专题02 规律探究问题（高频考点专练）（全国通用）2026年中考数学二轮复习讲练测

专题02 规律探究问题 目录 高频考情深度解读（中考命题规律透视+培优备考要求） 核心考点系统梳理（重难知识图谱+解题结论与高效技巧） 聚焦题型精准解密（6大题型精讲+变式拔高训练） 题型一 数字数列规律探究 题型二 数字循环规律探究 题型三 数阵规律探究 题型四 图形计数规律探究 题型五 代数式等式规律探究 题型六 坐标规律探究 实战演练高效提分（中考仿真模拟+限时训练提升） 规律探究问题是中考数学数与式模块的高频考点，隶属于数与式基础必考板块，该板块整体分值约 8～15 分，规律探究题多以选择题、填空题形式出现，部分地区会结合解答题小问考查，题目以低中档为主，偶有中档偏难题作为区分点，侧重考查学生的观察、分析、归纳、推理能力，是中考基础得分的重要组成部分。从近年中考考查来看，规律探究题的命题素材主要围绕数字规律、图形规律、代数式规律展开，常与实数运算、整式运算、图形计数等知识结合，题目背景简洁，注重对核心思维能力的考查，不刻意设置复杂背景。 培优备考要求： 1.掌握数字、图形、代数式规律探究的基本思路，能通过观察已知条件的变化特征，提炼共性规律； 2.熟练运用 “特殊到一般” 的探究方法，从具体的有限个例子推导出一般化的表达式，并能验证规律的正确性； 3.具备将图形规律转化为数字规律的能力，能通过数形结合思想解决图形类规律探究问题； 4.形成规范的解题步骤，先观察特征、再猜想规律、后验证应用，减少因规律猜想失误导致的失分。 2026中考预测： 题型稳定：规律探究题仍以选择、填空为主要考查形式，分值占比约 2～3 分，大概率与数字、图形计数结合考查； 难度平稳：基础题、中档题为主，规律探究题难度略有提升，但不设置偏题、怪题，侧重考查规律的提炼与简单应用，不会涉及过于复杂的递推规律； 命题趋势：贴近教材基础，部分题目结合简单的生活背景（如点阵、图案拼接、数列应用等），强调数形结合思想和 “特殊到一般” 的推理方法，注重考查学生的数学核心素养。 题型一 数字数列规律探究 【典例01】观察给出的一列数：，…，根据其中的规律，那么第n个___________（用含n的式子表示）． 【答案】 【分析】根据题意，找出数列的变化规律，然后进行计算，即可得到答案． 【详解】解：根据题意， ∵，…， 观察数列可知，分母是3、5、7、9、11、…， 分子是2、3、10、15、26、…； ∴那么第n个数是：； 故答案为：． 【点睛】本题考查了规律型：数字的变化类：通过从一些特殊的数字变化中发现不变的因素或按规律变化的因素，然后推广到一般情况． 【变式01】观察下列单项式：，，，，，按此规律，则第个单项式是（   ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】本题主要考查了数字变化的规律，能根据题意发现所给单项式系数及次数的变化规律是解题的关键．观察所给单项式，发现其系数及次数的变化规律即可解决问题． 【详解】解：由题知， 所给单项式的系数依次为2，4，8，16，…， 所以第n个单项式的系数可表示为：； 所给单项式的次数依次为：1，2，3，4，…， 所以第n个单项式的次数可表示为：， 所以第n个单项式可表示为：． 故选：A． 【变式02】观察下列一组数： ，它们是按一定规律排列的，那么第11个数是______． 【答案】 【分析】先将这一组数中的第2个改写为，然后找出这组数据分子和分母的变化规律，得出一般式，从而得出第11个数的值． 【详解】这组数中的第2个可写为的形式 发现分子规律为：依次增加2 分母规律为：依次增加3、5、7、9、11等 故第n个数的一般形式为： 则第11个数为： 故答案为：． 【点睛】本题考查找规律，解题关键是根据数字变化情况，将这一组数中的第2个改写为的形式． 【变式03】有一列数按如下规律排列：，，，，，…则第10个数是（    ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】将这列数据改写成：，，，，，…，按照三步确定结果：一确定符号，二确定分子，三确定分母即可． 【详解】解：，，，，，…可写出： ，，，，，…， ∴第10个数为， 故选：D． 【点睛】本题考查数字类变化规律，解题的关键是把已知的一列数变形，找到变化规律． 【变式04】观察数据并寻找规律：，－2，，，，…则第个数是（    ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】本题考查了二次根式的规律探索，发现规律是解题关键． 【详解】解：数据为，，，，，…，， ∴第个数是， 故选：D． 【变式05】有一列数按一定规律排列：…．则第n个数是（    ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】本题考查了规律型：数字的变化类，找到实数的变化规律是解题的关键．根据规律可知，第奇数个数为正数，第偶数个数为负数，再按分子、分母分别找规律求解即可． 【详解】解：根据规律可知，第奇数个数为正数，第偶数个数为负数，该列数的分子是，分母是， 第个数是 故选B． 【变式06】按一定规律排列的单项式：a，，，，，…，则第n个单项式为_____． 【答案】 【分析】本题主要考查了与单项式有关的规律探索，通过观察可知每一个单项式均为关于a的单项式，再分别观察单项式的系数、次数的变化规律即可得到答案． 【详解】解：第1个单项式为a， 第2个单项式为， 第3个单项式为， 第4个单项式为， 第5个单项式为， …， 以此类推可知，第n个单项式的系数为，次数为n，字母部分都为a， ∴第n个单项式为， 故答案为：． 题型二 数字循环规律探究 【典例01】已知，，，，，，，…，请你推测的个位数字是（    ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】由题意得的个位数字按3，9，7，1四个数一循环的规律出现，可通过计算2018÷4的余数求解． 【详解】解：∵，，，，，，，…， ∴的个位数字按3，9，7，1四个数一循环的规律出现， ∵2018÷4＝504…2， ∴的个位数字是9， 故选：B． 【点睛】此题考查了解决实数尾数特征规律问题的能力，关键是能通过计算、归纳出该问题循环出现的规律． 【变式01】当时，我们把称为x的“和1负倒数”．如：2的“和1负倒数”为，若，是的“和1负倒数”，是的“和1负倒数”…依次类推，则的值为（　　） A．1 B． C． D． 