7.3.3 余弦函数的性质与图象（课件）-【学而思·PPT课件分层练习】2025-2026学年高一数学必修第三册（人教B版）

该高中数学课件聚焦余弦函数的性质与图象，系统涵盖定义域、值域、奇偶性等基础内容，延伸至余弦型函数的五点法作图与图象变换。通过知识辨析题激活旧知，如对比正余弦函数图象关系，搭建从基本函数到复合函数的学习支架，帮助学生构建完整知识脉络。 其亮点在于以数学眼光引导学生通过五点法作图培养几何直观，结合典例（如函数y=sin(π/3-2x)与y=cos2x的图象变换）训练数学思维中的推理能力与运算能力。采用表格归纳考点、步骤化解析值域求解，体现数学语言的简洁表达。学生能提升知识应用能力，教师可借助系统资源高效教学。

7.3.3　余弦函数的性质与图象 知识 清单破 知识点 余弦函数的性质与图象 第七章 三角函数 高中同步 函数 y=cos x 图象   定义域 R 值域 [-1,1] 奇偶性 偶函数 周期性 最小正周期为2π 单调性 在[2kπ-π,2kπ](k∈Z)上单调递增; 在[2kπ,2kπ+π](k∈Z)上单调递减 第七章 三角函数 高中同步 零点 kπ+ ,k∈Z 最值 当x=2kπ(k∈Z)时,取最大值,为1; 当x=2kπ+π(k∈Z)时,取最小值,为-1 对称轴 直线x=kπ,k∈Z 对称中心  ,k∈Z 第七章 三角函数 高中同步 知识辨析 判断正误,正确的画“√”,错误的画“✕”. 1.正、余弦函数的图象形状相同,位置不同. (　    ) 2.将函数y=sin x的图象向右平移 个单位可得到函数y=cos x的图象. (　    ) 3.余弦函数y=cos x的图象是轴对称图形,也是中心对称图形. (　    ) 4.在区间[0,3π]上,函数y=cos x仅在x=0时取得最大值1. (　    ) 5.函数y=cos 2x在 上单调递减.(　    ) 第七章 三角函数 高中同步 1.√ 答案 2.✕　将函数y=sin x的图象向右平移 个单位得到的是函数y=sin =-sin  -x =-cos x 的图象. 3.√    4.✕    5.✕ 第七章 三角函数 高中同步 讲解分析 疑难 情境破 疑难 1 余弦(型)函数的图象及其变换 1.用五点法作余弦(型)函数的图象 用五点法作函数y=Acos(ωx+φ)(A>0,ω≠0)的图象的步骤与用五点法作函数y=Asin(ωx+φ)(A> 0,ω≠0)的图象的步骤相同,关键是找到“五点”,即函数图象在[0,2π]上的最高点、最低点、 与x轴的交点,即 , , , , . 第七章 三角函数 高中同步 2.余弦(型)函数的图象变换 (1)同名三角函数的图象之间的变换方法:由函数y=cos x的图象通过平移和伸缩变换可得到y =Acos(ωx+φ)(Aω≠0)的图象,具体变换过程与由y=sin x的图象得到y=Asin(ωx+φ)(Aω≠0)的图 象的过程相同. (2)不同名三角函数的图象之间的变换方法:用诱导公式将不同名三角函数化为同名三角函 数,再进行图象的平移、伸缩变换. 第七章 三角函数 高中同步 典例1 要得到函数y=sin 的图象,只需将函数y=cos 2x的图象 (　    ) A.向右平移 个单位 B.向右平移 个单位 C.向左平移 个单位 D.向左平移 个单位 第七章 三角函数 高中同步 解析    y=sin =cos =cos =cos ,因此要得到函数y=sin  的图象,只需将函数y=cos 2x的图象向左平移 个单位. 第七章 三角函数 高中同步 答案    D 第七章 三角函数 高中同步 典例2　用五点法画出函数y=2cos 2x的简图. 第七章 三角函数 高中同步 解析    列表: 2x 0   π   2π x 0       π y=2cos 2x 2 0 -2 0 2 第七章 三角函数 高中同步 描点,连线,如图1所示.   图1 把y=2cos 2x在[0,π]上的图象向左右扩展,得y=2cos 2x在R上的图象,如图2所示.   图2 第七章 三角函数 高中同步 易错警示 在用五点法画函数y=Acos(ωx+φ)(Aω≠0)的图象时,所取的五点应由ωx+φ=0, ,π, ,2π来确 定,而不是令x=0, ,π, ,2π. 