精品解析：河南信阳高级中学北湖校区2025-2026学年高三下学期二轮滚动测试2数学试题

河南省信阳高级中学北湖校区 2025-2026学年高三下期二轮滚动测试2 数学试题 一、单选题：本题共8小题，每小题5分，共40分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的. 1. 已知集合，则（ ） A. B. C. D. 2. 命题，使，则命题为（ ） A. ，使 B. ，使 C. ，使 D. ，使 3. 复数z满足，则z在复平面内对应的点所在的象限为（ ） A. 第一象限 B. 第二象限 C. 第三象限 D. 第四象限 4. 已知a，b为正实数且，则的最小值为（ ） A. B. C. D. 3 5. 若为锐角，则为 A. B. C. 或 D. 以上皆错 6. 现有从小到大排列的数据2，3，4，，5，6，7，8，9，，10，11的25百分位数为（ ） A. 4 B. C. a D. 7. 若直线关于直线对称的直线经过点，则（ ） A. B. 1 C. D. 8. 设椭圆与双曲线的离心率分别为，，若双曲线渐近线的斜率均小于，则的取值范围是（ ） A. B. C. D. 二、多选题：本题共3小题，每小题6分，共18分．在每小题给出的四个选项中，有多个选项是符合题目要求的，全部选对的得6分，部分选的得部分分，有选错的得0分. 9. 已知随机事件满足，则（ ） A. 若事件互斥，则 B. 若，则 C. 若，则 D. 若事件互斥，则 10. 已知数列的前项和公式为，则下列说法正确的是（ ） A. 数列的首项为 B. 数列的通项公式为 C. 数列为递减数列 D. 数列的前项积为，则 11. 已知函数，则下列说法正确的是（ ） A. 当时，在上是增函数 B. 当时，在处的切线与坐标轴围成的三角形的面积为 C. 若在上为减函数，则 D. 当时，若函数有且只有一个零点，则 三、填空题：本大题共3小题，每小题5分，共15分. 12. 已知顶点在坐标原点且开口向上的抛物线C过点，则C的准线方程为________． 13. 某芯片研发部门共有8名核心工程师，其中3人精通算法，另外5人精通硬件架构，现需分为两个小组进行技术攻关，每组4人，每组满足以下要求：①至少有1名算法工程师，②指定一名组长，组长由硬件架构工程师担任．则有________种不同的分组方法（用数字作答）． 14. 函数满足：对任意的都有，且，若恒成立，则的最小值为___________. 四、解答题：本大题共5小题，共77分．解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤. 15. 在中，角A，B，C的对边分别为a，b，c，且 （1）求B. （2）若，，求a，c. 16. 如图，在四棱锥中，底面是边长为3的菱形，平面，，，点为线段上的三等分点. （1）证明：平面平面. （2）求二面角的余弦值. 17. 若盒中装有同一型号的灯泡共9只，其中有6只合格品，3只次品．某工人师傅用该盒中的灯泡去更换会议室的一只坏灯泡，每次从中取一只灯泡，若是合格品则用它更换坏灯泡，若是次品则将其报废（不再放回原盒中），则按要求回答以下问题： （1）求成功更换会议室的坏灯泡前取出的次品灯泡数X的分布列； （2）求成功更换会议室的坏灯泡前取出的次品灯泡数X的分布列所对应的期望和方差. 18. 已知双曲线． （1）求上焦点的坐标； （2）若动点在双曲线的上支上运动，求点到的距离的最小值，并求此时的坐标； （3）若为双曲线的上顶点，直线与双曲线交于C、D两点（异于点），，求实数的值． 19. 已知函数. （1）求曲线在处的切线方程; （2）若对任意的恒成立，求实数的取值范围; （3）若有三个零点，且，求证：. 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $ 河南省信阳高级中学北湖校区 2025-2026学年高三下期二轮滚动测试2 数学试题 一、单选题：本题共8小题，每小题5分，共40分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的. 1. 