【答案】A 【分析】通过计算发现每3次运算结果循环出现，且，又由，从而可得答案． 【详解】解：， ∴， ， ， … ∴每3次运算结果循环出现，且， ∵， ∴， ∴， 故选A． 【点睛】本题考查数字的变化规律，通过计算，找到结果的循环规律是解题的关键． 【变式02】有如下数列：a1，a2，a3，a4，a5，a6，…，an﹣2，an﹣1，an，…，满足an﹣2•an＝2an﹣1，已知a1＝1，a3＝4，则a2024＝（　　） A．8 B．6 C．4 D．2 【答案】D． 【分析】根据题中所给条件，依次求出a1，a2，a3，…，发现规律即可解决问题． 【详解】解：由题知， 因为an﹣2•an＝2an﹣1， 所以2a2＝a1•a3． 又因为a1＝1，a3＝4， 所以a2＝2． 依次类推，a4＝4，a5＝2，a6＝1，a7＝1，a8＝2，…， 由此可见，这列数按1，2，4，4，2，1循环出现， 又因为2024÷6＝337余2， 所以a2024＝2． 故选：D． 【点睛】本题考查数字变化的规律，能通过计算发现这列数按1，2，4，4，2，1循环出现是解题的关键． 【变式03】已知（，），，，…，，则（    ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】分别求出，，，可得，，，，．．．，以，，为一个循环组依次循环，然后根据可知． 【详解】解：∵（，）， ∴， ， ， ∴，，，，．．．，以，，为一个循环组依次循环， ∵， ∴ ， 故选：C． 【点睛】此题考查了分式的混合运算，属于规律型题，根据题意得出规律为三个式子依次循环是解本题的关键． 【变式04】有一个数字游戏，第一步：取一个自然数，计算得，第二步：算出的各位数字之和得，计算得，第三步算出的各位数字之和得，计算得；以此类推，则的值为（   ） A．7 B．52 C．154 D．310 【答案】D 【分析】通过计算前面几步的数值可以得到整个游戏数字的出现规律，从而得到所求答案． 【详解】解：由题意知：； ； ； ； ； 由上可知，是按照52、154、310、 ，52、154、310三个数的组合重复出现的数列， ∵， ∴． 故选D． 【点睛】本题考查整式中的数字类规律探索，通过阅读题目材料并归纳出数字出现规律是解题关键． 【变式05】一列数a1，a2，a3，…满足条件：a1＝，an＝（n≥2，且n为整数），则a2020＝_____． 【答案】． 【分析】求出数列的前4项，继而得出数列的循环周期，然后根据所得的规律进行求解即可． 【详解】解：∵a1＝，an＝， ∴a2＝＝＝2， a3＝＝＝-1， a4＝＝＝， … ∴这列数每3个数为一循环周期， ∵2020÷3＝673…1， ∴a2020＝a1＝， 故答案为：． 【点睛】此题主要考查数列的规律探索，根据计算找出循环出现的规律，认真观察、仔细思考、善用联想是解题的关键． 【变式06】如图所示的运算程序中，若开始输入的x的值为48，第一次输出的结果为24，第二次输出的结果为12，…，则第2024次输出的结果为 　 　． 【答案】 【分析】根据代数式求值依次分析得到输出结果的情况，然后分析得出规律，再根据规律即可解答． 【详解】解：第一次输出结果为24； 第二次输出结果为12； 第三次输出结果为6； 第四次输出结果为3； 第五次输出结果为6； 第六次输出结果为3； 第七次输出结果为6； …， 经分析可得：自第三次开始，输出结果分别为6、3、6、3…，依次循环． ∵2024﹣2＝2022，2022÷2＝1011， ∴第2024次输出的结果是3． 故答案为：3． 【点睛】本题主要考查代数式求值，熟练掌握有理数的代数式求值的方法是解答本题的关键． 题型三 数阵规律探究 【典例01】）将全体自然数的算术平方根如图进行排列，如第3行第2列是，那么第101行第100列是（    ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】本题考查算术平方根及规律探索问题，结合已知条件总结出规律是解题的关键．通过观察可知第n行第列：n为偶数时，n为奇数时，由此规律即可求解． 【详解】解：第2行第1列， 第3行第2列， 第4行第3列， 第5行第4列， …… 第n行第列： n为偶数时， n为奇数时， 当时，第101行第100列为． 故选：B． 【变式01】观察下面由正整数组成的数阵： 照此规律，按从上到下、从右到左的顺序，第45行的第4个数是（    ） A．2020 B．2021 C．2022 D．2023 【答案】C 【分析】观察数阵可知第n行最后一个数是n2，按此规律计算第45行最后一个数即可． 【详解】解：观察数阵可知第n行最后一个数是n2， ∴第45行第一个数就是452＝2025， ∴从右到左的顺序，第45行的第4个数是2025-3=2021 故选：C． 【点睛】本题考查数字的变化规律，归纳出数字的变化规律是解题的关键． 【变式02】如图，这是一个按某种规律排列的数阵： 根据数阵排列的规律，第10行从左向右数第7个数是（   ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】本题考查了算术平方根，观察数据排列规律，确定出前（）行的数据的个数是解题的关键． 观察不难发现，被开方数是从1开始的连续自然数，每一行的数据的个数是从2开始的连续偶数，求出行的数据的个数，再加上得到所求数的被开方数，然后写出算术平方根即可。 【详解】前行的数据的个数为， 所以，第10行从左到右数第7个数的被开方数是， 所以，第10行从左向右数第7个数是． 故选B． 【变式03】如图是我国南宋数学家杨辉所著的《详解九章算法》一书中出现的“杨辉三角”，“杨辉三角”中的数字排列有一定的规律．从上往下第二行起，把每一行从左往右的第二个数字依次用，，…来表示，即，，…；从第三行起，把每一行的第三个数字依次用，，…来表示，即，，…则________． 【答案】44 【分析】本题主要考查了图形的变化类规律，观察图形的变化、寻找并得到变换规律是解决本题的关键． 根据题意和图形中的数据，可知，从而可以求得、，最后再求和即可． 【详解】解：解：由则，即； ．．．， ， 所以． 故答案为：44． 【变式04】将实数按如图方式进行有规律排列，则第19行的第37个数是______． 【答案】19 【分析】本题考查实数数字类规律，从题中实数的排列方式中找到规律是解决问题的关键．根据题中所给的实数排列方式，找到规律求解即可得到答案． 