7.1.2 弧度制及其与角度制的换算（同步练习）-【学而思·PPT课件分层练习】2025-2026学年高一数学必修第三册（人教B版）

7.1.2　弧度制及其与角度制的换算 基础过关练 题组一　弧度制及角度与弧度的互化 1.(2025北京海淀期中)420°角对应的弧度大小和终边所在的象限分别是(　　) A.,第一象限　　　　B.,第一象限 C.,第二象限　　　　D.,第二象限 2.(2025山东菏泽段考)时钟的分针在8点到10点20分这段时间里转过的弧度数为(　　) A.π　　　　B.-π　　　　C.π　　　　D.-π 3.已知α=15°,β=,γ=1,θ=105°,φ=,则α,β,γ,θ,φ的大小关系为　　　　　　.  题组二　用弧度制表示终边相同的角 4.(2025山东青岛二中月考)下列与角-的终边相同的角的表达式中正确的是(　　) A.2kπ+(k∈Z) B.k·360°-(k∈Z) C.k·360°-210°(k∈Z) D.kπ+(k∈Z) 5.用弧度制表示终边落在阴影部分内的角θ的集合为　　　　　　　　.  6.(2024江西宜春丰城开学考试)已知角α=1 200°. (1)将α改写成β+2kπ(k∈Z,0≤β<2π)的形式,并指出α是第几象限角; (2)在[-4π,π]上找出与α终边相同的角. 题组三　扇形的弧长公式及面积公式 7.(2025四川南充期末)已知一个扇形的圆心角为,面积为3π,则该扇形的弧长为(　　) A.π　　　　B.π　　　　C.2π　　　　D.6π 8.(2025湖北荆楚优质高中联盟月考)已知扇形的面积为8,其圆心角的弧度数是4,则扇形的周长为　　　　.  9.(2024湖南岳阳湘阴二中竞赛)在面积为定值S的扇形中,扇形的周长最小时,半径是　　　　.  10.(2025河北石家庄辛集期末)砖雕是我国古建筑雕刻中的重要艺术形式,传统砖雕精致细腻、气韵生动、极富书卷气.图1是一个扇环形砖雕,其形状可视为将扇形OCD截去同心扇形OBA后所得的图形,如图2,已知OA=0.2 m,AD=0.3 m,∠AOB=100°,则该扇环形砖雕的面积为　　　　m2.  能力提升练 题组一　弧度制及终边相同的角 1.(2024山东青岛期末)已知k∈Z,下列各组角中,终边相同的是(　　) A.2kπ与kπ　　　　B.2kπ+π与4kπ±π C.kπ+与2kπ±　　　　D.与kπ± 2.(2025山西吕梁期末)午夜零时时针和分针重合,则午夜零时后,时针和分针第1次重合所需时间为　　　　小时,第3次重合时时针所转过的弧度为　　　　rad.  3.(2025河南洛阳期末)图1是某小区的公园,它有一圆形跑道,跑道上有4个出口A,B,C,D(视为点),且将圆四等分(如图2).小明从A点出发,在圆形跑道上按逆时针方向做匀速圆周运动,假设他每分钟转过的圆心角为θ弧度(0<θ<π),3分钟时第一次到达劣弧上(不包括C,D点),15分钟时回到出发点A,则θ的值为　　　　.  　　 题组二　扇形的弧长公式和面积公式及其应用 4.(创新题·新定义)(2024辽宁沈阳月考)军事上通常使用密位制来度量角度,将一个圆周分为6 000等份,每一等份的弧所对的圆心角称为1密位的角.已知我方迫击炮连在占领阵地后,测得敌人两地堡之间的距离是54米,两地堡到我方迫击炮阵地的距离均为1 800米,则我方炮兵战士在摧毁敌方一个地堡后,为了快速准确地摧毁敌方另一个地堡,需要立即将迫击炮转动的角度α=(　　) 注:(i)当扇形的圆心角小于200密位时,扇形的弦长和弧长近似相等;(ii)取π等于3进行计算. A.30密位　　　　B.60密位 C.90密位　　　　D.180密位 5.(2024山西运城期末)《九章算术》是中国古代的一部数学专著.第一章《方田》主要讲各种形状的田地面积的计算,其中将圆环形或不足一匝的圆环形田地称为“环田”(注:匝,意为周,环绕一周叫一匝).书中提到如图所示的一块“环田”:中周九十五步,外周一百二十五步,所在扇形的圆心角大小为5(单位:弧度),则该“环田”的面积为(　　) A.600平方步　　　　B.640平方步 C.660平方步　　　　D.700平方步 6.(2025江苏无锡锡山高级中学期末)蚊香(如图1)具有悠久的历史.某校数学社团用软件制作的“蚊香”如图2所示,画法如下:作一个边长为1的等边△ABC,然后以B为圆心,AB为半径逆时针画圆弧,交线段CB的延长线于点D(记为第一段圆弧),再以点C为圆心,CD为半径逆时针画圆弧,交线段AC的延长线于点E,再以点A为圆心,AE为半径逆时针画圆弧,……,以此类推,当得到的“蚊香”恰好有5段圆弧时,“蚊香”的长度为(　　) A.8π　　　　B.10π C.18π　　　　D.20π 7.