专题11数列的通项多元求法讲义（从基础到进阶）-2026年高三数学三轮冲刺复习

复盘固化核心常考点专题 专题01 数列通项的多元求法（从基础到进阶） 一、典例精讲 方法01：观察法 已知数列前若干项，求该数列的通项时，一般对所给的项观察分析，寻找规律，从而根据规律写出此数列的一个通项． 1．数列的前4项为：，则它的一个通项公式是（   ） A． B． C． D． 2．如图所示是一个类似杨辉三角的递推式，则第n行的首尾两个数均为（       ） A．2n B． C． D． 方法02： 公式法： 在处理含，的式子时，一般情况下利用公式，消去，进而求出的通项公式；但是有些题目虽然要求的通项公式，但是并不便于运用，这时可以考虑先消去，得到关于的递推公式，求出后再求解．用此公式时要注意结论有两种可能，一种是“一分为二”，即分段式；另一种是“合二为一”，即和合为一个表达，（要先分和两种情况分别进行运算，然后验证能否统一）． 2.已知数列的前项和为，满足，，则（    ） A． B． C． D． 3． 设数列满足，． (1)求证：为等比数列，并求的通项公式； (2)若，求数列的前项和． 4．在数列中，，且. (1)证明：为等比数列，并求的通项公式； (2)令，求数列的前项和. 5．数列 的前n项和，已知，，k为常数. (1)求常数k和数列的通项公式； (2)数列 的前n项和为，证明： 6．设各项均为正数的数列的前项和为，满足. (1)求数列的通项公式； (2)记，数列的前项和为.证明：对一切正整数，. 7．已知数列的首项，，前n项和满足，则数列的前n项和为（    ） A． B． C． D． 方法03： 累加法： 遇到形如的递推关系式，可利用累加法求的通项公式， 可构造： 将上述个式子两边分别相加，可得： ①若是关于的一次函数，累加后可转化为等差数列求和； ② 若是关于的指数函数，累加后可转化为等比数列求和； ③若是关于的二次函数，累加后可分组求和； ④若是关于的分式函数，累加后可裂项求和． 8．已知数列满足，，则下列正确的是（    ） A． B． C． D． 9．已知数列满足，则数列的前2023项的和（    ） A． B． C． D． 10．设数列满足，，则数列的通项公式为（    ）． A． B． C． D． 11．在数列中，，，则（ ） A． B． C． D． 12.在数列中，已知，，.若，求数列的通项公式. 方法04： 累乘法： 遇到形如的递推关系式，可利用累乘法求的通项公式可构造： 将上述个式子两边分别相乘，可得： 有时若不能直接用，可变形成这种形式，然后用这种方法求解． 13．设是首项为1的正项数列，且 ，求通项公式=___________ 14.已知数列满足，求数列的通项公式。 15.数列满足：，，则的通项公式为_____________. 16．数列及其前n项和为满足，当时，，则（    ） A． B． C． D． 17．数列及其前n项和为满足，当时，，则（    ） A． B． C． D． 方法05： 构造数列法： （一）形如（其中均为常数且）型的递推式： （1）若时，数列{}为等差数列； （2）若时，数列{}为等比数列； （3）若且时，数列{}为线性递推数列，其通项可通过待定系数法构造等比数列来求．方法有如下两种： 法一：设，展开移项整理得，与题设比较系数（待定系数法）得，即构成以为首项，以为公比的等比数列．再利用等比数列的通项公式求出的通项整理可得 法二：由得两式相减并整理得即构成以为首项，以为公比的等比数列．求出的通项再转化为类型Ⅲ（累加法）便可求出 （二）形如型的递推式： （1）当为一次函数类型（即等差数列）时： 法一：设，通过待定系数法确定的值，转化成以为首项，以为公比的等比数列，再利用等比数列的通项公式求出的通项整理可得 法二：当的公差为时，由递推式得：，两式相减得：，令得：转化为类型Ⅴ㈠求出 ，再用类型Ⅲ（累加法）便可求出 （2）当为指数函数类型（即等比数列）时： 法一：设，通过待定系数法确定的值，转化成以为首项，以为公比的等比数列，再利用等比数列的通项公式求出的通项整理可得 法二：当的公比为时，由递推式得：——①，，两边同时乘以得——②，由①②两式相减得，即，在转化为类型Ⅴ㈠便可求出 法三：递推公式为（其中p，q均为常数）或（其中p，q， r均为常数）时，要先在原递推公式两边同时除以，得：，引入辅助数列（其中），得：再应用类型Ⅴ㈠的方法解决． （3）当为任意数列时，可用通法： 在两边同时除以可得到，令，则，在转化为类型Ⅲ（累加法），求出之后得 类型1.