已知集合，则（ ） A. B. C. D. 【答案】B 【解析】 【分析】利用集合的交集运算即可得解. 【详解】因为， 所以. 故选：B. 2. 命题，使，则命题为（ ） A. ，使 B. ，使 C. ，使 D. ，使 【答案】A 【解析】 【分析】由存在量词命题的否定可得答案. 【详解】命题,使的否定为 ，使. 故选：A. 3. 复数z满足，则z在复平面内对应的点所在的象限为（ ） A. 第一象限 B. 第二象限 C. 第三象限 D. 第四象限 【答案】A 【解析】 【分析】设复数，由，利用其几何意义求解. 【详解】解：设复数， 因为， 所以， 即复数z表所对应的点在以（5，5）为圆心，以2为半径的圆上， 所以z在复平面内对应的点所在的象限为第一象限. 故选：A 4. 已知a，b为正实数且，则的最小值为（ ） A. B. C. D. 3 【答案】D 【解析】 【分析】将代入，利用基本不等式可求最小值. 【详解】由题意，，又a，b为正实数， 所以由基本不等式可得， 当且仅当时，等号成立，所以的最小值为. 故选：D. 5. 若为锐角，则为 A. B. C. 或 D. 以上皆错 【答案】A 【解析】 【分析】由同角三角函数的平方关系可得，，再由两角和的余弦公式可得，再结合象限角的符号即可求角. 【详解】解：因为为锐角， 又 所以，， 则， 又， 即=， 故选A. 【点睛】本题考查了同角三角函数的平方关系及两角和的余弦公式，重点考查了象限角的符号问题，属基础题. 6. 现有从小到大排列的数据2，3，4，，5，6，7，8，9，，10，11的25百分位数为（ ） A. 4 B. C. a D. 【答案】B 【解析】 【分析】根据百分位数的概念求值. 【详解】该组数据共有12个数， 因为， 所以该组数据的25百分位数为第3，第4个数的平均数，为. 故选：B 7. 若直线关于直线对称的直线经过点，则（ ） A. B. 1 C. D. 【答案】A 【解析】 【分析】先求得关于直线的对称点，代入点的坐标于的方程，由此可求的值. 【详解】设关于直线的对称点为， 所以，解得，所以， 又因为在直线上，所以，解得， 故选：A. 8. 设椭圆与双曲线的离心率分别为，，若双曲线渐近线的斜率均小于，则的取值范围是（ ） A. B. C. D. 【答案】A 【解析】 【分析】由题意及双曲线的渐近线的斜率可得，再由椭圆，双曲线的离心率的求法，分别判断出所给命题的真假． 【详解】由题意可得双曲线的渐近线的斜率的绝对值为，则， 所以，， 所以，且， 则，所以A正确． 故选：A． 二、多选题：本题共3小题，每小题6分，共18分．在每小题给出的四个选项中，有多个选项是符合题目要求的，全部选对的得6分，部分选的得部分分，有选错的得0分. 9. 已知随机事件满足，则（ ） A. 若事件互斥，则 B. 若，则 C. 若，则 D. 若事件互斥，则 【答案】AC 【解析】 【分析】利用互斥事件的定义及性质判断AD；利用包含事件的性质求解判断BC. 【详解】对于A选项，因为事件互斥，所以，故A正确； 对于B选项，因为，所以，故B错误； 对于C选项，因为，所以，故C正确； 对于D选项，事件与事件是互斥事件，则为必然事件，所以，故D错误． 故选：AC． 10. 已知数列的前项和公式为，则下列说法正确的是（ ） A. 数列的首项为 B. 数列的通项公式为 C. 数列为递减数列 D. 数列的前项积为，则 【答案】ABC 【解析】 【分析】A. 由，令求解；B.由求解；C.由判断；D.由 求解. 【详解】A. 数列的首项为，故正确； B.当 时，，适合上式，故正确； C. 因为，所以数列为递减数列，故正确； D. ，所以数列的前项积为，故错误； 故选：ABC 11. 已知函数，则下列说法正确的是（ ） A. 当时，在上是增函数 B. 当时，在处的切线与坐标轴围成的三角形的面积为 C. 若在上为减函数，则 D. 