6.2矩形的性质与判定同步训练2025-2026学年鲁教版（五四制）数学八年级下册

6.2 矩形的性质与判定 同步训练 一、单选题 1．已知，点O是矩形对角线的交点，那么矩形（   ） A．是中心对称图形，但不一定是轴对称图形 B．是轴对称图形，但不一定是中心对称图形 C．既是中心对称图形，又是轴对称图形 D．无法判断图形的对称性 2．如图，矩形中，对角线、交于O，若，，则的长为（   ） A．3 B．4 C．7 D．5 3．如图，矩形的对角线交于点O，若，，则的长为（    ） A．2 B．3 C． D．4 4．如图，将一张长方形纸条翻折，是折痕．若，则的度数为（    ） A． B． C． D． 5．如图，在矩形中，，，以点为圆心、的长为半径画弧，交于点，再分别以点，为圆心、大于的长为半径画弧，两弧交于点，作射线交于点，则的长为（   ） A．4 B．5 C． D． 6．如图，在矩形中，平分交于点，连接，点为的中点，连接，若．则的长为（   ） A． B． C．1 D． 7．如图，直线平分，且平移恰好到．下列结论中：①平分；②；③平分；④．一定正确的有（    ） A．1个 B．2个 C．3个 D．4个 8．如图，点是矩形的对角线上一点，过点作，分别交，于，，连接，，若，，则图中阴影部分的面积为（   ） A． B． C． D． 二、填空题 9．如图，在矩形中，点在边上，平分．若，，则____________． 10．如图，延长矩形的边至点，使，连接．若，则____________． 11．如图，矩形中，，，是边上一点，连接，过点作于点，连结，则的最小值为___________． 12．如图，矩形沿折叠，使点D落在点E的位置，与相交于点F，若，，则的长是__________． 13．如图所示，将绕的中点O顺时针旋转得到．在不添加任何辅助线的前提下，添加一个条件______，使四边形为矩形． 三、解答题 14．如图，四边形是平行四边形，，，，分别为四个角的平分线，四边形是矩形吗？为什么？ 15．如图，在矩形中，点在边上，，垂足为点．求证：． 16．如图，在矩形中，点在上，点在上，且，连接，过B作于点G，过D作于点H，求证：． 17．如图，在矩形中，对角线与相交于点O，于点E，于点F．求证：． 18．如图，把矩形沿折叠，使点C落在点A处，点D落在点G处，若． (1)求证： (2)求的长． 学科网（北京）股份有限公司 参考答案 1．C 【分析】根据中心对称图形与轴对称图形的定义，结合矩形的性质即可直接判断． 【详解】解：∵中心对称图形是绕平面内某点旋转后能与原图形重合的图形，轴对称图形是沿平面内某条直线对折后，直线两侧部分能完全重合的图形． 又∵矩形绕对角线交点O旋转后可与原图形重合，沿两组对边中点所在直线对折，直线两侧部分完全重合， ∴矩形既是中心对称图形，又是轴对称图形，对应选项为C． 2．D 【分析】根据矩形的性质和勾股定理得出，进而利用矩形的性质解答即可． 【详解】解：四边形是矩形， ，， ，， ， ． 3．D 【分析】根据含30度的直角三角形的性质，得到，即可． 【详解】解：∵四边形是矩形， ∴，， ∵，， ∴， ∴． 4．D 【分析】由折叠可得，且，根据直线得，最后由对顶角的性质求得． 【详解】解：如图所示： ∵是折痕， ， ， ， 又 ∵， ， ， 又 ∵， ． 5．C 【分析】本题主要考查了矩形的性质，勾股定理，角平分线的定义，基本作图，熟练掌握以上知识点是关键．连接，可证，得到，再根据勾股定理得到，由线段和差得到，在中，利用勾股定理建立方程求出即可得到的长． 【详解】解：如图，连接， 由作图步骤可知，是的平分线， ， 在和中， ， ， ， 在中，，， ， ， 设，则， 由勾股定理得，， 解得，即 ． 6．A 【分析】由矩形的性质和平分，容易证得，则．运用勾股定理求出，最后用直角三角形的性质求出． 