待定系数法 1. 形如型的递推式： 用待定系数法，化为特殊数列的形式求解．方法为：设，比较系数得，可解得，于是是公比为的等比数列，这样就化归为型． 18．在数列中，，．求的通项公式. 19．已知数列的前项和为，且满足． (1)求数列的通项公式； (2)若，求数列的前10项和． 20.已知数列满足，求数列的通项公式。 类型2：同除以指数 21．已知数列的首项，且满足．求数列的通项公式； 22．已知数列满足，，求数列的通项公式. 类型3： 倒数变换法： 形如（为常数且）的递推式：两边同除于，转化为形式，化归为型求出的表达式，再求； 还有形如的递推式，也可采用取倒数方法转化成形式，化归为型求出的表达式，再求． 23.数列满足，，则下列结论错误的是（       ） A． B．是等比数列 C． D． 24.已知数列满足，，，则满足的n的最大取值为（       ） A．7 B．8 C．9 D．10 类型4： 对数变换法： 形如型的递推式： 在原递推式两边取对数得，令得：，化归为型，求出之后得（注意：底数不一定要取10，可根据题意选择）． 25．英国著名物理学家牛顿用“作切线”的方法求函数零点时，给出的“牛顿数列”在航空航天中应用广泛，若数列满足，则称数列为牛顿数列．如果函数，数列为牛顿数列，设，且，．数列的前项和为，则______． 26.已知数列满足，，求数列的通项公式。 方法05：周期数列 27． 数列满足，，若对于大于2的正整数，，则__________. 28.设数列满足且，则（       ） A． B． C． D．3 29．设数列的通项公式为，其前项和为，则（       ） A． B． C．180 D．240 方法06：前n项积型 30．已知数列满足．若对任意，（且）恒成立，则m的取值范围为（    ） A． B．C． D． 31．设数列的前n项积为，且. (1)求证数列是等差数列； (2)设，求数列的前n项和. 方法07：“和”型求通项 32.在数列中，，且，. (1)求的通项公式； (2)若，且数列的前项n和为，证明：. 方法08：特征方程法（强基层次）型. 求解方程，根据方程根的情况，可分为 （1）若特征方程有两个相等的根，则 （2）若特征方程有两个不等的根，则 33．已知数列满足，，.求数列的通项公式； 34.已知数列满足，求数列的通项公式。 35.已知数列满足，求数列的通项． 二、高考练场 1．已知数列满足，且，则（    ） A． B． C． D． 2．在数列中，，，，则（    ） A． B．15 C． D．10 3．若数列满足，且，则首项可能是（   ） A．6 B． C．2 D． 4．已知数列满足，，则数列的通项公式为（    ） A． B． C． D． 5．在数列中，若（为非零常数），则称为“等方差数列”，称为“公方差”，下列对“等方差数列”的判断正确的是（    ） A．是等方差数列 B．若正项等方差数列的首项，且是等比数列，则 C．等比数列不可能为等方差数列 D．存在数列既是等方差数列，又是等差数列 5．已知正项数列满足：，则（    ） A． B．是递增数列 C． D． 7．记为数列的前n项和，已知是公差为的等差数列． (1)求的通项公式； (2)证明：． 8．记为数列的前n项和．已知． (1)证明：是等差数列； (2)若成等比数列，求的最小值． 1 / 10 学科网（北京）股份有限公司 学科网（北京）股份有限公司 $复盘固化核心常考点专题 专题01 数列通项的多元求法（从基础到进阶） 一、典例精讲 方法01：观察法 已知数列前若干项，求该数列的通项时，一般对所给的项观察分析，寻找规律，从而根据规律写出此数列的一个通项． 1．数列的前4项为：，则它的一个通项公式是（   ） A． B． C． D． 【解析】将可以写成， 所以的通项公式为； 故选:C 2．如图所示是一个类似杨辉三角的递推式，则第n行的首尾两个数均为（       ） A．2n B． C． D． 【解析】依题意，每一行第一个数依次排成一列为：1，3，5，7，9，…，它们成等差数列，通项为， 所以第n行的首尾两个数均为. 故选：B 方法02： 公式法： 在处理含，的式子时，一般情况下利用公式，消去，进而求出的通项公式；但是有些题目虽然要求的通项公式，但是并不便于运用，这时可以考虑先消去，得到关于的递推公式，求出后再求解．