【详解】解：将实数按如图方式进行有规律排列，观察发现，具有如下规律： ①第行有个数； ②每行最后一个数字的绝对值等于行数； ③奇数行的最后一个为正； ④偶数行的最后一个为负； ∴第19行有个数， ∴根据如上规律可知，第19行的第37个数是19． 故答案为：． 【变式05】我国古代数学家杨辉发现了如图所示的三角形，我们称之为“杨辉三角”，它具有一定的规律性．从图中取一斜列数：1，3，6，10，15，…，我们把第一个数记为，第二个数记为，第三个数记为，…，第个数记为．，则的值为________． 【答案】4041 【分析】首先根据题意得出an的关系式，然后用“裂项法”将裂成，逐步化简，列等式求值即可得出结果． 【详解】解：由题意得，，，，…， ∴， ∴， ∴ ， ∴ ∴； 故答案为：． 【点睛】本题考查规律型：数字的变化规律．找到变化规律然后用“裂项法”求解是解本题的关键． 【变式06】（25-26七年级上·四川遂宁·期末）世界上著名的莱布尼茨三角形如图所示，则排在第8行从左边数第2个位置上的数是_______；排在第10行从左边数第3个位置上的数是_______． 【答案】 【分析】本题主要考查了数字类的规律探索，观察可得第行第2个数为，且行第2个数等于第行第2个数与第3个数的和，据此求出第8行第2个数，第9行第2个数，第10行第2个数，再用第9行第2个数减去第10行第2个数即可得到第10行第3个数． 【详解】解：第2行第2个数（左边起，以下都如此）为， 第3行第2个数为， 第4行第2个数为， 第5行第2个数为， ……， 以此类推可知，第行第2个数为，且第行第2个数等于第行第2个数与第3个数的和 ∴排在第8行从左边数第2个位置上的数是，排在第9行从左边数第2个位置上的数是，排在第10行从左边数第2个位置上的数是， ∴排在第10行从左边数第3个位置上的数是， 故答案为；；． 题型四 图形计数规律探究 【典例01】按如图所示的规律拼图案，其中第①个图中有1个圆圈，第②个图中有4个圆圈，第③个图中有9个圆圈，按照这一规律，则第⑤个图中圆圈的个数是（    ） A．20个 B．25个 C．28个 D．36个 【答案】B 【分析】本题考查图形数字规律的探索，关键是通过观察前三个图形的圆圈数量，总结出数量与图形序号的对应关系．观察第①到第③个图的圆圈数，发现第①个图的圆圈数为，第②个图为，第③个图为，可推导得出第个图的圆圈个数为，据此计算第⑤个图的圆圈数即可． 【详解】解：观察图形可得： 第①个图中圆圈的个数为； 第②个图中圆圈的个数为； 第③个图中圆圈的个数为； …… 由此总结规律：第个图中圆圈的个数为， 则第⑤个图中圆圈的个数为； 故选：B． 【变式01】（2025·黑龙江哈尔滨·二模）如图所示，用棋子摆成英文字母“H”字样，按照这样的规律摆下去，摆成第2026个“H”需要棋子（   ） A．10127个 B．10130个 C．10132个 D．10135个 【答案】C 【分析】本题考查图形类规律探究，观察可知，英文字母“H”左右两条竖线上的棋子数相同，为从3开始的连续的奇数，中间横线上的棋子的数量为从1开始连续的整数，进而得到第个“H”需要棋子（个），令进行求解即可． 【详解】解：观察可知，英文字母“H”左右两条竖线上的棋子数相同，为从3开始的连续的奇数，中间横线上的棋子的数量为从1开始连续的整数， ∴第个“H”需要棋子（个）， 当时，；即摆成第2026个“H”需要棋子10132个； 故选C． 【变式02】按如图所示的规律拼图案，第⑥个图中圆点的个数为（   ） A． B． C． D． 【答案】D 【详解】解：第①个图案中圆点的个数为：， 第②个图案中圆点的个数为：， 第③个图案中圆点的个数为：， 第④个图案中圆点的个数为：， 第个图案中圆点的个数为：个， 当时，，即第⑥个图中圆点的个数为个． 【变式03】桌面上有一个正方体，每个面均有一个不同的编号（1，2，3，…，6），且每组相对面上的编号和为7．将其按顺时针方向滚动（如图），每滚动算一次，则滚动第2022次后，正方体朝下一面的数字是（    ） A．5 B．4 C．3 D．2 【答案】B 【分析】先找出正方体相对的面，然后从数字找规律即可解答． 【详解】解：由图可知： 3和4相对，2和5相对，1和6相对， 将骰子沿如图所示的顺时针方向滚动，每滚动90°算一次，骰子朝下一面的点数依次为5，4，2，3，且依次循环， ∵2022÷4=505......2， ∴滚动第2022次后，骰子朝下一面的点数是：4， 故选：B． 【点睛】本题考查了正方体相对两个面上的文字，先找出正方体相对的面，然后从数字找规律是解题的关键． 【变式04】如图是一组有规律的图案，它们是由边长相同的正方形和正三角形拼接而成，第①个图案有4个三角形，第②个图案有7个三角形，第③个图案有10个三角形，…依此规律，第2023个图案有多少个三角形（   ） A．6070 B．6071 C．6069 D．6068 【答案】A 【分析】本题考查了图形的变化类，根据图形的变化规律，得出第个图案三角形个数为，即可求解． 【详解】解：第①个图案有个三角形，即 第②个图案有个三角形，即 第③个图案有个三角形，即 … 第个图案三角形个数为， 所以第个图案有三角形的个数为 故选：A． 【变式05】如图图形都是由同样大小的小圆圈按一定规律组成的，其中第1个图形中共有6个小圆圈，第2个图形中共有9个小圆圈，第3个图形中共有12个小圆圈，…，按此规律，则第2026个图形中小圆圈的个数为_______． 【答案】6081 【分析】仔细观察图形，找到图形中圆圈个数的通项公式，然后代入求解即可． 【详解】解：观察图形得： 第1个图形有个圆圈， 第2个图形有个圆圈， 第3个图形有个圆圈， … 第n个图形有个圆圈， 当时，个圆圈． 【变式06】（2025·甘肃武威·模拟预测）用同样大小的小圆按下图所示的方式摆图形，第1个图形1个小圆，第2个图形由3个小圆组成，第3个图形由6个小圆组成，第4个图形由个小圆组成，按照这样的规律摆下去，则第个图由____小圆组成． 【答案】 【分析】本题考查了图形类规律探索，用代数式表示数、图形的规律，解题关键是掌握上述知识点并能熟练运用求解． 用算式表示出各个图中小圆的个数，从中找出规律，再利用规律求解． 【详解】解：第1个图形1个小圆， 第2个图形由个小圆组成， 第3个图形由个小圆组成， 第4个图形由个小圆组成， … 按照这样的规律摆下去， 则第个图由个小圆组成， 故答案为：． 