第25讲 矩形的性质与判定（复习讲义，2考点6题型4重难）（辽宁专用）2026年中考数学一轮复习讲练测

第五章 四边形 第25讲 矩形的性质与判定 目 录（Ctrl并单击鼠标可跟踪链接） 01·考情剖析·命题前瞻 2 02·知识导航·网络构建 3 03·考点解析·知识通关 4 04·命题洞悉·题型预测 6 命题点一 矩形的性质 题型01 利用矩形的性质求角度 题型02 利用矩形的性质求线段长度 题型03 利用矩形的性质证明 命题点二 矩形的判定 题型01 添加条件成为矩形 题型02 证明矩形 命题点三 矩形的判定与性质综合 题型01 矩形的判定与性质综合 05·重难突破·思维进阶 15 突破一 矩形的折叠问题 突破二 矩形相关最值问题 突破三 矩形与函数综合 突破四 矩形与圆综合 06·优题精选·练能提分 21 基础巩固→能力提升→全国新趋势 考点 2025年 2024年 2023年 课标要求 矩形的性质 辽宁省卷 T5 辽宁省卷 T4 丹东卷T9 鞍山卷T13 阜新卷T15 盘锦卷T18 抚顺、葫芦岛卷T18 理解矩形的定义，掌握矩形的性质，及其与平行四边形的区别与联系，并灵活运用矩形的性质求线段长、角度、及与最值问题和折叠问题的结合应用。 矩形的判定 / / / 掌握矩形的判定定理，并根据题中条件灵活选择相对于的判定定理进行求解或证明。 命题预测 矩形的性质与判定的考点更加侧重于对矩形性质的考察，考查形式以选择题和填空题为主，结合矩形的性质与判定求对应图形中的线段长、或角的度数、或与折叠问题或最值问题相结合，难度跨度较大，涉及到的内容与题型较多，需要扎实基础，灵活运用几何模型，要注重迁移能力和探究能力的培养。 考点一 矩形的性质 1. 矩形的定义 有一个角是直角的平行四边形叫矩形。 2. 矩形的性质 （1）对边平行且相等； （2）每个角都为直角； （3）对角线相等且互相平分； （4）轴对称图形；中心对称图形。 1．（2025·辽宁·中考真题）如图，在矩形中，点在边上，，连接，若，，则的长为（　　） A．1 B．5 C．2 D． 2．（2024·辽宁·中考真题）如图，在矩形中，点在上，当是等边三角形时，为（    ） A． B． C． D． 3．（2025·辽宁盘锦·模拟预测）如图，矩形的对角线交于点O，E是边上一点，连接．以点B为圆心，任意长为半径作弧，交于点M，交于点N，以点O为圆心，长为半径作弧，交于点Q，以点Q为圆心，长为半径作弧，在下方交前面的弧于点P，作射线交于点F．已知矩形的面积是60，E是边的三等分点，且，则_______． 考点二 矩形的判定 1. 矩形的判定 （1）有一个角是直角的平行四边形是矩形； （2）对角线相等的平行四边形是矩形； （3）四个角都相等的四边形是矩形。 1．（2025·辽宁沈阳·二模）下列命题是真命题的是（    ） A．对角线相等的四边形是矩形 B．矩形的对角线互相平分 C．对角线互相垂直的四边形是矩形 D．矩形的对角线互相垂直 2．（2025·辽宁·模拟预测）如图，中，点E，F分别是边中点，，直线交延长线于点G，连接． (1)证明：四边形是矩形； (2)若，的面积为8，则线段长为________（直接写出结果）． 3．（2025·辽宁·模拟预测）如图，的对角线AC、BD交于点O，点E是OC上一点，点F在BE延长线上，且，EF与CD交于点G．    (1)求证：； (2)连接DE、CF，如果，且G恰好是CD的中点，求证：四边形CFDE是矩形． 命题点一 矩形的性质 ►题型01 利用矩形的性质求角度 【典例】1．（2025·辽宁辽阳·一模）如图，在矩形的边上方作等边三角形，连接，，若是以为底边的等腰三角形，则的度数为（    ） A． B． C． D． 【典例】2．（2025·辽宁铁岭·二模）在矩形中，对角线相交于点O，的角平分线交于点E，若，则用表示为（　　） A． B． C． D． 【变式】1．（2025·辽宁阜新·一模）如图，矩形的对角线，交与点O，于E，点F为中点，连接，若，则的度数为（   ） A． B． C． D． 【变式】2．（2025·辽宁鞍山·三模）点是矩形的对角线的延长线上一点，若，，则______． 【变式】3．（2025·辽宁盘锦·一模）翻花绳是中国民间流传的儿童游戏，在中国不同的地域，有不同的称法，如线翻花、翻花鼓、挑绷绷、解股等等，如图1是翻花绳的一种图案，可以抽象成如右图，在矩形中，，，的度数为（    ）．    A．30° B．45° C．50° D．60° ►题型02 利用矩形的性质求线段长度 【典例】1．（2025·辽宁鞍山·一模）如图，在矩形中，是对角线，点E，F分别在边，上，，交于点G．若点G是的中点，，，，则的长是（   ） A． B． C． D． 【典例】2．（2025·辽宁沈阳·模拟预测）如图，在平面直角坐标系中，矩形的顶点B的坐标为，则对角线的长为（　　） A． B． C．5 D．4 【变式】1．（2025·辽宁盘锦·模拟预测）如图，是矩形的一条对角线，交于点，交于点，若，，则的长是______． 【变式】2．（2025·辽宁沈阳·模拟预测）如图，在矩形中，，点F是边上的一点，且，连接，的垂直平分线交的延长线于点E，交于点P，连接交于点H，点H为边的中点，则的长为（   ） A．8 B．7 C．4 D．3 【变式】3．（2025·辽宁·一模）如图，在矩形中，，，点E在上，点F在对角线所在的直线上，，直线与直线交于点G，直线与直线交于点H，若，则的长为________． ►题型03 利用矩形的性质证明 【典例】1．（2025·辽宁本溪·模拟预测）如图，在矩形中，某同学利用直尺和圆规完成了如下操作：①分别以点和为圆心，的长为半径作弧，两弧相交于点和；②连接分别交于点，交于点；③连接．若，，三点在一条直线上，则下列说法不正确的是（   ） A．直线垂直平分线段 B． C． D． 【典例】2．（2025·辽宁盘锦·模拟预测）综合与探究 如图，在矩形中，点E是边上一点，连接，．，的平分线与的延长线相交于点F，过点C作于点M． (1)【问题发现】 判断的形状，并说明理由； (2)【问题探究】 过点F作交的延长线于点G，根据题意在如图②中补全图形；探究线段与线段的数量关系，并说明理由； (3)【拓展延伸】 在（2）的条件下，，连接，当是等腰直角三角形时，直接写出的值． 【变式】1．（2025·辽宁沈阳·模拟预测）如图，矩形中，，，点P是直线上动点，连接，以为边在右侧作等边三角形，其中A，P，N按逆时针排列． (1)当点N落在线段上时，请直接写出的长； (2)当与矩形的边平行时，求的长； (3)将沿翻折，点N的落点为点，点M为的中点，请判断点M到的距离是否发生改变，并证明你的结论． 【变式】2．（2025·辽宁丹东·模拟预测）如图1，在矩形中，点为边上不与端点重合的一动点，点是对角线上一点，连接交于点，且． 【模型建立】 （1）求证：； 【模型应用】 （2）若，求的长； 【模型迁移】 （3）如图2，若矩形是正方形，，直接写出的值． 命题点二 矩形的判定 ►题型01 添加条件成为矩形 【典例】1．（2025·辽宁沈阳·模拟预测）如图，四边形是平行四边形，添加下列条件，能判定这个四边形是矩形的是（    ） A． B． C． D． 【典例】2．（2025·辽宁·模拟预测）在下列条件中选取一个作为增加条件，能使平行四边形成为矩形的是（   ） A． B． C． D． 【变式】1．（2025·辽宁·模拟预测）在数学活动课上，小明准备用一根绳子检查一个书架是否为矩形．如图，在平行四边形中，对角线，相交于点，下列验证方法中错误的为（    ） A． B． C． D． 【变式】2．（2025·辽宁·模拟预测）如图，要使平行四边形成为矩形，需添加的条件是（    ） A． B． C． D． 【变式】3．（2025·辽宁·模拟预测）如图，四边形是平行四边形，是对角线上的点，． (1)求证：四边形是平行四边形； (2)要使四边形是矩形，需添加______（一个条件），理由是______． ►题型02 证明矩形 【典例】1．（2025·辽宁·模拟预测）如图，在四边形中，，点是边的中点，．求证：四边形是矩形． 【典例】2．（2025·辽宁·模拟预测）如图，在中，于点D，E为的中点，过点A作交的延长线于点F，连接． (1)求证：四边形为矩形； (2)若，则矩形的面积为 　 　． 【变式】1．（2025·辽宁·模拟预测）如图，在中，对角线与相交于点，为延长线上一点，且，为延长线上一点，且，连接． (1)当时，求证：四边形是矩形； (2)当，，时，求四边形的周长． 【变式】2．（2025·辽宁·模拟预测）如图，在中，点O为边的中点，连接并延长交的延长线于点E，连接，． (1)求证：四边形是矩形； (2)连接，若，，求的长． 【变式】3．（2025·辽宁·模拟预测）如图，在中，D，E分别为AB，AC的中点，，垂足为F，点G在DE的延长线上，． (1)求证：四边形DFCG是矩形； (2)若，，，求AC的长． 命题点三 矩形的判定与性质综合 ►题型01 矩形的判定与性质综合 【典例】1．（2025·辽宁抚顺·模拟预测）如图，在矩形中，按以下步骤作图：①以点B为圆心，适当长为半径作弧，分别交于点M，N；②分别以点M，N为圆心，大于的长为半径作弧，两弧在内交于点O；③作射线，交于点E，交的延长线于点F；④连接交于点G．若，，则下列结论错误的是（   ） A． B． C． D． 【典例】2．（2025·辽宁抚顺·三模）如图，在矩形中，，是的中点，连接，点从点出发，沿向点运动，到点停止，点在上，，连接，当的面积是10时，的长为__________． 【变式】1．（2025·辽宁沈阳·二模）如图，E是矩形内的一点，且，已知，线段的长为6，则的面积为________． 【变式】2．（2025·辽宁鞍山·模拟预测）如图，在和中，，，，，，三点在同一条直线上，连接，恰好，过作交延长线于点，连接，若，，则的长为_________． 【变式】3．（2025·辽宁沈阳·模拟预测）（1）用数学的眼光观察． 如图1，在矩形中，，，点P关于边的对称点Q在对角线上，连接，，，且，求的长． （2）用数学的思维思考． 如图2，在（1）的条件下，将沿着射线方向平移得到，当点P的对应点平移到边上时，求证：． （3）用数学的语言表达． 如图3，在（1）的条件下，将绕点C逆时针旋转一个角，得到，在旋转过程中，设所在直线与直线交于点M，与直线交于点，当时，求出此时的长． 突破一 矩形的折叠问题 【典例】1．（2025·辽宁葫芦岛·二模）如图，在矩形中，，，点是的中点，点是直线上一点，将沿所在的直线翻折，点落在对称点处，当时，的长为______． 【典例】2．（2025·辽宁铁岭·一模）基本图形 如图①，在矩形中，，，将矩形沿直线折叠，使点的对应点落在的中点处，点的对应点为点，对应边与交于点，求的长． 知识迁移 如图②，在图①的条件下分别延长，交于点，求出的面积 拓展应用 如图③，在矩形中，，，点是的中点，点在边上，将矩形沿直线折叠，使点的对应点落在矩形内部，对应边与交于点，点是上一点，连接，将沿翻折，点的对应点恰好落在上，若，，求的长 【变式】1．（2025·辽宁朝阳·一模）已知矩形纸片，，，点在边上，连接，将沿所在的直线折叠，点的对应点为，把纸片展平，连接，，当为直角三角形时，线段的长为______． 【变式】2．（2025·辽宁抚顺·模拟预测）如图，在矩形纸片中，，为边的中点，点在边上，连接，将沿翻折，点的对应点为，连接．若，则______． 【变式】3．（2025·辽宁沈阳·一模）课本再现： （1）下图所示的是北师大版九年级上册数学课本上的一道题： 如图1，连接，利用与的面积之和是矩形面积的，可求出的值，请你写出求解过程． 知识应用： （2）如图，在矩形中，点M，N分别在边，上，将矩形沿直线折叠，使点D恰好与点B重合，点C落在点处． ①如图2，P为线段上一动点（不与点M，N重合），过点P分别作直线，的垂线，垂足分别为E和F，以，为邻边作平行四边形，若，，求的周长． ②如图3，当点P在线段的延长线上运动时，若，．请用含m，n的式子直接写出与之间的数量关系． 突破二 矩形相关最值问题 【典例】1．（2025·辽宁抚顺·一模）如图，在矩形中，，点是边上一动点，连接，将线段绕点逆时针旋转得到线段，连接，则线段的最小值为______． 【典例】2．（2025·辽宁铁岭·二模）如图，在矩形中，，点F为边上一点，，以点A为圆心，长为半径的圆交于点E，点P在上运动，则的最小值为_______． 【变式】1．