用此公式时要注意结论有两种可能，一种是“一分为二”，即分段式；另一种是“合二为一”，即和合为一个表达，（要先分和两种情况分别进行运算，然后验证能否统一）． 2.已知数列的前项和为，满足，，则（    ） A． B． C． D． 【解析】∵，－=1，∴是以1为首项，以1为公差的等差数列， ∴，即，∴（）.当时，也适合上式，.故选A. 3． 设数列满足，． (1)求证：为等比数列，并求的通项公式； (2)若，求数列的前项和． 【解析】（1）因为，， 所以，即 又，所以是以为首项，为公比的等比数列， 所以，所以 （2）由（1）可得， 所以①， 所以②， ①②得 即，所以； 4．在数列中，，且. (1)证明：为等比数列，并求的通项公式； (2)令，求数列的前项和. 【解析】（1）因为，所以，又，所以，所以是以4为首项，2为公比的等比数列.故，即. （2）由（1）得，则，①当时，②当时，，综上所述， 5．数列 的前n项和，已知，，k为常数. (1)求常数k和数列的通项公式； (2)数列 的前n项和为，证明： 【解析】（1）由得，， 两式相减的，整理得， 当时，得，， 当时，， ，，， 相加得， 所以，， 当，2时符合， 所以， 则，， 则，即. （2）由（1）得， 所以， 因为，， 所以， 综上可得，. 6．设各项均为正数的数列的前项和为，满足. (1)求数列的通项公式； (2)记，数列的前项和为.证明：对一切正整数，. 【解析】（1）因为，即， 当时，解得或（舍去）， 当时， 所以， 即，即， 则，因为，所以， 所以数列是首项为，公差为的等差数列， 所以数列的通项公式是 （2）由（1）可得，所以， ，所以 ，所以， 因为，所以. 7．已知数列的首项，，前n项和满足，则数列的前n项和为（    ） A． B． C． D． 【解析】由得， 即， 所以，所以， 两式作差，得，即， 所以， 所以或，又， 故， 所以数列是以1为首项，1为公差的等差数列， 所以数列的前n项和. 故选：A. 方法03： 累加法： 遇到形如的递推关系式，可利用累加法求的通项公式， 可构造： 将上述个式子两边分别相加，可得： ①若是关于的一次函数，累加后可转化为等差数列求和； ② 若是关于的指数函数，累加后可转化为等比数列求和； ③若是关于的二次函数，累加后可分组求和； ④若是关于的分式函数，累加后可裂项求和． 8．已知数列满足，，则下列正确的是（    ） A． B． C． D． 【解析】∵，等式两边同除以，∴， 可得到，，…，，利用累加法，可得到 ，即， 又∵，所以. ，∴，故A正确；，∴，故B错误； ，∴，故C错误，，∴，故D错误.故选A 9．已知数列满足，则数列的前2023项的和（    ） A． B． C． D． 【解析】因为， 所以，即， 所以 所以. 所以 . 故选：D 10．设数列满足，，则数列的通项公式为（    ）． A． B． C． D． 【解析】：，所以当时，，，，， 将上式累加得，，即，又时，也适合，．故选B． 11.在数列中，，，则（ ） A． B． C． D． 【解析】：由题意得，，则，…，， 由累加法得，，即， 则，所以，故选：D 12.在数列中，已知，，.若，求数列的通项公式. 【解析】由题意， ，得：   ，运用累加法： ， ，即，， 当时，，， 当时，成立， 所以 方法04： 累乘法： 遇到形如的递推关系式，可利用累乘法求的通项公式可构造： 将上述个式子两边分别相乘，可得： 有时若不能直接用，可变形成这种形式，然后用这种方法求解． 13．设是首项为1的正项数列，且 ，求通项公式=___________ 【解析】由，得， ∵，∴，∴ ，∴， ∴， 又满足上式，∴. 故答案为：. 14.已知数列满足，求数列的通项公式。 【解析】因为，所以，则，故 所以数列的通项公式为 15.数列满足：，，则的通项公式为_____________. 【解析】由得，， 则， 即，又，所以. 故答案为：. 16．数列及其前n项和为满足，当时，，则（    ） A． B． C． D． 解析当时，，即，所以 累乘得，又，所以 所以 则 .故选C. 17．数列及其前n项和为满足，当时，，则（    ） A． B． C． D． 解析：当时，，即 所以 累乘得，又，所以，所以 则 .故选C. 方法05： 构造数列法： （一）形如（其中均为常数且）型的递推式： （1）若时，数列{}为等差数列； （2）若时，数列{}为等比数列； （3）若且时，数列{}为线性递推数列，其通项可通过待定系数法构造等比数列来求．