题型五 代数式等式规律探究 【典例01】按一定规律排列的等式：……，按此规律（　　） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】通过观察可以看出：规律为一个等式，等号左边为连续奇数的和，且奇数的个数、最后一个奇数都与等式的序数有关，即：第个等式左边有个奇数，最后一个奇数为；等号的右边为序数的平方，即：． 【详解】解：规律为： 则中， 解得： 则等号右边为： 故选C 【点睛】本题主要考查了观察、归纳概括总结的能力，归纳出规律是解题的关键． 【变式01】将一列有理数，2，，4，，6，……按如图所示进行排列，则2024应排在（　　） A．A位置 B．B位置 C．C位置 D．D位置 【答案】C 【分析】本题考查了图形类规律探索，根据图形可知，除去第一个数字，每个凸起为一个循环组，对应5个数字，然后计算即可． 【详解】解：由图可知，每个凸起对应5个数字， ∵， ∴2024应排在C位置， 故选：C． 【变式02】观察下列各式：①；②；③根据以上等式规律，计算________________． 【答案】 【分析】本题考查了与实数加减相关的规律探究问题，找到规律是解题的关键．利用题中的等式可得规律为：＝ ， 将变形后，符合规律，根据规律可得结果，然后进行加减运算即可． 【详解】解：根据题意，第n个等式为 ＝ ∴ ； 故答案为： ． 【变式03】有一组数据：，，，，．记，则 ． 【答案】 【分析】通过探索数字变化的规律进行分析计算． 【详解】解：； ； ； ， ， 当时， 原式 ， 故答案为：． 【点睛】本题考查分式的运算，探索数字变化的规律是解题关键． 【变式04】观察下列等式：①；②；③；…… 猜想并写出第n个等式：___________． 【答案】 【分析】本题考查数字的变化类，分式的加减混合运算，解答本题的关键是熟练掌握分式的加减运算法则，写出相应的猜想并证明． 根据题目中式子的特点，猜想第n个等式，并根据分式的加减法证明猜想成立． 【详解】解：∵； ； ； ……； ∴第n个等式：． 故答案为：． 【变式05】观察以下等式： 第1个等式：， 第2个等式：， 第3个等式：， 第4个等式：， …… 按照以上规律，解决下列问题： (1)写出第5个等式： ； (2)写出你猜想的第n个等式：（用含n的式子表示），并证明． 【答案】(1) (2)，证明见解析 【分析】（1）根据题目中等式的特点，可以写出第5个等式； （2）根据题目中等式的特点，可以写出猜想，然后将等式左边和右边展开，看是否相等，即可证明猜想． 【详解】（1）解：第5个等式：， 故答案为：； （2）猜想：第n个等式为， 证明：等式左边， 等式右边， ∴等式左边等式右边，即． 【点睛】本题考查数字的变化类、列代数式，解答本题的关键是明确题意，发现式子的变化特点，写出相应的等式和猜想，并证明． 【变式06】（2025·安徽安庆·一模）【观察思考】 第1个等式：， 第2个等式：， 第3个等式：， 第4个等式：， …… 【规律发现】 （1）写出第5个等式： ； （2）写出你猜想的第个等式 ； 【规律应用】 （3）应用规律计算：（需写出过程）． 【答案】（1）；（2）；（3），见解析 【分析】本题考查了数字类规律的探索，与实数运算相关的规律题，理解题意，正确得出等式的变化规律并能灵活运用是解答的关键． （1）仿照题干即可求解； （2）仿照题干即可求解； （3）将原式变形为，再运用结论求解． 【详解】解：（1）∵第1个等式：， 第2个等式：， 第3个等式：， 第4个等式：， ∴第5个等式： （2）根据规律可得：； （3）解：原式 ． 题型六 坐标规律探究 【典例01】如图，动点P在平面直角坐标系中按图中箭头所示方向运动，第1次从原点运动到点，第2次接着运动到点，第3次接着运动到点，…，按这样的运动规律，经过第31次运动后动点P的坐标是（    ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】本题主要考查了点的坐标规律，从所给的数据和图形中寻求规律进行解题是解答本题的关键．根据已知提供的数据从横纵坐标分别分析得出横坐标为运动次数，纵坐标为1，0，2，0，每4次一轮这一规律，进而求出即可． 【详解】解：根据动点P在平面直角坐标系中按图中箭头所示方向运动，第1次从原点运动到点， 第2次接着运动到点， 第3次接着运动到点， 第4次运动到点， 第5次接着运动到点， …， ∴点P的横坐标为运动次数，纵坐标为1，0，2，0，每4次一轮， ∵， 则经过第31次运动后，动点P的横坐标为31，纵坐标为2，即经过第31次运动后，动点P的坐标是：， 故选：A． 【变式01】（2026·湖南衡阳·一模）如图，在单位为1的方格纸上，，是斜边在轴上，斜边长分别为2，4，6，…的等腰直角三角形，若的顶点坐标分别为，则依图中所示规律，的坐标为（    ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】本题是对点的坐标变化规律的考查，根据2025是奇数，求出点的下标是奇数时的变化规律进行求解． 【详解】解：观察点的坐标变化发现：在轴正半轴上的点横坐标每次增加2，在轴负半轴上的点横坐标每次减少2， 根据点旋转的度数，可看作循环，循环周期为4， ∵，由图可知，为循环周期， ∴的坐标为，即为． 【变式02】已知点，点，点是线段的中点，则．．在平面直角坐标系中有三个点，点关于点的对称点（即三点共线，且），关于点的对称点，关于点的对称点，按此规律继续以三点为对称点重复前面的操作．依次得到点，则点的坐标是（   ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】本题考查了点的坐标规律探索．通过计算对称点坐标，发现每6次操作形成一个周期循环，利用周期性规律确定点的位置． 【详解】解：关于对称：由中点公式得． 关于对称：同理得． 关于对称：得． 关于对称：得． 关于对称：得． 关于对称：得， 关于对称：由中点公式得， 形成周期为6的循环． 余，对应周期中的第3个点，其坐标为． 故选：B． 【变式03】（24-25八年级上·河南郑州·期中）2024年沙特阿拉伯国庆节期间，中国无人机表演团队震撼全球，6000架无人机编队划破夜空，展示了中国“智造”实力．无人机表演并非简单的编程或灯光秀，而是涉及到多项技术的深度融合．这其中就包括了精准的定位技术．如图，在平面直角坐标系中，每个最小方格的边长均为1个单位长度，无人机按图中“”方向飞行，，，，…根据这个规律，点的坐标为（   ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】本题考查了平面直角坐标系中点的坐标规律探究，解题关键是仔细观察点的坐标变化及运动轨迹，发现以4个点为一组的规律，包括每组点坐标的变化特征以及每组最后一个点坐标的规律． 