专题03 事件相互独立性及频率与概率的四大常考题型（高效培优专项训练）数学人教A版高一必修第二册

**基本信息** 聚焦事件独立性与频率概率四大题型，通过分层训练构建从概念辨析到实际应用的完整认知体系。 **专项设计** |模块|题量/典例|题型特征|知识逻辑| |----|-----------|----------|----------| |独立事件的乘法公式|10题|结合球类运动、数字组合等场景，考查公式直接应用与复杂情境计算|从基础公式到多事件综合，培养数学思维的逻辑推理能力| |独立事件的判断|10题|通过卡片抽取、骰子投掷等模型，辨析事件独立性与互斥关系|强化概念本质理解，发展重论据、有条理的思维品质| |频率估计概率|10题|依托体育比赛、电子产品寿命等真实数据，训练频率与概率转化|渗透数据观念，培养用数学语言解释现实世界的能力| |游戏的公平性|10题|设计掷骰子、抽卡片等游戏情境，判断规则公平性与概率计算|体现数学应用意识，发展从数学角度分析决策的能力|

专题03 事件相互独立性及频率与概率的四大常考题型 题型一：独立事件的乘法公式 题型二：独立事件的判断 题型三：频率估计概率 题型四：游戏的公平性 题型一：独立事件的乘法公式 1．将一个半径适当的小球放入如图所示的容器最上方的入口处，小球将自由下落．小球在下落的过程中，将3次遇到黑色障碍物，最后落入袋或袋中．已知小球每次遇到黑色障碍物时，向左、右两边下落的概率都是，则小球落入袋中的概率为（   ）    A． B． C． D． 2．随机从0，1，2，3，4五个数字中任取两个不同的数字组成一个两位数. (1)请写出样本空间并求样本点个数； (2)设事件：所得的两位数为奇数，事件：所得的两位数大于40，判断事件与是否相互独立. 3．已知随机事件A、B相互独立，且，则 ； ． 4．甲、乙两人进行投篮比赛，甲每次投中的概率为，乙每次投中的概率为，且甲、乙两人投中与否互不影响．若甲、乙各投一次，则两人至少有一人投中的概率是 ． 5．某校开展劳动教育课程，为有效推动课程实施，开展劳动知识比赛.比赛中每位选手需回答A，B，C(分别为日常生活类，生产劳动类，服务性劳动类)3道试题，回答结果相互独立.已知甲答对A，B，C 3道试题的概率分别为，则（   ） A．甲至少答对1题的概率为 B．甲恰好答对1题的概率为 C．当第二个问题是B时，甲恰好连续2题答对的概率为 D．当第二个问题是C时，甲恰好连续2题答对的概率最小 6．甲、乙两人组成“监利一中队”参加猜成语活动，每轮活动由甲、乙各猜一个成语，已知甲每轮猜对的概率为，乙每轮猜对的概率为．在每轮活动中，甲和乙猜对与否互不影响，各轮结果也互不影响． (1)求“监利一中队”在两轮活动中猜对3个成语的概率． (2)若某人在两轮活动中至少猜对1个成语，则该人可获得“优秀队员”称号，求“监利一中队”的甲、乙两人中恰有一人获得此称号的概率． 7．甲、乙、丙三人打台球，约定：第一局甲、乙对打，丙轮空；此后每局的胜者与轮空者进行下一局对打.假设甲、乙、丙三人打台球的水平相同，每局台球的结果相互独立. (1)求前三局中甲恰好参与了两局的概率； (2)求第局有甲参与的概率； (3)求第局是甲、乙对打的概率. 8．“猜灯谜”又叫“打灯谜”，是元宵节的一项活动，出现在南宋时期.开始时是好事者把谜语写在纸条上，贴在五光十色的彩灯上供人猜.因为谜语既能启迪智慧又饶有兴趣，所以流传过程中深受社会各阶层的欢迎.在一次猜灯谜活动中，共有30道灯谜，三位同学独立竞猜，甲同学猜对了15道，乙同学猜对了10道，丙同学猜对了道.假设对每位同学而言，他们猜对每道灯谜的可能性都相等. (1)任选一道灯谜，求甲，乙两位同学恰有一个人猜对的概率； (2)任选一道灯谜，若甲，乙，丙三个人中至少有一个人猜对的概率为，求的值. 9．相互独立事件A、B满足，则 ． 10．