7.1.2 弧度制及其与角度制的换算（课件）-【学而思·PPT课件分层练习】2025-2026学年高一数学必修第三册（人教B版）

该高中数学课件聚焦弧度制及其与角度制的换算，涵盖定义、互化关系、特殊角对应及扇形公式，通过角度制回顾引入弧度制概念，搭建新旧知识衔接的学习支架。 其亮点在于通过知识辨析题强化数学思维的严谨性，用表格对比特殊角换算培养数学语言表达，结合扇形公式应用典例发展数学眼光。采用讲练结合，学生能深化概念理解，教师可提升教学效率。

7.1.2　弧度制及其与角度制的换算 知识 清单破 知识点 1 角度制与弧度制 1.角度制 使用角度来度量角时,是把圆周等分成360份,其中每一份所对应的圆心角为1度,这种用度作 单位来度量角的制度称为角度制.角度制还规定1度等于60分,1分等于60秒,即1°=60',1'=60″. 第七章 三角函数 高中同步 2.弧度制 长度等于半径长的圆弧所对的圆心角为1弧度的角,记作1 rad.以弧度为单位来度量角的制度 称为弧度制. 第七章 三角函数 高中同步 3.弧度数 (1)正角的弧度数是正数,负角的弧度数是负数,零角的弧度数是0. (2)在半径为r的圆中,若弧长为l的弧所对的圆心角为α rad,则α= . 第七章 三角函数 高中同步 温馨提示 (1)用弧度为单位度量角的大小时,“弧度”或“rad”可以省略不写;用角度为单位度量角的 大小时,“度”或“°”不可以省略.(2)不管是用弧度还是用角度为单位度量的角,其大小都 是一个与所在圆的半径的大小无关的定值. 第七章 三角函数 高中同步 知识点 2 弧度制与角度制的换算 1.角度与弧度的互化 角度化弧度 弧度化角度 360°=2π rad 2π rad=360° 180°=π rad π rad=180° 1°=  rad≈0.017 45 rad 1 rad= °≈57.30° 角度数× =弧度数 弧度数× °=角度数 第七章 三角函数 高中同步 2.一些特殊角的度数与弧度数的对应关系 度 0° 30° 45° 60° 90° 120° 弧度 0           度 135° 150° 180° 270° 360° 弧度     π   2π 第七章 三角函数 高中同步 　　设扇形的半径为r,弧长为l,面积为S,圆心角为n°(α为圆心角的弧度数),则 知识点 3 扇形的弧长及面积公式 角度制 弧度制 扇形的弧长公式 l=  l=αr 扇形的面积公式 S=  S= lr= αr2 第七章 三角函数 高中同步 知识辨析 判断正误,正确的画“√”,错误的画“✕”. 1.1 rad的角和1°的角大小相等. (　    ) 2.用弧度来表示的角都是正角. (　    ) 3.时间从1点到3点整,分针转动形成的角为-4π rad. (　    ) 4.大圆中1弧度的角与小圆中1弧度的角一样大. (　    ) 5.若扇形的半径r为1,圆心角α为30°,则该扇形的弧长l=αr=30. (　    ) 第七章 三角函数 高中同步 答案 1.✕    2.✕ 3.√    分针转动形成的角为-720°,转化为弧度制为-4π rad. 4.√    角的大小与所在圆的半径无关. 5.✕　弧长公式l=αr中,α的单位为弧度,应将角度30°转化为弧度 再计算,即l=αr= . 第七章 三角函数 高中同步 讲解分析 疑难 情境破 疑难 1 角角度制与弧度制的互化 1.在进行角度与弧度的换算时,抓住关系式π rad=180°是关键. 第七章 三角函数 高中同步 2.特殊角的弧度数与度数的对应值今后常用,应该熟记. 3.在同一个式子中,必须保持单位统一,角度制与弧度制不能混用,比如“ +k·360°,k∈Z”和 “60°+2kπ,k∈Z”的写法都是错误的. 第七章 三角函数 高中同步 典例 设角α1=-570°,α2=750°,β1= ,β2=- . (1)将α1,α2用弧度制表示出来,并指出它们是第几象限角; (2)将β1,β2用角度制表示出来,并找出与它们终边相同的在-720°~0°范围内的所有角. 第七章 三角函数 高中同步 解析    (1)α1=-570°=- =-4π+ , α2=750°= =4π+ , ∴α1是第二象限角,α2是第一象限角. (2)β1= =108°,β2=- =-420°. 由-720°≤108°+k·360°<0°,k∈Z,得k=-2或k=-1, ∴在-720°~0°范围内与β1终边相同的角是-612°和-252°. 同理,在-720°~0°范围内与β2终边相同的角是-60°. 第七章 三角函数 高中同步 讲解分析 疑难 2 YNN 扇形的弧长和面积的求解 1.涉及扇形的周长、弧长、圆心角、面积等的计算,关键是先分析题目中已知哪些量,求哪些 量,然后灵活运用扇形的弧长公式l=αr,或面积公式S= αr2= lr直接求解或列方程(组)求解. 　　注意:运用弧度制下的扇形的弧长公式及面积公式的前提是α的单位为弧度. 第七章 三角函数 高中同步 2.扇形的周长及面积的最值问题 (1)当扇形的周长一定时,扇形的面积有最大值.其求法是把面积S转化为关于半径r的二次函 数,但要注意r的取值范围,还要注意扇形的弧长l必须满足0<l<2πr. (2)当扇形的面积一定时,扇形的周长有最小值.其求法是把周长C转化为关于半径r的函数,但 要注意r的取值范围. 第七章 三角函数 高中同步 典例 已知一扇形的圆心角为α,所在圆的半径为R cm. (1)若α= ,R=6,求该扇形的弧长l; (2)若扇形的周长为12 cm,问当α多大时,该扇形的面积最大?并求出最大面积. 第七章 三角函数 高中同步 解析    (1)由扇形的弧长公式,得该扇形的弧长l=αR= ×6=2π(cm). (2)设扇形的弧长为l' cm. 由扇形的周长为12 cm,得2R+l'=12, 所以l'=12-2R. 所以扇形的面积S= l'R= (12-2R)R=-R2+6R=-(R-3)2+9, 所以当R=3时,扇形的面积取得最大值,为9 cm2,此时l'=12-2R=6,即αR=α×3=6,解得α=2. 第七章 三角函数 高中同步 $