当时，若函数有且只有一个零点，则 【答案】BD 【解析】 【分析】利用导数研究函数的单调性判断A；导数的几何意义求切线方程，进而求交点坐标，即可求三角形面积判断B；问题化为在上恒成立，应用导数研究右侧的最小值，即可得参数范围判断C；问题化为有唯一解，应用导数研究右侧的单调性和值域判断D. 【详解】对于A，为增函数，时趋向负无穷，时趋向正无穷， 所以存在使，故上在上为减函数，错； 对于B，由题设，则，且， 所以在处的切线方程为， 切线与轴的交点坐标为，与轴交点坐标为， 所以在处的切线与坐标轴围成的三角形的面积为，对； 对于C，因为函数在上为减函数， 则在上恒成立，即， 令，则，易知时，时， 所以在上为减函数，在上为增函数， 所以，错； 对于D，函数有且只有一个零点， 即有唯一解，则， 令且，则， 令，显然在上为增函数，， 则，使得，易知时，时， 则在为减函数，在为增函数，则， 当时，， 所以有且只有一个解时，，即，对. 故选：BD 【点睛】关键点点睛：对于C、D，化为在上恒成立、有唯一解为关键. 三、填空题：本大题共3小题，每小题5分，共15分. 12. 已知顶点在坐标原点且开口向上的抛物线C过点，则C的准线方程为________． 【答案】 【解析】 【分析】抛物线开口向上,可设抛物线标准方程为,且抛物线过点,可以求得.所以准线方程为. 【详解】因为抛物线开口向上，所以设抛物线标准方程为， 又抛物线过点，则， 所以准线方程为. 故答案为：. 13. 某芯片研发部门共有8名核心工程师，其中3人精通算法，另外5人精通硬件架构，现需分为两个小组进行技术攻关，每组4人，每组满足以下要求：①至少有1名算法工程师，②指定一名组长，组长由硬件架构工程师担任．则有________种不同的分组方法（用数字作答）． 【答案】180 【解析】 【分析】先根据条件选择4人组成第一组，确定组长，则第二组人员随之确定，只需确定组长即可. 【详解】先从3个精通算法的工程师中选1人，从5个精通硬件架构的工程师中选3人，再从3个精通硬件架构的工程师中选1人做组长，有种选法， 此时第二组的人员已经确定，由2个精通算法的工程师和2个精通硬件架构的工程师组成，选1个精通硬件架构的工程师做组长，有种选法. 综上，满足条件的分组方法有种. 故答案为：180 14. 函数满足：对任意的都有，且，若恒成立，则的最小值为___________. 【答案】 【解析】 【分析】根据题目条件可得在上为增函数，构造函数，把不等式转化为，利用函数的单调性得，分离参数，结合基本不等式求的最小值. 【详解】∵对任意的都有， ∴在上为增函数， 令，则在上为增函数. ∵， ∴， ∴不等式可转化为， ∴， ∴，即 令，则， ， ∵（当且仅当，即时取等号）， ∴， ∴， ∴，的最小值为. 故答案为：. 【点睛】思路点睛：本题考查构造函数解决不等式问题，具体思路如下： 根据题目条件可得在上为增函数，构造函数，把不等式转化为，利用函数的单调性得，分离参数得，转化为，令，利用换元法结合基本不等式求的最小值. 四、解答题：本大题共5小题，共77分．解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤. 15. 在中，角A，B，C的对边分别为a，b，c，且 （1）求B. （2）若，，求a，c. 【答案】（1） （2）,. 【解析】 【分析】(1)根据正弦定理边化角即可求解； (2)根据余弦定理和正弦定理角化边即可求解. 【小问1详解】 由边化角可得， 因为， 所以， 化简得， 因为,所以,所以， 又因为，所以. 【小问2详解】 由可得， 又由余弦定理得， 所以解得，所以. 16. 如图，在四棱锥中，底面是边长为3的菱形，平面，，，点为线段上的三等分点. （1）证明：平面平面. （2）求二面角的余弦值. 【答案】（1） 因为四棱锥中，底面是边长为3的菱形，所以， 因为平面，平面，所以， 由，平面，得平面， 又平面， 所以平面平面； （2） 【解析】 【分析】（1）利用面面垂直的判定定理可得答案； （2）连接，取的中点，以为原点，所在的直线分别为，建立空间直角坐标系，求出平面、平面的一个法向量，由二面角的向量求法可得答案. 