7.2.1 三角函数的定义(课件PPT)-【学霸笔记·同步精讲】2024-2025学年高中数学必修第三册（人教B版）

该高中数学课件聚焦“任意角的三角函数定义”，涵盖定义理解、求值方法及各象限符号规律。通过初中锐角三角函数（直角三角形边角关系）导入，结合思考问题（相似三角形值不变、单位圆坐标表示）搭建从具体到抽象的学习支架，衔接前后知识。 其亮点在于以问题链引导探究，如通过“终边上点坐标表示三角函数”培养数学眼光中的抽象能力，例题及变式（如参数分类讨论）强化数学思维中的推理与运算能力，符号规律口诀“一全正、二正弦、三正切、四余弦”体现数学语言的简洁表达。课堂小结明确知识本质，助力学生构建体系，教师可直接用于分层教学，提升教学效率。

7．2　任意角的三角函数 7．2.1　三角函数的定义 新知学习 探究 1 课堂巩固 自测 2 内容 索引 新知学习 探究 PART 01 第一部分 新知学习 探究 返回导航 思考1　定义中的三个三角函数，对于同样大的一个角来说，如果三角形的大小改变(相似变化)，其三角函数值是否改变？ 提示：不变． 新知学习 探究 返回导航 思考2　如图，如果一个锐角α的终边在第一象限，终边上有一点P(x，y)，且x2＋y2＝1，根据初中所学在直角三角形中正弦、余弦、正切的定义，你能否用点P的坐标表示sin α，cos α，tan α？这一结论能否推广到α是任意角时的情形呢？ 新知学习 探究 返回导航 新知学习 探究 返回导航 三角函数 新知学习 探究 返回导航 √ 新知学习 探究 返回导航 【变式探究】 1．(条件变式)将本例中的“已知角α的终边经过点P(4，－3)”变为“设函数f(x)＝ax＋1＋1(a>0且a≠1)的图象过定点P，且点P在角α的终边上”，求cos α＋sin α的值． 新知学习 探究 返回导航 新知学习 探究 返回导航 2．(综合变式)将本例中“点P(4，－3)”变为“点P(4a，－3a)(a≠0)” 求sin θ，cos θ，tan θ的值． 新知学习 探究 返回导航 新知学习 探究 返回导航 新知学习 探究 返回导航 √ 新知学习 探究 返回导航 (2)若函数f(x)＝loga(x－2)＋1(a>0，且a≠1)的图象经过定点A，若点A在角α的终边OP上(O是坐标原点)，则tan α＝__________． 新知学习 探究 返回导航 一二 三四 一四 二三 一三 二四 新知学习 探究 返回导航 　(对接教材例4、例5)(1)设角α的始边为x轴的正半轴，则“sin α>0”是“角α的终边在第二象限”的(　　) A．充分不必要条件 B．必要不充分条件 C.充要条件 D．既不充分也不必要条件 √ 新知学习 探究 返回导航 新知学习 探究 返回导航 (2)tan 125°sin 223°______________0.(填“>”或“<”) 【解析】　因为125°是第二象限角，所以tan 125°<0；223°为第三象限角，所以sin 223°<0， 所以tan 125°sin 223°>0. > 新知学习 探究 返回导航 判断三角函数值符号的两个步骤 (1)定象限：确定角α所在的象限； (2)定符号：利用三角函数值的符号变化规律，即“一全正，二正弦，三正切，四余弦”来判断．　 新知学习 探究 返回导航 √ 新知学习 探究 返回导航 (2)已知tan x<0且cos x<0，则角x的终边在第__________象限． 解析：由tan x<0，得角x的终边在第二、四象限，因为 cos x<0，所以角x的终边在第二、三象限或x轴负半轴上，由于上述条件要同时成立，所以角x的终边在第二象限． 二 新知学习 探究 返回导航 √ 新知学习 探究 返回导航 新知学习 探究 返回导航 (2)若角α的终边在直线3x＋y＝0上，则cos α＝_________________． 新知学习 探究 返回导航 (1)当角α的终边上点的坐标以参数形式给出时，要根据问题的实际情况对参数进行分类讨论． (2)由于角的终边是一条射线，则终边在已知直线上的角包含两类角，求解时应注意分类处理．　 