（2025·辽宁营口·二模）如图，在矩形中，，，点为对角线上一动点，连接，以为边在其上方作等边，连接，则的最小值为_____． 【变式】2．（2025·辽宁锦州·一模）如图，在矩形中，为边上的动点，过点作直线交于点，，作四边形关于直线对称的四边形，连接．若，则的最小值为___________． 【变式】3．（2025·辽宁沈阳·一模）如图，在矩形中，点E，F分别是边，上的动点，点P是线段的中点，过点P作，，垂足分别为G，H，连接．若，，，则的最小值为______． 突破三 矩形与函数综合 【典例】1．（2025·辽宁抚顺·一模）如图，直线与轴，轴分别交于，两点，以为边在第一象限内作矩形，且，则点的坐标为（   ） A． B． C． D． 【典例】2．（2025·辽宁营口·模拟预测）如图，是反比例函数的部分图象，矩形交反比例函数于D，E两点．当，，时，则______． 【变式】1．（2025·辽宁沈阳·二模）如图，在平面直角坐标系中，矩形的顶点A，C分别在y轴、x轴的正半轴上，顶点B在第一象限内，双曲线与矩形的边交于点D，交于点E，且．若四边形的面积为18，则k的值为__________． 【变式】2．（2025·辽宁抚顺·模拟预测）如图，在平面直角坐标系中，矩形ABCD的顶点B在x轴上，点A的坐标为（﹣2，3），且AD＝，AB＝5，若反比例函数（x＜0）的图象经过点D，则k＝_____． 【变式】3．（2025·辽宁沈阳·一模）在平面直角坐标系中， 矩形的顶点，， 点D在第一象限，轴， 若函数 的图象经过矩形对角线的交点E，则k的值为_______． 突破四 矩形与圆综合 【典例】1．（2025·辽宁沈阳·模拟预测）如图，的对角线相交于点D，经过A、D两点，与的延长线相交于点E，点F为上一点，且连接、相交于点G，若， (1)求对角线的长； (2)求证：是的切线． 【变式】1．（2025·辽宁丹东·模拟预测）如图1，在矩形中，点在对角线上，以的长为半径的与，分别交于点，，且． (1)求证：； (2)判断直线与的位置关系，并证明你的结论； (3)如图2，若点落在线段的垂直平分线上，，求的半径． 1．如图，以矩形的顶点A为圆心，适当的长为半径画弧，分别交，于点M，N，分别以点M，N为圆心，以大于的长为半径画弧，两弧在内部交于点P，作射线，交于点E，连接．若，，则的长度为（   ） A． B． C． D． 2．如图，在矩形中．分别以点B，D为圆心，大于的长为半径画弧，两弧相交于点和．作直线分别与交于点M，O，N，则的长为（    ） A． B．5 C． D． 3．如图，在平面直角坐标系中，长方形的顶点A，C的坐标分别是，，点B在x轴上，则点B的横坐标是（   ） A．4 B． C． D．5 4．若添加一个条件，使得平行四边形是矩形，则这个条件可以是（   ） A． B． C． D．，互相平分 5．如图，在矩形中，分别以A，B为圆心，以长为半径画弧，两弧交于点E，连接，．若，则的大小为__________． 6．如图，在平面直角坐标系中，矩形的边，分别在轴、轴正半轴上，点在边上，将矩形沿折叠，点恰好落在边上的点处．若，，则点的坐标是________．    7．如图，在矩形中，以点为圆心，以的长为半径作弧，交于点，分别以点，为圆心，以大于的长为半径作弧，两弧交于点，射线交于点．若，则__________． 8．如图，在平面直角坐标系中，矩形的两边，分别在x轴和y轴上，并且，．若把矩形绕着点O逆时针旋转，使点A恰好落在边上的处，则点C的对应点的坐标为（    ） A． B． C． D． 9．如图，在矩形中，．连接，在和上分别截取，使．分别以点E和点F为圆心，以大于的长为半径作弧，两弧交于点G．作射线交于点H，则线段的长是______．    10．如图，在矩形ABCD中，，在矩形内有一点P，同时满足，延长CP交AD于点E，则______. 11．如图，矩形中，，点E、F分别边上的点，且，点G为的中点，点P为上一动点，则的最小值为______．    12．如图，矩形的边平行于轴，反比例函数的图象经过点，对角线的延长线经过原点，且，若矩形的面积是8，则的值为___________．    13．在矩形中，，将矩形翻折，使点C落在边的中点G处，点D的对应点为点H，折痕为，则_________． 14．如图，在矩形中，，，点，分别在，边上，且，，与相交于点，若为的中线，则的长为_____． 15．在矩形中，，点分别是边和边上的动点，，，连接， (1)如图1，当的面积为3时，求的值； (2)在（1）的条件下，求的面积； (3)当时，求的度数； (4)如图2，将沿直线翻折，当点的对称点恰好落在边上时，求的值. 16．如图，在矩形ABCD中，AB=1，AD=3．①以点A为圆心，以不大于AB长为半径作弧，分别交边AD，AB于点E，F，再分别以点E，F为圆心，以大于EF长为半径作弧，两弧交于点P，作射线AP分别交BD，BC于点O，Q；②分别以点C，Q为圆心，以大于CQ长为半径作弧，两弧交于点M，N，作直线MN交AP于点G，则OG长为________． 17．矩形中，，，点P为边上一个动点，将沿折叠得到，点D的对应点为Q，当射线恰好经过的中点M时，的长为______． 18．如图，四边形是矩形，，．点E为边的中点，点F为边上一点，将四边形沿折叠，点A的对应点为点，点B的对应点为点，过点作于点H，若，则的长是_______．    19．如图，在矩形中，，，对角线，相交于点，对角线所在的直线绕点顺时针方向旋转，旋转中，直线分别交，于点，，将四边形沿直线折叠得到四边形，其中线段交于点，交于点． (1)如图（一），探究出，的数量关系为 ； (2)如图（二），①证明：； ②在（1）的基础上，当时，求证：； (3)深入研究，当时，请直接写出的长． 20．综合与实践 【问题情境】如图1，小明将矩形纸片先沿对角线折叠，展开后再折叠，使点B落在对角线上，点B的对应点记为，折痕与边，分别交于点E，F． 【问题解决】（1）当， ①如图2，当点与点D重合时，求的长； ②如图3，若，求的长； 【问题探究】（2）如图4，连接，设与交于点O，当时，求证：平行； 【深入探究】（3）在（2）的情形下，设与交于点P，求三条线段，，之间满足的等量关系． 1．（2025·黑龙江绥化·中考真题）一个矩形的一条对角线长为10，两条对角线的一个交角为，则这个矩形的面积是（    ） A．25 B． C． D． 2．（2025·山东东营·中考真题）如图，点O是边的中点，连接并延长至点D，使，添加下列选项中的一个条件，不能判定四边形为矩形的是（    ） A． B． C． D． 3．（2025·甘肃兰州·中考真题）如图，四边形是矩形，对角线相交于点O，点E，F分别在边上，连接交对角线于点P．若P为的中点，，则（    ） A． B． C． D． 4．（2025·河北·中考真题）如图，将矩形沿对角线折叠，点落在处，交于点．将沿折叠，点落在内的处，下列结论一定正确的是（    ） A． B． C． D． 5．（2025·黑龙江大庆·中考真题）如图，在矩形中，，动点P从点A开始沿边以的速度向点B运动，动点H从点B开始沿边以的速度向点A运动，动点Q从点C开始沿边以的速度向点D运动．点P，点H和点Q同时出发，当其中一点到达终点时，另两点也随之停止运动．设动点的运动时间为，当时，t的值为（   ） A． B．4 C． D． 6．（2025·四川宜宾·中考真题）如图，在矩形中，点、分别在上，且，把沿翻折，点恰好落在矩形对角线上的点M处．若A、、三点共线，则的值为________． 7．（2025·江西·中考真题）如图，在矩形纸片中，沿着点折叠纸片并展开，的对应边为，折痕与边交于点．当与，中任意一边的夹角为时，的度数可以是_________ 8．（2025·山东东营·中考真题）如图1，在矩形中，，是边上的一个动点，，交于点，设，，图2是点从点运动到点的过程中，关于的函数图象，则的长为（   ） A．5 B．6 C．7 D．8 9．（2025·广东·中考真题）如图，在矩形中，，是边上的三等分点，连接，相交于点，连接．若，，则的值是（   ） A． B． C． D． 10．（2025·贵州·中考真题）如图，在矩形中，点E，F，M分别在，，边上，分别交对角线、线段于点G，H，且是的中点．若，则的长为_____________． 11．（2025·黑龙江·中考真题）如图，在矩形中，，，点E是边的中点，点F是对角线上一动点，作点C关于直线的对称点P，若，则的长为_______． 12．（2025·云南·中考真题）如图，在中，，是的中点．延长至点，使．连接，记，的周长为，的周长为，四边形的周长为． (1)求证：四边形是矩形； (2)若，求的长． 13．（2025·北京·中考真题）如图，在中，D，E分别为的中点，，垂足为F，点G在的延长线上，． (1)求证：四边形是矩形； (2)若，，，求和的长． 14．（2025·广东广州·中考真题）宽与长的比是（约为）的矩形叫做黄金矩形．现有一张黄金矩形纸片，长．如图1，折叠纸片，点B落在上的点E处，折痕为，连接，然后将纸片展开． (1)求的长； (2)求证：四边形是黄金矩形； (3)如图2，点G为的中点，连接，折叠纸片，点B落在上的点H处，折痕为，过点P作于点Q．四边形是否为黄金矩形？如果是，请证明：如果不是，请说明理由． 15．（2025·四川南充·中考真题）矩形中，，点E是线段上异于点B的一个动点，连接，把沿直线折叠，使点B落在点P处． 【初步感知】（1）如图1，当E为的中点时，延长交于点F，求证：． 【深入探究】（2）如图2，点M在线段上，．点E在移动过程中，求的最小值． 【拓展运用】（3）如图2，点N在线段上，．点E在移动过程中，点P在矩形内部，当是以为斜边的直角三角形时，求的长．            1 / 10 学科网（北京）股份有限公司 $ 第五章 四边形 第25讲 矩形的性质与判定 目 录（Ctrl并单击鼠标可跟踪链接） 01·考情剖析·命题前瞻 2 02·知识导航·网络构建 3 03·考点解析·知识通关 4 04·命题洞悉·题型预测 10 命题点一 矩形的性质 题型01 利用矩形的性质求角度 题型02 利用矩形的性质求线段长度 题型03 利用矩形的性质证明 命题点二 矩形的判定 题型01 添加条件成为矩形 题型02 证明矩形 命题点三 矩形的判定与性质综合 题型01 矩形的判定与性质综合 05·重难突破·思维进阶 47 突破一 矩形的折叠问题 突破二 矩形相关最值问题 突破三 矩形与函数综合 突破四 矩形与圆综合 06·优题精选·练能提分 75 基础巩固→能力提升→全国新趋势 考点 2025年 2024年 2023年 课标要求 矩形的性质 辽宁省卷 T5 辽宁省卷 T4 丹东卷T9 鞍山卷T13 阜新卷T15 盘锦卷T18 抚顺、葫芦岛卷T18 理解矩形的定义，掌握矩形的性质，及其与平行四边形的区别与联系，并灵活运用矩形的性质求线段长、角度、及与最值问题和折叠问题的结合应用。 矩形的判定 / / / 掌握矩形的判定定理，并根据题中条件灵活选择相对于的判定定理进行求解或证明。 命题预测 矩形的性质与判定的考点更加侧重于对矩形性质的考察，考查形式以选择题和填空题为主，结合矩形的性质与判定求对应图形中的线段长、或角的度数、或与折叠问题或最值问题相结合，难度跨度较大，涉及到的内容与题型较多，需要扎实基础，灵活运用几何模型，要注重迁移能力和探究能力的培养。 考点一 矩形的性质 1. 矩形的定义 有一个角是直角的平行四边形叫矩形。 2. 矩形的性质 （1）对边平行且相等； （2）每个角都为直角； （3）对角线相等且互相平分； （4）轴对称图形；中心对称图形。 1．（2025·辽宁·中考真题）如图，在矩形中，点在边上，，连接，若，，则的长为（　　） A．1 B．5 C．2 D． 【答案】D 【分析】本题考查矩形的性质，勾股定理，熟练掌握矩形的性质，勾股定理，是解题的关键，勾股定理求出的长，进而得到的长，推出的长，进而求出的长，再利用勾股定理求出的长即可． 【详解】解：∵矩形， ∴，，， ∴， ∴， ∴， ∴， ∴； 故选D. 2．（2024·辽宁·中考真题）如图，在矩形中，点在上，当是等边三角形时，为（    ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】本题考查了矩形的性质，等边三角形的性质，熟练掌握等边三角形的性质是解题的关键． 由矩形得到，继而得到，而是等边三角形，因此得到． 【详解】解：∵四边形是矩形， ∴， ∴， ∵是等边三角形， ∴， ∴， 故选：C． 3．