一项“过关游戏”规则规定：在第关要抛掷一颗骰子次，如果这次抛掷所出现的点数的和大于，则算过关.则某人连过前三关的概率为（   ） A． B． C． D． 题型二：独立事件的判断 11．已知事件，且，则下列说法正确的是（    ） A．A与B是对立事件 B．若A与B相互独立，则 C．若A与B相互独立，则 D．若A与B相互独立，则P(A∪B)=0.76 12．有四张同样大小的卡片，上面标有数字，如图所示.从这四张卡片中随机抽取一张，设事件：“抽到的卡片上有数字”，，则下列事件相互独立的是（   ） A． B． C． D． 13．从装有除颜色外完全相同的2个红球（编号为1，2）和2个白球（编号为3，4）的口袋中，依次不放回地随机摸出2个球，表示事件“恰有1个白球”，表示事件“恰有2个白球”，表示事件“取到了编号为1的小球”，D表示事件“第一次取到的球编号为奇数”，E表示事件“两次取到的球编号和为偶数”，则下列结论正确的是（   ） A．事件，互为对立事件 B． C．事件，为相互独立事件 D．事件，为相互独立事件 14．设事件满足，则下列命题正确的有（   ） A．若，则与相互独立 B．若与相互独立，则 C． D．若，则 15．辽宁全省开展慈善文化进机关、进企业、进乡村、进社区、进家庭活动，通过讲座、公益市集、志愿服务等形式，重点帮扶特殊困难群体.现有A，B，C共3场慈善知识竞赛和慰问活动需要安排志愿者，小林从图中四张同样大小的卡片中随机抽取一张，卡片上的字母代表小林参加的活动场次，例如抽到写有A，B，C3个字母的卡片代表小林参加A，B，C3场活动，则（   ） A．“小林参加A场活动”与“小林参加B场活动”互斥 B．“小林参加A场活动”与“小林参加B场活动”相互独立 C．“小林不参加A场活动”与“小林不参加B场活动”相互独立 D．“小林不参加A场活动”与“小林参加B场或C场活动”相互独立 16．掷红色和蓝色两枚均匀的骰子，观察朝上的面的点数 (1)求两枚骰子点数相同的概率； (2)记事件：红骰子的点数为1；事件：两枚骰子的点数和为5；事件：两枚骰子的点数和为7 （ⅰ）判断事件与是否相互独立； （ⅱ）判断事件与是否相互独立． 17．先后两次掷一枚质地均匀的骰子，表示事件“两次掷出的点数之和是），表示事件“第二次掷出的点数是偶数”，表示事件“两次掷出的点数相同”，表示事件“至少出现一个奇数点”，则（   ） A．与互斥 B． C．与对立 D．与相互独立 18．抛掷一枚质地均匀的骰子，观察向上的面的点数，事件为“点数为偶数”，事件为“点数是或”，事件为“点数大于”，下列说法正确的是（     ） A．和是互斥事件 B．和是相互独立事件 C． D． 19．有6个相同的球，分别编号1、2、3、4、5、6，从中先不放回的随机取两次，再将球全部放回随机取一次，以上每次抽取一个小球，记事件A：第一次取球编号数字小于3；B：第二次取球编号数字为偶数；C：第三次取球编号为6；D：前两次取球编号数字和为7；E：第一、三次取球编号数字至少有一个1.则下列说法正确的是（  ） A． B．事件A与事件C相互独立 C．事件A与事件E相互独立 D．事件A与事件B相互独立 20．连续抛掷一枚质地均匀的硬币次，记录这次实验的结果.设事件表示“次实验结果中，既出现正面又出现反面”，事件表示“次实验结果中，至多出现一次正面”，则下列结论正确的有  （   ）. A．若，则与互斥 B．若，则与不相互独立 C．若，则与不互斥 D．若，则与相互独立 题型三：频率估计概率 21．运动会上，甲、乙、丙三名运动员最终进入跳高决赛，决赛成绩达到以上（含）的运动员将获得优胜奖.为预测获得优胜奖的情况及冠军得主.