微专题01 特殊平行四边形中的折叠问题（专项训练）数学鲁教版五四制八年级下册

品学科网·上好课 www.zxxk.com 上好每一堂课 微专题01特殊平行四边形中的折叠问题 矩形中的折叠问题 特殊平行四边形中的折叠问题 姜形中的折鑫问题 正方形中的折叠问题 常点型功 题型1矩形中的折叠问题 妹方法 矩形是特殊的平行四边形，具有四个角为直角、对角线相等且互相平分的性质。折叠问题常涉及： 1. 角度计算：如折叠后求某个角的度数（例：矩形沿对角线折叠，求重叠角的度数）； 2. 边长求解：如折叠后某点落在边上，求线段长度（例：矩形顶点折叠到对边，求折痕与边的交点到顶 点的距离)： 图形形状判断：如折叠后形成的四边形是否为菱形或矩形（例：矩形折叠后，重叠部分是否为菱形）。 1.(25-26八年级上山东济宁·期末)长方形ABCD中，AB=8,AD=12,将其沿EF折叠，点A,B分别 落到点A与点B处，恰好点C在A'B上，且EG=CG,则线段CA'的长度为() G A B.4 C.5 2.(25-26八年级上·山东烟台·期末)如图，矩形ABCD中，点M,N分别为边AD,BC上两动点，且 AB=8,BC=I0,沿MN折叠矩形，使得D点恰好落在边AB(含端点)上，记作点D,翻折后点C对 应点C,则C'N的最小值为 学科网·上好课 www zxxk com 上好每一堂课 -----D 3.(25-26八年级上山东东营期末)如图，在矩形ABCD中，AD=4,AB=3,点E为AD上一点，将矩形 ABCD沿CE折叠，使点D的对应点D恰好落在对角线AC上，则AE的长为 D D 4.(25-26八年级上山东泰安期末)如图，有一张矩形纸片ABCD,AB=2,BC=4,点M,N分别在矩 形的边AD,，BC上，将矩形纸片沿直线MN折叠，使点C落在矩形的边AD上，记为点P,点D落在G 处，连接PC,交MN于点Q,连接CM,下列结论：①CQ=AB;②四边形CMPN是菱形；③P,A重 合时，MN=√5；④PNQ的面积的最小值为1.上述结论中正确的个数是() G M -D A.1个 B.2个 C.3个 D.4个 5.(25-26八年级上山东枣庄期末)如图，在长方形ABCD中，AB∥CD,BC∥AD,∠B=90°， AB=6,AD=8,点P在边BC上，且不与点B、C重合，直线AP与DC的延长线交于点E. (I)当点P是BC的中点时，求证：△ABP≌△ECP; (2)将△ABP沿直线AP折叠得到△APB',点B落在长方形ABCD的内部，延长PB交直线AD于点F, 品学科网·上好课 www zxxk com 上好每一堂课 ①证明FA=FP,并求出在(1)条件下求AF的值： ②连接B'C,直接写出△PCB'周长的最小值 6.(25-26九年级上山东东营·期末)探究式学习是新课程提倡的重要学习方式，某兴趣小组拟做以下探究. 图1 图2 图3 【初步感知】 (1)如图1，在三角形纸片ABC中，∠C=90°，AC=16,将∠A沿DE折叠，使点A与点B重合，折 痕和AC交于点E,EC=6,BC=; 【深入探究】 (2)如图2，将长方形纸片ABCD沿着对角线BD折叠，使点C落在点C处，BC'交AD于点E,若 AB=5,BC=10,求AE的长： 【拓展延伸】 (3)如图3，在长方形纸片ABCD中，AB=10,BC=16,点E为射线AD上一个动点，把△ABE沿直 线BE折叠，当点A的对应点F刚好落在线段BC的垂直平分线上时，直接写出AE的长. 题型2菱形中的折叠问题 啸方法 菱形是特殊的平行四边形，具有四条边相等、对角线互相垂直平分的性质。折叠问题常涉及： 1. 角度与边长结合：如折叠后利用对角线平分角度，求线段长度（例：菱形沿某直线折叠，使顶点落在 对角线上，求对应边的长度)： 2.对称性与全等：如折叠后利用菱形对称性，证明三角形全等或线段相等（例：菱形折叠后，对应点连 线与对角线的关系)： 面积计算：如折叠后重叠部分的面积（例：菱形折叠后，阴影部分的面积）。 