7.2.3 同角三角函数的基本关系式（课件）-【学而思·PPT课件分层练习】2025-2026学年高一数学必修第三册（人教B版）

该高中数学课件聚焦同角三角函数的基本关系式，系统呈现平方关系（sin²α+cos²α=1）与商数关系（tanα=sinα/cosα，α≠kπ+π/2），通过知识辨析题导入，衔接三角函数定义，搭建从概念到应用的学习支架。 其亮点在于以问题链驱动，通过典例（如已知sinα求cosα、tanα需分类讨论象限，利用sinα±cosα与sinαcosα关系求值）培养数学思维（逻辑推理、分类讨论）和数学语言表达（化简证明方法总结）。学生能提升运算与推理能力，教师可借助系统案例优化教学效率。

7.2.3　同角三角函数的基本关系式 知识 清单破 知识点 1 同角三角函数的基本关系式 1.平方关系 同一个角α的正弦、余弦的平方和等于1,即sin2α+cos2α=1. 第七章 三角函数 高中同步 2.商数关系 同一个角α的正弦、余弦的商等于角α的正切,即tan α= ,其中角α满足条件α≠kπ+ ,k∈Z. 第七章 三角函数 高中同步 知识辨析 判断正误,正确的画“√”,错误的画“✕”. 1.因为sin2 +cos2 =1,所以对于任意的α,β都有sin2α+cos2β=1成立. (　    ) 2. =±cos 160°. (　    ) 3.对任意角θ,sin2 +cos2 =1. (　    ) 4.对任意角α,都有tan α= 成立. (　    ) 第七章 三角函数 高中同步 答案 1.✕　平方关系中强调的是同一个角. 2.✕　因为cos 160°<0,所以 =-cos 160°. 3.√　在sin2α+cos2α=1中,令α= ,可得sin2 +cos2 =1. 4.✕　当α= +kπ,k∈Z时不成立. 第七章 三角函数 高中同步 讲解分析 疑难 情境破 疑难 1 利用同角三角函数的基本关系式求值 1.已知某三角函数值求同角的其余三角函数值 (1)若给出角所在的象限,则直接利用平方关系及商数关系求解. (2)若未给出角所在的象限,则需根据已知的三角函数值确定角所在的象限,然后利用平方关 系及商数关系求解.若角所在的象限不确定,则需对角所在的象限分类讨论. 第七章 三角函数 高中同步 2.利用sin α±cos α与sin αcos α之间的关系求值 若已知sin α±cos α,sin αcos α 中的一个,则可以利用方程思想求得sin α,cos α 的值,从而解决相 关问题. 　　涉及的三角恒等式有: (1)(sin α+cos α)2=1+2sin αcos α; (2)(sin α-cos α)2=1-2sin αcos α; (3)(sin α+cos α)2+(sin α-cos α)2=2; (4)(sin α-cos α)2=(sin α+cos α)2-4sin α·cos α. 第七章 三角函数 高中同步 典例1 (1)已知sin α=- ,且α是第三象限角,求cos α,tan α的值; (2)已知tan α=2,求2sin α+cos α的值. 第七章 三角函数 高中同步 思路点拨    (1)中明确α是第三象限角,所以只有一种结果. (2)中未指出角α是第几象限角,所以需分类讨论求解. 第七章 三角函数 高中同步 解析    (1)∵sin2α+cos2α=1,sin α=- , ∴cos2α=1-sin2α=1- = . 又∵α是第三象限角,∴cos α=- . ∴tan α= =- × = . (2)由tan α=2>0得α为第一或第三象限角. 由tan α=2得 =2,∴sin α=2cos α, 又sin2α+cos2α=1, ∴sin2α= ,cos2α= . 第七章 三角函数 高中同步 当α为第一象限角时,sin α= ,cos α= ,此时2sin α+cos α= ; 当α为第三象限角时,sin α=- ,cos α=- ,此时2sin α+cos α=- . 第七章 三角函数 高中同步 典例2　已知sin α+cos α= ,α∈(0,π). (1)求2sin αcos α的值; (2)求sin α-cos α的值; (3)求sin α,cos α,tan α的值. 第七章 三角函数 高中同步 解析    (1)∵sin α+cos α= , ∴(sin α+cos α)2= , 即1+2sin αcos α= , ∴2sin αcos α=- . (2)由(1)知2sin αcos α=- <0, 又α∈(0,π),∴sin α>0,cos α<0, ∴sin α-cos α= = . (3)由题意及(2)得  第七章 三角函数 高中同步 解得  ∴tan α= =- . 第七章 三角函数 高中同步 讲解分析 疑难 2 齐次式的求值问题 1.已知tan α=m, 求形如   的式子的值,方法是将分 子、分母同时除以cos α (或cos2α),化成关于tan α 的式子,再求值. 第七章 三角函数 高中同步 2.已知tan α=m,求形如asin2α+bsin αcos α+ccos2α的式子的值,方法是将其看成分母是1的式子, 利用1=sin2α+cos2α 进行代替后,分子、分母同时除以cos2α,得到关于tan α 的式子,再求值. 第七章 三角函数 高中同步 典例 已知 =2,计算下列各式的值. (1) ; (2)sin2α-2sin αcos α+1. 第七章 三角函数 高中同步 解析    由 =2,得 =2, 所以tan α=3. (1)原式= . 将tan α=3代入,得原式= = . (2)原式= +1 = +1. 将tan α=3代入,得原式= +1= . 第七章 三角函数 高中同步 讲解分析 疑难 3 利用同角三角函数的基本关系式化简或证明 1.利用同角三角函数的基本关系式化简的方法 (1)化切为弦,即把正切函数化为正弦、余弦函数,从而减少函数名称,达到化简的目的. (2)对于含有根号的三角函数式,常把根号下的式子化成完全平方式,然后去根号,达到化简的 目的. (3)对于含高次的三角函数式,往往借助因式分解或构造出sin2α+cos2α=1,以降低次数,达到化 简的目的. 第七章 三角函数 高中同步 2.利用同角三角函数的基本关系式证明的方法 (1)从左向右或从右向左推导,一般由繁到简. (2)左右归一法:证明等号两边都等于同一个数或式子. (3)比较法:设法证明“左边-右边=0”或“ =1(右边≠0)”. (4)分析法:从被证明的等式出发,逐步地探求使等式成立的条件,直到符合已知条件或出现明 显的事实为止,就可以断定原等式成立. 第七章 三角函数 高中同步 典例1 若sin α·tan α<0,化简 + . 第七章 三角函数 高中同步 解析    ∵sin α·tan α<0, ∴α为第二或第三象限角,∴cos α<0. 原式= +  = +  = +  = =- . 第七章 三角函数 高中同步 典例2　证明: = . 证明    原式右边= =  =  = =左边, ∴原等式成立. 第七章 三角函数 高中同步 $