（2025·辽宁盘锦·模拟预测）如图，矩形的对角线交于点O，E是边上一点，连接．以点B为圆心，任意长为半径作弧，交于点M，交于点N，以点O为圆心，长为半径作弧，交于点Q，以点Q为圆心，长为半径作弧，在下方交前面的弧于点P，作射线交于点F．已知矩形的面积是60，E是边的三等分点，且，则_______． 【答案】或 【分析】本题考查了矩形的性质，勾股定理，三角形的中位线定理，平行线分线段成比例，理解矩形的性质，熟练掌握尺规作图，三角形的中位线定理，勾股定理是解决问题的关键，分类讨论是解决问题的易错点．根据矩形及尺规作图得，进而得是的垂直平分线，则，由此得，证明是的中位线，得，再根据点E是边的三等分点，则分以下两种情况：时，时，利用勾股定理可进一步求出的值． 【详解】解：四边形是矩形， ， ， ， 由尺规作图得：， ， ， ， ， 是的垂直平分线， ， ， ， ， ， 是的中位线， ，． 当时，如图1． 是边的三等分点， ，． 矩形的面积是60， ， ， ， ． 当时，如图2． 是BC边的三等分点， ，． 矩形的面积是60， ， ， ， ． 综上所述，的值为或． 【点睛】此题主要考查了矩形的性质，勾股定理，理解矩形的性质，熟练掌握尺规作图，三角形的中位线定理，勾股定理是解决问题的关键，分类讨论是解决问题的易错点． 考点二 矩形的判定 1. 矩形的判定 （1）有一个角是直角的平行四边形是矩形； （2）对角线相等的平行四边形是矩形； （3）四个角都相等的四边形是矩形。 1．（2025·辽宁沈阳·二模）下列命题是真命题的是（    ） A．对角线相等的四边形是矩形 B．矩形的对角线互相平分 C．对角线互相垂直的四边形是矩形 D．矩形的对角线互相垂直 【答案】B 【分析】根据平行四边形的判定，矩形的性质，菱形的性质逐项分析判断即可即可求解． 本题考查了判断命题的真假，掌握平行四边形的判定，矩形的性质，菱形的性质是解题的关键． 【详解】解：A、对角线相等的平行四边形是矩形，是假命题，故该选项不符合题意； B、矩形的对角线互相平分且相等，原命题是真命题，故该选项符合题意； C、对角线相等的平行四边形是矩形，原命题是假命题，故该选项不符合题意； D、菱形的对角线互相垂直，不相等，原命题是假命题，故该选项不符合题意； 故选B． 2．（2025·辽宁·模拟预测）如图，中，点E，F分别是边中点，，直线交延长线于点G，连接． (1)证明：四边形是矩形； (2)若，的面积为8，则线段长为________（直接写出结果）． 【答案】(1)见解析 (2) 【分析】本题考查了矩形的性质和判定，平行四边形的性质，勾股定理，三角形中位线定理等知识点，关键是根据平行四边形的性质和矩形的判定以及三角形中位线定理解题． （1）根据三角形中位线定理得出，，再根据平行四边形的性质得出，即可证明． （2）先求出，再根据，算出，勾股定理算出，根据平行四边形的性质即可求出． 【详解】（1）证明：∵点分别是的中点， ∴是的中线， ∴，则， ∵， ∴， ∵四边形是平行四边形， ∴，则， ∵，， ∴四边形是平行四边形， ∵， ∴四边形是矩形． （2）解：∵点E是边中点，， ∴， ∵， ∴， ∴， ∴， ∵四边形是平行四边形， ∴． 3．（2025·辽宁·模拟预测）如图，的对角线AC、BD交于点O，点E是OC上一点，点F在BE延长线上，且，EF与CD交于点G．    (1)求证：； (2)连接DE、CF，如果，且G恰好是CD的中点，求证：四边形CFDE是矩形． 【答案】(1)见解析 (2)见解析 【分析】（1）利用平行四边形对角线的性质得：，再根据题意得到OE为的中位线，利用三角形中位线性质即可求证； （2）由（1）知得，根据题意证明，利用三角形全等的性质即可求证． 【详解】（1）证明：对角线AC、BD交于点O， ， ， OE为的中位线， ． （2）如图，连接、，   ， ， G是CD的中点， ， 在和中，， ， ， 四边形是平行四边形， ， ， ∵， ， ∴， 四边形是矩形． 【点睛】本题考查了矩形的判定、平行四边形的性质，全等三角形的判定与性质，三角形中位线的性质，掌握三角形全等的判定及平行四边形的性质运用是解题的关键． 命题点一 矩形的性质 ►题型01 利用矩形的性质求角度 【典例】1．（2025·辽宁辽阳·一模）如图，在矩形的边上方作等边三角形，连接，，若是以为底边的等腰三角形，则的度数为（    ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】本题考查了矩形的性质，等腰三角形的性质，等边三角形的性质，三角形内角和性质，正确掌握相关性质内容是解题的关键．先由矩形的性质以及等边三角形的性质得，结合是以为底边的等腰三角形，得，运用三角形内角和性质得，即可作答． 【详解】解：∵在矩形的边上方作等边三角形， ∴，， 则， ∵是以为底边的等腰三角形， ∴， 则， ∴， 故选：C． 【典例】2．（2025·辽宁铁岭·二模）在矩形中，对角线相交于点O，的角平分线交于点E，若，则用表示为（　　） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】此题考查矩形的性质．根据矩形的性质得出，进而利用角平分线的定义和等腰三角形的性质解答即可． 【详解】解：∵四边形是矩形， ∴，， ∵的角平分线交于点E， ∴， ∵， ∴， ∵， ∴， ∴， 故选：B． 【变式】1．（2025·辽宁阜新·一模）如图，矩形的对角线，交与点O，于E，点F为中点，连接，若，则的度数为（   ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】根据矩形的性质，，利用等腰三角形的性质，直角三角形的性质，三角形内角和定理解答即可． 【详解】解：∵ 矩形的对角线，交与点O， ∴， ∴， ∵， ∴， ∴， ∵，点F为中点， ∴，， ∴， 故选：B． 【点睛】本题考查了矩形的性质，等腰三角形的性质，直角三角形的性质，三角形内角和定理，熟练掌握性质和定理是解题的关键． 【变式】2．（2025·辽宁鞍山·三模）点是矩形的对角线的延长线上一点，若，，则______． 【答案】/度 【分析】本题主要考查了矩形的性质，等腰三角形的性质与判定，三角形内角和定理，先由矩形的性质得到，再由等边对等角和三角形内角和定理求出，进一步证明，即可得到． 【详解】解：∵四边形是矩形， ∴， ∴， ∴， ∵， ∴， ∴， 故答案为：． 【变式】3．（2025·辽宁盘锦·一模）翻花绳是中国民间流传的儿童游戏，在中国不同的地域，有不同的称法，如线翻花、翻花鼓、挑绷绷、解股等等，如图1是翻花绳的一种图案，可以抽象成如右图，在矩形中，，，的度数为（    ）．    A．30° B．45° C．50° D．60° 【答案】D 【分析】由矩形的性质可得，进而可得；再根据三角形内角和定理可得；然后再证四边形是平行四边形，由平行四边形的性质可得，最后由对顶角相等即可解答． 【详解】解：如图：∵矩形中， ∴, ∵， ∴, ∴, ∵， ∴四边形是平行四边形， ∴, ∴． 故选D．    【点睛】本题主要考查了矩形的性质、平行四边形的判定与性质等知识点，灵活运用相关判定、性质定理是解答本题的关键． ►题型02 利用矩形的性质求线段长度 【典例】1．（2025·辽宁鞍山·一模）如图，在矩形中，是对角线，点E，F分别在边，上，，交于点G．若点G是的中点，，，，则的长是（   ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】本题考查了相似三角形的判定与性质，矩形的性质，直角三角形斜边上的中线，勾股定理，熟练掌握直角三角形斜边上的中线等于斜边的一半以及相似三角形的判定与性质是解题的关键． 根据矩形的性质可得，，，从而可得，然后利用直角三角形斜边上的中线的性质可得，从而可得，进而可得，再证明，利用相似三角形的性质即可求出，利用勾股定理求出即可解答． 【详解】解： 四边形是矩形， ，，， ， ， ， 是的中点， ， ， ， ， ， ， ， ， ， 故选：D． 【典例】2．（2025·辽宁沈阳·模拟预测）如图，在平面直角坐标系中，矩形的顶点B的坐标为，则对角线的长为（　　） A． B． C．5 D．4 【答案】A 【分析】本题主要考查了矩形的性质，勾股定理，掌握以上知识是解题的关键； 本题由坐标系中点到原点的距离计算公式求出的长，然后根据矩形的性质对角线相等，即可求解； 【详解】解：连接，如图： ， ∵顶点B的坐标为， ∴， ∵四边形是矩形， ∴； 故选：A 【变式】1．（2025·辽宁盘锦·模拟预测）如图，是矩形的一条对角线，交于点，交于点，若，，则的长是______． 【答案】 【分析】过点作，交于点，根据矩形的性质可知，从而可知四边形是平行四边形，根据同角的余角相等可证，从而可证，根据相似三角形的性质可得，从而可求的长． 【详解】解：如下图所示，过点作，交于点， ， ， 是矩形， ，， 四边形是平行四边形， ， 在中，， 在中，， ， 又， ， ， ，， ，， ， ． 故答案为：． 【点睛】本题考查了矩形的性质、平行四边形的判定与性质、相似三角形的判定与性质、勾股定理、直角三角形的性质．解决本题的关键是作辅助线构造相似三角形，利用相似三角形的性质找到边之间的关系． 【变式】2．（2025·辽宁沈阳·模拟预测）如图，在矩形中，，点F是边上的一点，且，连接，的垂直平分线交的延长线于点E，交于点P，连接交于点H，点H为边的中点，则的长为（   ） A．8 B．7 C．4 D．3 【答案】C 【分析】本题主要考查了全等三角形的判定和性质，矩形的性质，垂直平分线的性质，勾股定理，熟练掌握性质是解题的关键．根据线段中点的定义得到，然后证明，设，根据题意得到，然后列出方程求出即可得到答案． 【详解】解：矩形中，，点为边的中点， ，， 在和中， ， ， ， 设， 则， 在中，， ， 的垂直平分线交的延长线于点， ， ， 解得， 故， 故选：C． 【变式】3．（2025·辽宁·一模）如图，在矩形中，，，点E在上，点F在对角线所在的直线上，，直线与直线交于点G，直线与直线交于点H，若，则的长为________． 【答案】3或7 【分析】本题考查相似三角形的判定与性质，矩形的性质，根据与线段的位置关系分情况讨论，设，过作于，先由求出， 再由结合用表示出，最后根据，得到，代入后解方程即可． 【详解】解：∵在矩形中，，， ∴，，，， ∴， 设， 当在线段上时，如图，过作于， ∵， ∴，， ∴，， ∵， ∴，解得， ∵，， ∴， ∴， ∴， 解得， ∵，， ∴， ∴， ∴， 解得， ∴； 当在线段外时，如图，过作于， ∵， ∴，， ∴，， ∵， ∴，解得， ∵，， ∴， ∴， ∴， 解得， ∵，， ∴， ∴， ∴， 解得， ∴， 综上所述，或， 故答案为：3或7． ►题型03 利用矩形的性质证明 【典例】1．（2025·辽宁本溪·模拟预测）如图，在矩形中，某同学利用直尺和圆规完成了如下操作：①分别以点和为圆心，的长为半径作弧，两弧相交于点和；②连接分别交于点，交于点；③连接．若，，三点在一条直线上，则下列说法不正确的是（   ） A．直线垂直平分线段 B． C． D． 【答案】D 【分析】本题考查了作图-基本作图，等边三角形的判定及性质，全等三角形的判定及性质，由尺规作图判断A；由尺规作图得，即可得为等边三角形，再由等边三角形的性质可判断B；证明得，即，即可判断C；由可判断D． 【详解】解：A、由尺规作图知，直线垂直平分线段，选项A正确，不符合题意； B、如图，连接，由尺规作图知：， 为等边三角形，易知， ，选项B正确，不符合题意； C、同理可得， ， ， ， ， 又， ， ，即，选项C正确，不符合题意； D、， ，选项D错误，符合题意． 故选：D． 【典例】2．（2025·辽宁盘锦·模拟预测）综合与探究 如图，在矩形中，点E是边上一点，连接，．，的平分线与的延长线相交于点F，过点C作于点M． (1)【问题发现】 判断的形状，并说明理由； (2)【问题探究】 过点F作交的延长线于点G，根据题意在如图②中补全图形；探究线段与线段的数量关系，并说明理由； (3)【拓展延伸】 在（2）的条件下，，连接，当是等腰直角三角形时，直接写出的值． 【答案】(1)等腰直角三角形，理由见解析 (2)，见解析 (3)3或4 【分析】（1）根据矩形的性质得到，由，，再根据平分得到，根据，，即可得出结论； （2）过点作交延长线于点，证明，即可得证； （3）当，过点作于点，连接，证明，进而证明，得出，即可求解；当时，设，，，则，进而解直角三角形得出，即，即可求解． 