培优01 概率全章3种题型复习（专项训练）高一数学人教A版必修第二册

学科网（北京）股份有限公司 培优01 概率 题型1 古典概型的概率 1. 有限性∶判断试验的样本空间包含的样本点是否是有限个，若样本点无限个，即不可数，则不是古典概型. 2.等可能性∶考查基本事件的发生是不是等可能的，若基本事件发生的可能性不一样，则不是古典概型. 只有同时具备了上述两个特征，才是古典概型. 1．(25-26高一上·山西忻州第一中学校等校·)从10，11，12，13，14，15这6个正整数中任取两个数，其中恰有1个质数的概率为__________. 2．将一颗质地均匀的正方体骰子（六个面的点数分别为1，2，3，4，5，6）先后抛掷两次，记第一次出现的点数为，第二次出现的点数为，设复数． (1)求事件“为实数”的概率； (2)求事件“”的概率． 3．(25-26高一·陕西渭南华阴·期末)某商场周年庆，进行抽奖活动，规则如下：从装有除颜色之外完全相同的5个小球（其中3个红球2个白球）的抽奖箱中，随机一次性摸出2个球，若取到2个白球，则获得一等奖；若取到1个白球和1个红球，则获得二等奖；其他情况，不获奖.记3个红球为，2个白球为，样本空间. (1)求样本空间； (2)某顾客进行一次抽奖，设事件表示随机事件“该顾客不获奖”，求. 4．(23-24高一下·四川达州外国语学校·期末)某市2024年5月举办了“用普通话讲好中国故事”的活动，有20名选手进入决赛，他们的决赛得分（单位：分，满分100分）情况如下表： 得分 频数 2 7 8 3 (1)同组数据由该组区间中点值代替，求这20名选手决赛的平均成绩； (2)从决赛得分在上和在上的选手中随机抽取2人，求至少一个人得分不低于90分的概率. 题型2 事件的独立性 事件独立性的判断 1.直接法∶由事件本身的性质直接判定两个事件发生是否相互影响. 2.定义法∶如果事件A，B同时发生的概率等于事件A发生的概率与事件B发生的概率的积，则事件A，B为相互独立事件. 1．(25-26高一上·河南南阳·期末)(多选)袋中有白球个（编号为、、）、黑球个（编号为、），这个球除颜色、编号外完全相同．现在从中不放回地依次摸取出个，每次摸个，记事件为“第一次取到的球编号为”，事件为“第一次取到的球是黑球”，事件为“取到的两个球都是白球”．则（   ） A．与互斥 B． C． D．与独立 2．(25-26高一上·河南焦作沁阳第一中学·期末) (多选)投掷一枚正四面体骰子，其各面的数字分别为1，2，3，4，记其投出后落地与水平面接触的数字为点数，连续投出两次，第一次得到的点数为，第二次得到的点数为，记事件“为偶数”，事件“为奇数”，事件“为偶数”，则下列正确的有（   ） A．与互斥 B．与相互独立 C．与相互独立 D． 3．(25-26高一上·辽宁丹东·期末) (多选)设事件满足，则下列命题正确的有（   ） A．若，则与相互独立 B．若与相互独立，则 C． D．若，则 4．(25-26高一上·江西吉安·期末) (多选)若，，，则（   ） A．事件与不互斥 B．事件与对立 C．事件与互相独立 D． 题型3 互斥事件、对立事件、独立事件的概率 求相互独立事件同时发生的概率的步骤 1.首先确定各事件是相互独立的； 2.先求每个事件发生的概率，再求其积. 注意：公式P（AB）=P（A）P（B）可推广到一般情形，即如果事件A1，A2，…，An相互独立，那么这n个事件同时发生的概率等于每个事件发生的概率的积，即P（A1A2…An）=P（A1）×P（A2）×…×P（An） 1．(25-26高一上·辽宁重点中学协作校·期末)已知事件相互独立，且，，则（   ） A． B． C． D． 2．(25-26高一·江西赣州·期末)设、两个随机事件为互斥事件，发生的概率均不等于，若，，则实数的取值范围是（    ） A． B． C． D． 3．(25-26高一上·江西九江六校协作体·期末)在某歌手大赛中，每位参赛选手均必须参加两轮比赛，已知在第一轮比赛中，甲、乙通过的概率分别为；在第二轮比赛中，甲、乙通过的概率分别为p，q．