方法有如下两种： 法一：设，展开移项整理得，与题设比较系数（待定系数法）得，即构成以为首项，以为公比的等比数列．再利用等比数列的通项公式求出的通项整理可得 法二：由得两式相减并整理得即构成以为首项，以为公比的等比数列．求出的通项再转化为类型Ⅲ（累加法）便可求出 （二）形如型的递推式： （1）当为一次函数类型（即等差数列）时： 法一：设，通过待定系数法确定的值，转化成以为首项，以为公比的等比数列，再利用等比数列的通项公式求出的通项整理可得 法二：当的公差为时，由递推式得：，两式相减得：，令得：转化为类型Ⅴ㈠求出 ，再用类型Ⅲ（累加法）便可求出 （2）当为指数函数类型（即等比数列）时： 法一：设，通过待定系数法确定的值，转化成以为首项，以为公比的等比数列，再利用等比数列的通项公式求出的通项整理可得 法二：当的公比为时，由递推式得：——①，，两边同时乘以得——②，由①②两式相减得，即，在转化为类型Ⅴ㈠便可求出 法三：递推公式为（其中p，q均为常数）或（其中p，q， r均为常数）时，要先在原递推公式两边同时除以，得：，引入辅助数列（其中），得：再应用类型Ⅴ㈠的方法解决． （3）当为任意数列时，可用通法： 在两边同时除以可得到，令，则，在转化为类型Ⅲ（累加法），求出之后得 类型1.待定系数法 1. 形如型的递推式： 用待定系数法，化为特殊数列的形式求解．方法为：设，比较系数得，可解得，于是是公比为的等比数列，这样就化归为型． 18．在数列中，，．求的通项公式. 解析依题意，数列中，，，所以，所以数列是首项为，公比为的等比数列. 19．已知数列的前项和为，且满足． (1)求数列的通项公式； (2)若，求数列的前10项和． 【解析】(1)当时，，即，解得； 当时，∵，∴， 两式作差得， 即， ∴，又， ∴数列是以为首项，3为公比的等比数列， ∴， (2)∵， 则 ． 20.已知数列满足，求数列的通项公式。 解：设 ④ 将代入④式，得，等式两边消去，得，两边除以，得代入④式得 ⑤ 由及⑤式得，则，则数列是以为首项，以2为公比的等比数列，则，故。 类型2：同除以指数 21．已知数列的首项，且满足．求数列的通项公式； 解析∵，∴，∴，又∵，故是以2为首项，2为公比的等比数列．，则 22．已知数列满足，，求数列的通项公式. 【解析】由两边同除以得，令， 则，设，解得， ，而， 数列是以为首项，为公比的等比数列， ，得 类型3： 倒数变换法： 形如（为常数且）的递推式：两边同除于，转化为形式，化归为型求出的表达式，再求； 还有形如的递推式，也可采用取倒数方法转化成形式，化归为型求出的表达式，再求． 23.数列满足，，则下列结论错误的是（       ） A． B．是等比数列 C． D． 【解析】由，且，则，，， 以此类推可知，对任意的，， 所以，，所以，且， 所以，数列是等差数列，且该数列的首项为，公差为， 所以，，则，其中，C对； ，所以，数列是等比数列，B对； 由等差中项的性质可得，A对； 由上可知，则，， 所以，，D错. 故选：D. 24.已知数列满足，，，则满足的n的最大取值为（       ） A．7 B．8 C．9 D．10 【解析】因为，所以，所以，又， 数列是以1为首项，4为公差的等差数列． 所以，所以，由，即，即，解得，因为为正整数，所以的最大值为； 故选：C 类型4： 对数变换法： 形如型的递推式： 在原递推式两边取对数得，令得：，化归为型，求出之后得（注意：底数不一定要取10，可根据题意选择）． 25．英国著名物理学家牛顿用“作切线”的方法求函数零点时，给出的“牛顿数列”在航空航天中应用广泛，若数列满足，则称数列为牛顿数列．如果函数，数列为牛顿数列，设，且，．数列的前项和为，则______． 【解析】∵，∴， 又∵， ∴，， ∴， 又 ∴， 又，且， 所以， ∴数列是首项为，公比为的等比数列， ∴的前项和为，则. 故答案为：. 26.已知数列满足，，求数列的通项公式。 【解析】：因为，所以。在式两边取常用对数得 ⑩ 设 将⑩式代入式，得，两边消去并整理，得，则 ，故 代入式，得 由及式， 得， 则， 所以数列是以为首项，以5为公比的等比数列，则，因此 则。 方法05：周期数列 27． 数列满足，，若对于大于2的正整数，，则__________. 【解析】由题意知：， 故是周期为3的周期数列，则. 故答案为：. 28.