(2025广东广州执信中学月考)中国早在八千年前就有了玉器,古人视玉为宝,佩玉不再是简单的装饰,而有着表达身份、感情、风度以及语言交流的作用.不同形状、不同图案的玉佩又代表不同的寓意.如图1所示的扇形玉佩,其形状是扇形的一部分(如图2),经测量知AB=CD=4,BC=3,AD=7,则该玉佩的面积为(　　) 　　 A.π-　　　　B.π-　　　　 C.π　　　　D.π 8.(2025吉林长春期末)把一张半径为2的圆形纸片按如图所示的方式折叠两次后展开,图中的虚线表示折痕,则劣弧BC的长是(　　) A.　　　　B.　　　　C.　　　　D. 9.(创新题·新情境)已知圆O的半径为1,P为圆周上一点,现将如图放置的边长为1的正方形(正方形的顶点A和点P重合)沿着圆周逆时针滚动.经过若干次滚动,点A第一次回到点P的位置,则点A走过的路程为(　　) A.2π　　　　B.π C.π　　　　D.π 10.(2025辽宁沈阳郊联体期中)“一湾如月弦初上,半壁澄波镜比明”描述的是敦煌八景之一的月牙泉.如图所示,月牙泉由两段在同一平面内的圆弧形岸连接围成,两岸连接点间距离为60米,外岸为半圆形,内岸圆弧所在圆的半径为60米.某游客绕着月牙泉的岸边步行一周,则该游客步行的路程为　　　　米.  11.(2024江苏苏南八校期末联考)分别以等边三角形的每个顶点为圆心,边长为半径,在另两个顶点间作一段弧,三段弧围成的曲边三角形就是勒洛三角形.如图,已知某勒洛三角形的一段弧的长度为2π,则该勒洛三角形的面积是　　　　.  12.(2024山东青岛期末)如图,C为半圆O内一点,AB=2,∠BOC=60°,∠BCO=90°,将△BOC绕圆心O按逆时针方向旋转至△B'OC',点C'在OA上,求边BC扫过区域(图中阴影部分)的面积. 答案与分层梯度式解析 7.1.2　弧度制及其与角度制的换算 基础过关练 1.A 2.B 4.C 7.C 1.A　420°=420×=.因为420°=360°+60°,且60°角为第一象限角,所以420°角为第一象限角,其终边位于第一象限. 2.B　分针按顺时针方向转,每分钟转6°,则分针在8点到10点20分这段时间里转过的角度数为-6°×(2×60+20)=-840°,化为弧度数为-840×=-π. 3.答案　α<β<γ<θ=φ 解析　解法一(角度化为弧度):α=15°=15×=,θ=105°=105×=,因为<<1<,所以α<β<γ<θ=φ. 解法二(弧度化为角度):β==°=18°,γ=1≈57.30°,φ=°=105°,因为15°<18°<57.30°<105°,所以α<β<γ<θ=φ. 4.C　-=°=-210°,所以与角-的终边相同的角的表达式为2kπ-(k∈Z)或k·360°-210°(k∈Z). 5.答案　θ2kπ-≤θ<2kπ+,k∈Z 解析　330°角的终边与-30°角的终边相同, 又-30°=-,75°=75×=, ∴终边落在阴影部分内的角θ的集合为θ2kπ-≤θ<2kπ+,k∈Z. 6.解析　(1)α=1 200°=1 200×==+3×2π.因为<<π,角α与的终边相同, 所以角α是第二象限角. (2)由(1)可得与角α终边相同的角为2kπ+,k∈Z. 令-4π≤2kπ+≤π,k∈Z,得-≤k≤,k∈Z, 所以k=-2或k=-1或k=0. 故在[-4π,π]上与角α终边相同的角是-,-,. 7.C　设扇形的半径为r,圆心角为α,弧长为l,面积为S, 由题意得所以l=2π. 8.答案　12 解析　设扇形的弧长为l,半径为r,由扇形圆心角的弧度数是4,可得l=4r,又因为S扇=lr=8,即×4r2=8,所以r2=4,故r=2.故扇形的周长为l+2r=4r+2r=6r=12. 9.答案　 解析　设扇形的半径为r,圆心角为α, 则扇形的弧长为αr, 由题意得S=αr2,故α=, 所以扇形的周长C=2r+αr=(2+α)r=r=2r+,由基本不等式得C=2r+≥2=4, 当且仅当2r=,即r=时,等号成立, 故扇形的周长最小时,半径是. 10.答案　 解析　∠AOB=100°=, 因为OA=0.2 m,AD=0.3 m,所以OD=0.5 m, 所以S扇形OCD=×∠AOB×OD2=××=(m2),S扇形OAB=×∠AOB×OA2=××=(m2),则该扇环形砖雕的面积S=S扇形OCD-S扇形OAB=-=(m2). 