根据各个点的位置关系，可得点在第四象限的角平分线上，点在第三象限的角平分线上，点在直线的图象上，点在第一象限的角平分线上，且，再根据第四项象限内点的符号得出答案即可． 【详解】解：∵，，，，，，，，，，，……， 由此发现：点在第四象限的角平分线上，点在第三象限的角平分线上，点在直线的图象上，点在第一象限的角平分线上， ∵， ∴点在第四象限的角平分线上， ∴点． 故选：C． 【变式04】（2025·河南周口·二模）如图，在平面直角坐标系中，菱形的顶点B，C分别在y轴，x轴上，且B，D两点的纵坐标相同，将菱形绕点C顺时针旋转，每次旋转，若最后点D的对应点落在坐标轴上，则旋转次数可以是（   ） A．2023 B．2024 C．2025 D．2026 【答案】D 【分析】本题考查了坐标与图形变化旋转，菱形的性质，每旋转4次则回到原位置，可以得出每次从起始点旋转2次，点D落在轴负半轴上，以此可得解． 【详解】解：如图， 由题可知，将菱形绕点C顺时针旋转，每次旋转， ∴每旋转4次则回到原位置，每次从起始点旋转2次，点D落在轴负半轴上， A．，则此时菱形的位置在从起点起第3次旋转的位置，点不在坐标轴上，故此选项不符合题意； B．，则此时菱形的位置在从起点起第4次旋转的位置，点不在坐标轴上，故此选项不符合题意； C．，则此时菱形的位置在从起点起第1次旋转的位置，点不在坐标轴上，故此选项不符合题意； D．，则此时菱形的位置在从起点起第2次旋转的位置，点落在轴负半轴上，故此选项符合题意； 故选：D． 【变式05】（2025·山西长治·模拟预测）如图，在平面直角坐标系中，，，，是边长为1个单位长度的小正方形的顶点，开始时，顶点，依次放在点，的位置，然后向右滚动，第1次滚动使点落在点的位置，第2次滚动使点落在点的位置⋯，按此规律滚动下去，则第2025次滚动后，顶点的坐标是（   ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】本题主要考查了点的坐标变化规律，解题关键是找到点随滚动次数的变化规律．列举几次滚动后的点坐标，找到滚动次数与点坐标之间的规律，进而求出第2025次滚动后顶点的坐标． 【详解】解：第1次滚动点的坐标为， 第2次滚动点的坐标为， 第3次滚动点的坐标为， 第4次滚动点的坐标为， 第5次滚动点的坐标为， …， 每滚动4次一个循环， ，，，， ， ， 即， 故选：C． 【变式06】如图，矩形 的顶点A，B分别在x轴、y轴上，，将矩形绕点O顺时针旋转，每次旋转，则第2023次旋转结束时， 点C的坐标为（    ）    A． B． C． D． 【答案】B 【详解】解：如图，过点作轴于点E，连接，    ∵， ∴， ∵， ∴， ∵， ∴， ∴， ∴， ∵矩形绕点O顺时针旋转，每次旋转， 则第次旋转结束时，点C的坐标为； 则第次旋转结束时，点C的坐标为； 则第次旋转结束时，点C的坐标为； 则第次旋转结束时，点C的坐标为； …， 发现规律：旋转次一个循环， ∴， 则第次旋转结束时，点C的坐标为． 故选：B． 【分析】本题考查图形的旋转，通过旋转角度找到旋转规律，从而确定第次旋转后矩形的位置是解题的关键． （限时训练：15分钟）根据内容设置10~30分钟的题量即可 1．（25-26七年级上·四川泸州·期中）已知下列一组按规律排列的式子：，，，，，…，则第个式子（为正整数，且）为（   ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】本题考查了代数式的规律，通过观察给定式子的分子、分母和指数规律，发现分母是，的指数是，分子的系数是． 【详解】解：当时，式子为； 当时，式子为； 当时，式子为； …… 第个式子为． 故选：D． 2．在平面直角坐标系xOy中，对于点P（x，y），我们把点（-y+1，x+1）叫做点P的伴随点，已知点的伴随点为，点的伴随点为，点的伴随点为，…，这样依次得到点，，，…，，若点的坐标为（3，1），则点的坐标为（    ） A．（0，4） B．（-3，1） C．（0，-2） D．（3，1） 【答案】B 【分析】根据伴随点的定义，列出部分点A的坐标，根据点A的变化找出规律“（3，1），（0，4），（-3，1），（0，-2）（n为自然数）”，根据此规律即可解决问题． 【详解】解：观察，发现规律：（3，1），（0，4），（-3，1），（0，-2），（3，1），…， ∴（3，1），（0，4），（-3，1），（0，-2）（n为自然数）． ∵2015=4×503+3， ∴点的坐标为（-3，1）． 故选：B． 【点睛】本题考查了规律型中的点的坐标，解题的关键是发现规律“（3，1），（0，4），（-3，1），（0，-2）（n为自然数）”．本题属于基础题，难度不大，解决该题型题目时，罗列出部分点的坐标，根据点的坐标的变化发现规律是关键． 3．是不为的有理数，我们把称为的差倒数．如：的差倒数是，的差倒数是．已知，是的差倒数，是的差倒数，是的差倒数，…，依此类推，则（    ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】根据新定义：称为的差倒数即可解答． 【详解】解：∵已知，是的差倒数，是的差倒数，是的差倒数， ∴， ， ， ∴这组数据每个数为一个循环组依次循环， ∴， ∴， 故选． 【点睛】本题考查了实数的新定义—差倒数，根据题意找出数据之间规律是解题的关键． 4．（25-26七年级上·河北雄安·期末）将形状、大小完全相同的小圆点“●”按如图所示的规律拼成图案，其中第①个图案中有6个小圆点，第②个图案中有11个小圆点，第③个图案中有16个小圆点，……，按此规律排列下去，则第⑨个图案中小圆点的个数为（   ） A．31 B．36 C．41 D．46 【答案】D 【分析】本题考查图形规律探索，解题的关键是求得前面几个数据，正确找出规律，然后求解．观察前三个图案中小圆点数量的变化，发现每个图案比前一个增加5个点，因此可得出第n个图案的点的数量为，代入即可求解． 【详解】解：通过观察图案，第①个图案中“●”的个数为， 第②个图案中“●”的个数为， 第③个图案中“●”的个数为， …， 所以第n（n为正整数）个图案中“●”的个数为（个）， 因此第⑨个图案中“●”的个数为（个）． 故选：D． 5．