设数列满足且，则（       ） A． B． C． D．3 【解析】由题意可得：，， ，， 据此可得数列是周期为4的周期数列， 则. 故选：D 29．设数列的通项公式为，其前项和为，则（       ） A． B． C．180 D．240 【解析】当，时，，； 当，时，，； 当，时，，； 当，时，，. ，. 故选：D 方法06：前n项积型 30．已知数列满足．若对任意，（且）恒成立，则m的取值范围为（    ） A． B．C． D． 解析：当时，由，得， 两式相除得，也适合，所以 ，因为对任意，（且）恒成立，所以， 所以，当时，由，得，则， 当时，由，得，则，综上，故选A 31．设数列的前n项积为，且. (1)求证数列是等差数列； (2)设，求数列的前n项和. 【解析】(1)因为数列的前n项积为，且， ∴当n=1时，，则，. 当n≥2时，，∴， 所以是以为首项，为公差的等差数列； (2)由（1）知数列，则由得， 所以， 所以 . 方法07：“和”型求通项 32.在数列中，，且，. (1)求的通项公式； (2)若，且数列的前项n和为，证明：. 【解析】（1）因为， 所以当， 两式相减，得，即， 当时，， 所以当时，， 所以当时，， 当时，上式成立；当时，上式不成立， 所以 （2）证明：由（1）知 当时，， 所以当，； 当时， . 综上，. 方法08：特征方程法（强基层次）型. 求解方程，根据方程根的情况，可分为 （1）若特征方程有两个相等的根，则 （2）若特征方程有两个不等的根，则 33．已知数列满足，，.求数列的通项公式； 解析，变形为，，∴数列是等比数列，首项为6，公比为3.∴，变形为，，∴，∴ 34.已知数列满足，求数列的通项公式。 解：令，得，则是函数的两个不动点。因为 。所以数列是以为首项，以为公比的等比数列，故，则。 35.已知数列满足，求数列的通项． 解析其特征方程为，化简得，解得，令由得，可得，数列是以为首项，以为公比的等比数列，，． 二、高考练场 1．已知数列满足，且，则（    ） A． B． C． D． 【解析】，则，，，…，， 以上各式相加可得，，. 故选：B 2．在数列中，，，，则（    ） A． B．15 C． D．10 【解析】因为，所以，即， 得. 所以. 因为，所以. 故选：B. 3．若数列满足，且，则首项可能是（   ） A．6 B． C．2 D． 【解析】因为， 所以或， 当时，是公差为1的等差数列，此时， 当时，是公比为3的等差数列，此时， 故首项可能是或， 故选：AD 4．已知数列满足，，则数列的通项公式为（    ） A． B． C． D． 【解析】由，得， 即，则，，，…，， 由累乘法可得，所以， 又，符合上式，所以. 故选：D． 5．在数列中，若（为非零常数），则称为“等方差数列”，称为“公方差”，下列对“等方差数列”的判断正确的是（    ） A．是等方差数列 B．若正项等方差数列的首项，且是等比数列，则 C．等比数列不可能为等方差数列 D．存在数列既是等方差数列，又是等差数列 【解析】设，则，不满足为非零常数，所以不是等方差数列，故A错误； 由题意，则，即，解得或（舍去），当时，满足题意，故B正确； 设数列为等比数列，不妨设，则，所以，若为常数，则，但此时，不满足题意，故C正确； 若数列既是等方差数列，又是等差数列，不妨设，（为非零常数），，所以，即，所以，即，所以为常数列，这与，矛盾，故D错误. 故选：BC 5．已知正项数列满足：，则（    ） A． B．是递增数列 C． D． 【解析】由得，即，解得，因为正项数列，所以，故A错误； 因为，又正项数列， 所以，即，因此是递增数列，故B正确； 由上可知，，所以，即，故C正确； 因为，即， 所以，，，…，， 因此，，即，故D正确. 故选：BCD. 7．记为数列的前n项和，已知是公差为的等差数列． (1)求的通项公式； (2)证明：． 【解析】（1）∵，∴,∴,又∵是公差为的等差数列，∴,∴,∴当时，，∴,整理得：,即,∴，显然对于也成立，∴的通项公式； （2） ∴ 8．记为数列的前n项和．已知． (1)证明：是等差数列； (2)若成等比数列，求的最小值． 【解析】（1）因为，即①，当时，②，①②得，，即，即，所以，且，所以是以为公差的等差数列． （2）由（1）可得，，，又，，成等比数列，所以，即，解得，所以，所以，所以，当或时． 1 / 10 学科网（北京）股份有限公司 学科网（北京）股份有限公司 $