新知学习 探究 返回导航 √ 新知学习 探究 返回导航 新知学习 探究 返回导航 课堂巩固 自测 PART 02 第二部分 √ 课堂巩固 自测 返回导航 课堂巩固 自测 返回导航 2．(多选)设α＝210°＋k·360°(k∈Z)，则下列判断正确的是(　　) A．sin α>0 B．tan α>0 C．cos α<0 D．sin αcos α<0 解析：由题易知α是第三象限角，所以sin α<0，cos α<0，tan α>0， sin αcos α>0.故选BC. √ √ 课堂巩固 自测 返回导航 1 课堂巩固 自测 返回导航 4．(教材P17T1改编)已知角α终边上一点P的坐标是(5a，12a)(a<0)，求sin α，cos α，tan α的值． 课堂巩固 自测 返回导航 课堂巩固 自测 返回导航 eq \a\vs4\al(学习,目标) 1.理解三角函数的定义，会求给定角的三角函数值．　2.掌握各象限角的三角函数值的符号规律． 在初中，我们通过直角三角形的边角关系，学习了锐角的正弦、余弦、正切三个三角函数，如图所示． 定义sin α＝ eq \f(对边,斜边) ，cos α＝ eq \f(邻边,斜边) ，tan α＝ eq \f(对边,邻边) . 提示：sin α＝y，cos α＝x，tan α＝ eq \f(y,x) ；能． eq \a\vs4\al(一　任意角的正弦、余弦与正切的定义) 前提 如图，对于任意角α来说，设P(x，y)是α终边上异于原点的任意一点，r＝ eq \r(x2＋y2) eq \f(x,r) eq \f(x,r) eq \f(y,x) eq \f(y,x) 定义 正弦 一般地，称 eq \o(□,\s\up1(1)) ________为角α的正弦，记作sin α，即sin α＝ eq \o(□,\s\up1(2)) ________ 余弦 一般地，称 eq \o(□,\s\up1(3)) ________为角α的余弦，记作cos α，即cos α＝ eq \o(□,\s\up1(4)) ________ 正切 当角α的终边不在y轴上时，称 eq \o(□,\s\up1(5)) ________为角α的正切，记作tan α，即tan α＝ eq \o(□,\s\up1(6)) ________ 角α的正弦、余弦与正切，都称为α的 eq \o(□,\s\up1(7)) ____________________ eq \f(y,r) eq \f(y,r) 　(对接教材例1)已知角α的终边经过点P(4，－3)，点P到坐标原点O的距离为r，则cos α＋sin α的值为(　　) A． eq \f(4,5) B．－ eq \f(1,5) C． eq \f(1,5) D．－ eq \f(3,5) 【解析】　根据题意，r＝OP＝ eq \r(42＋（－3）2) ＝5， 所以sin α＝－ eq \f(3,5) ，cos α＝ eq \f(4,5) ， 所以cos α＋sin α＝ eq \f(4,5) ＋(－ eq \f(3,5) )＝ eq \f(1,5) .故选C. 解：对于函数f(x)＝ax＋1＋1，令x＋1＝0， 所以x＝－1，f(－1)＝2，故f(x)＝ax＋1＋1的图象过定点P(－1，2)，r＝OP＝ eq \r(（－1）2＋22) ＝ eq \r(5) ， 所以cos α＝－ eq \f(1,\r(5)) ＝－ eq \f(\r(5),5) ，sin α＝ eq \f(2,\r(5)) ＝ eq \f(2\r(5),5) ， 所以cos α＋sin α＝－ eq \f(\r(5),5) ＋ eq \f(2\r(5),5) ＝ eq \f(\r(5),5) . 