1.(25-26九年级上山东青岛期中)如图，在菱形ABCD中，∠ABC=120°，将菱形折叠，使点A恰好落 在对角线BD上的点G处（不与B、D重合），折痕为EF,若BG=4,AB=I0,则DF的长为() 品学科网·上好课 www zxxk.com 上好每一堂课 A.36 B.32 C.4.5 D.5 2.(25-26八年级上山东济南月考)【操作探究】：在综合与实践课上，同学们以“三角形的折叠”为主题开 展数学活动.同学们用一张钝角三角形纸片ABC(∠A为钝角)，进行了如下操作： 第一步：如图1，折出ABC的角平分线AD; 第二步：如图2，展平纸片，再次折叠该三角形纸片，使点A与点D重合，折痕EF分别与AB,AC交 于点E,F; 第三步：如图3，再次展平纸片，连接DE,DF,可得四边形AEDF的形状() A B C B D D 图1 图2 图3 A.平行四边形B.矩形 C.菱形 D.正方形 3.(2025·浙江一模)如图，在菱形ABCD中，LA=60°，AB=4,点E为AB中点，将菱形沿FG折叠， 使点C与点E重合，连结EF、EG,则BG=. D B 4.(2025山东一模)问题情境：在数学实践课程中，教师引导同学们围绕“菱形纸片的折叠”主题进行探索. 己知菱形ABCD,LBAD=I20°，点E,F分别是AB,BC边上的点，将菱形ABCD沿EF折叠. D 图1 图2 图3 猜想证明：(1)如图1，设对角线AC与BD相交于点O,若点B的对应点与点O重合，折痕EF交BD于 品学科网·上好课 www zxxk com 上好每一堂课 点G.试直接写出四边形EBFO的形状： 问题解决：(2)如图2，若点B的对应点恰好落在对角线AC上点M处，若CM=2,AM=4,求线段 FC的长； (3)如图3，若点B的对应点恰好落在CD边上的点N处，若点N为CD的一个三等分点(CN>DW), 设DN=12,△FCN的面积· 5.(24-25八年级下山东聊城期末)如图1，在矩形纸片ABCD中，AB=6,AD=10,折叠纸片使B点 落在边AD上的点E处，折痕为PQ,过点E作EF‖AB交PQ于F,连接BF. D 图1 图2 (1)求证：四边形PBFE为菱形； (2)当点E在AD边上移动时，折痕的端点P、Q也随之移动. ①当点Q与点C重合时（如图2），求菱形PBFE的边长； ②若限定P、Q分别在边BA、BC上移动，试求出菱形PBFE的面积最大值 6.(2023·河南信阳·模拟预测)某数学兴趣小组在数学实践课上开展了“菱形折叠”研究活动. 第一步：每人制作内角不同，边长都为2的菱形若干个，四个顶点为A,B,C,D(为保持一致，活 动中，小组内制作图形各点名称命名规则相同)： 第二步：对折找到一条对角线BD并展开； 第三步：将边AB折叠到对角线BD所在直线上，顶点A的落点为F,所得折痕与边AD交于点E; 第四步：测量∠A,∠FDE,∠FED的度数， ① ②备用图 (1)小组长在研究大家测得的数据后仔细分析，发现可以通过∠A的度数，计算得到∠FED和∠FDE的 度数.如图①，若一位同学制作的菱形中∠A=30°，请你给出此时∠FDE和∠FED的度数：∠FDE= °，∠FED= (2)若∠A<60°，请探究∠A的度数为多少时，△DEF为等腰三角形，并说明理由： 品学科网·上好课 www zxxk.com 上好每一堂课 (3)请直接写出△DEF为直角三角形时DF的长. 题型3正方形中的折叠问题 妹方法 正方形兼具矩形和菱形的所有性质（四条边相等、四个角为直角、对角线相等且互相垂直平分），折叠问题 更复杂，常涉及： 1.角度与边长的综合：如折叠后求角度，再利用边长相等求线段长度（例：正方形沿对角线折叠，求重 叠角的度数，再求边长)； 2. 图形变换与证明：如折叠后证明线段平行或垂直（例：正方形折叠后，证明某两条线段平行）； 3.最值问题：如折叠后求某条线段的最小值（例：正方形边上一点折叠到对边，求折痕长度的最小值）。 1.