收集了甲、乙、丙以往的比赛成绩，并整理得到如下数据（单位：）： 甲：181   180   179   178   173   172   170   168 乙：180   179   175   171   170   169 丙：183   176   165 假设用频率估计概率，且甲、乙、丙的比赛成绩相互独立. (1)估计甲在决赛中获得优胜奖的概率； (2)估计乙、丙两人在决赛中至少有一人获得优胜奖的概率； (3)甲、乙、丙三人中谁夺冠的概率最大？（结论不要求证明） 22．关于概率与频率，下列说法正确的是（   ） A．频率是随机的，概率是确定的 B．随着试验次数增加，频率会越来越接近概率 C．某事件概率为0，则该事件一定不会发生 D．在大量重复试验中，频率的波动会逐渐减小 23．在一个不透明的盒子里，装有6个黑球和若干个白球，它们除颜色外没有任何区别，摇匀后从中随机摸出一个球记下颜色，再把它放回盒子中，不断重复该试验，共摸球100次，其中30次摸到黑球，则估计一次取球试验中摸出白球的概率为 ，盒子中大约有白球 个 24．（多选）教练想从甲、乙两个人中选择一人参加省运动会800米比赛，收集了甲、乙两人近8次的比赛成绩，并整理得到如下数据： 甲 乙 若比赛成绩在以下（含）为优秀，用频率估计概率，则下列说法正确的是（ ） A．乙比赛成绩优秀的概率为 B．甲比赛成绩的平均数等于乙比赛成绩的平均数 C．甲比赛成绩的方差小于乙比赛成绩的方差 D．为冲击800米省冠军，教练应该选择乙参加省运动会800米比赛 25．某校在校园科技节期间举办了“智能机器人挑战赛”，为了解高一年级500名学生观看比赛的情况，该校学生会用随机抽样的方式抽取了一个容量为50的样本进行调查，并将数据整理后，列表如下： 观看比赛场数 0 1 2 3 4 5 6 7 观看人数所占百分比 7% 18% 15% m% 10% 14% 15% 5% 从表中可以得出正确的结论为（   ） A．估计观看比赛场数的极差为6 B．估计观看比赛场数的众数为2 C．估计观看比赛不低于4场的学生约为200人 D．估计观看比赛不超过2场的学生概率为 26．某同学做立定投篮训练，共3组，每组投篮次数和命中的次数如下表：根据表中的数据信息，用频率估计一次投篮命中的概率，误差较小的可能性的估计是（    ） 第一组 第二组 第三组 合计 投篮次数 100 200 300 600 命中的次数 66 126 183 375 命中的频率 0.66 0.63 0.61 0.625 A．0.61 B．0.63 C．0.625 D．0.66 27．从某小区抽取100户居民用户进行月用电量调查，发现他们的用电量都在25～325kW·h之间，进行适当分组后（每组为左闭右开的区间），画出如图所示频率分布直方图（同一组中的数据用该组区间的中点值作代表）.    (1)求x的值； (2)若新增加5户居民用户的月用电量，数据分别为74，112，174，221，119（kW·h）； （i）估计105户居民用户月用电量落在中的可能性； （ii）将原来的100户与新增的5户分成两组，估计105户居民用户月用电量的平均值. 28．对200个电子元件的寿命（单位：h）进行追踪调查，情况如下： 寿命 个数 20 30 80 40 30 (1)估计元件的寿命在（单位：h）内的概率； (2)估计元件的寿命在以上的概率． 29．下列说法错误的是（   ） A．为了解我国中学生的视力情况，应采取抽样调查的方式 B．频率是概率的近似值，概率是频率的稳定值 C．抽签法和随机数法是两种常用的简单随机抽样的方法 D．某种疾病的治愈率为10%，若前9个病人没有被治愈，则第10个病人一定被治愈 30．为了解某地区九年级男生的身高情况，随机选取了该地区100名九年级男生进行测量，他们的身高x（cm）统计如下表： 组别     人数 13 43 36 8 根据上表，抽查该地区一名九年级男生，估计他的身高高于170cm的概率是 ． 题型四：游戏的公平性 31．小明与小华两人玩游戏，则下列游戏不公平的是（    ） A．抛掷一枚骰子，向上的点数为奇数，小明获胜，向上的点数为偶数，小华获胜 B．