假设甲、乙两人在每轮比赛中是否通过互不影响． (1)若，求乙恰好有一轮通过的概率． (2)若甲、乙都恰好有一轮通过的概率为，甲、乙两轮都通过的概率为． （i）求p，q的值； （ii）求甲、乙两人至少有一人两轮都通过的概率． 4．(25-26高一上·山西忻州部分学校·)甲、乙两人进行4场投篮比赛，规定若有一人连续获胜2场，则比赛提前结束．根据以往的经验，在每场比赛中甲获胜的概率为，乙获胜的概率为，假设每场比赛没有平局，且各场比赛结果相互独立． (1)求打完两场比赛结束的概率； (2)求比赛结束时，甲获胜的次数大于乙的概率． 学科网（北京）股份有限公司1 / 17 学科网（北京）股份有限公司 $ 学科网（北京）股份有限公司 培优01 概率 题型1 古典概型的概率 1. 有限性∶判断试验的样本空间包含的样本点是否是有限个，若样本点无限个，即不可数，则不是古典概型. 2.等可能性∶考查基本事件的发生是不是等可能的，若基本事件发生的可能性不一样，则不是古典概型. 只有同时具备了上述两个特征，才是古典概型. 1．(25-26高一上·山西忻州第一中学校等校·)从10，11，12，13，14，15这6个正整数中任取两个数，其中恰有1个质数的概率为__________. 【答案】 【分析】列举样本点个数，由古典概型进行计算即可得解. 【详解】10，11，12，13，14，15这6个正整数中质数有11和13两个， 则从中任取两个数，所有样本点构成的空间为 ，共15个样本点， 记事件“从中任取两个数，恰有1个质数”， 则共有8个样本点， 所以从中任取两个数，恰有1个质数的概率为. 故答案为： 2．将一颗质地均匀的正方体骰子（六个面的点数分别为1，2，3，4，5，6）先后抛掷两次，记第一次出现的点数为，第二次出现的点数为，设复数． (1)求事件“为实数”的概率； (2)求事件“”的概率． 【答案】(1) (2) 【分析】（1）若为实数，则该复数的虚部为0，可解得，所以第二次抛掷出现的点数的概率为，即事件“为实数”的概率为； （2）由题意，结合复数的模的计算，有，逐个分析所有的可能，先确定的取值，再分析可能的取值，经计算，共有9种情况下可使事件“”成立，又，的取值情况共有种，进而可求得该事件的概率. 【详解】（1）若为实数，即为实数，所以， 故该事件只与第二次抛掷骰子有关，与第一次抛掷骰子无关， 又依题意，第二次抛掷出现的点数可取1，2，3，4，5，6， 故出现的概率为， 即事件“为实数”的概率为. （2）由已知， 可知，的值只能取1，2，3， 当时，，即可取1，2，3，4， 当时，，即可取1，2，3，4， 当时，，即可取2， 由上可知，共有9种情况下可使事件“”成立， 又，的取值情况共有种， 故事件“”的概率为. 3．(25-26高一·陕西渭南华阴·期末)某商场周年庆，进行抽奖活动，规则如下：从装有除颜色之外完全相同的5个小球（其中3个红球2个白球）的抽奖箱中，随机一次性摸出2个球，若取到2个白球，则获得一等奖；若取到1个白球和1个红球，则获得二等奖；其他情况，不获奖.记3个红球为，2个白球为，样本空间. (1)求样本空间； (2)某顾客进行一次抽奖，设事件表示随机事件“该顾客不获奖”，求. 【答案】(1) (2) 【分析】（1）将从个球中一次性摸出个球的所有可能组合全部列出，得到样本空间. （2）先确定 “不获奖” 即取到个红球的事件数，再用古典概型公式，用事件数除以样本空间总事件数求概率. 【详解】（1）从这个小球中抽取个的情况有，故样本空间 （2）事件表示“不获奖”，即取到的个球都是红球（因为一等奖是个白球，二等奖是白红，其余情况为红，不获奖）, 红球为，取个红球的组合有：，共3种， 由小问一可知，样本空间的基本事件总数为， 所以事件的概率. 4．