如图，动点在平面直角坐标系中按图中箭头所示方向运动，第一次从原点运动到点，第二次运动到点，第三次运动到点，…，按这样的运动规律，第2023次运动后，动点的坐标是（    ）    A． B． C． D． 【答案】B 【分析】观察图象，得出点P运动的规律，再根据循环规律可得答案． 【详解】解：∵动点P第一次从原点O运动到点，第二次运动到点，第三次运动到，第四次运动到，第五次运动到，第六次运动到，…， ∴横坐标与下标相同，纵坐标每6次运动组成一个循环：1，0，，0，2，0； ∵， ∴经过第2023次运动后，动点P的横坐标为2023，纵坐标是1，即：． 故选：B． 【点睛】本题考查了规律型点的坐标，数形结合并从图象中发现循环规律：纵坐标每6次运动组成一个循环是解题的关键． 6．如图在平面直角坐标系中，有若干个整数点，其顺序按图中“→”方向排列，如（1，0），（2，0），（2，1），（3，2），（3，1），（3，0），（4，0） ．根据这个规律探索可得，第2022个点的坐标为（  ） A．（2022，8） B．（63，5） C．（64，5） D．（64，4） 【答案】C 【分析】把第一个点（1，0）作为第一列，（2，1）和（2，0）作为第二列，以此类推，第一列有1个点，第二列有2个点…第n列有n个点，可得前n列共有个点，第n列最下面的点的坐标为（n，0），最后按照规律可得第2022个点的坐标． 【详解】解：把第一个点（1，0）作为第一列，（2，1）和（2，0）作为第二列，以此类推，第一列有1个点，第二列有2个点…第n列有n个 ∴前n列共有个点，第n列最下面的点的坐标为（n，0）， ∵=2016，且列数是偶数时，点的顺序是由下而上，列数是奇数时，点的顺序是由上而下， ∴第2016个点的坐标为（63，0）， 第2017个点的坐标为（64，0）， 第2018个点的坐标为（64，1）， 第2019个点的坐标为（64，2）， 第2020个点的坐标为（64，3）， 第2021个点的坐标为（64，4）， 第2022个点的坐标为（64，5）， 故选：C． 【点睛】本题主要考查规律型：点的坐标，根据图形得出点的坐标的规律是解答此题的关键． 7．将正整数按如图所示的规律排列，若有序数对表示第n排，从左到右第m个数，如表示9，则表示123的有序数对是_________． 【答案】 【分析】根据图中的数字，可以发现每排的数字个数和每排中数字的排列顺序，从而可以得到123在第多少排，然后即可写出表示123的有序数对，本题得以解决． 【详解】解：由图可知， 第一排1个数， 第二排2个数，数字从大到小排列， 第三排3个数，数字从小到大排列， 第四排4个数，数字从大到小排列， …， 则前n排的数字共有：个数， 奇数排从小到大排列，偶数排从大到小排列， ∵当时，， 当时，， ∴123在第16排， ∵， ∴表示123的有序数对是． 故答案为：． 【点睛】本题考查数字的变化类，解答本题的关键是明确题意，发现数字的变化特点，写出表示123的有序数对． 8．观察下列各式：① ② ③ 根据上面三个等式，猜想的结果为______． 【答案】 【分析】利用题中的等式可得规律为：＝ ， 将变形后，符合规律，根据规律可得结果，然后进行加减运算即可． 【详解】解：根据题意，第n个等式为 ＝ ∴＝＝ 故答案为： ． 【点睛】本题考查了与实数加减相关的规律探究问题，找到规律是解题的关键． 9．如图，将第1个图中的正方形剪开得到第2个图，第2个图中共有4个正方形：将第2个图中一个正方形剪开得到第3个图，第3个图中共有7个正方形；将第3个图中一个正方形剪开得到第4个图，第4个图中共有10个正方形……如此下去，第2025个图中共有正方形的个数为______． 【答案】6073 【分析】根据图形的变化，后一个图形的正方形的个数都比前一个图形的正方形的个数多3个，第n个图形的正方形的个数为即可求解． 本题考查了图形的变化类，解决本题的关键是根据图形的变化寻找规律．探寻规律要认真观察、仔细思考，善用联想来解决这类问题． 【详解】解：观察图形可知：第1个图中有1个正方形，即； 第2个图中有4个正方形，即； 第3个图中有7个正方形，即； 第4个图中有10个正方形，即； …… ∴第n个图中正方形的个数为； 当时， ， ∴第2025个图中共有正方形的个数为6073． 故答案为：6073． 10．观察下列等式：； ； ； … 根据以上规律，计算_______． 【答案】 【分析】根据已知等式，归纳总结得到拆项规律，根据规律展开，最后合并，即可求出答案． 【详解】解：∵ ⋯ ∴ ． 故答案为：． 【点睛】本题考查了数字的规律，解此题的关键是能根据已知条件得出规律． 11．（2025·安徽滁州·三模）从图依次用等式表示如下，观察点与等式之间的关系，解答下列问题： ① ； ② ； ③ ； ④ ； (1)观察等式的规律，直接写出第6个等式． (2)直接写出第个等式（用含的式子表示），并证明． 【答案】(1)； (2)，证明过程见解析． 【分析】本题考查了数字变化的规律，有理数的混合运算，能根据所给的等式找到规律是解题的关键． （1）根据所给等式，观察各部分的变化，发现规律即可解决问题． （2）根据发现的规律写出等式，按照运算法则推导证明即可． 【详解】（1）解：根据规律可得， ⑥， 答：第6个等式是． （2）解：第个等式：． 证明：∵， ∴成立． 12．观察以下等式： ①， ②______， ③______， …… 探究： （1）观察等式①②③的规律，并将等式补充完整； （2）请直接写出第④个等式； 拓展： （3）按照你发现的规律，写出第n个等式； （4）计算：． 【答案】（1）1，，2，，3；（2）；（3）；（4） 【分析】探究：（1）计算出结果即可． （2）根据①②③的规律写出第四个式子即可． 拓展：（1）根据①②③的规律写出第个等式即可． （2）首先提取负号，得出前面的规律式子，两个两个的相减，最后做到即可． 本题考查数字规律，有理数计算，解题关键是计算正确． 【详解】解：探究：（1）①， ②， ③， 故答案为：1，，2，，3 （2）④， 拓展：（1）第个式子：， （2） ． 学科网（北京）股份有限公司 学科网（北京）股份有限公司 学科网（北京）股份有限公司 $ 专题02 规律探究问题 目录 高频考情深度解读（中考命题规律透视+培优备考要求） 核心考点系统梳理（重难知识图谱+解题结论与高效技巧） 聚焦题型精准解密（6大题型精讲+变式拔高训练） 题型一 数字数列规律探究 题型二 数字循环规律探究 题型三 数阵规律探究 题型四 图形计数规律探究 题型五 代数式等式规律探究 题型六 坐标规律探究 实战演练高效提分（中考仿真模拟+限时训练提升） 规律探究问题是中考数学数与式模块的高频考点，隶属于数与式基础必考板块，该板块整体分值约 8～15 分，规律探究题多以选择题、填空题形式出现，部分地区会结合解答题小问考查，题目以低中档为主，偶有中档偏难题作为区分点，侧重考查学生的观察、分析、归纳、推理能力，是中考基础得分的重要组成部分。