能力提升练 1.B 4.A 5.C 6.B 7.A 8.D 9.D 1.B　A中,因为2kπ的终边在x轴的非负半轴上,kπ的终边在x轴上,所以2kπ与kπ不是终边相同的角;B中,2kπ+π与4kπ±π是终边相同的角;C中,因为kπ+的终边落在直线y=x上,2kπ±的终边落在y=x(x≥0)和y=-x(x≥0)两条射线上,所以kπ+与2kπ±不是终边相同的角;D中,因为的终边落在坐标轴上,kπ±的终边落在y轴上,所以与kπ±不是终边相同的角. 2.答案　;- 解析　设从午夜零时起,分针走了t小时后与时针重合, 易知分针每小时转过的弧度为-2π,时针每小时转过的弧度为-, 则当时针和分针重合时,有2πt-t=2kπ,k∈N*,解得t=k,k∈N*. 当k=1时,t=. 当k=3时,t=,这时时针所转过的弧度为-×=-. 3.答案　 信息提取　①按逆时针方向做匀速圆周运动;②每分钟转过的圆心角为θ弧度(0<θ<π);③15分钟时回到出发点A;④3分钟时第一次到达劣弧上(不包括C,D点). 数学建模　利用条件“15分钟时回到出发点A”列出等式,利用“3分钟时第一次到达劣弧上(不包括C,D点)”列出不等式,解不等式得出结论. 解析　每分钟转过的圆心角为θ弧度,则15分钟转过的圆心角为15θ弧度. 由题意得15θ=2kπ,k∈Z,所以θ=,k∈Z. 又小明3分钟时第一次到达劣弧上,所以π<3θ<,即π<<,k∈Z,解得k=3,所以θ=. 4.A　由题意得,1密位==弧度.因为圆心角小于200密位时,扇形的弦长和弧长近似相等,所以α==弧度.因为÷=30,所以迫击炮转动的角度为30密位. 5.C　由题意得,外周圆弧的半径r外==25步,内周圆弧的半径r内==19步, 因此该“环田”的面积S=×5×(252-192)=660平方步. 6.B　由题意知,每段圆弧所对的圆心角均为,则第一段圆弧的长度为×1=,第二段圆弧的长度为×2=,第三段圆弧的长度为×3=2π,第四段圆弧的长度为×4=,第五段圆弧的长度为×5=, 所以当得到的“蚊香”恰好有5段圆弧时,“蚊香”的长度为++2π++=10π. 7.A　如图所示,延长AB,DC交于点O,过点O作OF⊥AD于F,交BC于E,由AB=CD=4,知OB=OC,且CD=AB,则点E,F分别为BC,AD的中点. 由BC∥AD,可得=,即==,解得OB=3, 所以△OBC是边长为3的等边三角形,所以∠BOC=, 所以玉佩的面积S=S扇形OAD-S△OBC=·∠BOC·OA2-BC·OE=××72-×3×=-. 8.D　过点O作OH⊥AB于H,连接OA,OB. 可得OH=OB(由折叠性质可得线段关系),AB∥CD, 所以∠OBH=,所以∠BOD=,所以∠BOC=, 所以劣弧BC的长是×2=. 9.D　设第i(i∈N+)次滚动后A点、B点的位置为Ai,初始位置的A记为A0,B记为B0,如图,可知4次滚动后,A点到达圆周上的A4处,8次滚动后,A点到达圆周上的A8处,12次滚动后A点第一次回到点P的位置,相当于正方形在圆内滚动了三圈. 因为圆O的半径r=1,正方形的边长a=1,所以以正方形的一边为弦时所对应的圆心角为, 设第i(i∈N+)次滚动后点A走过的路程为si, 则s1=A1B1=×1=,s2=A1A8=×=,s3=s1=,s4=0, 又s1+s2+s3+s4=s5+s6+s7+s8=s9+s10+s11+s12, 所以点A所走过的路程为3(s1+s2+s3+s4)=π. 10.答案　(40+30)π 解析　设月牙泉的两岸连接点分别为Q,T,外岸圆弧所在圆的圆心为O,内岸圆弧所在圆的圆心为P,月牙泉的示意图如图所示.连接QT,PQ,PT,PO. 易得PO⊥QT.由题意可知QT=60米,PQ=60米,所以sin∠QPO=,所以∠QPO=,所以∠QPT=.所以游客步行的路程为×60+π×30=(40+30)π米. 11.答案　18π-18 解析　由弧长公式可得·AB=2π,解得AB=6,所以由弧和线段AB所围成的弓形的面积为×6×2π-×62=6π-9,故该勒洛三角形的面积为3×(6π-9)+×62=18π-18. 12.解析　由题意可知OB=OA=1,OC=OC'=,BC=B'C'=,∠B'OC=∠B'OC'=,扇形AOB'的面积为,Rt△C'OB'的面积为,故题中B'C'左边空白图形的面积S1=-,而B'C'右边三块空白图形的面积之和S2=××+=+,由此可得空白图形的总面积S=S1+S2=+=,而半圆的面积为,所以所求阴影部分的面积为-=. 31 学科网（北京）股份有限公司 $