(23-24高一下·四川达州外国语学校·期末)某市2024年5月举办了“用普通话讲好中国故事”的活动，有20名选手进入决赛，他们的决赛得分（单位：分，满分100分）情况如下表： 得分 频数 2 7 8 3 (1)同组数据由该组区间中点值代替，求这20名选手决赛的平均成绩； (2)从决赛得分在上和在上的选手中随机抽取2人，求至少一个人得分不低于90分的概率. 【答案】(1)81 (2) 【分析】（1）根据频数表，直接计算平均成绩即可； （2）设决赛得分在上的两人分别为，得分在上的三人分别为，，再列出所有情况，根据古典概型求概率即可． 【详解】（1）解：由表可得（分）. （2）由题可知，决赛得分在上有2人，得分在上的有3人， 设决赛得分在上的两人分别为，得分在上的三人分别为，， 则从得分在这两区间的选手中随机抽取2人， 所有可能结果为，，共10个样本点， 其中只有一个结果中两人得分都低于90分， 设“两人中至少一个得分不低于90分”， 则. 所以至少一个人得分不低于90分的概率为． 题型2 事件的独立性 事件独立性的判断 1.直接法∶由事件本身的性质直接判定两个事件发生是否相互影响. 2.定义法∶如果事件A，B同时发生的概率等于事件A发生的概率与事件B发生的概率的积，则事件A，B为相互独立事件. 1．(25-26高一上·河南南阳·期末)(多选)袋中有白球个（编号为、、）、黑球个（编号为、），这个球除颜色、编号外完全相同．现在从中不放回地依次摸取出个，每次摸个，记事件为“第一次取到的球编号为”，事件为“第一次取到的球是黑球”，事件为“取到的两个球都是白球”．则（   ） A．与互斥 B． C． D．与独立 【答案】BC 【分析】利用互斥事件的定义可判断A选项；利用对立事件的概率公式可判断B选项；利用古典概型的概率公式可判断C选项；利用独立事件的定义可判断D选项. 【详解】对于A选项，事件“第一次摸到编号为的黑球”，故与不互斥，A错； 对于B选项，将个编号为、、的白球分别记为、、， 将个编号为、的黑球分别记为、，基本事件总数为， ， 所以，B对； 对于C选项，，所以，C对； 对于D选项，， ， ， 所以，，， 所以，故、不独立，D错. 故选：BC. 2．(25-26高一上·河南焦作沁阳第一中学·期末) (多选)投掷一枚正四面体骰子，其各面的数字分别为1，2，3，4，记其投出后落地与水平面接触的数字为点数，连续投出两次，第一次得到的点数为，第二次得到的点数为，记事件“为偶数”，事件“为奇数”，事件“为偶数”，则下列正确的有（   ） A．与互斥 B．与相互独立 C．与相互独立 D． 【答案】AD 【分析】根据事件的互斥与独立的定义对选项一一验证即可. 【详解】对于A选项，显然，不会同时发生，故二者互斥，A正确； 对于B选项，此时，B错误； 对于C选项，事件：，，，，，，，，故， 事件：，，，，故， 而事件：，，，， 所以，C错误； 对于D选项，若为奇数，显然，一奇一偶，此时为偶数，显然，D正确. 故选：AD. 3．(25-26高一上·辽宁丹东·期末) (多选)设事件满足，则下列命题正确的有（   ） A．若，则与相互独立 B．若与相互独立，则 C． D．若，则 【答案】ABC 【分析】由条件证明，结合独立事件的定义判断A；若与相互独立，由概率的加法公式求结论判断B；当时，有最小值，当与互斥时，有最大值，故C正确；若，所以；，所以，故D错误. 【详解】对于A，因为，所以， 由，得， 因为，所以， 所以与相互独立，故A正确； 对于B，若与相互独立，则，由概率的加法公式 ，故B正确； 对于C，当时，有最小值， 当与互斥时，有最大值； 所以，故C正确； 对于D，若，则，所以； 又因为， 根据德摩根定律有，又因为，所以，故 所以 所以，故D错误； 故选：ABC. 4．(25-26高一上·江西吉安·期末) (多选)若，，，则（   ） A．事件与不互斥 B．事件与对立 C．事件与互相独立 D． 