解：当a>0时，sin θ＝ eq \f(－3a,\r(（4a）2＋（－3a）2)) ＝－ eq \f(3,5) ， cos θ＝ eq \f(4a,\r(（4a）2＋（－3a）2)) ＝ eq \f(4,5) ，tan θ＝ eq \f(－3a,4a) ＝－ eq \f(3,4) ； 当a<0时，sin θ＝ eq \f(－3a,\r(（4a）2＋（－3a）2)) ＝ eq \f(3,5) ， cos θ＝ eq \f(4a,\r(（4a）2＋（－3a）2)) ＝－ eq \f(4,5) ， tan θ＝ eq \f(－3a,4a) ＝－ eq \f(3,4) . 综上所述，tan θ＝－ eq \f(3,4) ； 当a>0时，sin θ＝－ eq \f(3,5) ，cos θ＝ eq \f(4,5) ； 当a<0时，sin θ＝ eq \f(3,5) ，cos θ＝－ eq \f(4,5) . 坐标法求三角函数值的步骤 (1)在角α的终边上任选一点P(x，y)，求出点P到原点的距离r(r>0)； (2)根据sin α＝ eq \f(y,r) ，cos α＝ eq \f(x,r) ，tan α＝ eq \f(y,x) ，求出三角函数值．　 [跟踪训练1] (1)已知角θ的顶点在坐标原点，始边与x轴正半轴重合，终边过点P(2 eq \r(3) ，－2)，则cos θ＝(　　) A． eq \f(\r(3),2) B． eq \f(1,2) C．－ eq \f(1,2) D．－ eq \f(\r(3),2) 解析：因为角θ的终边过点P(2 eq \r(3) ，－2)，所以P到原点的距离r＝ eq \r(（2\r(3)）2＋（－2）2) ＝4，由三角函数的定义知cos θ＝ eq \f(x,r) ＝ eq \f(\r(3),2) .故选A. 解析：由对数函数的性质易知函数f(x)＝loga(x－2)＋1过定点A(3，1)，点A在角α的终边OP上，由三角函数的定义可得tan α＝ eq \f(y,x) ＝ eq \f(1,3) . eq \f(1,3) eq \a\vs4\al(二　正弦、余弦与正切在各象限的符号) 如图所示： 正弦： eq \o(□,\s\up1(1)) ________象限正， eq \o(□,\s\up1(2)) ______象限负． 余弦： eq \o(□,\s\up1(3)) ________象限正， eq \o(□,\s\up1(4)) ______象限负． 正切： eq \o(□,\s\up1(5)) ________象限正， eq \o(□,\s\up1(6)) ______象限负． 简记口诀：一全正、二正弦、三正切、四余弦． 【解析】　当sin α>0时，取α＝ eq \f(π,6) ，满足sin α>0，但此时角α的终边在第一象限，即充分性不成立； 当角α的终边在第二象限时，则终边上的任一点纵坐标都大于0，故sin α＝ eq \f(y,r) >0，即必要性成立； 所以“sin α>0”是“角α的终边在第二象限”的必要不充分条件．故选B. [跟踪训练2] (1)当x为第四象限角时， eq \f(sin x,|sin x|) ＋ eq \f(|cos x|,cos x) ＋ eq \f(|tan x|,tan x) ＝(　　) A．1 B．－1 C．3 D．－3 解析：由x为第四象限角，则sin x<0，cos x>0，tan x<0，所以 eq \f(sin x,|sin x|) ＋ eq \f(|cos x|,cos x) ＋ eq \f(|tan x|,tan x) ＝ eq \f(sin x,－sin x) ＋ eq \f(cos x,cos x) ＋ eq \f(－tan x,tan x) ＝－1.故选B. eq \a\vs4\al(三　三角函数定义的综合应用) 　(1)已知角θ的顶点与原点重合，始边与x轴正半轴重合，若A(1，y)是角θ终边上一点，且sin θ＝－ eq \f(3\r(10),10) ，则y＝(　　) A．－3 B．3 C．±3 D．±2 【解析】　因为sin θ＝－ eq \f(3\r(10),10) <0，A(1，y)是角θ终边上一点，所以y<0，由三角函数的定义，得 eq \f(y,\r(y2＋1)) ＝－ eq \f(3\r(10),10) ，解得y＝－3(正值已舍去).