第七章 三角函数 高中同步 讲解分析 常见的求与正、余弦函数有关的函数的值域(最值)的类型及解法 (1)形如y=asin x(或y=acos x)(a≠0)的函数,可利用正弦函数(或余弦函数)的有界性求解,要注 意对a 的正负的讨论. (2)形如y=Asin(ωx+φ)+B (或y=Acos(ωx+φ)+B)(Aω≠0)的函数,可先由定义域求得ωx+φ 的范 围,然后求得sin(ωx+φ)(或cos(ωx+φ))的范围,最后求得值域(最值). (3)形如y=asin2x+bsin x+c(或y=acos2x+bcos x+c)(a≠0)的函数,可利用换元思想,设t=sin x(或t= cos x),转化为二次函数y=at2+bt+c求值域(最值).注意t的范围需要根据定义域来确定. (4)形如y=  (ac≠0)的函数,可以用分离常数法求解,也可以利用正弦 函数(或余弦函数)的有界性建立关于y的不等式反解出y. 疑难 2 与正、余弦函数有关的函数的值域(最值) 第七章 三角函数 高中同步 典例1 已知函数y=a-bcos x的最大值是 ,最小值是- ,则函数y=-4asin 3bx的最大值为　　         . 第七章 三角函数 高中同步 解析    当b>0时,由题意得 ∴  此时函数y=-4asin 3bx即为y=-2sin 3x. 当b<0时,由题意得 ∴  此时函数y=-4asin 3bx即为y=2sin 3x. ∴函数y=-4asin 3bx的最大值为2. 第七章 三角函数 高中同步 答案    2 第七章 三角函数 高中同步 典例2 求下列函数的值域: (1)f(x)= cos ,x∈ ; (2)y=cos2x+2sin x-2,x∈R. 第七章 三角函数 高中同步 思路点拨    (1)将2x+ 看成一个整体,利用余弦函数的单调性求解. (2)先把函数解析式转化为只含sin x的形式,再把sin x看成一个整体,将问题转化为求二次函 数的值域. 第七章 三角函数 高中同步 解析    (1)∵- ≤x≤0, ∴- ≤2x+ ≤ , ∴- ≤cos ≤1, ∴-1≤ cos ≤ , 即f(x)= cos ,x∈ 的值域是[-1, ]. (2)y=cos2x+2sin x-2=-sin2x+2sin x-1=-(sin x-1)2. 令sin x=t,则y=-(t-1)2,t∈[-1,1], ∴y∈[-4,0], ∴函数y=cos2x+2sin x-2,x∈R的值域为[-4,0]. 第七章 三角函数 高中同步 讲解分析 疑难 3 函数y=Acos(ωx+φ)的性质及应用 1.函数y=Acos(ωx+φ)(Aω≠0)的定义域为R,值域为[-|A|,|A|]. 第七章 三角函数 高中同步 2.函数y=Acos(ωx+φ)(Aω≠0)的最小正周期T= . 第七章 三角函数 高中同步 3.对于y=Acos(ωx+φ)(Aω≠0),若为奇函数,则φ=kπ+ (k∈Z);若为偶函数,则φ=kπ(k∈Z). 第七章 三角函数 高中同步 4.形如y=Acos(ωx+φ)(A≠0,ω>0)的函数的单调性及其应用 (1)求单调区间:当A>0(A<0)时,把ωx+φ看作一个整体,利用y=cos x的单调递增区间求得的x的 范围即为函数的单调递增(减)区间,利用y=cos x的单调递减区间求得的x的范围即为函数的 单调递减(增)区间. 　　注意:若ω为负,一般先把ω化为正数再求解. (2)利用单调性比较三角函数值的大小:若三角函数名称相同,则先将不在同一单调区间内的 角化到同一单调区间内,再利用单调性比较大小;若三角函数名称不同,则先利用诱导公式将 其化成相同的名称,再比较大小. 第七章 三角函数 高中同步 5.函数y=Acos(ωx+φ)(Aω≠0)的图象的对称轴方程由ωx+φ=kπ,k∈Z求得,即x= ,k∈Z;图 象的对称中心的横坐标由ωx+φ= +kπ,k∈Z求得,对称中心为 ,k∈Z. 第七章 三角函数 高中同步 典例 已知函数f(x)= cos ,x∈R. (1)求函数f(x)的最小正周期; (2)当x∈ 时,方程f(x)=k恰有两个不同的实数根,求实数k的取值范围; (3)若将函数f(x)的图象向右平移m(m>0)个单位后所得函数g(x)的图象关于原点中心对称,求m 的最小值. 第七章 三角函数 高中同步 解析    (1)函数f(x)的最小正周期T= =π. (2)易知f(x)= cos 在 上单调递增,在 上单调递减, 又f  =0,f  = ,f  =-1, ∴当k∈[0, )时,方程f(x)=k恰有两个不同的实数根. (3)由题意得g(x)= cos . ∵g(x)的图象关于原点中心对称, ∴-2m- = +kπ,k∈Z,得m=- - ,k∈Z. ∵m>0,∴当k=-1时,m取得最小值,为 . 第七章 三角函数 高中同步 $