【详解】（1）解：等腰直角三角形，理由如下： ， ， ， 为等腰直角三角形． （2）补全图形如图： ，理由如下： 过点作交延长线于点， 由（1）知：中，得， 为等腰直角三角形， ，， ， ， ， ， ． （3）①当，过点作于点， ； ②当时，则，如图， ； 或4． 【点睛】本题考查了矩形的性质、全等三角形的判定与性质、平行四边形的判定与性质，等腰直角三角形的判定与性质，相似三角形的判定与性质，解直角三角形，熟练掌握知识点的应用是解题的关键． 【变式】1．（2025·辽宁沈阳·模拟预测）如图，矩形中，，，点P是直线上动点，连接，以为边在右侧作等边三角形，其中A，P，N按逆时针排列． (1)当点N落在线段上时，请直接写出的长； (2)当与矩形的边平行时，求的长； (3)将沿翻折，点N的落点为点，点M为的中点，请判断点M到的距离是否发生改变，并证明你的结论． 【答案】(1) (2)8或 (3)不改变，证明见解析 【分析】（1）本题先证明，得到，然后，即可求解； （2）分两种情况：①当与矩形的边平行时，根据平行证明为等边三角形，即可求解；②当与矩形的边平行时，证明垂直平分，即可求解． （3）在上的取点Q，；证明，当点P在直线上运动时，点M在直线上运动，根据平行线间的距离处处相等，可得出结论． 【详解】（1）解：当点N落在线段上时，如图， ∵四边形为矩形，，， ∴， ∴， 解得：， ∴， ∴，， ∵为等边三角形， ∴，， ∴， ∴， ∴， ∴， ∴， ∵， ∴， ∵， ∴； （2）解：分两种情况：①当与矩形的边平行时，如图， ∵， ∴， 由（1）得：，，， ∴， ∴， ∴为等边三角形； ∴； ②当与矩形的边平行时，如图， ∵为等边三角形， ∴，， ∵矩形， ∴， ∵， ∴， 由（1）知， ∴， ∴， ∴， ∵为等边三角形， ∴， ∵， ∵，，由（1）知：， ∴， ∴， ∴． 综上，的长为8或． （3）解：中点 到 的距离不变， 证明：如图，在上的点Q，，当，由（2）知边 的中点与点Q重合， ∵是等边三角形， ∴ 由翻折可知：， ∴四边形是菱形， ∴ ∵点M为的中点，点Q为的中点， ∴ ∴ ∴四边形是平行四边形， ∴ ∴ ∴当点P在直线上运动时，点M在直线上运动，如图， 根据平行线间的距离处处相等， ∴中点 到 的距离不变． 【点睛】本题考查了矩形性质、等边三角形性质、勾股定理和翻折对称的性质，菱形的判定与性质，平行四边形的判定与性质，平行线间的距离，掌握以上知识是解题的关键． 【变式】2．（2025·辽宁丹东·模拟预测）如图1，在矩形中，点为边上不与端点重合的一动点，点是对角线上一点，连接交于点，且． 【模型建立】 （1）求证：； 【模型应用】 （2）若，求的长； 【模型迁移】 （3）如图2，若矩形是正方形，，直接写出的值． 【答案】（1）见解析；（2）；（3）． 【分析】（1）利用矩形的性质和三角和定理，求出，通过等量代换即可求出的度数，从而证明. （2）根据矩形的性质和平行线的性质定理，利用两个角相等，两个三角形相似证明，得到，求出长度，再证明，即可求出的长. （3）根据正方的性质和平行线的性质定理，利用两个角相等，两个三角形相似证明，得到，设正方形边长为参数，用表示长度，再根据勾股定理求出长度，即可求出的长，从而求出的值. 【详解】（1）证明：矩形， ， ， ， ， ， . （2）解：矩形， ， ，， ， . ， . 矩形， ， ， ， . ，，， ， . 故答案为：. （3）解：正方形， ，， ， . ， . 设正方形的边长为，则， ，， ， ， ，    故答案为：. 【点睛】本题考查了矩形的性质，正方形的性质，勾股定理，三角形相似的性质，解题的关键在于熟练掌握相关性质定理和找准相似三角形. 命题点二 矩形的判定 ►题型01 添加条件成为矩形 【典例】1．（2025·辽宁沈阳·模拟预测）如图，四边形是平行四边形，添加下列条件，能判定这个四边形是矩形的是（    ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】由矩形的判定和平行四边形的性质分别对各个选项进行判断即可； 【详解】解：A、四边形是平行四边形， ， ， ， 平行四边形是矩形，故选项A符合题意； B、四边形ABCD是平行四边形，， ，， ， 选项B不能判定这个平行四边形为矩形，故选项B不符合题意； C、四边形是平行四边形， ， 平行四边形是菱形，故选项C不符合题意； D、四边形是平行四边形， ， 平行四边形是菱形，故选项D不符合题意； 故选：A． 【点睛】本题考查了矩形的判定、菱形的判定、平行四边形的性质等知识，熟练掌握矩形的判定是解题的关键． 【典例】2．（2025·辽宁·模拟预测）在下列条件中选取一个作为增加条件，能使平行四边形成为矩形的是（   ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】本题考查矩形的判定方法．矩形是有一个角是直角的平行四边形或对角线相等的平行四边形，矩形是对角线相等的平行四边形，据此求解即可． 【详解】解：选项A：，对角线互相垂直，平行四边形成为菱形，不一定是矩形，不符合题意； 选项B：对角线相等的平行四边形是矩形，符合题意； 选项C：，是平行四边形对边相等的性质，不能判定矩形，不符合题意； 选项D：，是平行四边形对角相等的性质，不能判定矩形，不符合题意． 故选B． 【变式】1．（2025·辽宁·模拟预测）在数学活动课上，小明准备用一根绳子检查一个书架是否为矩形．如图，在平行四边形中，对角线，相交于点，下列验证方法中错误的为（    ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】本题主要考查了矩形的判定和平行四边形的性质，熟练掌握矩形的判定定理是解题的关键．根据矩形的判定方法进行判断即可． 【详解】解：平行四边形， ， ， ， 平行四边形是矩形，故选项A不符合题意； ， 平行四边形是矩形，故选项B不符合题意； 由无法判断平行四边形是矩形，故选项C符合题意； 平行四边形， ， ， ， 平行四边形是矩形，故选项D不符合题意； 故选C 【变式】2．（2025·辽宁·模拟预测）如图，要使平行四边形成为矩形，需添加的条件是（    ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】本题考查了矩形的判定定理，注意：矩形的判定定理有：①有一个角是直角的平行四边形是矩形，②有三个角是直角的四边形是矩形，③对角线相等的平行四边形是矩形．根据矩形的判定定理逐一判断即可． 【详解】解：添加，不能判断平行四边形为矩形，不符合题意； 添加，可判断平行四边形为菱形，不符合题意； 添加则，可判断平行四边形为矩形，符合题意； 添加，可判断平行四边形为菱形，不符合题意； 故选：． 【变式】3．（2025·辽宁·模拟预测）如图，四边形是平行四边形，是对角线上的点，． (1)求证：四边形是平行四边形； (2)要使四边形是矩形，需添加______（一个条件），理由是______． 【答案】(1)见解析 (2)（不唯一）；对角线相等的平行四边形是矩形． 【分析】本题考查了平行四边形的判定和性质，矩形的判定和性质等知识，掌握知识点的应用是解题的关键． （）连接对角线交对角线于点，由，，即可得出结论； （）根据“对角线相等的平行四边形是矩形”即可得到答案． 【详解】（1）证明：连接对角线交对角线于点，如图所示： ∵四边形是平行四边形， ∴，， ∵，是对角线上的点，， ∴， 即， ∴四边形是平行四边形； （2）解：要使四边形是矩形，需添加（不唯一），理由如下： 由（）知，四边形是平行四边形， ∵， ∴四边形是矩形（对角线相等的平行四边形是矩形） 故答案为：（不唯一），对角线相等的平行四边形是矩形． ►题型02 证明矩形 【典例】1．（2025·辽宁·模拟预测）如图，在四边形中，，点是边的中点，．求证：四边形是矩形． 【答案】见解析 【分析】本题考查矩形的判定，掌握矩形的判断方法是解题的关键． 先根据条件证明，再证明四边形是平行四边形，最后根据平行四边形与矩形的关系进行证明即可． 【详解】证明：∵点是边的中点， ∴． ∵，， ∴． ∴． ∵， ∴． ∴． ∴四边形是平行四边形． ∵， ∴平行四边形是矩形． 【典例】2．（2025·辽宁·模拟预测）如图，在中，于点D，E为的中点，过点A作交的延长线于点F，连接． (1)求证：四边形为矩形； (2)若，则矩形的面积为 　 　． 【答案】(1)见解析； (2) 【分析】（1）根据证明，得，再证四边形是平行四边形，然后证，即可得出结论； （2）在中利用勾股定理求出的长，在中先求出的长，再利用勾股定理求出的长，进而可求出矩形的面积． 【详解】（1）∵， ∴， ∵点E为边的中点， ∴， 在和中， ， ∴， ∴， ∴四边形是平行四边形， 又∵， ∴， ∴平行四边形是矩形； （2）∵四边形为矩形， ∴， ∵， ∴， ∴． ∵， ∴， ∵， ∴， ∴， ∴矩形的面积， 故答案为：9． 【点睛】本题考查了矩形的判定与性质，全等三角形的判定与性质，平行四边形的判定与性质，等腰三角形的性质，以及勾股定理等知识，熟练掌握矩形的判定与性质是解题的关键． 【变式】1．（2025·辽宁·模拟预测）如图，在中，对角线与相交于点，为延长线上一点，且，为延长线上一点，且，连接． (1)当时，求证：四边形是矩形； (2)当，，时，求四边形的周长． 【答案】(1)见解析； (2)四边形的周长为． 【分析】本题考查了矩形的判定，菱形、平行四边形的判定与性质，勾股定理等知识，掌握相关知识是解题的关键． （1）先证明四边形是平行四边形，再根据条件得到，即可得出结论； （2）先证明四边形是菱形，由勾股定理求出的长，即可求解． 【详解】（1）证明：∵四边形是平行四边形， ∴，， ∵，， ∴， ∴四边形是平行四边形， ∵， ∴， ∴， ∴四边形是矩形； （2）解：由（1）知，四边形是平行四边形， ∵， ∴四边形是菱形， 在中，， ∴四边形的周长． 【变式】2．（2025·辽宁·模拟预测）如图，在中，点O为边的中点，连接并延长交的延长线于点E，连接，． (1)求证：四边形是矩形； (2)连接，若，，求的长． 【答案】(1)证明见解析 (2)的长为 【分析】本题考查了矩形的判定与性质、平行四边形的判定与性质、全等三角形的判定与性质、等腰三角形的性质、三角形中位线定理以及勾股定理等知识，熟练掌握矩形的判定与性质是解题的关键． （1）先证，再证四边形是平行四边形，然后证，即可得出结论； （2）过点O作于点F，由矩形的性质得，再由等腰三角形的性质得，则为的中位线，得，然后由平行四边形的性质得，进而由勾股定理即可得出结论． 【详解】（1）证明：∵点O为边的中点， ， ∵四边形是平行四边形， ， ， ， ， ， 四边形是平行四边形， ， ， ∴是矩形； （2）解：如图，过点O作于点F， ∵四边形是矩形， ， ， ， ， 是的中位线， ， ∵四边形是平行四边形， ， ， 在中，， 即的长为． 【变式】3．（2025·辽宁·模拟预测）如图，在中，D，E分别为AB，AC的中点，，垂足为F，点G在DE的延长线上，． (1)求证：四边形DFCG是矩形； (2)若，，，求AC的长． 【答案】(1)证明见解析 (2) 【分析】（1）利用三角形中位线定理证明平行关系，再结合一组对边平行且相等证明平行四边形，最后根据直角证明矩形； （2）先利用等腰直角三角形性质求 ，结合矩形性质求，再通过三角形中位线和勾股定理求的长． 【详解】（1）解：，分别为，的中点， 是的中位线． ． ， 四边形是平行四边形． 又， ． 四边形是矩形． （2）解：，， 是等腰直角三角形，． ， ， 由（1）可知，是的中位线，四边形是矩形， ，，， ， ． 为的中点， ． 【点睛】本题考查了三角形中位线定理、矩形的判定与性质、勾股定理以及等腰直角三角形的性质，解题关键是熟练运用中位线定理推导平行和线段关系，结合勾股定理求解线段长度． 命题点三 矩形的判定与性质综合 ►题型01 矩形的判定与性质综合 【典例】1．（2025·辽宁抚顺·模拟预测）如图，在矩形中，按以下步骤作图：①以点B为圆心，适当长为半径作弧，分别交于点M，N；②分别以点M，N为圆心，大于的长为半径作弧，两弧在内交于点O；③作射线，交于点E，交的延长线于点F；④连接交于点G．若，，则下列结论错误的是（   ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】本题考查角平分线的尺规作图、矩形的性质、等腰三角形的判定以及相似三角形的性质与判定的综合．