7.3.2 正弦型函数的性质与图象（课件）-【学而思·PPT课件分层练习】2025-2026学年高一数学必修第三册（人教B版）

该高中数学课件围绕正弦型函数\(y = A\sin(\omega x + \varphi)\)展开，系统涵盖定义、性质、参数影响、图象变换及综合应用，从正弦函数基础出发，通过性质推导、参数辨析逐步深入，搭建从简单到复杂的学习支架。 其亮点在于结合数学思维与模型观念，通过知识辨析题、典例解析及“先平移后伸缩”“先伸缩后平移”等图象变换方法，培养学生推理与应用能力。如五点法作图和根据图象求解析式实例，帮助学生用数学语言表达函数关系，教师可借助丰富例题提升教学效率，学生能系统掌握知识并解决综合问题。

7.3.2　正弦型函数的性质与图象 　　一般地,形如y=Asin(ωx+φ)的函数称为正弦型函数,其中A,ω,φ都是常数,且A≠0,ω≠0. 知识 清单破 知识点 1 正弦型函数 第七章 三角函数 高中同步 1.函数y=Asin(ωx+φ)(A≠0,ω≠0)的定义域为R,值域为[-|A|,|A|]. 知识点 2 函数y=Asin(ωx+φ)的性质 第七章 三角函数 高中同步 2.函数y=Asin(ωx+φ)(A≠0,ω≠0)的最小正周期T= . 第七章 三角函数 高中同步 3.对于y=Asin(ωx+φ)(A≠0,ω≠0),若为奇函数,则φ=kπ(k∈Z);若为偶函数,则φ=kπ+ (k∈Z). 第七章 三角函数 高中同步 4.求y=Asin(ωx+φ)(A>0,ω>0)的单调区间,一般将ωx+φ看成一个整体,代入y=sin x的单调区间 对应的不等式,解x即可. 　　注意:当x的系数ω<0时,一般用诱导公式将x的系数化为正数后求解;若A<0,则单调性 与A>0时相反. 第七章 三角函数 高中同步 5.讨论y=Asin(ωx+φ)(A>0,ω≠0)图象的对称性时,一般将ωx+φ看成一个整体,令ωx+φ=kπ+ (k ∈Z),可求出函数图象的对称轴方程;令ωx+φ=kπ(k∈Z),可求出函数图象的对称中心的横坐 标. 第七章 三角函数 高中同步 1.A(A>0,A≠1)对y=Asin x的图象的影响 　　一般地,函数y=Asin x(A>0,A≠1)的图象可以看作将函数y=sin x的图象上所有点的纵坐 标变为原来的A倍(横坐标不变)而得到的. 知识点 3 参数A,ω,φ对函数y=Asin(ωx+φ)的图象的影响 第七章 三角函数 高中同步 2.φ(φ≠0)对函数y=sin(x+φ)的图象的影响 　　一般地,函数y=sin(x+φ)(φ≠0)的图象可以看作将函数y=sin x的图象上所有的点向左(当 φ>0时)或向右(当φ<0时)平移|φ|个单位而得到的. 第七章 三角函数 高中同步 3.ω(ω>0,ω≠1)对函数y=sin ωx的图象的影响 　　一般地,函数y=sin ωx(ω>0,ω≠1)的图象可以看作将函数y=sin x的图象上所有点的横坐 标变为原来的 倍(纵坐标不变)而得到的. 第七章 三角函数 高中同步 知识点 4 函数y=Asin(ωx+φ)中各量的物理意义 1.|A|表示物体偏离平衡位置的最大距离,称为振幅. 2.ωx+φ称为相位;φ称为初相. 3.周期T= 表示物体完成一次运动所需要的时间. 4.f= = 表示单位时间内能够完成的运动次数,称为频率. 第七章 三角函数 高中同步 知识辨析 判断正误,正确的画“√”,错误的画“✕”. 1.要得到函数y=sin 的图象,可把函数y=sin(-x)的图象向左平移 个单位. (　    ) 2.把函数y=sin x的图象上所有点的横坐标变为原来的2倍(纵坐标不变),得到y=sin 2x的图象.  (　    ) 3.y= sin(ωx+φ)(ω>0)的频率为 ,则ω= . (　    ) 4.