(25-26八年级上山东东营期末)如图，正方形ABCD中，AB=12,点E在边BC上，BE=EC,将 △DCE沿DE对折至△DFE,延长EF交边AB于点G,连接DG、BF，给出以下结论：① △DAG≌△DFG;②BG=2AG;③SADGE=I20;④BF∥DE.其中正确结论的个数是() A.4 B.3 C.2 D.1 2.(25-26八年级上山东济南期末)如图，正方形纸片ABCD中，E是AD上一点，将纸片沿过点E的直 线折叠，使点A落在CD上的点G处，点B落在点H处，折痕EF交BC于点F.若CG=8,EF=4V5, 则AB=() E A.4 B.4+V6 C.2+26 D.4+2√6 / 品学科网·上好课 www zxxk com 上好每一堂课 3.(25-26九年级上山东青岛·月考)边长为12的正方形ABCD中，M是BC的中点，以AM为折痕将 △ABM翻折，使点B落在E处，延长ME交CD于F,则DF的长是： D M 4.(24-25八年级下·山东临沂期末)将一张正方形纸片按如图的步骤，通过折叠得到④，再沿虚线剪去一 个角，展开平铺后得到⑤，其中FM、GN为折痕，若正方形EFGH与五边形MCNGF的面积之比为 4:9,则 的值为 FG G E ① ② ③ ④ ⑤ 5.(25-26九年级上山东济南·月考)如图，Rt△CEF中，∠C=90°，∠CEF、∠CFE外角平分线交于点 A,过点A分别作直线CE,CF的垂线，B,D为垂足. D 图1 图2 (1)∠EAF=°. (2)①求证：四边形ABCD是正方形.②若BE=EC=3,求△AEF的面积， (3)如图(2)，在△PQR中，∠QPR=45,其高PH=7,OH=3,则HR的长度是 6.(24-25八年级下·山东临沂期末)在学习了特殊平行四边形后，老师和同学们以“图形中的折叠”为主题 开展数学活动.如图1，对矩形纸片ABCD进行如下操作： 操作一：对折矩形纸片ABCD,使AD与BC重合，得到折痕EF,把纸片展平： 操作二：再一次折叠纸片，使点A落在EF上的点N处，并使折痕经过点B,得到折痕BM,同时，得 到了线段BN. 品学科网·上好课 www zxxk.com 上好每一堂课 D M D 图1 图2 图3 (I)连接AN,则△ABN的形状是 三角形 (2)将矩形纸片换成正方形纸片ABCD,先进行操作一，然后在AD上任选一点M(点M不与点A,D重 合)，沿BM折叠，使点A落在正方形内部点N处，把纸片展平，连接N,BN,并延长MW交CD于点 Q,连接BQ ①如图2，若点N恰好在EF上，请判断线段CQ与NQ的数量关系及∠MBQ的度数，并说明理由. ②如图3，若点N落在EF下方，正方形纸片ABCD的边长为8，当FQ=2时，求AM的长. 微专题01 特殊平行四边形中的折叠问题 题型1 矩形中的折叠问题 矩形是特殊的平行四边形，具有四个角为直角、对角线相等且互相平分的性质。折叠问题常涉及： 1. 角度计算：如折叠后求某个角的度数（例：矩形沿对角线折叠，求重叠角的度数）； 2. 边长求解：如折叠后某点落在边上，求线段长度（例：矩形顶点折叠到对边，求折痕与边的交点到顶点的距离）； 3. 图形形状判断：如折叠后形成的四边形是否为菱形或矩形（例：矩形折叠后，重叠部分是否为菱形）。 1．（25-26八年级上·山东济宁·期末）长方形中，，将其沿折叠，点A，B分别落到点与点处，恰好点C在上，且，则线段的长度为（   ） A． B．4 C．5 D． 【答案】B 【分析】先证明，得到，，设，则，得到，从而得到，解答即可． 本题考查了矩形，折叠的性质，三角形全等的判定和性质，熟练掌握折叠的性质，三角形全等的判定和性质是解题的关键． 【详解】解：∵矩形，， ∴，， 根据折叠的性质，得，， ∴， 在和中， ∵， ∴， ∴，， 设，则， ∴， ∴， 故选：B． 2．（25-26八年级上·山东烟台·期末）如图，矩形中，点，分别为边，上两动点，且，，沿折叠矩形，使得点恰好落在边（含端点）上，记作点，翻折后点对应点，则的最小值为________． 