7.3.4 正切函数的性质与图象（课件）-【学而思·PPT课件分层练习】2025-2026学年高一数学必修第三册（人教B版）

该高中数学课件聚焦正切函数的性质与图象，涵盖定义域、值域、周期性等核心知识点，通过对比正弦余弦函数性质导入，搭建从已知到未知的学习支架，帮助学生构建三角函数知识脉络。 其亮点在于结合知识辨析题、典例解析及性质对比表，以问题驱动培养数学眼光，用“整体代换”等方法发展数学思维，借助符号表达强化数学语言。例如判断单调性正误培养批判性思维，典例求单调区间体现逻辑推理，助力学生深化理解，教师可高效开展教学。

7.3.4　正切函数的性质与图象 知识 清单破 知识点 正切函数的性质与图象 第七章 三角函数 高中同步 函数 y=tan x 图象   定义域   值域 R 周期性 最小正周期是π 第七章 三角函数 高中同步 奇偶性 奇函数 零点 kπ,k∈Z 单调性 在每一个开区间 (k∈Z)上都 是单调递增的 对称性 图象是中心对称图形,对称中心的坐标为  (k∈Z),没有对称轴 第七章 三角函数 高中同步 知识辨析 判断正误,正确的画“√”,错误的画“✕”. 1.正切函数在整个定义域内是增函数.(　    ) 2.正切函数图象上相邻两个对称中心的距离等于周期π. (　    ) 3.函数y=tan x为奇函数,故对任意x∈R都有tan(-x)=-tan x. (　    ) 4.正切函数的图象有无数条对称轴,对称中心的坐标为(kπ,0),k∈Z. (　    ) 第七章 三角函数 高中同步 1.✕    正切函数y=tan x在每一个开区间 (k∈Z)上都单调递增,但在整个定义 域上不具备单调性. 答案 2.✕　正切函数图象上相邻两个对称中心的距离等于半个周期 . 3.✕　当x= +kπ(k∈Z)时,tan x没有意义,此时式子tan(-x)=-tan x不成立. 4.✕ 第七章 三角函数 高中同步 讲解分析 疑难 情境破 疑难 1 正切函数的单调性及其应用 1.正切型函数y=Atan(ωx+φ)(A>0,ω≠0,φ是常数)的单调区间的求法 (1)若ω>0,由于y=tan x在每一个单调区间上都是单调递增的,故可用“整体代换”的思想,令k π- <ωx+φ<kπ+ ,k∈Z,解得的x的范围即为函数的增区间. (2)若ω<0,可先利用诱导公式把y=Atan(ωx+φ)转化为y=Atan[-(-ωx-φ)]=-Atan(-ωx-φ),即先把x的 系数化为正值,再利用“整体代换”的思想,求得的x的范围即为函数的减区间. 第七章 三角函数 高中同步 2.利用正切函数的单调性比较大小 利用正切函数的单调性比较大小时,应先把不在同一单调区间内的角化到同一单调区间内, 再利用单调性比较大小. 第七章 三角函数 高中同步 典例1 求下列函数的单调区间. (1)y=tan ; (2)y=3tan . 第七章 三角函数 高中同步 思路点拨    若x的系数是正数,则直接根据正切函数的单调性建立不等式求解;若x的系数是 负数,则先利用诱导公式将其化为正数,然后根据正切函数的单调性建立不等式求解. 第七章 三角函数 高中同步 解析    (1)令- +kπ<2x- < +kπ(k∈Z),得- + <x< + (k∈Z). ∴函数y=tan 的单调递增区间为 (k∈Z),无单调递减区间. (2)y=3tan =-3tan , 令kπ- < x- <kπ+ ,k∈Z, 得2kπ- <x<2kπ+ ,k∈Z, ∴y=3tan 的单调递减区间为 ,k∈Z,无单调递增区间. 第七章 三角函数 高中同步 典例2　比较下列各组数的大小: (1)tan 与tan ; (2)tan 126°与tan 496°. 第七章 三角函数 高中同步 解析    (1)∵y=tan x在 上单调递增,- <- <- < ,∴tan <tan . (2)tan 496°=tan 136°, ∵当90°<x<270°时,y=tan x单调递增,270°>136°>126°>90°, ∴tan 136°>tan 126°,即tan 496°>tan 126°. 第七章 三角函数 高中同步 讲解分析 疑难 2 与正切函数有关的函数的定义域、对称性、奇偶性、周期性 1.定义域、对称性 　　研究函数的性质时,首先要确定函数的定义域,求与正切函数有关的函数的定义域时,除 了满足函数定义域的一般要求外,还要注意y=tan x 有意义时,x≠ +kπ,k∈Z. 　　对于正切型函数y=Atan(ωx+φ)(A≠0,ω>0)的定义域、对称性问题,解题时一般将“ωx+ φ”视为一个整体.令ωx+φ≠kπ+ ,k∈Z,求解x即可得其定义域;令ωx+φ= ,k∈Z,求解x即可 得其图象的对称中心的横坐标. 第七章 三角函数 高中同步 2.奇偶性 　    y=tan x是奇函数,其图象关于原点对称.若y=tan(ωx+φ)(ω≠0)是奇函数,则φ= (k∈Z). 第七章 三角函数 高中同步 3.周期性 　　函数y=Atan(ωx+φ)(Aω≠0)的最小正周期T= ,常常利用此公式来求与正切函数有关的 函数的周期. 解与正切函数有关的三角不等式时,先确定在一个周期 内使不等式成立的ωx+φ的范 围,再根据正切函数的周期性,得出ωx+φ满足的不等式并求解. 第七章 三角函数 高中同步 典例 设函数f(x)=tan . (1)求函数f(x)的定义域、最小正周期以及图象的对称中心; (2)求不等式-1≤f(x)≤ 的解集. 第七章 三角函数 高中同步 解析    (1)令 - ≠ +kπ(k∈Z), 得x≠ +2kπ(k∈Z). 所以f(x)的定义域是 . 因为ω= ,所以最小正周期T= = =2π. 令 - = (k∈Z),得x=kπ+ (k∈Z),故f(x)图象的对称中心是 ,k∈Z. (2)由-1≤tan ≤ , 得- +kπ≤ - ≤ +kπ(k∈Z), 解得 +2kπ≤x≤ +2kπ(k∈Z). 第七章 三角函数 高中同步 所以不等式-1≤f(x)≤ 的解集是 . 第七章 三角函数 高中同步 $