故选A. 【解析】　因为角α的终边在直线3x＋y＝0上，所以角α的终边在第二象限或第四象限．当角α的终边在第二象限时，在角α的终边上取一点P(－1，3)，则点P到原点的距离r＝ eq \r(（－1）2＋32) ＝ eq \r(10) ，所以cos α＝ eq \f(x,r) ＝ eq \f(－1,\r(10)) ＝－ eq \f(\r(10),10) . 当角α的终边在第四象限时，在角α的终边上取一点P′(1，－3)，则点P′到原点的距离r′＝ eq \r(12＋（－3）2) ＝ eq \r(10) ， 所以cos α＝ eq \f(1,\r(10)) ＝ eq \f(\r(10),10) .综上，cos α＝ eq \f(\r(10),10) 或cos α＝－ eq \f(\r(10),10) . eq \f(\r(10),10) 或－ eq \f(\r(10),10) [跟踪训练3] (1)已知角α的终边经过点P(－4，m)，且tan α＝－ eq \f(3,4) ，则cos α的值是(　　) A． eq \f(3,5) B．－ eq \f(4,5) C．－ eq \f(3,5) D． eq \f(4,5) 解析：因为角α的终边经过点P(－4，m)，且tan α＝ eq \f(m,－4) ＝－ eq \f(3,4) ，解得m＝3，即点P(－4，3)，由三角函数的定义可得cos α＝ eq \f(－4,\r(（－4）2＋32)) ＝－ eq \f(4,5) .故选B. (2)请写出终边落在射线y＝ eq \r(3) x(x≥0)上的一个角__________________．(用弧度制表示) 解析：设θ的终边落在射线y＝ eq \r(3) x(x≥0)上，则θ为第一象限角，取y＝ eq \r(3) x(x≥0)上的一个点A(1， eq \r(3) )，根据三角函数的定义可得，tan θ＝ eq \f(\r(3),1) ＝ eq \r(3) ，所以可取θ＝ eq \f(π,3) . eq \f(π,3) (答案不唯一) 1．sin eq \f(7π,4) ＝(　　) A． eq \f(\r(2),2) B． eq \f(1,2) C．－ eq \f(\r(2),2) D．－ eq \f(1,2) 解析：在平面直角坐标系中作∠AOB＝ eq \f(7π,4) ，在终边OB上取点P，使OP的长为1. 由于点P在第四象限，OP与x轴正方向的夹角为∠POA＝ eq \f(π,4) ，因此可得点P的坐标为( eq \f(\r(2),2) ，－ eq \f(\r(2),2) )，所以sin eq \f(7π,4) ＝－ eq \f(\r(2),2) .故选C. 3．(教材P18T1改编)已知平面直角坐标系xOy，点P在半径为2的圆O上，现点P从圆O与y轴正半轴的交点A出发按顺时针方向运动了 eq \f(1,6) 圆周，则此时点P的纵坐标为________． 解析：由题意，点P顺时针旋转了60°，故∠xOP＝30°，sin ∠xOP＝ eq \f(1,2) ，所以yP＝2sin ∠xOP＝1. 解：因为角α终边上一点P的坐标是(5a，12a)(a<0)，所以令x＝5a，y＝12a(a<0)， 所以P到原点的距离r＝ eq \r(x2＋y2) ＝ eq \r(（5a）2＋（12a）2) ＝13|a|，因为a<0，所以r＝－13a，所以sin α＝ eq \f(y,r) ＝ eq \f(12a,－13a) ＝－ eq \f(12,13) ， cos α＝ eq \f(x,r) ＝ eq \f(5a,－13a) ＝－ eq \f(5,13) ，tan α＝ eq \f(y,x) ＝ eq \f(12a,5a) ＝ eq \f(12,5) . 1．已学习：三角函数的概念；三角函数值的求法；三角函数在各象限的符号． 2．须贯通：任意角α的三角函数值，只与角α的终边位置有关，而与角α终边上点P的位置无关． 3．应注意：角α的正切函数有意义需满足{α|α≠ eq \f(π,2) ＋kπ，k∈Z}．　 $