7.2.4 诱导公式（课件）-【学而思·PPT课件分层练习】2025-2026学年高一数学必修第三册（人教B版）

该高中数学课件聚焦三角函数诱导公式，系统呈现公式一至八及“奇变偶不变，符号看象限”口诀，通过终边对称关系（如关于x轴、原点对称）衔接终边相同角的三角函数关系，构建公式推导的逻辑脉络，为学生提供学习支架。 其亮点在于以“奇变偶不变”口诀培养抽象能力（数学眼光），通过分类讨论（如n为奇偶的化简）发展推理意识（数学思维），典例解析（如恒等式证明、条件求值）规范数学语言表达。学生能掌握化简技巧，教师可借助系统题型提升教学效率。

7.2.4　诱导公式 知识 清单破 知识点 诱导公式   sin(α+2kπ)=sin α k∈Z 揭示了终边相同的角 的同一三角函数值的 关系 cos(α+2kπ)=cos α tan(α+2kπ)=tan α   sin(-α)=-sin α 揭示了终边关于x轴 对称的两个角的同一 三角函数值的关系 cos(-α)=cos α tan(-α)=-tan α 第七章 三角函数 高中同步   sin(π-α)=sin α 揭示了终边关于y轴 对称的两个角的同一 三角函数值的关系 cos(π-α)=-cos α tan(π-α)=-tan α   sin(π+α)=-sin α 揭示了终边关于原点 对称的两个角的同一 三角函数值的关系 cos(π+α)=-cos α tan(π+α)=tan α 第七章 三角函数 高中同步   sin =cos α 实现了正弦与余弦的相互转 化 cos =sin α   sin =cos α cos =-sin α 第七章 三角函数 高中同步   cos =sin α 实现了正弦与余弦的相互转 化 sin =-cos α   cos =-sin α sin =-cos α 第七章 三角函数 高中同步 1.诱导公式可以统一概括为“k· ±α(k∈Z)”的各三角函数值的化简公式.记忆口 诀:奇变偶不变,符号看象限. (1)“奇”“偶”是对k· ±α(k∈Z)中的整数k来讲的. (2)“变”与“不变”是针对三角函数名称而言的. (3)“象限”指k· ±α(k∈Z)中,将α看成锐角时,k· ±α(k∈Z)所在的象限,根据“一全正、二正 弦、三正切、四余弦”的符号规律确定函数值的符号. 知识拓展 第七章 三角函数 高中同步 举例如下:   第七章 三角函数 高中同步 2.诱导公式在三角形中的应用 在△ABC中,常用到以下结论: sin(A+B)=sin(π-C)=sin C, cos(A+B)=cos(π-C)=-cos C, tan(A+B)=tan(π-C)=-tan C, sin =sin =cos  , cos =cos =sin  . 第七章 三角函数 高中同步 知识辨析 判断正误,正确的画“√”,错误的画“✕”. 1.诱导公式中的角α一定是锐角. (　    ) 2.口诀“符号看象限”指的是把角α看成锐角时变换后的三角函数值的符号. (　    ) 3.若sin <0,且cos >0,则θ为第二象限角. (　    ) 4.cos[-(α-β)]=-cos(α-β). (　    ) 5.sin =±cos α(k∈Z). (　    ) 第七章 三角函数 高中同步 1.✕　正、余弦的诱导公式中角α为任意角,正切的诱导公式中角α为使正切值有意义的任意 角. 答案 2.✕　指的是把α看成锐角时原三角函数值的符号. 3.√    因为sin =cos θ<0,cos =sin θ>0,所以θ为第二象限角. 4.✕　由公式二知cos[-(α-β)]=cos(α-β). 5.✕    当k为偶数时,令k=2n(n∈Z),则sin =sin(nπ-α),此时函数名称不变. 第七章 三角函数 高中同步 讲解分析 利用诱导公式求任意角的三角函数值的步骤 (1)“负化正”:化负角为正角; (2)“大化小”:将大于2π的角化为[0,2π)内的角; (3)“角化锐”:把 内的角转化为 内的角; (4)“锐求值”:求所得的锐角的三角函数值. 