7.1.2 弧度制及其与角度制的换算（课件PPT）-【学霸笔记·同步精讲】2025-2026学年高中数学必修第三册（人教B版）

该高中数学课件聚焦弧度制概念、角度与弧度换算及扇形弧长面积公式，通过海浪、嘴角等生活弧度实例导入，连接初中角度制知识，搭建新旧学习支架，引导学生逐步深入。 其亮点在于以“思考”问题链驱动探究，如通过弧长与半径比值关系的思考培养数学思维，结合生活实例导入发展数学眼光，知识梳理与例题应用注重数学语言表达，助力学生理解概念本质，教师可借助结构化内容提升教学效率。

7．1.2　弧度制及其与角度制的换算 1 新课导入 学习目标 　　同学们，弧度是非常简单的形状，也正是因为有了弧度，世界才完美，比如：海浪因弧度而活跃；嘴角因弧度而美丽；月有阴晴圆缺，正因有弧度而富有神韵…….而在我们数学中，正是因为弧度的引入，给数学学科带来了巨大的改变． 1.了解弧度制的概念． 2．能进行弧度与角度的相互转化． 3．掌握弧度制下的扇形的弧长和面积公式． 返回导航 新知学习 探究 1 课堂巩固 自测 2 内 容 索 引 新知学习 探究 PART 01 第一部分 4 一　弧度制 思考1　在初中学过的角度中，1度的角是如何规定的？ 返回导航 思考2　射线OA绕端点O旋转到OB形成角α，在旋转过程中，射线OA上的两点P，Q(不同于点O)形成的轨迹的长度为l，l1，其中OP＝r，OQ＝r1，则在旋转过程中，弧长l1与半径r1的比值和弧长l与半径r的比值有何关系？ 返回导航 [知识梳理] 1．定义：用度作单位来度量角的制度称为________，以________为单位来度量角的制度称为弧度制． 2．度量方法：长度等于________的圆弧所对的圆心角为1弧度的角． 3．记法：弧度单位用符号“________”表示，或用“弧度”两个字表示． 4．公式：在半径为r的圆中，若弧长为l的弧所对的圆心角为α rad，则 α＝________． 角度制 弧度 半径长 rad 返回导航 点拨　(1)以弧度为单位表示角的大小时，“弧度”二字或“rad”可以略去不写，只写这个角对应的弧度数即可． (2)不管是以弧度还是以度为单位的角的大小，都是一个与半径的大小无关的定值． 返回导航 √ × √ √ 返回导航 √ 返回导航 3．若圆O上的一段圆弧长与该圆的内接正六边形的边长相等，则这段圆弧所对的圆心角(正角)的大小为________． 解析：圆的内接正六边形的边长等于圆的半径，弧长等于半径的弧所对圆心角为1弧度角． 1弧度 返回导航 关于弧度制的理解 (1)圆心角α与所对应的弧长和半径的比值是唯一确定的． (2)任意角的弧度数与实数是一一对应的关系． 返回导航 二　弧度制与角度制的换算 思考1　用角度制和弧度制如何表示零角？ 提示：角度制表示为0°，弧度制表示为0. 思考2　用角度制和弧度制如何表示周角？ 提示：角度制表示为360°，弧度制表示为2π rad. 返回导航 [知识梳理] 1．角度与弧度的互化 2π 360° π 180° 返回导航 2.一些特殊角的度数与弧度数的对应关系 60° 180° 2π 返回导航 √ √ √ 返回导航 返回导航 注意　(1)弧度单位rad可以省略． (2)在同一个题目中，弧度与角度不能混用． 返回导航 √ 返回导航 (2)将－157°30′化成弧度为________． 返回导航 三　用弧度制表示角 [例2] (对接教材例1)用弧度制表示终边落在如图所示阴影部分内(包含边界)的角θ的集合是______________________________． 返回导航 用弧度制表示终边相同的角的两个关注点 (1)用弧度制表示终边相同的角α＋2kπ(k∈Z)时，其中2kπ是π的偶数倍，而不是整数倍． (2)注意角度制与弧度制不能混用． 返回导航 √ 返回导航 αr 返回导航 [例3] 已知一扇形的圆心角为α，半径为r，弧长为l. (1)若α＝120°，r＝10 cm，求扇形的弧长l； (2)已知扇形的周长为10 cm，面积是4 cm2，求扇形的圆心角． 返回导航 母题探究　若扇形的周长为20 cm，当扇形的圆心角α为多少弧度时，这个扇形的面积最大？ 所以当r＝5 cm时，S取得最大值，最大值为25 cm2， 此时l＝10 cm，α＝2 rad. 返回导航 返回导航 π 返回导航 课堂巩固 自测 PART 02 第二部分 29 √ 返回导航 √ √ √ 返回导航 返回导航 3．若角α的终边落在如图所示的阴影部分内，则角α的取值范围是 _____________________________．(用弧度制表示) 返回导航 4．已知扇形的弧长为20π cm，面积为300π cm2，求： (1)扇形的半径r； (2)扇形圆心角θ的弧度数． 返回导航 1．已学习：弧度制的概念；角度制与弧度制的互化；弧度制的应用；扇形弧长公式和面积公式的应用． 2．须贯通：角度制与弧度制是两种不同度量角的制度，任何一个角无论是以弧度为单位还是以角度为单位，都是一个与半径无关的定值，并且它们之间存在着一定的换算关系． 3．应注意：(1)弧度与角度不能混用； (2)弧长公式、扇形的面积公式的圆心角必须以弧度为单位． 返回导航 角度化弧度 弧度化角度 360°＝________ rad 2π rad＝________ 180°＝________ rad π rad＝________ 1°＝ rad≈0．017 45 rad 1 rad＝()°≈57．30°＝57°18′ 度数×＝弧度数 弧度数×＝度数 度 0° 30° 45° ________ 90° 120° 弧度 0 度 135° 150° ________ 270° 360° 弧度 π ________ $