【答案】 【分析】本题主要考查了折叠性质，矩形性质，勾股定理，解题的关键在于找到点与点B重合时，取最小值． 连接，结合矩形性质和折叠性质设，则，利用勾股定理推出，结合，推出当与重合时，取最小值，进而建立方程求解，即可解题． 【详解】解：连接， 矩形中，，， ，， 由折叠性质可知，，，， 设，则， ，， 当取最小值时，取最小值， 即当与重合时，取最小值， 在中，， 解得； 故答案为：． 3．（25-26八年级上·山东东营·期末）如图，在矩形中，，，点为上一点，将矩形沿折叠，使点的对应点恰好落在对角线上，则的长为___________． 【答案】 【分析】本题考查矩形与折叠，勾股定理，根据折叠的性质，得到，设，得到，在中，利用勾股定理进行求解即可． 【详解】解：∵矩形中，，， ∴，， ∴， ∵折叠， ∴，， ∴，， 设，得到， 在中，由勾股定理，得， 解得， ∴； 故答案为：． 4．（25-26八年级上·山东泰安·期末）如图，有一张矩形纸片，，，点，分别在矩形的边，上，将矩形纸片沿直线折叠，使点落在矩形的边上，记为点，点落在处，连接，交于点，连接．下列结论：①；②四边形是菱形；③，重合时，；④的面积的最小值为1．上述结论中正确的个数是（   ） A．1个 B．2个 C．3个 D．4个 【答案】C 【分析】本题考查了菱形的判定与性质，矩形的判定与性质，全等三角形的判定与性质，勾股定理，折叠的性质，掌握折叠的性质及菱形的性质是解题的关键．根据折叠的性质及矩形的性质可知四边形是菱形，再根据全等三角形的判定与性质可知，这个结论不一定成立，最后利用菱形的面积公式即可解答． 【详解】解：∵， ∴， 由折叠的性质得：， ∴， ∴， ∵， ∴， ∵， ∴四边形是平行四边形， ∵， ∴四边形是菱形，故②正确； ∴，， ∴， ∵， 若， ∴， ∴，这个结论不一定成立，故①错误； 点与点重合时，如图所示， 设，则， ∴在中，， ∴， 解得：， ∴，， ∴， ∴， ∴，故③正确； 当过点时，如图所示，最短，四边形的面积最小， ∴， 即的面积的最小值为1．故④正确； 正确的项为②③④，共3个， 故选：C． 5．（25-26八年级上·山东枣庄·期末）如图，在长方形中，，，，，，点在边上，且不与点、重合，直线与的延长线交于点． (1)当点是的中点时，求证：； (2)将沿直线折叠得到，点落在长方形的内部，延长交直线于点． ①证明，并求出在（1）条件下求的值； ②连接，直接写出周长的最小值． 【答案】(1)见解析 (2)①AF；②周长的最小值为12 【分析】本题属于四边形综合题，考查了矩形的性质，折叠的性质，全等三角形的判定和性质，等腰三角形的判定和性质以及勾股定理等知识，掌握折叠是一种轴对称，折叠前后的图形对应角相等、对应边相等，灵活运用相关的性质是解题的关键． （1）通过矩形的性质得到，，再根据已知条件求出，即可得证； （2）根据矩形的性质和折叠的性质得到，设，则，根据勾股定理得到，计算即可得解；连接，，当点恰好位于对角线上时，最小，根据勾股定理计算即可； 【详解】（1）证明：四边形是矩形， ， ，， 点是的中点， ， ； （2）解：①四边形是矩形， ， ， 由折叠得， ， ， 矩形中，，， ， 点是的中点， ， 由折叠得，，， 设，则， ， 在中，， ， 解得， 即； ②由折叠得，， 的周长， 连接，， ， 当点恰好位于对角线上时，最小， 在中，，， ， 的最小值， 周长的最小值． 6．（25-26九年级上·山东东营·期末）探究式学习是新课程提倡的重要学习方式，某兴趣小组拟做以下探究． 【初步感知】 （1）如图1，在三角形纸片中，，，将沿折叠，使点与点重合，折痕和交于点，，_； 【深入探究】 （2）如图2，将长方形纸片沿着对角线折叠，使点落在点处，交于点，若，，求的长； 【拓展延伸】 （3）如图3，在长方形纸片中，，，点为射线上一个动点，把沿直线折叠，当点的对应点刚好落在线段的垂直平分线上时，直接写出的长． 