7.3.5 已知三角函数值求角（课件）-【学而思·PPT课件分层练习】2025-2026学年高一数学必修第三册（人教B版）

该高中数学课件聚焦“已知三角函数值求角”及“利用三角函数线解不等式”，通过复习三角函数定义与单位圆导入，衔接三角函数图像与性质，搭建从函数值到角的求解支架，为反三角函数学习奠定基础。 其亮点在于采用数形结合，借助单位圆与三角函数线培养几何直观，通过“定象限、求锐角、用诱导公式”的步骤化解题发展推理能力，以符号与集合精确表达角的范围强化数学语言。典例中作图分析sinα、cosα范围，帮助学生直观理解，教师可依此提升教学效率，学生能培养逻辑思维与空间观念。

7.3.5　已知三角函数值求角 知识 清单破 知识点 已知三角函数值求角 1.已知正弦值求角 一般地,对于正弦函数y=sin x,如果已知函数值y(y∈[-1,1]),那么在 上有唯一的x值和 它对应,记为x=arcsin y. 第七章 三角函数 高中同步 2.已知余弦值求角 一般地,对于余弦函数y=cos x,如果已知函数值y(y∈[-1,1]),那么在[0,π]上有唯一的x值和它对 应,记为x=arccos y. 第七章 三角函数 高中同步 3.已知正切值求角 一般地,如果y=tan x(y∈R)且x∈ ,那么对每一个正切值y,在开区间 内,有且只 有一个角x使tan x=y,这个x记为arctan y,即x=arctan y. 第七章 三角函数 高中同步 讲解分析 利用三角函数线求解不等式时,通常采用数形结合的方法,求解关键是恰当寻求点.一般来说, 对于sin α≥b,cos α≥a(或sin α≤b,cos α≤a),只需作直线y=b,x=a与单位圆相交,连接原点和交 点即得角的终边所在的位置,此时再根据方向即可确定相应的α的范围;对于tan α≥c(或tan α ≤c),取点(1,c),连接该点和原点并反向延长,即得角的终边所在的位置,然后结合图形可确定 相应的α的范围. 注意:确定区域时,可以将终边绕原点顺时针(或逆时针)转动,观察函数值的变化,从而确定符 合条件的区域. 疑难 情境破 疑难 1 利用三角函数线解不等式 第七章 三角函数 高中同步 典例 求满足下列条件的角α的取值范围. (1)sin α≥ ;(2)- ≤cos α< . 第七章 三角函数 高中同步 解析    (1)如图1所示,作直线y= ,交单位圆于A,B两点,作射线OA,OB.当OA或OB为角α的终 边时,sin α= .当α的终边落在阴影部分(包括边界)时,sin α≥ .故满足条件的角α的取值范 围为 α 2kπ+ ≤α≤2kπ+ ,k∈Z .   图1 (2)如图2所示,作直线x=- ,x= ,分别交单位圆于点B,C,D,A,作射线OA,OB,OC,OD(OA,OD为 第七章 三角函数 高中同步 虚线).当OB或OC为角α的终边时,cos α=- ;当OA或OD为角α的终边时,cos α= .当α的终边 落在阴影部分时,- ≤cos α< .故满足条件的角α的取值范围为 α 2kπ- ≤α<2kπ- ,k∈Z 或2kπ+ <α≤2kπ+ ,k∈Z .   第七章 三角函数 高中同步 讲解分析 　　已知角x的一个三角函数值,求角x,所得的角不一定只有一个,角的个数要根据角的取值 范围来确定,这个范围一般会在题目中给定.如果在这个范围内符合要求的角不止一个,且角 的终边不在坐标轴上,那么可以按照以下步骤来解决: (1)由已知三角函数值的符号确定角的终边所在的象限; (2)若函数值为正数,先求出对应的锐角α,若函数值为负数,先求出与其绝对值对应的锐角α; (3)根据角的终边所在的象限,由诱导公式得出[0,2π)内的角.如果适合已知条件的角是第二象 限的角,那么它等于 π-α;如果适合已知条件的角是第三象限的角,那么它等于π+α;如果适合已 知条件的角是第四象限的角,那么它等于2π-α; (4)如果要求整个实数集上适合条件的角的集合,那么利用终边相同的角的表达式来写出. 疑难 2 已知三角函数值求角 第七章 三角函数 高中同步 典例 已知tan α=-2,求满足下列条件的角α. (1)α∈ ; (2)α∈[0,2π]; (3)α∈R. 第七章 三角函数 高中同步 解析    (1)由正切函数在开区间 上单调递增可知,符合条件tan α=-2的角只有一个,即α =arctan(-2). (2)∵tan α=-2<0, ∴α是第二或第四象限角, ∴α=π-arctan 2或α=2π-arctan 2. (3)α=kπ+arctan(-2)(k∈Z). 第七章 三角函数 高中同步 $