先由作图得到为的角平分，利用平行线的性质及各角之间的等量代换即可判断A；再由等腰三角形的判定和性质及相似三角形的判定和性质即可判断其他三个选项，熟练掌握相似三角形的判定和性质是解题关键． 【详解】解：由作图可知，为的角平分线， ∴， ∵矩形， ∴， ∴， ∴，故A正确，不符合题意； ∴， ∴， ∵， ∴， ∴， ∴， ∴，故B正确，不符合题意； ∵， ∴，， ∴， ∵， ∴， ∴， ∴， ∴，选项C正确，不符合题意； 无法证明，选项D错误，符合题意； 故选：D． 【典例】2．（2025·辽宁抚顺·三模）如图，在矩形中，，是的中点，连接，点从点出发，沿向点运动，到点停止，点在上，，连接，当的面积是10时，的长为__________． 【答案】2或 【分析】本题考查了一元二次方程与图形面积，勾股定理，等腰直角三角形的性质，根据题意分在的左侧和右侧，分类讨论，分别画出图形，设，根据的面积是10，建立方程，解方程，即可求解． 【详解】解：如图，过点作于点， ∵在矩形中，，是的中点， ∴， ∴是等腰直角三角形， ∴， 又∵ ∴是等腰直角三角形， ∴ 设， 当在点的左侧时，， ∵ ∴ ∴ ∴ ∴ 当的面积是10时， 解得：（负值舍去） 如图，当在点的右侧时， ， ∵ ∴ ∴ ∴ ∴ 当的面积是10时， 解得：（负值舍去） 当点在的右侧时，不合题意； 综上所述，或, 故答案为：2或． 【变式】1．（2025·辽宁沈阳·二模）如图，E是矩形内的一点，且，已知，线段的长为6，则的面积为________． 【答案】27 【分析】本题考查了正方形的性质，相似三角形的判定和性质．关键是构造相似三角形． 作过于于的面积等于与乘积的一半．要求的面积只有或中的一个量，不能求出面积的值，必须求出与乘积，逐项分析可得．是斜边上的高，证明，得出，根据，可得正确选项． 【详解】解：作于于． ∴ ∵四边形为矩形， ∴， ∴四边形为矩形， ∴， ∴的面积等于． ∵是斜边上的高， ∴，， ， ， ∴的面积． 故答案为27. 【变式】2．（2025·辽宁鞍山·模拟预测）如图，在和中，，，，，，三点在同一条直线上，连接，恰好，过作交延长线于点，连接，若，，则的长为_________． 【答案】/ 【分析】过点作于点，根据题意证得四边形是矩形，结合、推得，得是等腰三角形，根据三线合一得，利用等量代换证得，可得求出，即可求解的长． 【详解】解：如图，过点作于点， ，， 四边形是平行四边形， ， 四边形是矩形， ，，， ，， ，，， ， ， ， ， ． 在和中， ， ， ， ， 在中，， ． ， ，， ， ， ， ， 解得：， ． 故答案为：． 【点睛】本题主要考查了矩形的判定与性质，等腰三角形的性质，平行线的判定与性质，全等三角形的判定与性质，相似三角形的判定与性质，勾股定理，熟练掌握相关知识点并能灵活运用是解题关键． 【变式】3．（2025·辽宁沈阳·模拟预测）（1）用数学的眼光观察． 如图1，在矩形中，，，点P关于边的对称点Q在对角线上，连接，，，且，求的长． （2）用数学的思维思考． 如图2，在（1）的条件下，将沿着射线方向平移得到，当点P的对应点平移到边上时，求证：． （3）用数学的语言表达． 如图3，在（1）的条件下，将绕点C逆时针旋转一个角，得到，在旋转过程中，设所在直线与直线交于点M，与直线交于点，当时，求出此时的长． 【答案】（1）CP的长是；（2）见解析；（3）AM的长为或． 【分析】（1）先根据勾股定理计算，由三角函数列比例式即可求得CQ的长，最后由对称性即可得CP的长； （2）根据对称性和平移的性质得：，即可得结论； （3）分两种情况：①如图3，点N在CA的延长线上，②如图4，当点C在对角线AC上，根据相似三角形和勾股定理即可解答． 【详解】解：(1)如图1， 四边形是矩形， ，，， ， ， ， ， ， ， 点P关于边的对称点Q在对角线上， ； (2)证明：如图2，由对称得：， 由平移得：，， ，， ， ； (3)分两种情况： ①如图3，点N在的延长线上， 由旋转得：，，， 由勾股定理得：， ，， ， ， ， ， ， ， ， ， ， ， ， ； ②如图4，当点C在对角线上， ， ， ，， ， ， ， ， ， ； 综上，的长为或 【点睛】本题是四边形的综合题，主要考查了勾股定理，相似三角形的性质和判定，轴对称的性质，旋转的性质，解直角三角形相关计算等知识，并运用分类讨论的思想是解题的关键． 突破一 矩形的折叠问题 【典例】1．（2025·辽宁葫芦岛·二模）如图，在矩形中，，，点是的中点，点是直线上一点，将沿所在的直线翻折，点落在对称点处，当时，的长为______． 【答案】或 【分析】当在的上方时，连接，则过的中点，交于点，由矩形的性质及勾股定理得，，，又由折叠的性质得，，再在中，利用勾股定理构造方程即可求解，当在的下方时，连接，则过的中点，射线交于点，同理可得的长． 【详解】解：如下图，当在的上方时，连接，则过的中点，交于点， ∵四边形是矩形， ∴，， ∴， ∵点是的中点， ∴， 由折叠可得，， ∵， ∴， ∴， ∵， ∴， ∴，， ∴， ∵， ∴即， 解得， 如下图，当在的下方时，连接，则过的中点，射线交于点， 同理可得：，，，， ，， ∴即， 解得， 综上，的长为或， 故答案为：或． 【点睛】本题主要考查了矩形的性质，勾股定理，等腰三角形的三线合一，折叠的性质，熟练掌握矩形的性质及勾股定理是解题的关键． 【典例】2．（2025·辽宁铁岭·一模）基本图形 如图①，在矩形中，，，将矩形沿直线折叠，使点的对应点落在的中点处，点的对应点为点，对应边与交于点，求的长． 知识迁移 如图②，在图①的条件下分别延长，交于点，求出的面积 拓展应用 如图③，在矩形中，，，点是的中点，点在边上，将矩形沿直线折叠，使点的对应点落在矩形内部，对应边与交于点，点是上一点，连接，将沿翻折，点的对应点恰好落在上，若，，求的长 【答案】基本图形：；知识迁移：；拓展应用： 【分析】基本图形：设，由翻折的性质得：，在中，，即，解方程后，即可求解； 知识迁移：由①得，，，由题意易得，，得，，由，得，推出，，，过点作于点，过点作于点，根据等面积法，得出，由勾股定理得，，，得出，，根据，得，得，通过进而解题； 拓展应用：过点作于点，设，则，由翻折的性质得，，先证明四边形是矩形，得，由点是的中点，即，得出，设，得，所以，得，通过，可得，在中，通过勾股定理即可求的长． 【详解】解：基本图形： 四边形是矩形， ， 设， ， 由翻折的性质得：， ，点为的中点， ， 在中，， ， 即， 解得：， ； 知识迁移： 由①得，，， 由翻折的性质得，， ， ， ， ， ， ，即， ，， 又， ， ，，， ， ，， 如图②，过点作于点，过点作于点， ， 四边形是矩形， 即， ， 由勾股定理得，，， ，， ， ，即， ， ， ； 拓展应用： 如图③，过点作于点， 设，则， 由翻折的性质得，，， ，，， ， 四边形是矩形， ，， ， ， 四边形是矩形， ， 点是的中点， ， ， 设， ， ， ， 在和中， ， ， ， 在中，， ． 【点睛】本题是四边形综合题，考查了矩形的性质、折叠的性质、全等三角形的判定及性质、相似三角形的判定及性质、锐角三角函数的定义及性质、勾股定理等，灵活运用以上知识点、添加适当的辅助线是解题的关键． 【变式】1．（2025·辽宁朝阳·一模）已知矩形纸片，，，点在边上，连接，将沿所在的直线折叠，点的对应点为，把纸片展平，连接，，当为直角三角形时，线段的长为______． 【答案】或 【分析】本题考查了矩形的性质，折叠的性质，勾股定理等，分两种情况进行讨论：当时，当，分别画出图形，根据折叠的性质解答即可求解，运用分类讨论思想解答是解题的关键． 【详解】解：∵四边形为矩形， ∴，，， 当时，如图所示， ∵， ∴点在上， 由折叠得，，， ∴， ∴， 设，则， 在中，由勾股定理得，， ∴， 解得， ∴； 当，如图所示， 由折叠得，， ∴， ∵，， ∴， ∴， ∴， ∵， ∴； 综上可知，的长为或， 故答案为：或． 【变式】2．（2025·辽宁抚顺·模拟预测）如图，在矩形纸片中，，为边的中点，点在边上，连接，将沿翻折，点的对应点为，连接．若，则______． 【答案】/ 【分析】如图：连接，延长交的延长线于H，根据折叠的性质及矩形的性质，证明，进而得到为直角三角形，设，则，证明为等腰三角形，求出，进而完成解答． 【详解】解：如图：连接，延长交的延长线于H， ∵矩形中，为边的中点，， ∴，， ∵将沿翻折，点的对应点为， ∴， ∴， ∴， ∴， ∵， ∴，即， ∴为直角三角形， 设，则， ∴， ∴， ∴为等腰三角形， ∴， ∴， ∴． 故答案为：． 【点睛】本题主要考查了矩形的性质、全等三角形的性质与判定、等腰三角形的性质与判定、勾股定理、折叠的性质等知识点，灵活运用相关性质定理是解题的关键． 【变式】3．（2025·辽宁沈阳·一模）课本再现： （1）下图所示的是北师大版九年级上册数学课本上的一道题： 如图1，连接，利用与的面积之和是矩形面积的，可求出的值，请你写出求解过程． 知识应用： （2）如图，在矩形中，点M，N分别在边，上，将矩形沿直线折叠，使点D恰好与点B重合，点C落在点处． ①如图2，P为线段上一动点（不与点M，N重合），过点P分别作直线，的垂线，垂足分别为E和F，以，为邻边作平行四边形，若，，求的周长． ②如图3，当点P在线段的延长线上运动时，若，．请用含m，n的式子直接写出与之间的数量关系． 【答案】（1）；（2）①；② 【分析】（1）连接PO，由矩形的性质得出，再由勾股定理得，则，然后由三角形面积即可得出结论； （2）①连接BP，过点M作MH⊥BC于H，证DM=BM=BN=13，则AD=BC=18，再由勾股定理得AB=12，然后由三角形面积求出PE+PF=12，即可解决问题； ②连接BP，过点M作MH⊥BC于H，同①得DM=BM=BN=m，则AD=BC=m＋n，再由勾股定理得，然后由三角形面积得PE=MH+PF，即可解决问题． 【详解】（1）如图1，连接， ∵四边形是矩形， ∴， ∴， ∴， ∴， ， ∴ ， ∴； （2）①∵四边形是矩形， ∴，， ， 连接BP，过点M作MH⊥BC于H，如图2所示： 则四边形ABHM是矩形， ∴MH = AB， 由折叠的性质得：DM=BM，， ∴， ∴， ∴， ∴， 在中，由勾股定理可得， ， ∴， ∵，， ∴， ∵， ∴， ∴平行四边形的周长， ②GF与GE之间的数量关系为：， 理由如下：连接BP，过点M作MH⊥BC于H，如图3所示： 由折叠的性质得：， ∴， ∴， ∴， ∵， ∴， ∵， ∴， ∴， ∵四边形是平行四边形， ∴， ∴， 即． 【点睛】本题考查了矩形的性质和判定、折叠的性质、平行四边形的性质、勾股定理、三角形面积等知识，熟练掌握面积法是解题的关键． 突破二 矩形相关最值问题 【典例】1．（2025·辽宁抚顺·一模）如图，在矩形中，，点是边上一动点，连接，将线段绕点逆时针旋转得到线段，连接，则线段的最小值为______． 【答案】 【分析】过点作直线于，设 ，构建辅助线和设定未知数，由线段旋转性质得出， ，通过角度关系证明 ，证明 ，得到对应边相等关系．根据矩形边长及全等三角形对应边相等，计算出、、、关于的表达式． 在中，依据勾股定理建立关于的表达式，再通过配方转化为顶点式，结合二次函数性质求出的最小值． 【详解】如图，过点作直线于， ， 将绕点逆时针旋转得到， ，， ， ， ， ， 设长为，在矩形中，，， ，， ，， ， 在中，由勾股定理可得， ， ， ， ， ， ， ， ， 故的最小值为． 故答案为：． 【点睛】本题考查矩形性质、三角形全等判定及性质、勾股定理和二次函数求最值 ，解题关键是通过作辅助线构造全等三角形，利用相关性质建立线段长度表达式并求其最小值． 【典例】2．（2025·辽宁铁岭·二模）如图，在矩形中，，点F为边上一点，，以点A为圆心，长为半径的圆交于点E，点P在上运动，则的最小值为_______． 【答案】 【分析】本题考查了矩形的判定和性质，勾股定理，相似三角形的判定和性质，最短线段问题等知识，将求的最小值转化为求线段的长是解题关键． 在上截取，连接、、，过点K作于点H，则四边形是矩形．由勾股定理得，证明出，得到，进而得到，即可得到答案． 【详解】解：如图，在上截取，连接、、，过点K作于点H，则四边形是矩形． ，， ， ． 在中，由勾股定理，得， ， ， ，，， ， ， ， ， ， ． ． ，， ． 故的最小值为． 故答案为：． 【变式】1．（2025·辽宁营口·二模）如图，在矩形中，，，点为对角线上一动点，连接，以为边在其上方作等边，连接，则的最小值为_____． 