从近年中考考查来看，规律探究题的命题素材主要围绕数字规律、图形规律、代数式规律展开，常与实数运算、整式运算、图形计数等知识结合，题目背景简洁，注重对核心思维能力的考查，不刻意设置复杂背景。 培优备考要求： 1.掌握数字、图形、代数式规律探究的基本思路，能通过观察已知条件的变化特征，提炼共性规律； 2.熟练运用 “特殊到一般” 的探究方法，从具体的有限个例子推导出一般化的表达式，并能验证规律的正确性； 3.具备将图形规律转化为数字规律的能力，能通过数形结合思想解决图形类规律探究问题； 4.形成规范的解题步骤，先观察特征、再猜想规律、后验证应用，减少因规律猜想失误导致的失分。 2026中考预测： 题型稳定：规律探究题仍以选择、填空为主要考查形式，分值占比约 2～3 分，大概率与数字、图形计数结合考查； 难度平稳：基础题、中档题为主，规律探究题难度略有提升，但不设置偏题、怪题，侧重考查规律的提炼与简单应用，不会涉及过于复杂的递推规律； 命题趋势：贴近教材基础，部分题目结合简单的生活背景（如点阵、图案拼接、数列应用等），强调数形结合思想和 “特殊到一般” 的推理方法，注重考查学生的数学核心素养。 题型一 数字数列规律探究 【典例01】观察给出的一列数：，…，根据其中的规律，那么第n个___________（用含n的式子表示）． 【变式01】观察下列单项式：，，，，，按此规律，则第个单项式是（   ） A． B． C． D． 【变式02】观察下列一组数： ，它们是按一定规律排列的，那么第11个数是______． 【变式03】有一列数按如下规律排列：，，，，，…则第10个数是（    ） A． B． C． D． 【变式04】观察数据并寻找规律：，－2，，，，…则第个数是（    ） A． B． C． D． 【变式05】有一列数按一定规律排列：…．则第n个数是（    ） A． B． C． D． 【变式06】按一定规律排列的单项式：a，，，，，…，则第n个单项式为_____． 题型二 数字循环规律探究 【典例01】已知，，，，，，，…，请你推测的个位数字是（    ） A． B． C． D． 【变式01】当时，我们把称为x的“和1负倒数”．如：2的“和1负倒数”为，若，是的“和1负倒数”，是的“和1负倒数”…依次类推，则的值为（　　） A．1 B． C． D． 【变式02】有如下数列：a1，a2，a3，a4，a5，a6，…，an﹣2，an﹣1，an，…，满足an﹣2•an＝2an﹣1，已知a1＝1，a3＝4，则a2024＝（　　） A．8 B．6 C．4 D．2 【变式03】已知（，），，，…，，则（    ） A． B． C． D． 【变式04】有一个数字游戏，第一步：取一个自然数，计算得，第二步：算出的各位数字之和得，计算得，第三步算出的各位数字之和得，计算得；以此类推，则的值为（   ） A．7 B．52 C．154 D．310 【变式05】一列数a1，a2，a3，…满足条件：a1＝，an＝（n≥2，且n为整数），则a2020＝_____． 【变式06】如图所示的运算程序中，若开始输入的x的值为48，第一次输出的结果为24，第二次输出的结果为12，…，则第2024次输出的结果为 　 　． 题型三 数阵规律探究 【典例01】）将全体自然数的算术平方根如图进行排列，如第3行第2列是，那么第101行第100列是（    ） A． B． C． D． 【变式01】观察下面由正整数组成的数阵： 照此规律，按从上到下、从右到左的顺序，第45行的第4个数是（    ） A．2020 B．2021 C．2022 D．2023 【变式02】如图，这是一个按某种规律排列的数阵： 根据数阵排列的规律，第10行从左向右数第7个数是（   ） A． B． C． D． 【变式03】如图是我国南宋数学家杨辉所著的《详解九章算法》一书中出现的“杨辉三角”，“杨辉三角”中的数字排列有一定的规律．从上往下第二行起，把每一行从左往右的第二个数字依次用，，…来表示，即，，…；从第三行起，把每一行的第三个数字依次用，，…来表示，即，，…则________． 【变式04】将实数按如图方式进行有规律排列，则第19行的第37个数是______． 【变式05】我国古代数学家杨辉发现了如图所示的三角形，我们称之为“杨辉三角”，它具有一定的规律性．从图中取一斜列数：1，3，6，10，15，…，我们把第一个数记为，第二个数记为，第三个数记为，…，第个数记为．，则的值为________． 【变式06】（25-26七年级上·四川遂宁·期末）世界上著名的莱布尼茨三角形如图所示，则排在第8行从左边数第2个位置上的数是_______；排在第10行从左边数第3个位置上的数是_______． 题型四 图形计数规律探究 【典例01】按如图所示的规律拼图案，其中第①个图中有1个圆圈，第②个图中有4个圆圈，第③个图中有9个圆圈，按照这一规律，则第⑤个图中圆圈的个数是（    ） A．20个 B．25个 C．28个 D．36个 【变式01】（2025·黑龙江哈尔滨·二模）如图所示，用棋子摆成英文字母“H”字样，按照这样的规律摆下去，摆成第2026个“H”需要棋子（   ） A．10127个 B．10130个 C．10132个 D．10135个 【变式02】按如图所示的规律拼图案，第⑥个图中圆点的个数为（   ） A． B． C． D． 【变式03】桌面上有一个正方体，每个面均有一个不同的编号（1，2，3，…，6），且每组相对面上的编号和为7．将其按顺时针方向滚动（如图），每滚动算一次，则滚动第2022次后，正方体朝下一面的数字是（    ） A．5 B．4 C．3 D．2 【变式04】如图是一组有规律的图案，它们是由边长相同的正方形和正三角形拼接而成，第①个图案有4个三角形，第②个图案有7个三角形，第③个图案有10个三角形，…依此规律，第2023个图案有多少个三角形（   ） A．6070 B．6071 C．6069 D．6068 【变式05】如图图形都是由同样大小的小圆圈按一定规律组成的，其中第1个图形中共有6个小圆圈，第2个图形中共有9个小圆圈，第3个图形中共有12个小圆圈，…，按此规律，则第2026个图形中小圆圈的个数为_______． 