【答案】（1） （2） （3）的长为或 【分析】(1)由折叠的性质可知，利用勾股定理求出； (2)由长方形的性质可知，由折叠的性质可得，设，则，利用勾股定理可得，解方程即可求出的长； (3)当点在长方形内部时，由折叠的性质得：，，利用勾股定理可得，设，则，利用勾股定理列方程，解方程求出的长；当点在长方形外部时，设，则，在中，由勾股定理得：，解方程求出值即可． 【详解】(1)解：，， ， 由折叠的性质得：， 在中，由勾股定理得：， 即；    (2)四边形是长方形， ，，， ， 由折叠的性质得：， ， ， 设，则， 在中，由勾股定理得：， 即， 解得：， 即；   (3)四边形是长方形， ，， 设线段的垂直平分线交于点，交于点，则， 分两种情况：①如图，当点在长方形内部时， 点在线段的垂直平分线上， ，， 由折叠的性质得：，， 在中，由勾股定理得：， ， 设，则， 在中，由勾股定理得：， 即， 解得：， 即； ②如下图所示，当点在长方形外部时， 由折叠的性质得：，， 由①得：，， 设，则， 在中，由勾股定理得：， 即， 解得：， 即； 综上所述，点刚好落在线段的垂直平分线上时，的长为或． 【点睛】本题考查了长方形的性质、平行线的性质、折叠的性质、等腰三角形的判定、勾股定理、线段垂直平分线的性质． 题型2 菱形中的折叠问题 菱形是特殊的平行四边形，具有四条边相等、对角线互相垂直平分的性质。折叠问题常涉及： 1. 角度与边长结合：如折叠后利用对角线平分角度，求线段长度（例：菱形沿某直线折叠，使顶点落在对角线上，求对应边的长度）； 2. 对称性与全等：如折叠后利用菱形对称性，证明三角形全等或线段相等（例：菱形折叠后，对应点连线与对角线的关系）； 3. 面积计算：如折叠后重叠部分的面积（例：菱形折叠后，阴影部分的面积）。 1．（25-26九年级上·山东青岛·期中）如图，在菱形中，，将菱形折叠，使点恰好落在对角线上的点处（不与、重合），折痕为，若，，则的长为（   ） A． B． C．4.5 D．5 【答案】B 【分析】本题考查菱形的性质，等边三角形的判定和性质，含30度角的直角三角形，勾股定理，作，先证明为等边三角形，进而得到为含30度角的直角三角形，设，得到，折叠得到，在中，利用勾股定理进行求解即可． 【详解】解：∵在菱形中，， ∴， ∴为等边三角形， ∴，， ∵， ∴， 作于点，设，则， ∵， ∴， ∴，， ∴， ∵折叠， ∴， 在中，由勾股定理，得：， 解得； ∴； 故选B． 2．（25-26八年级上·山东济南·月考）【操作探究】：在综合与实践课上，同学们以“三角形的折叠”为主题开展数学活动．同学们用一张钝角三角形纸片（为钝角），进行了如下操作： 第一步：如图1，折出的角平分线； 第二步：如图2，展平纸片，再次折叠该三角形纸片，使点与点重合，折痕分别与，交于点； 第三步：如图3，再次展平纸片，连接，可得四边形的形状（） A．平行四边形 B．矩形 C．菱形 D．正方形 【答案】C 【分析】根据折叠的性质、线段垂直平分线的性质得到，证明，根据菱形的判定定理证明结论； 本题考查的是菱形的判定，线段垂直平分线的性质． 【详解】解：连接、， 由折叠可知，是的平分线，是的垂直平分线， ∴， ∴， ∴， ∴， ∴四边形是平行四边形． ∵， ∴平行四边形是菱形． 故选：C． 3．（2025·浙江·一模）如图，在菱形中，，，点为中点，将菱形沿折叠，使点与点重合，连结、，则_____． 【答案】 【分析】本题考查了折叠的性质，菱形的性质，直角三角形的特征，勾股定理等；过作交的延长线于，由菱形的性质得，，由角三角形的特征得，设，由折叠得：，由勾股定理得，即可求解；掌握折叠的性质，菱形的性质，直角三角形的特征，能构建直角三角形，熟练利用勾股定理进行求解是解题的关键． 【详解】解：过作交的延长线于， 四边形是菱形， ， ， ， ， ， 点为中点， ， ， ， 设， 则，， 由折叠得：， ， ， 解得：， ， 故答案为：． 