【答案】/ 【分析】连接交于点，连接并延长交于点，根据矩形的性质及勾股定理得，，推出为等边三角形，得，证明得，，继而得到当点在对角线上运动时，点在射线上运动，再根据等腰三角形三线合一性质得，且是边上的中线，根据垂线段最短得为的最小值，即可得出答案． 【详解】解：连接交于点，连接并延长交于点， ∵四边形是矩形， ∴，，， ∵，， ∴， ∴， ∴为等边三角形， ∴， ∴， ∵是等边三角形， ∴，， ∵，， ∴， 在和中， ， ∴， ∴，， ∴当点在对角线上运动时，点在射线上运动， ∵，即平分， 又∵， ∴，且是边上的中线， 此时为的最小值， ∵， ∴的最小值为． 故答案为：． 【点睛】本题考查矩形的性质，勾股定理，等边三角形的判定与性质，全等三角形的判定与性质，等腰三角形三线合一性质，垂线段最短等知识点，确定点的运动路径是解题的关键． 【变式】2．（2025·辽宁锦州·一模）如图，在矩形中，为边上的动点，过点作直线交于点，，作四边形关于直线对称的四边形，连接．若，则的最小值为___________． 【答案】4 【分析】延长交于点，连接，根据轴对称的性质可得点在直线上，，证明，结合，得出，根据，求出，在中，勾股定理求出，根据三边关系的，即可得当点三点共线且点H在C，E之间时，最小，求解即可． 【详解】解：延长交于点，连接， ∵四边形和四边形关于直线对称， 根据轴对称的性质可得点在直线上， ∴， ∵在矩形中，， ∴， ， ， ， ∵， ， ， ∴， ∵， ∴在中，， ∵， ∴当点三点共线且点H在C，E之间时，最小， 此时， 故答案为：4 ． 【点睛】该题考查了轴对称的性质，勾股定理，矩形的性质，相似三角形的性质和判定等知识点，解题的关键是正确做出辅助线，得出当点三点共线且点H在C，E中间时，最小． 【变式】3．（2025·辽宁沈阳·一模）如图，在矩形中，点E，F分别是边，上的动点，点P是线段的中点，过点P作，，垂足分别为G，H，连接．若，，，则的最小值为______． 【答案】 【分析】本题主要考查矩形的判定与性质，直角三角形的斜边上的中线的性质，勾股定理，熟练掌握性质定理是解题的关键．连接，由勾股定理求出，再由直角三角形斜边上的中线性质得到，当三点共线，最小即可得到答案． 【详解】解：连接， 矩形， ， ， ， 点P是线段的中点， ， ， ， 四边形是矩形， ， 当三点共线，最小， 则的最小值为， 故答案为：． 突破三 矩形与函数综合 【典例】1．（2025·辽宁抚顺·一模）如图，直线与轴，轴分别交于，两点，以为边在第一象限内作矩形，且，则点的坐标为（   ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】本题考查了一次函数的性质、矩形的性质、相似三角形的性质与判定，熟练掌握相关知识点是解题的关键．作轴于点，利用一次函数的性质求出点，的坐标，利用矩形的性质得到，通过证明得到，代入数据即可求解． 【详解】解：如图，作轴于点， 令，则， 令，则，解得， ，， ，， 矩形， ， ， 轴， ， ， ， 又， ， ， ，， ， 点的坐标为． 故选：A． 【典例】2．（2025·辽宁营口·模拟预测）如图，是反比例函数的部分图象，矩形交反比例函数于D，E两点．当，，时，则______． 【答案】8 【分析】本题考查了反比例函数与几何的综合问题，反比例函数图象上的点的坐标特征．先表示，，再由三角形面积公式建立方程求解． 【详解】解：∵，， ∴，， ∵四边形是矩形， ∴，，，，， ∴，， ∴，， ∴，， ∵， ∴， 解得：（舍去）或， 故答案为：8． 【变式】1．（2025·辽宁沈阳·二模）如图，在平面直角坐标系中，矩形的顶点A，C分别在y轴、x轴的正半轴上，顶点B在第一象限内，双曲线与矩形的边交于点D，交于点E，且．若四边形的面积为18，则k的值为__________． 【答案】6 【分析】本题考查了反比例函数与几何图形面积的关系，矩形的性质，掌握反比例系数与几何图形面积的关系是解题的关键． 设，则，，由此得到，，，然后利用四边形的面积为18求解即可． 【详解】解：∵四边形是矩形，边分别在轴、轴的正半轴上， ∴， ∵点在反比例函数的图象上， 设， ∴，， ∴， ∴， ∵四边形的面积为18， ∴，即， 解得，． 故答案为：6． 【变式】2．（2025·辽宁抚顺·模拟预测）如图，在平面直角坐标系中，矩形ABCD的顶点B在x轴上，点A的坐标为（﹣2，3），且AD＝，AB＝5，若反比例函数（x＜0）的图象经过点D，则k＝_____． 【答案】/-2.5 【分析】过点A作AE⊥x轴于点E，过点C作CF⊥x轴于点F，得出AE的长，求出EB的长，得出B点坐标，然后证明，得出点C的坐标，通过平移的方法得出点D的坐标，即可求出k的值． 【详解】解：过点A作AE⊥x轴于点E，过点C作CF⊥x轴于点F，如图所示： 点坐标为， ，， ，， ， ， 四边形ABCD为矩形， ，，， ， ， ， ， ， ， ，， ， 点C的坐标为， ， 可以由BC平移得到， ，， 点B向左平移4个点位，向上平移3个单位得到点A， 点向左平移4个点位，向上平移3个单位得到点D， 点的坐标为， ． 故答案为：． 【点睛】本题主要考查了反比例函数、矩形的性质、三角形相似的判定和性质，通过平移的方法由点C的坐标得出点D的坐标是解题的关键． 【变式】3．（2025·辽宁沈阳·一模）在平面直角坐标系中， 矩形的顶点，， 点D在第一象限，轴， 若函数 的图象经过矩形对角线的交点E，则k的值为_______． 【答案】5 【分析】根据平行于y轴的直线上任意两点纵坐标相同，可设．利用矩形的性质得出E为中点，．根据线段中点坐标公式得出．由勾股定理得出，列出方程，求出m，得到E点坐标，代入，利用待定系数法求出k． 【详解】解：∵轴，， ∴C、E两点横坐标相同，都为2， ∴可设． ∵矩形的对角线的交点为E， ∴E为中点，， ∴， ∵， ∴， ∵，，， ∴， 解得：， ∴． ∵反比例函数的图象经过点E， ∴． 故答案为：5． 【点睛】本题考查了矩形的性质，勾股定理，反比例函数图象上点的坐标特征，线段中点坐标公式等知识，求出E点坐标是解题的关键． 突破四 矩形与圆综合 【典例】1．（2025·辽宁沈阳·模拟预测）如图，的对角线相交于点D，经过A、D两点，与的延长线相交于点E，点F为上一点，且连接、相交于点G，若， (1)求对角线的长； (2)求证：是的切线． 【答案】(1) (2)见解析 【分析】（1）根据直径所对的圆周角是直角，可知，由等弧所对的圆周角相等可得，从而证明得到，继而求出，再结合平行四边形对角线互相平分求出即可； （2）利用勾股定理求出，继而求出，可知为矩形，从而得到，即可证明是的切线． 【详解】（1）解：∵，， ∴， 是直径， ， ， ， 又， ， ， ， （负值舍去）， （2）证明：∵，，， ∴， 是平行四边形 ， 为矩形， ， 是的半径， 是的切线． 【点睛】本题考查直径所对的圆周角是直角，等弧所对的圆周角相等，相似三角形判定与性质，平行四边形的性质，矩形的判定，切线的判定等知识，综合程度较大，灵活掌握所学知识是解题的关键． 【变式】1．（2025·辽宁丹东·模拟预测）如图1，在矩形中，点在对角线上，以的长为半径的与，分别交于点，，且． (1)求证：； (2)判断直线与的位置关系，并证明你的结论； (3)如图2，若点落在线段的垂直平分线上，，求的半径． 【答案】(1)见解析 (2)直线与相切，理由见解析 (3) 【分析】本题主要考查的是圆的综合应用，主要考查矩形的性质，线段的垂直平分线的性质，等腰三角形的性质，相似三角形的判定与性质，圆的切线判定，熟练掌握性质定理是解题的关键． （1）证明，结合，即可得到结论； （2）连接，证明，，，由得到，得到，即可得到结论； （3）连接，证明，得到，，求出，则，利用含直角三角形得到，即可求出答案． 【详解】（1）证明：矩形， ， ， ； （2）解：直线与相切，理由如下： 连接， ， ， 四边形是矩形， ， ， ， ， ， 四边形是矩形， ， ， ， ，即， 为半径， 直线与相切； （3）解：连接， 点落在线段的垂直平分线上， ， ， 由（1）得， 在中，， ， ， 是的直径， ， ， ， ， 在中，， ， ， 在中，， ． 1．如图，以矩形的顶点A为圆心，适当的长为半径画弧，分别交，于点M，N，分别以点M，N为圆心，以大于的长为半径画弧，两弧在内部交于点P，作射线，交于点E，连接．若，，则的长度为（   ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】本题主要考查了矩形的性质，角平分线的定义及其尺规作图，勾股定理，等腰直角三角形的性质与判定等等，由矩形的性质可得，，由作图可知，平分，则有，则可证明是等腰直角三角形，得到，再求出的长，即可利用勾股定理求出的长． 【详解】解：四边形是矩形， ，， 由作图可知，平分， ， ∴是等腰直角三角形， ， ， 在中，． 故选：B． 2．如图，在矩形中．分别以点B，D为圆心，大于的长为半径画弧，两弧相交于点和．作直线分别与交于点M，O，N，则的长为（    ） A． B．5 C． D． 【答案】C 【分析】本题考查矩形的性质，中垂线的性质，解直角三角形，先证明，得到，解直角三角形求出的长即可得出结果． 【详解】解：∵矩形， ∴，， ∴， ∴ 由作图可知：垂直平分， ∴，， ∴， ∴， ∵， ∴， ∴； 故选C． 3．如图，在平面直角坐标系中，长方形的顶点A，C的坐标分别是，，点B在x轴上，则点B的横坐标是（   ） A．4 B． C． D．5 【答案】D 【分析】分别过点作轴，轴于点，证明，得，从而可得，即可解答此题． 【详解】解：过点作轴，轴于点，如图： ， ∴， ∵点A的坐标是，点C的坐标是 ∴， ∵四边形是矩形， ∴， ∴， 在中 ， ∴ ∴ ∴， ∴点B的横坐标是5， 故选：D． 【点睛】此题主要考查了坐标与图形，全等三角形的判定与性质，矩形的性质等知识，正确作出辅助线构造全等三角形是解答此题的关键． 4．若添加一个条件，使得平行四边形是矩形，则这个条件可以是（   ） A． B． C． D．，互相平分 【答案】B 【分析】本题考查矩形的判定，需掌握矩形与平行四边形的性质及判定定理． 【详解】解：选项A：是平行四边形的固有性质（对边相等），无法判定为矩形． 选项B：（对角线相等）是矩形的判定定理，满足此条件时平行四边形为矩形． 选项C：会使平行四边形成为菱形，而非矩形． 选项D：对角线互相平分是平行四边形的固有性质，无法判定为矩形． 故选 B． 5．如图，在矩形中，分别以A，B为圆心，以长为半径画弧，两弧交于点E，连接，．若，则的大小为__________． 【答案】/30度 【分析】该题考查了矩形的性质，等腰三角形的性质，等边三角形的性质和判定，根据尺规作图得出是等边三角形，得出，根据，即可得出，再利用等腰三角形的性质即可得出． 【详解】解：连接， 根据尺规作图可得， ∴是等边三角形， ∴， 在矩形中，， ∴， ∵， ∴， 故答案为：． 6．如图，在平面直角坐标系中，矩形的边，分别在轴、轴正半轴上，点在边上，将矩形沿折叠，点恰好落在边上的点处．若，，则点的坐标是________．    【答案】 【分析】根据折叠的性质得出，在中，勾股定理求得，进而得出，在中，勾股定理建立方程，求得的长，即可求解． 【详解】解：∵四边形是矩形， ∴， ∵折叠， ∴， 在中， ∴， ∴设，则， ∵折叠， ∴， 在中，， ∴， 解得：， ∴， ∴的坐标为， 故答案为：． 【点睛】本题考查了矩形与折叠，勾股定理，坐标与图形，熟练掌握折叠的性质以及勾股定理是解题的关键． 7．如图，在矩形中，以点为圆心，以的长为半径作弧，交于点，分别以点，为圆心，以大于的长为半径作弧，两弧交于点，射线交于点．若，则__________． 【答案】 【分析】题目主要考查矩形的性质，尺规作图，解三角形，全等三角形的判定和性质，理解题意，综合运用这些知识点是解题关键． 由作图知，，，设，，连接，利用全等三角形的判定和性质得出，，，再由等角的正弦值相等求解即可． 【详解】解：根据题意得，为的角平分线， ∴， ∵， ∴设， ∵矩形， ∴， 连接， ∵，，， ∴， ∴，， ∴， ∴， ∵， ∴， ∴ 故答案为： 8．如图，在平面直角坐标系中，矩形的两边，分别在x轴和y轴上，并且，．若把矩形绕着点O逆时针旋转，使点A恰好落在边上的处，则点C的对应点的坐标为（    ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】本题主要考查了矩形的性质以及勾股定理等知识，直接利用相似三角形的判定与性质得出三边关系，再利用勾股定理得出答案． 