【变式06】（2025·甘肃武威·模拟预测）用同样大小的小圆按下图所示的方式摆图形，第1个图形1个小圆，第2个图形由3个小圆组成，第3个图形由6个小圆组成，第4个图形由个小圆组成，按照这样的规律摆下去，则第个图由____小圆组成． 题型五 代数式等式规律探究 【典例01】按一定规律排列的等式：……，按此规律（　　） A． B． C． D． 【变式01】将一列有理数，2，，4，，6，……按如图所示进行排列，则2024应排在（　　） A．A位置 B．B位置 C．C位置 D．D位置 【变式02】观察下列各式：①；②；③根据以上等式规律，计算________________． 【变式03】有一组数据：，，，，．记，则 ． 【变式04】观察下列等式：①；②；③；…… 猜想并写出第n个等式：___________． 【变式05】观察以下等式： 第1个等式：， 第2个等式：， 第3个等式：， 第4个等式：， …… 按照以上规律，解决下列问题： (1)写出第5个等式： ； (2)写出你猜想的第n个等式：（用含n的式子表示），并证明． 【变式06】（2025·安徽安庆·一模）【观察思考】 第1个等式：， 第2个等式：， 第3个等式：， 第4个等式：， …… 【规律发现】 （1）写出第5个等式： ； （2）写出你猜想的第个等式 ； 【规律应用】 （3）应用规律计算：（需写出过程）． 题型六 坐标规律探究 【典例01】如图，动点P在平面直角坐标系中按图中箭头所示方向运动，第1次从原点运动到点，第2次接着运动到点，第3次接着运动到点，…，按这样的运动规律，经过第31次运动后动点P的坐标是（    ） A． B． C． D． 【变式01】（2026·湖南衡阳·一模）如图，在单位为1的方格纸上，，是斜边在轴上，斜边长分别为2，4，6，…的等腰直角三角形，若的顶点坐标分别为，则依图中所示规律，的坐标为（    ） A． B． C． D． 【变式02】已知点，点，点是线段的中点，则．．在平面直角坐标系中有三个点，点关于点的对称点（即三点共线，且），关于点的对称点，关于点的对称点，按此规律继续以三点为对称点重复前面的操作．依次得到点，则点的坐标是（   ） A． B． C． D． 【变式03】（24-25八年级上·河南郑州·期中）2024年沙特阿拉伯国庆节期间，中国无人机表演团队震撼全球，6000架无人机编队划破夜空，展示了中国“智造”实力．无人机表演并非简单的编程或灯光秀，而是涉及到多项技术的深度融合．这其中就包括了精准的定位技术．如图，在平面直角坐标系中，每个最小方格的边长均为1个单位长度，无人机按图中“”方向飞行，，，，…根据这个规律，点的坐标为（   ） A． B． C． D． 【变式04】（2025·河南周口·二模）如图，在平面直角坐标系中，菱形的顶点B，C分别在y轴，x轴上，且B，D两点的纵坐标相同，将菱形绕点C顺时针旋转，每次旋转，若最后点D的对应点落在坐标轴上，则旋转次数可以是（   ） A．2023 B．2024 C．2025 D．2026 【变式05】（2025·山西长治·模拟预测）如图，在平面直角坐标系中，，，，是边长为1个单位长度的小正方形的顶点，开始时，顶点，依次放在点，的位置，然后向右滚动，第1次滚动使点落在点的位置，第2次滚动使点落在点的位置⋯，按此规律滚动下去，则第2025次滚动后，顶点的坐标是（   ） A． B． C． D． 【变式06】如图，矩形 的顶点A，B分别在x轴、y轴上，，将矩形绕点O顺时针旋转，每次旋转，则第2023次旋转结束时， 点C的坐标为（    ）    A． B． C． D． （限时训练：15分钟）根据内容设置10~30分钟的题量即可 1．（25-26七年级上·四川泸州·期中）已知下列一组按规律排列的式子：，，，，，…，则第个式子（为正整数，且）为（   ） A． B． C． D． 2．在平面直角坐标系xOy中，对于点P（x，y），我们把点（-y+1，x+1）叫做点P的伴随点，已知点的伴随点为，点的伴随点为，点的伴随点为，…，这样依次得到点，，，…，，若点的坐标为（3，1），则点的坐标为（    ） A．（0，4） B．（-3，1） C．（0，-2） D．（3，1） 3．是不为的有理数，我们把称为的差倒数．如：的差倒数是，的差倒数是．已知，是的差倒数，是的差倒数，是的差倒数，…，依此类推，则（    ） A． B． C． D． 4．（25-26七年级上·河北雄安·期末）将形状、大小完全相同的小圆点“●”按如图所示的规律拼成图案，其中第①个图案中有6个小圆点，第②个图案中有11个小圆点，第③个图案中有16个小圆点，……，按此规律排列下去，则第⑨个图案中小圆点的个数为（   ） A．31 B．36 C．41 D．46 5．如图，动点在平面直角坐标系中按图中箭头所示方向运动，第一次从原点运动到点，第二次运动到点，第三次运动到点，…，按这样的运动规律，第2023次运动后，动点的坐标是（    ）    A． B． C． D． 6．如图在平面直角坐标系中，有若干个整数点，其顺序按图中“→”方向排列，如（1，0），（2，0），（2，1），（3，2），（3，1），（3，0），（4，0） ．根据这个规律探索可得，第2022个点的坐标为（  ） A．（2022，8） B．（63，5） C．（64，5） D．（64，4） 7．将正整数按如图所示的规律排列，若有序数对表示第n排，从左到右第m个数，如表示9，则表示123的有序数对是_________． 8．观察下列各式：① ② ③ 根据上面三个等式，猜想的结果为______． 9．如图，将第1个图中的正方形剪开得到第2个图，第2个图中共有4个正方形：将第2个图中一个正方形剪开得到第3个图，第3个图中共有7个正方形；将第3个图中一个正方形剪开得到第4个图，第4个图中共有10个正方形……如此下去，第2025个图中共有正方形的个数为______． 10．观察下列等式：； ； ； … 根据以上规律，计算_______． 11．（2025·安徽滁州·三模）从图依次用等式表示如下，观察点与等式之间的关系，解答下列问题： ① ； ② ； ③ ； ④ ； (1)观察等式的规律，直接写出第6个等式． (2)直接写出第个等式（用含的式子表示），并证明． 12．观察以下等式： ①， ②______， ③______， …… 探究： （1）观察等式①②③的规律，并将等式补充完整； （2）请直接写出第④个等式； 拓展： （3）按照你发现的规律，写出第n个等式； （4）计算：． 学科网（北京）股份有限公司 学科网（北京）股份有限公司 学科网（北京）股份有限公司 $