(x)max=2. 19.(17分)已知函数f(x)=3sin(2x+φ)(0<φ<π)的图象经过点. (1)求f(x)在区间上的最大值和最小值;(9分) (2)记关于x的方程f=2在区间上的解从小到大依次为x1,x2,…,xn,试确定正整数n的值,并求x1+2x2+2x3+…+2xn-1+xn的值.(8分) 解:(1)将代入f(x)=3sin(2x+φ), 得-3=3sin,即+φ=+2kπ,k∈Z, 解得φ=+2kπ,k∈Z. 因为0<φ<π,所以φ=. 所以f(x)=3sin. 当x∈时,≤2x+≤, 所以-≤sin≤1. 所以-≤3sin≤3.所以f(x)在区间上的最大值为3,最小值为-. (2)因为f=2,所以3sin=2.即sin=,所以cos x=. 由余弦函数性质可知,cos x=在x∈上有4个解,所以n=4,即x1+x2=2π,x2+x3=4π,x3+x4=6π, 累加可得,x1+2x2+2x3+x4=12π. 168 / 168 学科网（北京）股份有限公司 $