【详解】解：过点作轴于点N，过点作轴于点M， 由题意可得：， ∴轴， ∴， ∵ ∴， ∴ ∴， ∴， ∴， ∵， ∴， ∴， ∴， ∴设，则， 则， 解得：（负数舍去）， 则， 故点C的对应点的坐标为：． 故选：A． 9．如图，在矩形中，．连接，在和上分别截取，使．分别以点E和点F为圆心，以大于的长为半径作弧，两弧交于点G．作射线交于点H，则线段的长是______．    【答案】/ 【分析】过H作于Q，再根据角平分线的性质和勾股定理列方程求解． 【详解】解：设，    过H作于Q， 在矩形中，， ∴， 由作图得：平分， ∴， ∵，， ∴， ∴， ∴， 在中，有， 即：， 解得：， 故答案为：． 【点睛】本题考查了基本作图，掌握勾股定理的应用是解题的关键． 10．如图，在矩形ABCD中，，在矩形内有一点P，同时满足，延长CP交AD于点E，则______. 【答案】 【分析】延长AP交CD于F，根据已知条件得到∠CPF+∠CPB=90°，根据矩形的性质得到∠DAB=∠ABC=90°，BC=AD=3，根据余角的性质得到∠EAP=∠ABP，推出AE=PE，根据勾股定理CD2+DE2=CE2即可求出AE的长，继而得到结论． 【详解】解：延长AP交CD于F， ∵∠APB=90°， ∴∠FPB=90°， ∴∠CPF+∠CPB=90°， ∵四边形ABCD是矩形， ∴∠DAB=∠ABC=90°，BC=AD=3， ∴∠EAP+∠BAP=∠ABP+∠BAP=90°， ∴∠EAP=∠ABP， ∵CP=CB=3， ∴∠CPB=∠CBP， ∴∠CPF=∠ABP=∠EAP， ∵∠EPA=∠CPF， ∴∠EAP=∠APE， ∴AE=PE， ∵CD2+DE2=CE2， ∴42+（3-AE）2=（3+AE）2， ∴ ∴CE=3+= 故答案为： 【点睛】本题考查了矩形的性质，等腰三角形的判定和性质，勾股定理，熟练掌握相关性质是解题的关键． 11．如图，矩形中，，点E、F分别边上的点，且，点G为的中点，点P为上一动点，则的最小值为______．    【答案】4 【分析】此题考查矩形的性质，勾股定理，轴对称最短路径问题，先利用直角三角形斜边中线的性质得到，作A关于的对称点，连接，交于P，当点，P，G，D共线时，的值最小，最小值为的长；勾股定理求出，减去即可得到答案，熟练掌握各知识点是解题的关键． 【详解】∵四边形是矩形， ∴ ，点G为的中点， ∴， 作A关于的对称点，连接，交于P，当点，P，G，D共线时，的值最小，最小值为的长；   ， ，， ， ∴， ∴； ∴的最小值为4； 故答案为：4． 12．如图，矩形的边平行于轴，反比例函数的图象经过点，对角线的延长线经过原点，且，若矩形的面积是8，则的值为___________．    【答案】6 【分析】延长交x轴于点F，设，利用相似三角形的判定与性质可求得矩形的长与宽，再由矩形的面积即可求和k的值． 【详解】解：延长交x轴于点F，如图， 由点D在反比例函数的图象上，则设， ∵矩形的边平行于轴，，， ∴轴，， 则， ∵， ∴， ∴， ∵， ∴， ∴，， ∵，即， ∴， 故答案为：6．    【点睛】本题考查了相似三角形的判定与性质，反比例函数图象上点的坐标特征，其中相似三角形的判定与性质是关键． 13．在矩形中，，将矩形翻折，使点C落在边的中点G处，点D的对应点为点H，折痕为，则_________． 【答案】 【分析】本题考查了矩形的性质与折叠的性质，锐角三角形函数，把握折叠的不变性是解题的关键． 根据折叠以及得到，再由等角的正切相等即可求解． 【详解】解：连接交于点， 由折叠可得：， ∵四边形是矩形， ∴， ∴， ∵，为的中点， ∴， ∴， 故答案为：． 14．如图，在矩形中，，，点，分别在，边上，且，，与相交于点，若为的中线，则的长为_____． 【答案】/ 【分析】本题考查矩形的性质，相似三角形的判定与性质，直角三角形的性质，解决的关键是证明．根据矩形的性质证明，得，证明，根据直角三角形斜边的中线等于斜边的一半得，利用勾股定理求出，进而可以解决问题． 【详解】解：∵四边形是矩形， ∴， ∵， ∴， ∴， ∵， ∴， ∴， ∵， ∴， ∴， ∴， ∵为的中线， ∴， ∵， ∴， ∴的长为， 故答案为：． 15．在矩形中，，点分别是边和边上的动点，，，连接， (1)如图1，当的面积为3时，求的值； (2)在（1）的条件下，求的面积； (3)当时，求的度数； (4)如图2，将沿直线翻折，当点的对称点恰好落在边上时，求的值. 【答案】(1) (2)8 (3) (4) 【分析】（1）根据三角形的面积公式代入即可求得答案； （2）由（1）可得：，再根据，分别代入即可得到答案； （3）当时，分别求出，，的长，再分别利用勾股定理分别求出，，的长，再由勾股定理的逆定理即可得到答案； （4）过点作，易证得，从而可求得，在中，由勾股定理可得：，即可求得求值． 【详解】（1）解：∵，， ∴， ∵，， ∴， ∴， （2）解：由（1）可得：， ∴，， ∵， ∴，， ∴， ． （3）解：由题可得，当时， ∴，， ∵， ∴，， 在中，由勾股定理可得：， 在中，由勾股定理可得：， 在中，由勾股定理可得：， ∴， ∴． （4）解：过点作，交于， ∵， ，，由折叠的性质可得： ∴，，， ∵， ∴，， ∴， ∴， ∴，即， ∴， 在中，由勾股定理可得：， ∴， 解得：． 【点睛】本题考查了矩形的性质，三角形的面积，勾股定理及其逆定理，相似三角形的判定与性质，折叠的性质，熟练掌握相似三角形的判定与性质是解题的关键． 16．如图，在矩形ABCD中，AB=1，AD=3．①以点A为圆心，以不大于AB长为半径作弧，分别交边AD，AB于点E，F，再分别以点E，F为圆心，以大于EF长为半径作弧，两弧交于点P，作射线AP分别交BD，BC于点O，Q；②分别以点C，Q为圆心，以大于CQ长为半径作弧，两弧交于点M，N，作直线MN交AP于点G，则OG长为________． 【答案】 【分析】根据矩形的性质可得，，，再根据作图过程可知平分，是的垂直平分线，再证，利用相似三角形的性质求得，再根据垂直平分线的性质证得是等腰直角三角形求得，最后利用即可求解． 【详解】解：∵四边形是矩形， ∴，，， 根据作图过程可知平分，是的垂直平分线， ∴， ∴， ∴，CQ=BC-BQ=2， ∵， ∴， ∴， ∴， ∴， 如图，设的垂直平分线交于点，交CQ于点R， ∴，GH⊥CQ，， ∴是等腰直角三角形，且四边形CDHR是矩形， ∴， ∴， ∴， ∴． 【点睛】本题考查了作图—复杂作图，相似三角形的判定和性质，勾股定理，角平分线的性质，线段垂直平分线的性质，矩形的性质，综合运用所学知识是解题的关键． 17．矩形中，，，点P为边上一个动点，将沿折叠得到，点D的对应点为Q，当射线恰好经过的中点M时，的长为______． 【答案】2或8 【分析】本题考查了矩形的性质，折叠的性质，勾股定理，运用分类讨论思想解答并正确画出图形是解题的关键． 分点在线段中点的左边和右边两种情况，画出图形解答即可求解． 【详解】解：如图 1，过点作于， ∵四边形是矩形， ， ∴四边形为矩形，， ， 由折叠可得，， ， ∵点为的中点， ， ， 设，则， 在中，， ， 解得， ； 如图 2，过点作与， 则四边形是矩形，， ， 由折叠可得， ， 设，则， 在中，， ， 解得， ； 综上，的长为2或8， 故答案为：2或8． 18．如图，四边形是矩形，，．点E为边的中点，点F为边上一点，将四边形沿折叠，点A的对应点为点，点B的对应点为点，过点作于点H，若，则的长是_______．    【答案】或 【分析】分两种情况：当点在点左侧时，设交于点，过点作于点，则四边形为矩形，，由折叠可知，，由平行线的性质可得，于是，，利用勾股定理求得，证明，利用相似三角形的性质求得，，于是，，则，代入计算即可得到答案；当点在点右侧时，设交于点，过点作于点，同理可得，，四边形为矩形，，利用相似三角形的性质求得，，进而去除，则，代入计算即可求解． 【详解】解：当点在点左侧时，如图，设交于点，过点作于点， 则， 点为边的中点， ， 四边形为矩形，， ，，， ， 四边形为矩形， ，， 由折叠可知，，， ， ， ，即， ， ， ， 在中，， ，， ， ， ， ， ，即， ，， ， ， ； 当点在点右侧时，如图，设交于点，过点作于点， 同理可得：，，四边形为矩形，，， 在中，， ， ，即， ，， ， ． 综上，的长是或． 故答案为：或． 【点睛】本题主要考查矩形的性质、折叠的性质、勾股定理、等腰三角形的判定与性质、相似三角形的判定与性质，灵活运用相关知识解决问题是解题关键． 19．如图，在矩形中，，，对角线，相交于点，对角线所在的直线绕点顺时针方向旋转，旋转中，直线分别交，于点，，将四边形沿直线折叠得到四边形，其中线段交于点，交于点． (1)如图（一），探究出，的数量关系为 ； (2)如图（二），①证明：； ②在（1）的基础上，当时，求证：； (3)深入研究，当时，请直接写出的长． 【答案】(1) (2)①详见解析；②详见解析 (3)的长为或． 【分析】（1）通过折叠平行线得出等腰三角形； （2）①识别出和是8字型倒角，从而得出，再根据平行线得出，即可得证； ②证线段等线段线段，思路就是截长补短，再观察题干条件有，构造等边即可证出； （3）先利用勾股定理求的长，设，则，之后利用线段和差建立方程即可求解． 【详解】（1）解：． 四边形折叠得到四边形， ， ∵， ， ， ； （2）证明：①四边形是矩形， ，， ，， ， 由折叠 ， ， 又， ， ∵， ， ； ②， ， ， 如图，在延长线上取一点， ， ， 在上截取，则等边三角形， ， ， ， ，， ， ， ， ； （3）解：①当点在右上方时，如图过点作于点， ，， 在中，， 设，则， ， ， 解得， ； ②当点在左上方时， 同理可得， 设，则， ， ， 解得， ． 综上，的长为或． 【点睛】本题是四边形综合题，主要考查了矩形的性质，等腰直角三角形的性质，全等三角形的判定与性质，平行线的性质等知识，熟练掌握以上知识是解决本题的关键． 20．综合与实践 【问题情境】如图1，小明将矩形纸片先沿对角线折叠，展开后再折叠，使点B落在对角线上，点B的对应点记为，折痕与边，分别交于点E，F． 【问题解决】（1）当， ①如图2，当点与点D重合时，求的长； ②如图3，若，求的长； 【问题探究】（2）如图4，连接，设与交于点O，当时，求证：平行； 【深入探究】（3）在（2）的情形下，设与交于点P，求三条线段，，之间满足的等量关系． 【答案】（1）①；②；（2）见详解；（3） 【分析】①根据四边形是矩形，，得出，根据折叠可得，，设，则，当点与点D重合时，在中，根据勾股定理列方程即可求解． ②如图3，若，根据矩形的性质得出，勾股定理求出，如图，设与交于点，由折叠得，证明，得出，求出，即可解答． （2）当时，设与交于点，根据四边形是矩形，得出，根据等腰三角形的性质得出，三角形外角的性质求出，由折叠得：，，求出，，，根据，同位角相等，两直线平行，即可证明． （3）如图，过点作于，设交于，由折叠得：，设，根据，求出，根据（2）可得，，解直角三角形表示出，证明四边形是矩形，得出，表示出，解直角三角形求出，，根据直角三角形的性质表示出，，证明，过点作，根据等腰三角形的性质得出，解直角三角形得出，即可表示出，得出． 【详解】（1）①解：∵四边形是矩形，， ∴， 根据折叠可得，， 设， 则， 如图，当点与点D重合时， 在中，， ∴， 解得：， 即． ②如图3，若， ∵四边形是矩形，， ， ， 如图，设与交于点， 由折叠得：， ， ， ， ， ∴， ， ． （2）证明：如图，当时，设与交于点， ∵四边形是矩形， ， ， ， 由折叠得：，， ∴， ∴， ∴， ， ． （3）， 理由如下： 如图，过点作于，设交于， 由折叠得：， 设， ∵， ∴， 根据（2）可得，， ， ， ∴四边形是矩形， ， ， ， ， ， ， ， ， ， ， ， 过点作， ， ， ， ， 即． 【点睛】本题是四边形综合题，考查了矩形的性质和判定，菱形的判定，勾股定理，直角三角形性质，等腰三角形性质，平行线性质，全等三角形的判定和性质，相似三角形的判定和性质，解直角三角形等，涉及知识点多，综合性强，难度较大． 1．（2025·黑龙江绥化·中考真题）一个矩形的一条对角线长为10，两条对角线的一个交角为，则这个矩形的面积是（    ） A．25 B． C． D． 