7.3.4 正切函数的性质与图象（同步练习）-【学而思·PPT课件分层练习】2025-2026学年高一数学必修第三册（人教B版）

7.3.4　正切函数的性质与图象 基础过关练 题组一　正切(型)函数的定义域、值域 1.(2025安徽淮南二中月考)与函数y=tan的图象不相交的一条直线的方程是(　　) A.x=-　　　　B.x= C.x=　　　　D.x=- 2.(2025山东日照期末)函数y=tan,x∈的值域为　　　　　.  3.(2024上海浦东新区期中)函数f(x)=tan2x-tan x,x∈的最大值与最小值之和为　　　　.  题组二　正切(型)函数的奇偶性、周期性、单调性、图象的对称性 4.(多选题)(2025广东广州三校期末联考)已知函数f(x)=tan(ωx+φ),其图象的两个相邻的对称中心间的距离为,且f(0)=,则函数f(x)的(　　) A.最小正周期为 B.定义域为 C.图象的对称中心为-,0(k∈Z) D.单调递增区间为-,+(k∈Z) 5.(2025北京首师大二附中月考)设a=tan 1,b=tan 2,c=tan 3,则a,b,c的大小关系为(　　) A.a>c>b　　　　B.a<b<c　　　　C.a>b>c　　　　D.a<c<b 6. (2024山东青岛期末)已知f(x)=2 023sin x+2 024tan x-1,则 f(-2)+f(-1)+f(0)+f(1)+f(2)=　　　　.  题组三　正切(型)函数的图象及应用 7.(2025广东广州华南师大附中月考)已知函数f(x)=tan x+|tan x|,则下列结论中正确的是(　　) A.f(x)的最小正周期为 B.f(x)的值域为(-∞,+∞) C.点是f(x)图象的一个对称中心 D.不等式f(x)>2的解集为(k∈Z) 8.(多选题)(2025安徽合肥第七中学月考)已知函数f(x)=tan(ωx-φ)(ω>0,0<φ<π)的部分图象如图所示,则(　　) A.ω=2 B.φ= C. f(x)的图象与y轴的交点坐标为 D.函数y=|f(x)|的图象关于直线x=对称 能力提升练 题组　正切(型)函数的图象与性质的应用 1.(2025福建厦门双十中学月考)函数y=+的定义域为(　　) A.　　　　B. C.∪　　　　D.∪ 2. (2025河南南阳期中)若函数f(x)=tan(ωx+φ)(ω>0,φ>0)的图象与直线y=a的两个相邻交点之间的距离为,且f为奇函数,则φ的最小值为(　　) A.　　　　B.　　　　C.　　　　D. 3.(2024四川德阳第五中学月考)已知函数f(x)的部分图象如图所示,则f(x)的解析式可能是(　　) A.f(x)=sin(tan x)　　　　B.f(x)=tan(sin x) C.f(x)=cos(tan x)　　　　D.f(x)=tan(cos x) 4.(2025内蒙古包头段考)已知函数f(x)=tan(ω>0),则下列说法正确的是(　　) A.若f(x)的最小正周期是2π,则ω=2 B.当ω=1时,f(x)图象的对称中心为(k∈Z) C.当ω=2时,f<f D.若f(x)在区间上单调递增,则0<ω≤ 5.(多选题)(2024江苏徐州期末)如图,函数f(x)=tan(2x+φ)的部分图象与坐标轴分别交于点D,E,F,且△DEF的面积为,则(　　) A.点D的纵坐标为1 B. f(x)在上单调递增 C.点是f(x)图象的一个对称中心 D. f(x)的图象可由y=tan x的图象上各点的横坐标变为原来的(纵坐标不变),再将得到的图象向左平移个单位得到 6.(2025河北衡水调研)若函数f(x)=|tan(ωx-ω)|(ω>0)的最小正周期为4,则下列区间中是f(x)的单调递增区间的是(　　) A.　　　　B.　　　　C.　　　　D.(3,4) 7.(多选题)(2025北京西城模拟)若函数f(x)=则(　　) A. f(x)的值域为(-1,+∞) B. f(x)的单调递增区间为(k∈Z) C.当且仅当kπ-<x≤kπ(k∈Z)时,f(x)≤0 D. f(x)的最小正周期是2π 8.(2025辽宁沈阳五校协作体期末)已知函数y=3tan+b,x∈是增函数,值域为[-2,0],则a+b=　　　　.  9.(2024上海向明中学期中)若函数f(x)=7tan x,g(x)=5sin 2x,则y=f(x)和y=g(x)在x∈的所有公共点的横坐标的和为　　　　.  10.已知函数f(x)=tan,ω>0. (1)若ω=2,函数f(x+m)的图象经过原点,求正数m的最小值; (2)已知函数y=f(x)在[a,b](a<b)上满足:方程f(x)=在[a,b]上至少存在2 024个根,设满足上述条件的[a,b]中,b-a的最小值为M. ①用ω表示M; ②若M不小于2 024,求ω的取值范围. 11.