【详解】解：∵四边形是矩形，， ∴，，，， ∴， ∵平分， ∴， ∴， ∴， ∴， 在直角中，， ∴， ∵为的中点， ∴． 7．D 【分析】本题考查了平行线的性质，矩形的判定和性质，角平分线的计算，根据题意得到，，可判定①正确；根据平行四边形，矩形的判定方法得到四边形是矩形，由此可判定②③④，由此即可求解． 【详解】解：∵，即， ∴，， ∵平分， ∴， ∴， ∴， ∴平分，故①正确； ∵平移到， ∴， ∴四边形是平行四边形， 又， ∴平行四边形是矩形， ∴，故②正确； ∵四边形是矩形， ∴，，故④正确， ∴， ∵， ∴， ∴，即， ∵平分，即， ∴， ∴平分，故③正确； 综上所述，正确的有4个， 故选：D ． 8．C 【分析】过点作构造矩形，利用矩形对角线平分所在矩形面积的性质，证明两个阴影三角形面积相等，算出单个阴影三角形面积进而求得阴影总面积． 【详解】解：如图，过点作，交于点，交于点， 则四边形、四边形、四边形、四边形为矩形，， ，，， ， ， ，， ， ． 9．3 【分析】证明，即可解答． 【详解】解：在矩形中，，， ∴， ∵平分， ∴， ∴， ∴， ∴． 10．/15度 【分析】连接，与交于点，根据矩形的性质得出，，，则，．结合，得出，则，再结合即可求解． 【详解】解：连接，与交于点， 四边形是矩形， ，，， ，． 又， ， ． ， ∴． 故答案为： 11．/ 【分析】本题考查了矩形的性质，直角三角形斜边中线的性质，勾股定理等知识点，解题的关键是正确添加辅助线． 取中点，连接，根据直角三角形斜边中线可得，然后由勾股定理求解，再由三角形三边关系即可求解最值． 【详解】解：取中点，连接， ∵， ∴， ∵四边形是矩形， ∴， ∴， ∵， ∴， ∴当点在上时，取得最小值为， 故答案为：． 12． 【分析】根据矩形与折叠的性质，证明，得出，设，根据勾股定理建立等式，代入数值进行计算，即可作答． 【详解】解：∵四边形是矩形， ∴， ∵折叠， ∴， ∴， ∵， ∴， ∴， 设， 在中，， 即， 解得， ∴的长为． 13．（答案不唯一） 【分析】由旋转的性质可得，，从而可得四边形为平行四边形，再结合矩形的判定定理即可得出结果． 【详解】解：∵将绕的中点O顺时针旋转得到， ∴，， ∴四边形为平行四边形， 当时，四边形为矩形， 故添加的条件为． 14．四边形是矩形，理由见解析 【分析】根据平行线的性质和角平分线的定义可得，由三角形内角和定理并结合对顶角相等可得，同理求出，即可得证． 【详解】解：四边形是矩形．理由如下： 四边形是平行四边形， ，， ，， ，是，的平分线， ∴，， ， ∴， ． ，是，的平分线， ∴，， ， ∴， 同理可得， 四边形是矩形． 15．见解析 【分析】根据矩形的性质得出，，证明，根据平行线的性质得出，根据证明，然后根据全等三角形的性质即可证明结论成立． 【详解】证明：∵四边形为矩形， ∴，， ∵， ∴， ∴， ∵， ∴， 在和中， ∴， ∴． 16．见详解 【分析】证明，即可证出． 【详解】证明：在矩形中，， ∴， ∵， ∴， ∵， ∴， ∴， ∴． 17．见解析 【分析】根据矩形性质推出，进而证明，利用全等三角形性质即可证明． 【详解】证明：四边形是矩形， ． 于点E，于点F． ． ， ， ． 18．(1)证明见详解 (2) 【分析】（1）利用折叠的性质得到，再由矩形的性质求得，通过等量代换证得； （2）利用矩形的性质和已知条件得到各边长的值，再由折叠的性质得到，通过设未知数，利用勾股定理列出方程并求解未知数，进而求得的值，最后由（1）的结论即可得到结果． 【详解】（1）证明：∵矩形沿折叠， ∴， 又∵， ∴， ∴， ∴． （2）解：在矩形中，， ∴，， 又∵矩形沿折叠， ∴， ∴， 设，则， 在中，， ∴，解得， ∴， 由（1）知，， ∴． 学科网（北京）股份有限公司 $