4．（2025·山东·一模）问题情境：在数学实践课程中，教师引导同学们围绕“菱形纸片的折叠”主题进行探索．已知菱形，，点，分别是，边上的点，将菱形沿折叠． 猜想证明：（1）如图1，设对角线与相交于点，若点的对应点与点重合，折痕交于点．试直接写出四边形的形状； 问题解决：（2）如图2，若点的对应点恰好落在对角线上点处，若，，求线段的长； （3）如图3，若点的对应点恰好落在边上的点处，若点为的一个三等分点，设，的面积_． 【答案】（1）四边形为菱形；（2）；（3） 【分析】（1）根据菱形的性质可得，再根据折叠的性质可知，易得，进而证明四边形为平行四边形，然后根据“邻边相等的平行四边形为菱形”，即可获得答案； （2）过点作于点，首先证明为等边三角形，进而可得，，设，则，由折叠的性质可得，，在中，由三角函数解得的值，进而可得的长度，然后在中，由勾股定理解得的值，即可获得答案； （3）过点作，交延长线于点，根据题意可得，在中，由三角函数解得的值，设，则，由折叠的性质可得，，在中，由勾股定理解得的值，然后根据三角形面积公式求解即可． 【详解】解：（1）四边形为菱形．理由如下： 四边形为菱形， ， 将菱形沿折叠，点的对应点与点重合， ，， ， ，， 四边形为平行四边形， 又， 四边形为菱形； （2）如下图，过点作于点， 四边形为菱形，， ，， ， 为等边三角形， ，， ， ， 设，则， 由折叠的性质可得，， ， ， ， ， 在中，， 即， 解得， ； （3）如下图，过点作，交延长线于点， 四边形为菱形，，且点为的一个三等分点， ，，， ， ， ， 设，则，， 由折叠的性质可得，， 在中，， 即，解得， ． 【点睛】本题主要考查了菱形的判定与性质、折叠的性质、等边三角形的判定与性质、解直角三角形、勾股定理等知识，熟练掌握菱形的性质和折叠的性质是解题关键． 5．（24-25八年级下·山东聊城·期末）如图1，在矩形纸片中，，，折叠纸片使B点落在边上的点E处，折痕为．过点E作交于F，连接． (1)求证：四边形为菱形； (2)当点E在边上移动时，折痕的端点P、Q也随之移动． ①当点Q与点C重合时（如图2），求菱形的边长； ②若限定P、Q分别在边、上移动，试求出菱形的面积最大值． 【答案】(1)见解析 (2)；36 【分析】（1）由折叠的性质得出，，，由平行线的性质得出，证出，得出，因此，即可得出结论； （2）①根据矩形的性质和勾股定理求得的长，在中求得，即可求得菱形的边长；②当点Q与点C重合时，点E离点A最近，由①知，此时；当点P与点A重合时，点E离点A最远，此时四边形为正方形，，即可得出答案． 【详解】（1）证明：∵折叠纸片使B点落在边上的E处，折痕为， ∴点B与点E关于对称， ∴，，， 又∵， ∴， ∴， ∴， ∴， ∴四边形为菱形； （2）①∵四边形是矩形， ∴，，， ∵点B与点E关于对称， ∴， 在中， ， ∴， 在中，，， ∴，解得： ， ∴菱形的边长为； ②当点Q与点C重合时，点E离点A最近， 由①知，此时，， 那么， 当点P与点A重合时，点E离点A最远，此时四边形为正方形，如图， 则， 那么， ∴菱形的面积范围为，即最大值为36． 【点睛】本题考查了矩形的性质、折叠的性质、菱形的判定和性质、平行线的性质、等腰三角形的判定、勾股定理、正方形的性质等知识，找到临界点是解题的关键． 6．（2023·河南信阳·模拟预测）某数学兴趣小组在数学实践课上开展了“菱形折叠”研究活动． 第一步：每人制作内角不同，边长都为2的菱形若干个，四个顶点为，，，（为保持一致，活动中，小组内制作图形各点名称命名规则相同）； 第二步：对折找到一条对角线并展开； 第三步：将边折叠到对角线所在直线上，顶点的落点为，所得折痕与边交于点； 第四步：测量，，的度数， (1)小组长在研究大家测得的数据后仔细分析，发现可以通过的度数，计算得到和的度数．