(2024山东潍坊期末)已知函数f(x)=x2+2xtan θ-1,其中θ≠+kπ,k∈Z. (1)当θ=-,x∈[-1,]时,求函数f(x)的最大值与最小值; (2)若函数g(x)=为奇函数,求θ的值; (3)求使y=f(x)在区间[-1,]上单调的θ的取值范围. 答案与分层梯度式解析 7.3.4　正切函数的性质与图象 基础过关练 1.D 4.CD 5.A 7.D 8.ABD 1.D　令2x-≠+kπ,k∈Z,得x≠+,k∈Z. 当k=-1时,x≠-,故直线x=-与函数y=tan的图象不相交. 2.答案　(-1,) 解析　∵x∈,∴x-∈, ∴tan∈(-1,),∴函数的值域为(-1,). 3.答案　 解析　令tan x=t,因为x∈,所以t∈[-1,1],则原函数可转化为y=t2-t=-,t∈[-1,1], 易知y=t2-t在t∈R上的图象的对称轴方程为t=,函数y=t2-t在t∈上单调递减,在t∈上单调递增,所以当t=-1时,ymax=2,当t=时,ymin=-,所以函数f(x)=tan2x-tan x的最大值与最小值之和为2-=. 4.CD　由正切函数的性质可知,其图象的两个相邻对称中心间的距离是半个周期,所以×=,解得ω=2, 由f(0)=tan φ=,0<φ<,可得φ=,则f(x)=tan,其最小正周期为,故A错误; 令2x+≠+kπ,k∈Z,得x≠+,k∈Z,所以函数的定义域为,故B错误; 令2x+=,k∈Z,得x=-,k∈Z,所以函数f(x)的图象的对称中心为,k∈Z,故C正确; 令-+kπ<2x+<+kπ,k∈Z,解得-<x<+,k∈Z,所以函数f(x)的单调递增区间是-,+(k∈Z),故D正确. 5.A　易知函数y=tan x在上单调递增,且恒大于0,在上单调递增,且恒小于0. 因为<1<<2<3<π,所以tan 2<tan 3<0,tan 1>0,所以a>c>b. 6.答案　-5 解析　令g(x)=2 023sin x+2 024tan x, 易知y=sin x与y=tan x均为奇函数, 所以g(x)也为奇函数,故g(-x)=-g(x), 则f(-2)+f(-1)+f(0)+f(1)+f(2) =g(-2)-1+g(-1)-1+g(0)-1+g(1)-1+g(2)-1 =-g(2)+g(2)-g(1)+g(1)+g(0)-5=-5. 7.D　f(x)=tan x+|tan x| = 作出f(x)的图象,如图: 观察图象可知,f(x)的最小正周期为π,f(x)的值域为[0,+∞),f(x)的图象没有对称中心,故A,B,C错误; 对于D,不等式f(x)>2,即2tan x>2①,此时x∈(k∈Z),由①得tan x>, 解得+kπ<x<+kπ,k∈Z,所以f(x)>2的解集为(k∈Z),故D正确. 8.ABD　由题图可知, f(x)的最小正周期T=,又ω>0,所以=,故ω=2,A正确; 由题图可知,当x=时,函数无意义,故-φ=+kπ,k∈Z,由0<φ<π,得φ=,B正确; 由以上分析得f(x)=tan,所以f(0)=-,即f(x)的图象与y轴的交点坐标为,C错误; 因为|f(x)|=, 所以= ===|f(x)|, 所以函数y=|f(x)|的图象关于直线x=对称(关键点拨:若f(x)的图象关于直线x=a对称,则f(x)=f(2a-x)),D正确. 能力提升练 1.C 2.A 3.D 4.D 5.AC 6.C 7.AD 1.C　由题意可得即 即 即 解得-2≤x≤-或-<x≤. 所以函数y=+的定义域为∪. 2.A　因为函数f(x)=tan(ωx+φ)(ω>0,φ>0)的图象与直线y=a的两个相邻交点之间的距离为, 所以f(x)的最小正周期T=,又T==,所以ω=3,所以f(x)=tan(3x+φ), 则f=tan3x+φ+,又f为奇函数, 所以φ+=(k∈Z),所以φ=-+(k∈Z), 又φ>0,所以φ的最小值为. 3.D　观察题图可知函数f(x)为偶函数,且其定义域为R. 对于A,C,函数的定义域均为,k∈Z,不是R,故排除; 对于B,函数f(x)=tan(sin x)的定义域为R,且f(-x)=tan(sin(-x))=tan(-sin x)=-tan(sin x)=-f(x),为奇函数,故排除; 对于D,函数f(x)=tan(cos x)的定义域为R,且f(-x)=tan(cos(-x))=tan(cos x)=f(x),为偶函数,故D符合. 4.D　A选项,f(x)的最小正周期是=2π,所以ω=,故A错误; B选项,当ω=1时,f(x)=tan,令x-=,则x=+,k∈Z,所以此时f(x)图象的对称中心为(k∈Z),故B错误; C选项,当ω=2时,f(x)=tan,则f=tan, f =tan=tan=tan= tan, 因为-<-<-<0,y=tan x在上单调递增,所以tan<tan,即f <f ,故C错误; D选项,若f(x)在区间上单调递增,则k∈Z,解得k∈Z,又因为ω>0,所以0<ω≤,故D正确. 5.AC　由已知得函数f(x)的周期为,OD=f(0)=tan φ, 因为△DEF的面积为,所以××tan φ=, 所以tan φ=,即点D的纵坐标为tan φ=1,故A正确; 由tan φ=,|φ|<可得φ=,故f(x)=tan,当x∈时,2x+∈-,,而y=tan x在上不具有单调性,故f(x)在上不单调递增,故B错误; 令2x+=,k∈Z,得x=-,k∈Z, 故对任意k∈Z,点都是f(x)图象的对称中心,当k=1时,-=,故点是f(x)图象的一个对称中心,故C正确; 将y=tan x图象上各点的横坐标变为原来的,纵坐标不变,可得y=tan 2x的图象,再把得到的图象向左平移个单位得到y=tan的图象,故D错误. 6.C　作出函数y=|tan u|的图象如图所示. 由图可知,函数y=|tan u|的最小正周期为π,且其单调递增区间为(k∈Z), 则函数f(x)的最小正周期T==4,解得ω=, 所以f(x)=. 令kπ<x-<kπ+(k∈Z),得4k+1<x<4k+3(k∈Z),所以函数f(x)的单调递增区间为(4k+1,4k+3)(k∈Z),同理可得函数f(x)的单调递减区间为(4k-1,4k+1)(k∈Z),所以函数f(x)在上单调递减,在上不单调,在上单调递增,在(3,4)上单调递减. 7.AD　当tan x>sin x,即kπ<x<kπ+(k∈Z)时, f(x)=tan x,且f(x)∈(0,+∞);当tan x≤sin x,即kπ-<x≤kπ(k∈Z)时, f(x)=sin x,且f(x)∈(-1,1). 综上, f(x)的值域为(-1,+∞),故A正确. 画出y=f(x)的大致图象,如图中实线部分所示. 由图可得,f(x)的单调递增区间是2kπ-,2kπ+和(k∈Z),故B错误. 当x∈(k∈Z)时, f(x)≤0,故C错误. 结合f(x)的图象可知f(x)的最小正周期是2π,故D正确. 8.答案　2+ 解析　由题意得a>0,当x=0时,y=-2,即-2=3tan+b,解得b=;当x=时,y=0,即3tan+=0,所以-=kπ-(k∈Z), 又a>0,所以a=(k∈N).因为x∈时,函数y=3tan+b为增函数,所以最小正周期T==aπ≥,即a≥.所以a=≥(k∈N),所以k=0,所以a=2,所以a+b=2+. 9.答案　3π 解析　因为f(x)=7tan x的图象的对称中心为,k∈Z,g(x)=5sin 2x的图象的对称中心为,k∈Z,所以两函数的图象的交点也关于对称,k∈Z. 易知函数f(x)=7tan x,g(x)=5sin 2x的最小正周期均为π. 在同一平面直角坐标系内作出两函数在x∈内的图象,如图所示, 由图知两函数的图象共有6个交点, 设从左到右的6个交点的横坐标依次为x1,x2,x3,x4,x5,x6,且x1<x2<x3<x4<x5<x6, 则x1,x3关于0对称,x2=0,x4,x6关于π对称,x5=π, 所以x1+x2+x3+x4+x5+x6=3π. 10.解析　(1)当ω=2时, f(x)=tan, 所以f(x+m)=tan, 因为函数f(x+m)的图象经过原点, 所以tan=0, 所以2m+=kπ,k∈Z,解得m=-+,k∈Z, 又m>0,所以当k=1时,m取得最小值,为,即正数m的最小值为. (2)①方程f(x)=在[a,b]上至少存在2 024个根,即当x∈[a,b]时,tan=至少有2 024个根,即当x∈[a,b]时,ωx+=kπ+(k∈Z)至少有2 024个根,即当x∈[a,b]时,x=(k∈Z)至少有2 024个根,且在所有满足上述条件的[a,b]中,b-a的最小值为M, 因此b-a至少包含2 023个周期,即b-a≥2 023×,故2 023×=M,即M=. ②若M不小于2 024,即M=≥2 024, 又ω>0,所以0<ω≤, 即ω的取值范围为. 11.解析　(1)当θ=-时, f(x)=x2-x-1=-. 易知f(x)的图象开口向上,当x∈R时,其对称轴为直线x=,若x∈[-1,],则当x=时, f(x)min=-;当x=-1时, f(x)max=. (2)由题可得g(x)=x-+2tan θ, ∵g(x)为奇函数,∴0=g(-x)+g(x)=-x++2tan θ+x-+2tan θ=4tan θ,∴tan θ=0,∴θ=kπ,k∈Z. (3)函数f(x)的图象的对称轴为直线x=-tan θ. ∵f(x)在区间[-1,]上单调, ∴-tan θ≥或-tan θ≤-1,即tan θ≤-或tan θ≥1,∴-+kπ<θ≤-+kπ,k∈Z,或+kπ≤θ<+kπ,k∈Z,故θ的取值范围是∪+kπ,+kπ,k∈Z. 31 学科网（北京）股份有限公司 $