同时抛掷两枚硬币，恰有一枚正面向上，小明获胜，两枚都正面向上，小华获胜 C．从一副不含大小王的扑克牌中抽一张，扑克牌是红色，小明获胜，扑克牌是黑色，小华获胜 D．小明、小华两人各写一个数字6或8，如果两人写的数字相同，小明获胜，否则小华获胜 32．如果将一枚质地均匀的硬币连续抛掷次，那么第次出现反面朝上的概率是（    ） A． B． C． D． 33．某学校校庆，给每班发了5张庆典门票．班主任王老师准备采用抽签方式来决定哪5位同学参加，为此制作了50张卡片，其中5张写有“庆典”字样．50位同学轮流抽签，抽中写有“庆典”字样的同学参加学校庆典．小明提出：“抽签有先后，第一名同学抽中的概率是．如果第一名同学抽到，第二名同学抽到的概率只有，如果第一名同学未抽中，第二名同学抽中的概率为．抽中的机会未必相等．”你认为王老师的抽签方法公平吗？小明的话又如何解释？ 34．下列说法中错误的是（    ） A．抛掷硬币出现正面向上的概率为0.5，那么连续两次抛掷一枚质地均匀的硬币，一定是一次正面朝上，一次反面朝上 B．如果某种彩票的中奖概率为，那么买10张这种彩票一定能中奖 C．在乒乓球、排球等比赛中，裁判通过上抛均匀塑料圆板并让运动员猜着地时是正面还是反面来决定哪一方先发球，这样做公平 D．一个骰子掷一次得到点数2的概率是，这说明一个骰子掷6次会出现一次点数2 35．下列说法正确的是（    ） A．一个人打靶，打了10发子弹，有6发子弹中靶，因此这个人中靶的概率为0.6 B．某地发行福利彩票，其回报率为47%，有个人花了100元钱买彩票，一定会有47元回报 C．5张奖券中有一张有奖，甲先抽，乙后抽，则乙与甲中奖的可能性相同 D．大量试验后，可以用频率近似估计概率. 36．一天，甲拿出一个装有三张卡片的盒子（一张卡片的两面都是绿色，一张卡片的两面都是蓝色，还有一张卡片一面是绿色，另一面是蓝色），跟乙说玩一个游戏，规则是：甲将盒子里的卡片顺序打乱后，由乙随机抽出一张卡片放在桌子上，然后卡片朝下的面的颜色决定胜负，如果朝下的面的颜色与朝上的面的颜色一致，则甲赢，否则甲输.乙对游戏的公平性提出了质疑，但是甲说：“当然公平！你看，如果朝上的面的颜色为绿色，则这张卡片不可能两面都是蓝色，因此朝下的面要么是绿色，要么是蓝色，因此，你赢的概率为，我赢的概率也是，怎么不公平？”分析这个游戏是否公平. 37．有以下说法: ①一年按365天计算,两名学生的生日相同的概率是;②买彩票中奖的概率为0.001,那么买1 000张彩票就一定能中奖;③乒乓球赛前,决定谁先发球,抽签方法是从1~10共10个数字中各抽取1个,再比较大小,这种抽签方法是公平的;④昨天没有下雨,则说明“昨天气象局的天气预报降水概率是90%”是错误的. 根据我们所学的概率知识,其中说法正确的序号是 . 38．张明与张华两人做游戏,下列游戏中不公平的是(　　) ①抛掷一枚骰子,向上的点数为奇数则张明获胜,向上的点数为偶数则张华获胜; ②同时抛掷两枚硬币,恰有一枚正面向上则张明获胜,两枚都正面向上则张华获胜; ③从一副不含大小王的扑克牌中抽一张,扑克牌是红色的则张明获胜,扑克牌是黑色的则张华获胜; ④张明、张华两人各写一个数字6或8,如果两人写的数字相同张明获胜,否则张华获胜. A．①② B．② C．②③④ D．①②③④ 39．小明和小颖按如下规则做游戏：桌面上放有5支铅笔，每次取1支或2支，最后取完铅笔的人获胜，你认为这个游戏规则 .(填“公平”或“不公平”) 40．下列说法正确的是（  ） A．甲、乙两人做游戏；甲、乙两人各写一个数字，若是同奇数或同偶数则甲胜，否则乙胜，这个游戏公平 B．做次随机试验，事件发生的频率就是事件发生的概率 C．某地发行福利彩票，回报率为47%，某人花了100元买该福利彩票，一定会有47元的回报 D．