【答案】ACD 【分析】根据互斥事件和对立事件的概念，以及积事件的概念，判断选项A，B正误；根据事件相互独立的概念，判断选项C的正误，根据和事件概率的求法，判断选项D的正误； 【详解】已知，即事件同时发生的概率不为，所以事件与不互斥，所以A正确； 已知事件与不互斥，则事件与不对立，所以B错误； 已知，则，因为，所以， 所以事件与互相独立，所以C正确； 可知，所以D正确； 故选：ACD. 题型3 互斥事件、对立事件、独立事件的概率 求相互独立事件同时发生的概率的步骤 1.首先确定各事件是相互独立的； 2.先求每个事件发生的概率，再求其积. 注意：公式P（AB）=P（A）P（B）可推广到一般情形，即如果事件A1，A2，…，An相互独立，那么这n个事件同时发生的概率等于每个事件发生的概率的积，即P（A1A2…An）=P（A1）×P（A2）×…×P（An） 1．(25-26高一上·辽宁重点中学协作校·期末)已知事件相互独立，且，，则（   ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】根据相互独立事件的概率乘法公式列出关于和的方程组，求解即可. 【详解】∵ 事件相互独立， ， ∵事件与也相互独立， ， 两式相除可得， 解得. 故选：B. 2．(25-26高一·江西赣州·期末)设、两个随机事件为互斥事件，发生的概率均不等于，若，，则实数的取值范围是（    ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】根据概率的性质以及互斥事件的概率公式可得出关于实数的不等式组，由此可解得的取值范围. 【详解】因为、两个随机事件为互斥事件，发生的概率均不等于，若，， 由题意可得，解得， 由互斥事件的概率公式可得， 由题意可得，解得， 故的取值范围是. 故选：A. 3．(25-26高一上·江西九江六校协作体·期末)在某歌手大赛中，每位参赛选手均必须参加两轮比赛，已知在第一轮比赛中，甲、乙通过的概率分别为；在第二轮比赛中，甲、乙通过的概率分别为p，q．假设甲、乙两人在每轮比赛中是否通过互不影响． (1)若，求乙恰好有一轮通过的概率． (2)若甲、乙都恰好有一轮通过的概率为，甲、乙两轮都通过的概率为． （i）求p，q的值； （ii）求甲、乙两人至少有一人两轮都通过的概率． 【答案】(1) (2)（i）；（ii） 【分析】（1）根据互斥事件、相互独立事件的概率计算； （2）（i）记事件“甲、乙都恰好有一轮通过”，事件“甲、乙两轮都通过”，分别表示，，求出； （ii）记事件“甲两轮都通过”，事件“乙两轮都通过”，事件“甲、乙两人至少有一人两轮都通过”，由或，计算得解. 【详解】（1）设事件“甲通过第一轮比赛”，事件“甲通过第二轮比赛”， 事件“乙通过第一轮比赛”，事件“乙通过第二轮比赛”， 由题知相互独立，且． 记事件“乙恰好有一轮通过”，则，   又互斥， 所以当时， ， 即当时，乙恰好有一轮通过的概率为. （2）（i）记事件“甲、乙都恰好有一轮通过”，事件“甲、乙两轮都通过”， 则 ，①         ，②     由①②，得，解得.       （ii）记事件“甲两轮都通过”，事件“乙两轮都通过”，事件“甲、乙两人至少有一人两轮都通过”， 则，    则．    或. 4．(25-26高一上·山西忻州部分学校·)甲、乙两人进行4场投篮比赛，规定若有一人连续获胜2场，则比赛提前结束．根据以往的经验，在每场比赛中甲获胜的概率为，乙获胜的概率为，假设每场比赛没有平局，且各场比赛结果相互独立． (1)求打完两场比赛结束的概率； (2)求比赛结束时，甲获胜的次数大于乙的概率． 【答案】(1) (2) 【分析】（1）用表示“第场比赛甲获胜”，用表示“打完两场比赛结束”，则，应用独立事件和互斥事件的概率运算公式求解； （2）用表示“比赛结束时，甲获胜的次数大于乙”，则，应用独立事件和互斥事件的概率运算公式求解. 【详解】（1）用表示“第场比赛甲获胜”， 则用表示“打完两场比赛结束”， 则. （2）若“比赛结束时，甲获胜的次数大于乙”为事件，则， 所以 . 学科网（北京）股份有限公司1 / 17 学科网（北京）股份有限公司 $