函数f(x)= sin 的图象的对称中心为 (k∈Z). (　    ) 第七章 三角函数 高中同步 1.✕    y=sin =sin ,故要得到y=sin 的图象,可把函数y=sin(-x)的图象 向右平移 个单位. 答案 2.✕　得到y=sin x的图象. 3.✕　∵频率为 ,∴最小正周期T= ,∴ω=3π. 4.✕　令2x- =kπ,k∈Z,得x= + ,k∈Z,故对称中心为 (k∈Z). 第七章 三角函数 高中同步 讲解分析 用五点法作函数y=Asin(ωx+φ)图象的步骤 (1)列表. 疑难 情境破 疑难 1 用五点法作正弦型函数的图象 第七章 三角函数 高中同步 ωx+φ 0   π   2π x -   -   -   -   -  y 0 A 0 -A 0 第七章 三角函数 高中同步 (2)描点. (3)连线得函数在一个周期内的图象. (4)通过左右平移得到y=Asin(ωx+φ),x∈R的图象. 第七章 三角函数 高中同步 典例 作出函数y= sin 在 上的图象. 第七章 三角函数 高中同步 解析    令X=2x- ,列表如下: 第七章 三角函数 高中同步 X 0   π     2π x             y 0   0 -1 -  0 第七章 三角函数 高中同步 描点、连线,则y= sin 在 上的图象如图中实线所示.   第七章 三角函数 高中同步 讲解分析 　　一般地,函数y=Asin(ωx+φ)(A>0,ω>0,x∈R)的图象可以由y=sin x的图象经过平移变换和 伸缩变换得到.在图象变换中要注意变换的次序,可以先平移后伸缩,也可以先伸缩后平移,但 是两种变换次序中,平移的量一般是不同的. y=sin x的图象通过变换得到y=Asin(ωx+φ)的图象的过程: (1)先平移后伸缩 　    y=sin x的图象 y= sin(x+φ)的图象  y=sin(ωx+φ)的图象  y=Asin(ωx+ φ)的图象. 疑难 2 函数图象的变换 第七章 三角函数 高中同步 (2)先伸缩后平移 　    y=sin x的图象  y=sin ωx的图象 y=sin(ωx+ φ)的图象  y=Asin(ωx+φ)的图象. 注意:在变换过程中,横向的伸缩和左右平移仅针对x而言,如果x前面有系数ω,需要把系数ω提 出来,再进行变换. 第七章 三角函数 高中同步 典例 由函数y=sin x的图象经过怎样的变换,可以得到函数y=-2sin +1的图象? 第七章 三角函数 高中同步 解析    解法一:y=sin x的图象  y=2sin x的图象  y=-2sin x的图象  y=-2sin 2x的图象  y=-2sin 的图象  y=-2sin +1的图象. 解法二:y=sin x的图象  y=sin 的图象  第七章 三角函数 高中同步 y=sin 的图象  y=-sin 的图象  y=-2sin 的图象  y=-2sin +1的图象. 第七章 三角函数 高中同步 名师点睛 对于函数y=Asin(ωx+φ)+B(A>0,ω>0,φ≠0,B≠0),其图象的基本变换有如下几种: (1)纵向伸缩变换:由A的变化引起,A>1时伸长,A<1时缩短. (2)横向伸缩变换:由ω的变化引起,ω>1时缩短,ω<1时伸长. (3)横向平移变换:由φ的变化引起,φ>0时左移,φ<0时右移. (4)纵向平移变换:由B的变化引起,B>0时上移,B<0时下移. 第七章 三角函数 高中同步 讲解分析 根据三角函数的图象求y=Asin(ωx+φ)的解析式的方法 (1)逐一定参法 ①A的确定:一般可由图象上的最高点、最低点的纵坐标来确定|A|. ②ω的确定:因为T= ,所以往往通过求最小正周期T来确定ω.