如图①，若一位同学制作的菱形中，请你给出此时和的度数：_____________°，_____________°； (2)若，请探究的度数为多少时，为等腰三角形，并说明理由； (3)请直接写出为直角三角形时的长． 【答案】(1) (2)的度数为时，为等腰三角形 (3)或 【分析】（1）根据菱形的性质和折叠的性质得到，，由邻补角和三角形外角的性质即可得到答案； （2）设，得到，，，则，分三种情况进行解答即可； （3）分和两种情况分别进行解答即可． 【详解】（1）解：∵四边形是菱形， ∴，， ∴， ∴， ∴； 由折叠可知，， ∴； 故答案为：； （2）解：设， ∴，， ∴， ∴， ①当时，， ∴， 解得， ∴的度数为时，是等腰三角形； ②当时，， ∴，解得，不合题意，舍去； ③当时，， ∴ 解得，不合题意，舍去， 综上可知，当的度数为时，是等腰三角形； （3）解：①当时，如图1， ∵， ∴， 由折叠可知，，， 则四边形是正方形， ∴， ∴， ②当时，如图2， ∵， ∴， 设， ∴， 由折叠可知，， ∴， ∴， 解得， ∴， ∴， ∵ ∴， ∴， ∴； 综上可知，为直角三角形时的长为或． 【点睛】此题考查了菱形的性质、正方形的判定和性质、折叠的性质、等腰三角形的判定和性质、直角三角形的性质等知识，分类讨论是解题的关键． 题型3 正方形中的折叠问题 正方形兼具矩形和菱形的所有性质（四条边相等、四个角为直角、对角线相等且互相垂直平分），折叠问题更复杂，常涉及： 1. 角度与边长的综合：如折叠后求角度，再利用边长相等求线段长度（例：正方形沿对角线折叠，求重叠角的度数，再求边长）； 2. 图形变换与证明：如折叠后证明线段平行或垂直（例：正方形折叠后，证明某两条线段平行）； 3. 最值问题：如折叠后求某条线段的最小值（例：正方形边上一点折叠到对边，求折痕长度的最小值）。 1．（25-26八年级上·山东东营·期末）如图，正方形中，，点E在边上，，将沿对折至，延长交边于点G，连接、，给出以下结论：①；②；③；④．其中正确结论的个数是（    ） A．4 B．3 C．2 D．1 【答案】B 【分析】本题考查了正方形和折叠的性质，全等三角形的判定与性质，勾股定理，三角形面积公式及平行线的判定．先根据正方形和折叠的性质分析图形中的边和角关系，再通过全等三角形的判定、勾股定理、面积计算及平行线判定逐一验证四个结论的正确性． 【详解】解：如图，由题意可知，，， ， 在和中， ， ∴，故①正确； ∵正方形边长是12， ， 设，则，， 由勾股定理得：， 即：， 解得：， ，，，故②正确； ，故③错误； ， ， ，， ， ，故④正确； ∴①②④正确， 故选：B． 2．（25-26八年级上·山东济南·期末）如图，正方形纸片中，E是上一点，将纸片沿过点E的直线折叠，使点A落在上的点G处，点B落在点H处，折痕交于点F．若，则（   ） A．4 B． C． D． 【答案】D 【分析】由折叠性质可知，进而利用同角的余角相等证明，由此即可得出，进而确定．在中，根据勾股定理列方程求解即可． 【详解】解：如图，连接交于点，过点作，垂足为， 则， ∵正方形， ∴，， ∴四边形是矩形， ∴， 由折叠可知， ∴， ∴， 又∵， ∴， ∴， ∵ ∴， 设正方形边长为，则， ∵， ∴， 在中，，即 解得：或（不合题意舍去） ∴． 故选：D 【点睛】本题考查正方形的性质，折叠的性质，全等三角形的判定与性质，勾股定理，矩形的判定与性质，掌握折叠的性质，根据垂直模型证明是解题关键． 3．（25-26九年级上·山东青岛·月考）边长为12的正方形中，是的中点，以为折痕将翻折，使点落在处，延长交于，则的长是______．    【答案】 【分析】本题考查了折叠性质、勾股定理、正方形的性质，熟练掌握正方形的性质和折叠的性质是解题的关键；根据翻折的性质及正方形的性质可证明，得，分别表示出，，，利用勾股定理即可得出结论． 【详解】解：如图所示，连接，   四边形是边长为的正方形， ，， 以为折痕将翻折得， ，，， ， ， ， ， 又， ， ， 设，， M是的中点， ， ， 在中，，即， 解得， ， 故答案为：． 