疑难 情境破 疑难 1 利用诱导公式解决给角求值问题 第七章 三角函数 高中同步 典例 求下列各式的值. (1)sin +cos +tan ; (2)cos(-120°)sin(-150°)+tan 855°. 第七章 三角函数 高中同步 思路点拨    利用诱导公式将负角、大于 的角的三角函数转化为锐角的三角函数,再进行求 解. 第七章 三角函数 高中同步 解析    (1)sin +cos +tan  =sin +cos +tan  =-sin -cos +tan =- - + =0. (2)cos(-120°)sin(-150°)+tan 855° =-cos(180°-60°)sin(180°-30°)+tan(135°+2×360°) =-(-cos 60°)sin 30°+tan 135° =cos 60°sin 30°+tan(180°-45°) =cos 60°sin 30°-tan 45° = × -1=- . 第七章 三角函数 高中同步 讲解分析 　　解决条件求值问题时,首先要仔细观察条件中的已知式与所求式的角、函数名称及有关 运算之间的差异及联系,再利用诱导公式将已知式向所求式转化,或将所求式向已知式转化. 观察角时,要注意分析已知式与所求式中两个角之间是否具有互余、互补关系,或分析已知 式与所求式中两个角的和、差是不是特殊角等.常见的互余关系: -α与 +α, +α与 -α等; 常见的互补关系: +α与 -α, +α与 -α等 疑难 2 利用诱导公式解决条件求值问题 第七章 三角函数 高中同步 典例 (1)已知cos = ,求sin α+  的值; (2)已知sin =- ,求sin2 -sin 的值. 第七章 三角函数 高中同步 思路点拨    观察已知式与待求式中角的关系,利用诱导公式求值. 第七章 三角函数 高中同步 解析    (1)∵α+ = + , ∴sin =sin =cos α+  = . (2)设 +α=θ,则sin θ=- , ∴sin2 -sin  =sin2 -sin(π-θ) =cos2θ-sin θ =1-sin2θ-sin θ =1- - = . 第七章 三角函数 高中同步 讲解分析 疑难 3 利用诱导公式化简、证明三角函数式 1.三角函数式化简的方法和技巧 (1)方法:化简三角函数式的关键是抓住函数名称之间的关系和角之间的关系,灵活应用相关 的公式及其变形解决问题. (2)技巧:①异名化同名;②异角化同角;③弦切互化. 第七章 三角函数 高中同步 2.证明三角函数式的常用方法 (1)由左边推至右边或由右边推至左边,遵循的是化繁为简的原则. (2)证明左边=A,右边=A,则左边=右边,这里的A起着桥梁的作用. (3)通过作差或作商证明,即左边-右边=0或 =1(右边≠0). 第七章 三角函数 高中同步 典例1 求证:  +  = . 证明    左边= + = +  = =  = =右边, ∴原等式成立. 第七章 三角函数 高中同步 典例2　化简:sin -cos ,n∈Z. 第七章 三角函数 高中同步 解析    原式=sin nπ+  -cos nπ-  ,n∈Z. ①当n为奇数时,设n=2k+1(k∈Z), 则原式=sin -cos (2k+1)π-   =sin π+  -cos  =-sin +cos  =-sin +sin  =0. ②当n为偶数时,设n=2k(k∈Z), 第七章 三角函数 高中同步 则原式=sin -cos 2kπ-   =sin -cos  =sin -sin  =0. 综上,原式=0. 第七章 三角函数 高中同步 解后反思     对于含参数n(n∈Z)的三角函数式的求值问题,由于n为奇数、偶数时,三角函数值有所不同, 所以需对n进行分类讨论. 第七章 三角函数 高中同步 $