图象上相邻的两个对称中心 之间的距离为 ,相邻的两条对称轴之间的距离为 ,相邻的对称轴与对称中心之间的距离 为 ,相邻的两个最大(小)值点的横坐标之差的绝对值为T,相邻的最大值点与最小值点的横 坐标之差的绝对值为 . ③φ的确定:i.把图象上的一个已知点的坐标代入y=Asin(ωx+φ)(此时A,ω已知),求得φ;ii.以五点 疑难 3 根据图象求三角函数的解析式 第七章 三角函数 高中同步 法中的第一个点 (也叫初始点)作为突破口来确定φ,注意要根据图象的升降情况找准 第一个点的位置. 　　依据五点法作图时,点的序号与式子的对应关系如下: 　　“第一点”(即图象上升时与x轴的交点):ωx+φ=0; 　　“第二点”(即图象的“峰点”):ωx+φ= ; 　　“第三点”(即图象下降时与x轴的交点):ωx+φ=π; 　　“第四点”(即图象的“谷点”):ωx+φ= ; “第五点”(即图象第二次上升时与x轴的交点):ωx+φ=2π. 　　在用以上方法确定φ的值时,还要注意题目中给出的φ的范围,不在要求范围内的要通过 周期性转化到要求范围内. 第七章 三角函数 高中同步 (2)待定系数法 将图象上若干已知点的坐标代入函数解析式,可以求得相关待定系数A,ω,φ.这里需要注意的 是,若选择的点属于五个点中的某一个点,则要认清它具体对应五点中的哪一个点. (3)图象变换法 运用逆向思维,先确定函数的基本解析式y=Asin ωx,再根据图象平移规律确定相关的参数. 第七章 三角函数 高中同步 典例 函数y=Asin(ωx+φ) ω>0,|φ|< ,x∈R 的部分图象如图所示,则此函数的解析式为 (     )   A.y=-4sin 　    B.y=4sin  C.y=-4sin 　    D.y=4sin  第七章 三角函数 高中同步 解析    由题图得A=±4,最小正周期T=2×[6-(-2)]=16, ∵ω>0,∴ω= = . ①若A>0,则y=4sin , 当x=6时, ×6+φ=2kπ,k∈Z, 即φ=2kπ- ,k∈Z. 又|φ|< ,∴不存在满足条件的φ. ②若A<0,则y=-4sin , 当x=-2时, ×(-2)+φ=2kπ,k∈Z, 第七章 三角函数 高中同步 即φ=2kπ+ ,k∈Z. 又|φ|< ,∴φ= . 综上,函数解析式为y=-4sin . 第七章 三角函数 高中同步 答案    C 第七章 三角函数 高中同步 讲解分析 　　研究函数y=Asin(ωx+φ)的性质时,可类比正弦函数y=sin x的性质,并充分利用整体代换思 想及相关结论,求其单调区间时要特别注意A,ω的符号. 疑难 4 函数y=Asin(ωx+φ)的性质的综合应用 第七章 三角函数 高中同步 典例　已知函数f(x)=2sin (ω>0,0<φ<π)为奇函数,且f(x)图象的相邻两条对称轴之 间的距离为 . (1)当x∈ 时,求f(x)的单调递减区间; (2)将函数f(x)的图象向右平移 个单位,再把横坐标缩短为原来的 (纵坐标不变),得到函数y =g(x)的图象,当x∈ 时,求函数g(x)的值域. 第七章 三角函数 高中同步 解析    因为函数f(x)图象的相邻两条对称轴之间的距离为 , 所以最小正周期T=π,所以ω=2. 因为函数f(x)为奇函数, 所以φ- =kπ,k∈Z, 即φ= +kπ,k∈Z. 因为0<φ<π,所以φ= . 所以f(x)=2sin 2x. (1)令 +2kπ≤2x≤ +2kπ,k∈Z, 解得 +kπ≤x≤ +kπ,k∈Z, 第七章 三角函数 高中同步 又x∈ , 所以函数f(x)的单调递减区间为 . (2)由题意得g(x)=2sin . 当x∈ 时,4x- ∈ , 所以当4x- =- 时,函数g(x)取得最小值,为-2;当4x- = 时,函数g(x)取得最大值,为 . 故当x∈ 时,函数g(x)的值域为[-2, ]. 第七章 三角函数 高中同步 $