4．（24-25八年级下·山东临沂·期末）将一张正方形纸片按如图的步骤，通过折叠得到④，再沿虚线剪去一个角，展开平铺后得到⑤，其中、为折痕，若正方形与五边形的面积之比为，则的值为________． 【答案】 【分析】本题考查了折叠的性质，正方形的性质，勾股定理，熟练掌握以上知识点是解题的关键．连接，直线与交于P点，由题意设正方形的面积为，五边形的面积为，则可得，由折叠可得正方形面积为，则可求得，最后即可求得结果． 【详解】解：如图，连接，直线与交于P点， 正方形与五边形的面积之比为， 设正方形的面积为，五边形的面积为， ， ， 由勾股定理得，， 由折叠得，正方形面积为，四边形是长方形， ， ∴， 即， ， 即， ． 故答案为：． 5．（25-26九年级上·山东济南·月考）如图，中，，、外角平分线交于点，过点分别作直线，的垂线，为垂足． (1)______． (2)①求证：四边形是正方形．②若，求的面积． (3)如图（2），在中，，其高，，则的长度是______． 【答案】(1)45 (2)①见解析；②15 (3) 【分析】（1）由可得，进而得，再根据角平分线的定义可得，最后根据三角形内角和定理即可求解； （2）①过点作于，由角平分线的性质可得，再证明四边形是矩形即可得出结论； ②证明得，同理得，设，得，又由可得， 得到，在中，利用勾股定理得，得到，即得，再根据三角形面积公式即可求解； （3）如图2所示，把沿翻折得，把沿翻折得，延长、交于点，同理（2）即可求解； 【详解】（1）解：， ， ， 平分，平分， ，， ， ， 故答案为：45； （2）①证明：过点作于， 平分，，， ， 同理可得， ， ，， ， ， 四边形是矩形， ， 四边形是正方形； ②， ， 在和中， ， ， ， 同理可得， 设， ， ， ， ， ， 在中，， ， 解得， ， ； （3）解：如图2所示，把沿翻折得，把沿翻折得，延长、交于点， 由折叠可得，，，，，，， ， ， 四边形是矩形， ， 四边形是正方形， ， ， 设，则，， 在中，， ， 解得， ， 故答案为：2.8． 【点睛】本题考查了正方形的判定和性质，角平分线的性质，三角形内角和定理，全等三角形的判定和性质，折叠的性质，勾股定理，正确作出辅助线是解题的关键． 6．（24-25八年级下·山东临沂·期末）在学习了特殊平行四边形后，老师和同学们以“图形中的折叠”为主题开展数学活动．如图1，对矩形纸片进行如下操作： 操作一：对折矩形纸片，使与重合，得到折痕，把纸片展平； 操作二：再一次折叠纸片，使点A落在上的点N处，并使折痕经过点B，得到折痕．同时，得到了线段． (1)连接，则的形状是_______三角形． (2)将矩形纸片换成正方形纸片，先进行操作一，然后在上任选一点M（点M不与点A，D重合），沿折叠，使点A落在正方形内部点N处，把纸片展平，连接N，，并延长交于点Q，连接． ①如图2，若点N恰好在上，请判断线段与的数量关系及的度数，并说明理由． ②如图3，若点N落在下方，正方形纸片的边长为8，当时，求的长． 【答案】(1)等边 (2)①，，理由见解析；② 【分析】本题考查了矩形与折叠，正方形的性质，勾股定理，全等三角形的判定和性质. （1）由折叠的性质可得得，再次折叠得，等量代换问题可求解； （2）①根据折叠性质可证即可求解； ②设，分别表示出，，，由勾股定理即可解答． 【详解】（1）解：对折矩形纸片，使与重合，得到折痕， ，， ， ， ， 再一次折叠纸片，使点A落在上的点N处，并使折痕经过点B，得到折痕．同时，得到了线段， ， ∴， ∴是等边三角形； 故答案为：等边； （2）解：①如图2，，，理由如下： 四边形是正方形， ，， 由翻折可知，， ， ， ， ， 由翻折可知：，， ； ②如图3， ， ，， ， 由①知， 设，， ， ， 解得：， . / 学科网（北京）股份有限公司 $