【小问1详解】 略 【小问2详解】 连接，取的中点，连接，因为，所以， 以为原点，所在的直线分别为轴建立空间直角坐标系， 则， ， 设为平面的一个法向量，则 ，令，则， ， 设为平面的一个法向量，则 ，令，则， ， 所以， 所以二面角的余弦值为. 17. 若盒中装有同一型号的灯泡共9只，其中有6只合格品，3只次品．某工人师傅用该盒中的灯泡去更换会议室的一只坏灯泡，每次从中取一只灯泡，若是合格品则用它更换坏灯泡，若是次品则将其报废（不再放回原盒中），则按要求回答以下问题： （1）求成功更换会议室的坏灯泡前取出的次品灯泡数X的分布列； （2）求成功更换会议室的坏灯泡前取出的次品灯泡数X的分布列所对应的期望和方差. 【答案】（1） X的分布列为 X 0 1 2 3 P （2）， 【解析】 【分析】（1）根据给定条件，求出X的所有可能取值及对应的概率，再列出分布列即得. （2）利用（1）的分布列计算数学期望和方差即可. 【小问1详解】 依题意，X的所有可能取值为0，1，2，3， ，或， ，或， ，或， ，或， 则X的分布列为 X 0 1 2 3 P 【小问2详解】 由（1）可得 18. 已知双曲线． （1）求上焦点的坐标； （2）若动点在双曲线的上支上运动，求点到的距离的最小值，并求此时的坐标； （3）若为双曲线的上顶点，直线与双曲线交于C、D两点（异于点），，求实数的值． 【答案】（1） （2）， （3） 【解析】 【分析】（1）根据双曲线方程求解出的值，根据求解出的值，则坐标可知； （2）设出点坐标，然后表示出，根据点在双曲线上以及二次函数的性质求解出，代入于双曲线方程则可知，故点坐标可知； （3）设出坐标，联立直线与双曲线方程得到横坐标的韦达定理形式，然后将数量积关系转化为坐标关系，结合韦达定理可求解出的值. 【小问1详解】 因为双曲线方程为， 所以，所以， 所以上焦点. 【小问2详解】 设，则， 所以， 当时，此时取得最小值且， 所以，所以， 所以. 【小问3详解】 因为为上顶点，所以， 由题意可知：不经过，所以， 设， 联立可得， 且，即， 所以， 因为，所以， 所以，所以， 所以， 化简可得：，解得或（舍）， 综上所述，. 19. 已知函数. （1）求曲线在处的切线方程; （2）若对任意的恒成立，求实数的取值范围; （3）若有三个零点，且，求证：. 【答案】（1） （2） （3）证明如下： 由等价于， 令.注意到，，依题意，除了1之外，还有两个零点， 又由，令（）， 当时，恒成立，故这时在单调递减，不合题意； 当时，由题意，首先在上有两个零点， 故，解得， 设两个零点为和，有，，故可知，均大于0， 由此可得在单调递增，单调递减，单调递增， 而，即，，， 又因为，， 故在内恰有一个零点，在内恰有一个零点， 又1为的一个零点，所以恰有3个零点，亦即恰有3个零点， 实数的取值范围是. ，由， 由此可得，要想证明， 只需证明，而， 因此只需要证明当时，， 令，， 可得，故在上单调递增， 因此当时，，即当时，， 因此， 由，有，即， 两边同时除以，由，有， 即. 【解析】 【分析】（1）利用导数的几何意义，求切线方程； （2）首先不等式转化为恒成立，并判断，并根据函数的导数，讨论得到取值，判断函数的单调性，即可求解； （3）首先方程等价于，并构造函数，注意到1是函数的一个零点，转化为在上有2个零点，并结合零点存在性定理求的取值范围，由，判断，将所证明不等式转化为，再利用，将不等式转化为，再构造函数，利用导数，判断函数的单调性，即可证明. 【小问1详解】 由函数，可得， 且，则， 曲线在处的切线方程为. 【小问2详解】 当时，等价于， 设，则，， （ⅰ）当，时，， 故，在上单调递增，因此； （ⅱ）当时，令得，. 由和得， 故当时，，在单调递减，因此. 综上，的取值范围是. 【小问3详解】 略 【点睛】关键点点睛：本题的难点是第三问，关键1是求出的取值，关键2是证明. 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $