7.2.1 三角函数的定义（课件）-【学而思·PPT课件分层练习】2025-2026学年高一数学必修第三册（人教B版）

该高中数学课件聚焦三角函数定义及应用，从任意角终边上点P(x,y)出发，通过r=√(x²+y²)定义正弦、余弦、正切等三角函数，衔接任意角概念，构建从坐标到函数的学习支架，系统呈现定义、符号规律及求值方法。 其亮点在于通过知识辨析题强化概念理解，典例解析（如终边在直线上分类讨论）培养数学思维，符号口诀“一全正、二正弦”助力数学语言表达。既提升学生运算与推理能力，又为教师提供清晰教学路径，促进高效教学。

7.2.1　三角函数的定义 知识 清单破 知识点 1 任意角的三角函数的定义 第七章 三角函数 高中同步 　　如图,对于任意角α来说,设P(x,y)是α终边上异于原点的任意一点,r= (r>0),则一般 地,称 为角α的正弦,记作sin α;称 为角α的余弦,记作cos α;当角α的终边不在y轴上时,称 为 角α的正切,记作tan α.角α的正弦、余弦与正切,都称为α的三角函数. 第七章 三角函数 高中同步 知识拓展 (1)称 为α的正割,记作sec α,即sec α= ;(2)称 为α的余割,记作csc α,即csc α= ;(3)称 为α的 余切,记作cot α,即cot α= .不难看出,在各三角函数都有意义的前提下,sec α= ,csc α=  ,cot α= . 第七章 三角函数 高中同步 　　三角函数值在各象限内的符号如图.   　　记忆口诀:一全正、二正弦、三正切、四余弦,即第一象限各三角函数值均为正,第二象 限只有正弦值为正,第三象限只有正切值为正,第四象限只有余弦值为正. 知识点 2 三角函数值在各象限内的符号 第七章 三角函数 高中同步 知识辨析 判断正误,正确的画“√”,错误的画“✕”. 1.若角α是第二象限角,且P(x,y)是其终边上异于原点的一点,则cos α= .(　    ) 2.三角函数值的大小与点P(x,y)在角的终边上的位置无关. (　    ) 3.若sin α>0,则α是第一或第二象限角.(　    ) 4.终边相同的角的同名三角函数值相等.(　    ) 5.若sin α=sin β,则α=β. (　    ) 6.终边落在y轴上的角的正切函数值为0. (　    ) 第七章 三角函数 高中同步 1.✕　根据三角函数的定义可知cos α= . 答案 2.√    3.✕　当角α的终边落在y轴的正半轴上时,sin α>0也成立,但此时角α不是第一或第二象限角. 4.√   5.✕    sin 0°=sin 360°=0,但0°≠360°. 6.✕　终边落在y轴上的角的正切函数值不存在. 第七章 三角函数 高中同步 讲解分析 利用三角函数的定义求值的常见情况 (1)已知角α终边上任意一点P(x,y)(x≠0)时,求出r= ,则sin α= ,cos α= ,tan α= .当角α 的终边上点的坐标以参数形式给出时,要根据问题的实际情况看是否需对参数进行分类讨 论. (2)角的终边在直线上时,注意到角的终边实际为射线,所以应分两种情况进行处理,分别取两 条射线上异于原点的任意一点,再利用三角函数的定义求解. 疑难 情境破 疑难 1 利用三角函数的定义求值示 第七章 三角函数 高中同步 典例 (1)已知O为坐标原点,角θ的终边上有一点P(x,3)(x≠0),且cos θ= x,求sin θ,tan θ的值; (2)已知O为坐标原点,角α的终边落在直线y=-3x上,求2sin α+3cos α的值. 第七章 三角函数 高中同步 思路点拨    (1)先利用cos θ= = x及x≠0求出x,再利用三角函数的定义求解sin θ,tan θ的 值. (2)在直线y=-3x上取两点,一点在第四象限内,另一点在第二象限内,再根据三角函数的定义分 别求解sin α,cos α的值,进而得到2sin α+3cos α的值. 第七章 三角函数 高中同步 解析    (1)由题意知OP= . 由三角函数的定义,得cos θ= . ∵cos θ= x,∴ = x, 解得x=0或x=±1. 又x≠0,∴x=±1. 当x=1时,P(1,3),此时sin θ= ,tan θ=3. 当x=-1时,P(-1,3),此时sin θ= ,tan θ=-3. (2)当角α的终边位于第四象限时, 取直线y=-3x上一点P1(1,-3), 第七章 三角函数 高中同步 则OP1= = , ∴sin α=- ,cos α= , ∴2sin α+3cos α=- + =- ; 当角α的终边位于第二象限时, 取直线y=-3x上一点P2(-1,3), 则OP2= = , ∴sin α= ,cos α=- , ∴2sin α+3cos α= - = . 综上,2sin α+3cos α=± . 第七章 三角函数 高中同步 讲解分析 判断三角函数值符号的步骤 (1)确定角所在的象限; (2)利用三角函数值的符号规律“一全正、二正弦、三正切、四余弦”来判断符号. 注意:用弧度制给出的角常常不写单位,不要误认为是角度,而弄错其所在的象限. 疑难 2 三角函数值符号的判断 第七章 三角函数 高中同步 典例 (1)判断sin 2·cos 3·tan 4的符号; (2)若sin θtan θ>0,且cos θtan θ<0,判断sin θcos θ的符号. 第七章 三角函数 高中同步 思路点拨    (1)先确定各角的终边所在的象限,再确定各三角函数值的符号,进而得解. (2)根据已知判断角θ的终边所在的象限,然后确定sin θ,cos θ的符号,进而得解. 第七章 三角函数 高中同步 解析    (1)易知2是第二象限角,3是第二象限角,4是第三象限角, 所以sin 2>0,cos 3<0,tan 4>0, 所以sin 2·cos 3·tan 4<0. (2)由sin θtan θ>0,知sin θ与tan θ同号, 故θ是第一或第四象限角. 由cos θtan θ<0,知cos θ与tan θ异号, 故θ是第三或第四象限角. 综上,θ是第四象限角. 所以sin θ<0,cos θ>0,所以sin θcos θ<0. 第七章 三角函数 高中同步 方法总结 已知一个角的三角函数值中任意两个的符号,可分别确定出角终边所在的可能位置,二者的 “交集”即该角的终边位置,同时应注意终边在坐标轴上的特殊情况. 第七章 三角函数 高中同步 $