【答案】B 【分析】本题主要考查了矩形的性质、等边三角形的判定与性质、勾股定理等知识点，正确画出图形并灵活运用相关知识是解题的关键． 如图：根据矩形的对角线互相平分且相等求出，然后判断出是等边三角形，根据等边三角形的性质求出，再利用勾股定理列式求出，然后根据矩形的面积公式求解即可． 【详解】解：如图，∵四边形是矩形， ∴， ∵， ∴是等边三角形， ∴， 由勾股定理得，， ∴矩形的面积． 故选：B． 2．（2025·山东东营·中考真题）如图，点O是边的中点，连接并延长至点D，使，添加下列选项中的一个条件，不能判定四边形为矩形的是（    ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】本题主要考查了矩形的判定，先根据题意得出四边形是平行四边形，然后根据矩形的判定定理一一判定即可得出答案． 【详解】解：∵点O是边的中点， ∴， 又， ∴四边形是平行四边形， ．若，则四边形是菱形，无法得出四边形为矩形，故该选项符合题意； ．若，则四边形为矩形，故该选项不符合题意； ．∵四边形是平行四边形，∴，又，，∴，∴， ∴，∴则四边形为矩形，故该选项不符合题意； ．若，∴， ∴，∴则四边形为矩形，故该选项不符合题意； 故选：A． 3．（2025·甘肃兰州·中考真题）如图，四边形是矩形，对角线相交于点O，点E，F分别在边上，连接交对角线于点P．若P为的中点，，则（    ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】本题考查了矩形的性质，直角三角形斜边中线的性质，等边对等角．根据矩形的性质求得，利用斜边中线的性质求得，求得，利用三角形内角和定理以及对顶角相等即可求解． 【详解】解：∵四边形是矩形， ∴，， ∵， ∴， ∵，P为的中点， ∴， ∴， ∴， ∴， 故选：C． 4．（2025·河北·中考真题）如图，将矩形沿对角线折叠，点落在处，交于点．将沿折叠，点落在内的处，下列结论一定正确的是（    ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】本题考查了矩形的折叠问题，三角形内角和定理以及三角形的外角的性质，熟练掌握折叠的性质是解题的关键；结果矩形的性质的可得，，则，进而根据折叠的性质得出，，即可求解． 【详解】解：∵四边形是矩形， ∴， ∴ ∵折叠 ∴ ∴ ∵，即 ∴，故A不正确 ∵ ∴，故B不正确 ∵折叠， ∴ ∵，故C不正确，D选项正确 故选：D． 5．（2025·黑龙江大庆·中考真题）如图，在矩形中，，动点P从点A开始沿边以的速度向点B运动，动点H从点B开始沿边以的速度向点A运动，动点Q从点C开始沿边以的速度向点D运动．点P，点H和点Q同时出发，当其中一点到达终点时，另两点也随之停止运动．设动点的运动时间为，当时，t的值为（   ） A． B．4 C． D． 【答案】D 【分析】本题考查了矩形的判定和性质，等腰三角形的性质．由题意得，，，求得，根据等腰三角形的性质得到，再利用，列式计算即可求解． 【详解】解：作于点，如图， ∵矩形， ∴四边形是矩形， ∴， 由题意得，，， ∴， ∵，， ∴， ∵， ∴， 解得， 故选：D． 6．（2025·四川宜宾·中考真题）如图，在矩形中，点、分别在上，且，把沿翻折，点恰好落在矩形对角线上的点M处．若A、、三点共线，则的值为________． 【答案】 【分析】此题考查矩形与折叠，平行线的性质，勾股定理，等角对等边，根据矩形的性质及平行线的性质得到，再根据等角对等边推出，设，则，利用勾股定理求出，即可得到答案． 【详解】解：∵四边形是矩形， ∴， ∵， ∴，， 由翻折得，， ∴， ∴， ∵， ∴， ∴， ∴， 设，则，， ∴， ∴， 故答案为． 7．（2025·江西·中考真题）如图，在矩形纸片中，沿着点折叠纸片并展开，的对应边为，折痕与边交于点．当与，中任意一边的夹角为时，的度数可以是_________ 【答案】或或 【分析】本题主要考查矩形的性质和折叠的性质，解题的关键是要分情况讨论与，的夹角情况，再利用矩形的性质和折叠的性质以及直角三角形两锐角互余的性质求出的度数． 【详解】解：①当与的夹角为时， 即,如图： ，, , , ; ②当与的夹角为时， 即,如图： ，, , , ; 或，如图： ，, , , ; 综上，的度数可以是或或． 故答案为：或或． 8．（2025·山东东营·中考真题）如图1，在矩形中，，是边上的一个动点，，交于点，设，，图2是点从点运动到点的过程中，关于的函数图象，则的长为（   ） A．5 B．6 C．7 D．8 【答案】A 【分析】本题考查了动点问题的函数图象问题、矩形的性质、相似三角形的性质与判定，利用相似三角形的性质求出关于的函数关系式是解题的关键．首先推导出，设，利用相似三角形的性质求出关于的函数关系式为，再结合函数图象求出的值即可得出结论． 【详解】解：矩形， ， ， ，， ． ， ． ． ， ， 设，则， 整理得， 由图象可知，关于的函数图象经过， 代入得，， ， ． 故选：A． 9．（2025·广东·中考真题）如图，在矩形中，，是边上的三等分点，连接，相交于点，连接．若，，则的值是（   ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】本题考查矩形的性质，相似三角形的判定和性质，求角的正切值，熟练掌握以上知识点是解题的关键．根据矩形的性质，证明，得到，然后过点作，得到，根据相似三角形对应边成比例分别求出的长，进而求出的长，再利用正切的定义求解即可． 【详解】解：∵矩形，，是边上的三等分点，，， ∴，，，，， ∴， ∴， ∴， 过点作，则， ∴， ∴， ∴，， ∴， ∴； 故选：B． 10．（2025·贵州·中考真题）如图，在矩形中，点E，F，M分别在，，边上，分别交对角线、线段于点G，H，且是的中点．若，则的长为_____________． 【答案】 【分析】如图，连接，交于，过作于，求解，证明是的中位线，可得，，，证明四边形是平行四边形，可得，而，，求解，再进一步求解即可. 【详解】解：如图，连接，交于，过作于， ∵，， ∴， ∵矩形， ∴，， ∴，， ∵是的中点， ∴是的中位线， ∴，， ∴， ∴， ∵，， ∴， ∵， ∴四边形是平行四边形， ∴，而，， ∴， ∴， ∴， ∴； 故答案为： 【点睛】本题考查的是平行四边形的判定与性质，矩形的性质，三角形的中位线的性质，锐角三角函数的应用，作出合适的辅助线是解本题的关键. 11．（2025·黑龙江·中考真题）如图，在矩形中，，，点E是边的中点，点F是对角线上一动点，作点C关于直线的对称点P，若，则的长为_______． 【答案】或 【分析】本题考查了对称的性质，矩形的性质，等腰三角形的判定与性质，勾股定理，解直角三角形，根据题意画出示意图，连接，交直线于点G，延长交于点H，当点P在上方时，由勾股定理求出，进而得到，由点C关于直线的对称点P，得到，，求出，进而得到，再求出，证明是等腰三角形，在中，解直角三角形求出，进而求解；当点P在下方时，先求出，，结合对称的性质易证是等边三角形，易求，解直角三角形求出，由即可求解． 【详解】解：如图所示，连接，交直线于点G，延长交于点H， 当点P在上方时， ∵在矩形中，，， ∴， ∴， ∴， ∵点E是边的中点， ∴， ∵点C关于直线的对称点P， ∴，， ∵， ∴， ∵，， ∴， ∴， ∵， ∴； ∵，， ∴， ∴是等腰三角形， ∴， 在中，，， ∴， ∴； 如图，当点P在下方时， ∵， ∴， ∵， ∴，， 由对称的性质得， ∴是等边三角形， ∴，， ∴，， ∴， ∴； 综上，的长为或． 故答案为：或． 12．（2025·云南·中考真题）如图，在中，，是的中点．延长至点，使．连接，记，的周长为，的周长为，四边形的周长为． (1)求证：四边形是矩形； (2)若，求的长． 【答案】(1)见解析 (2)10 【分析】本题主要考查了矩形的判定与性质，勾股定理，熟练掌握矩形的判定与性质是解题的关键． （1）先证明对角线互相平分，继而得到四边形是平行四边形，再由即可证明为矩形； （2）由矩形的性质得到，，得到二元一次方程组，求出，再由勾股定理即可求解． 【详解】（1）证明：∵是的中点， ∴， ∵， ∴四边形是平行四边形， ∵， ∴四边形是矩形； （2）解：∵，， ∴， ∵四边形是矩形， ∴， ∴， ∴， ∴， 解得：， ∵， ∴， ∴的长为10． 13．（2025·北京·中考真题）如图，在中，D，E分别为的中点，，垂足为F，点G在的延长线上，． (1)求证：四边形是矩形； (2)若，，，求和的长． 【答案】(1)见解析 (2) 【分析】本题主要考查了矩形的判定，三角形中位线定理，勾股定理，解直角三角形，熟知相关知识是解题的关键． （1）由三角形中位线定理可得，即，则可证明四边形是平行四边形，再由，即可证明平行四边形是矩形； （2）求出，解得到，则；由线段中点的定义可得；过点A作于H，解得到，则，再利用勾股定即可求出的长． 【详解】（1）证明：∵D，E分别为的中点， ∴是的中位线， ∴，即， ∵， ∴四边形是平行四边形， 又∵， ∴平行四边形是矩形； （2）解：∵， ∴； ∵， ∴， 在中，，， ∴， ∴； ∵点D为的中点， ∴； 如图所示，过点A作于H， 在中，， ∴， 在中，由勾股定理得． 14．（2025·广东广州·中考真题）宽与长的比是（约为）的矩形叫做黄金矩形．现有一张黄金矩形纸片，长．如图1，折叠纸片，点B落在上的点E处，折痕为，连接，然后将纸片展开． (1)求的长； (2)求证：四边形是黄金矩形； (3)如图2，点G为的中点，连接，折叠纸片，点B落在上的点H处，折痕为，过点P作于点Q．四边形是否为黄金矩形？如果是，请证明：如果不是，请说明理由． 【答案】(1)2 (2)证明见解析 (3)四边形是黄金矩形．证明见解析 【分析】（1）根据黄金矩形的定义可得：，再进一步求解即可； （2）先证明四边形是正方形；可得，，证明四边形是矩形，从而可得答案； （3）先证四边形是矩形，然后求解，由对折可得：，设，则，由面积可得：，可得：，再进一步可得结论． 【详解】（1）解：∵，矩形是黄金矩形， ∴， ∴； （2）证明：∵折叠黄金矩形纸片，点B落在上的点E处， ∴，， 又∵四边形是矩形， ∴，，， ∴， ∴四边形是矩形， ∵， ∴四边形是正方形； ∴， 由（1）可知，， ∴， ∴， ∵， ∴四边形是矩形， ∴， ∴， ∴四边形是黄金矩形． （3）解：四边形是黄金矩形，证明如下： ∵，四边形是正方形， ∴， ∴四边形是矩形； 由（2）可知，， ∵为的中点， ∴， ∴， 如图，连接，由对折可得：，，， 设，则， ∵ ∴， 解得：， ∴， ∴， ∴四边形是黄金矩形． 【点睛】本题考查的是矩形的判定与性质，正方形的判定与性质，勾股定理的应用，二次根式的运算，理解黄金矩形的定义是关键． 15．（2025·四川南充·中考真题）矩形中，，点E是线段上异于点B的一个动点，连接，把沿直线折叠，使点B落在点P处． 【初步感知】（1）如图1，当E为的中点时，延长交于点F，求证：． 【深入探究】（2）如图2，点M在线段上，．点E在移动过程中，求的最小值． 【拓展运用】（3）如图2，点N在线段上，．点E在移动过程中，点P在矩形内部，当是以为斜边的直角三角形时，求的长．            【答案】（）详见解析；（）；（） 【分析】（1）连接，证明，即可求证； （2）根据题意得点在以为圆心，10为半径的的弧上． 连接，当点在线段上时，有最小值．根据勾股定理求出，即可求解； （3）过点作于，交于点，证明，可得，设，，根据勾股定理得到关于x的方程，可得到，．，，． 设，则，．在中，根据勾股定理求出，即可求解． 即的长为5． 【详解】（1）证明：连接，    由折叠可得，． ∵四边形为矩形，． ∵为的中点，， ∴． 在与中， ∵，， ∴， ∴ （2）解：，点在移动过程中，不变． ∴点在以为圆心，10为半径的的弧上． 连接，    当点在线段上时，有最小值． ∵，，， ∴． ∴， ∴的最小值为． （3）解：过点作于，交于点，    ∵， ∴， ∴． ∴． ∵， ∴， ∴， ∴， ∵，， ∴． 设，， ∴，． ∵， ∴， ∵， ∴． ∴， 解得． ∴，．，，． 设，则，． 在中，， ∴． 解得，， 即的长为5． 【点睛】本题主要考查了矩形的性质，勾股定理，相似三角形的判定和性质，全等三角形的判定和性质，熟练掌握矩形的性质，勾股定理，相似三角形的判定和性质，全等三角形的判定和性质是解题的关键． 1 / 10 学科网（北京）股份有限公司 $