试验：某人射击中靶或不中靶，这个试验是古典概型 2 / 11 学科网（北京）股份有限公司 学科网（北京）股份有限公司 $ 专题03 事件相互独立性及频率与概率的四大常考题型 题型一：独立事件的乘法公式 题型二：独立事件的判断 题型三：频率估计概率 题型四：游戏的公平性 题型一：独立事件的乘法公式 1．将一个半径适当的小球放入如图所示的容器最上方的入口处，小球将自由下落．小球在下落的过程中，将3次遇到黑色障碍物，最后落入袋或袋中．已知小球每次遇到黑色障碍物时，向左、右两边下落的概率都是，则小球落入袋中的概率为（   ）    A． B． C． D． 【答案】C 【分析】利用对立事件的概率求解，由于小球落入B袋情况简单易求，记小球落入B袋中的概率，利用求出. 【详解】记小球落入袋中的概率， 记小球落入袋中的概率， 则， 小球每次遇到黑色障碍物时一直向左或者一直向右下落，小球将落入袋， ，. 故选：C. 2．随机从0，1，2，3，4五个数字中任取两个不同的数字组成一个两位数. (1)请写出样本空间并求样本点个数； (2)设事件：所得的两位数为奇数，事件：所得的两位数大于40，判断事件与是否相互独立. 【答案】(1)样本空间为；16个样本点 (2)事件与不相互独立 【分析】（1）根据题意列举出符合要求的样本空间及样本点的个数即可； （2）分别列举出事件所包含的样本点，并分别求出各个事件的概率，验证是否成立，即可判断事件与是否相互独立. 【详解】（1）由题意可知，样本空间为， 共16个样本点； （2）由题意知事件包含共6个样本点，所以； 事件包含共3个样本点，所以； 既是奇数又大于40的事件包含共2个样本点，所以， 因为，即， 所以事件与不相互独立. 3．已知随机事件A、B相互独立，且，则 ； ． 【答案】 / 【分析】对①由求解；对②由求解. 【详解】对于①：因为、相互独立，所以、也相互独立，又， 所以； 对于②：， 故答案为：①；②. 4．甲、乙两人进行投篮比赛，甲每次投中的概率为，乙每次投中的概率为，且甲、乙两人投中与否互不影响．若甲、乙各投一次，则两人至少有一人投中的概率是 ． 【答案】 【分析】根据题意，应用独立事件概率乘积公式先求出两人都没有命中的概率，由对立事件的性质计算得答案. 【详解】根据题意，则甲､乙两人各投一次，两人都没有投中的概率为， 则至少有一人投中的概率； 故答案为：. 5．某校开展劳动教育课程，为有效推动课程实施，开展劳动知识比赛.比赛中每位选手需回答A，B，C(分别为日常生活类，生产劳动类，服务性劳动类)3道试题，回答结果相互独立.已知甲答对A，B，C 3道试题的概率分别为，则（   ） A．甲至少答对1题的概率为 B．甲恰好答对1题的概率为 C．当第二个问题是B时，甲恰好连续2题答对的概率为 D．当第二个问题是C时，甲恰好连续2题答对的概率最小 【答案】ABD 【分析】对于A：先求甲3题都答错的概率，再求甲至少答对1题的概率；对于B：根据独立事件概率公式运算求解；对于CD：分类讨论第二个问题，求甲恰好连续2题答对的概率，进而分析判断. 【详解】对于选项A：因为甲3题都答错的概率为， 所以甲至少答对1题的概率为，故A正确； 对于选项B：甲只答对1题的概率为，故B正确； 对于选项CD：当第二个问题为A时， 甲恰好连续2题答对的概率为； 当第二个问题为B时，甲恰好连续2题答对的概率为； 当第二个问题为C时，甲恰好连续2题答对的概率为； 可得，故C错误，D正确. 故选：ABD. 6．甲、乙两人组成“监利一中队”参加猜成语活动，每轮活动由甲、乙各猜一个成语，已知甲每轮猜对的概率为，乙每轮猜对的概率为．在每轮活动中，甲和乙猜对与否互不影响，各轮结果也互不影响． (1)求“监利一中队”在两轮活动中猜对3个成语的概率． (2)若某人在两轮活动中至少猜对1个成语，则该人可获得“优秀队员”称号，求“监利一中队”的甲、乙两人中恰有一人获得此称号的概率． 【答案】(1) (2) 【分析】（1）由独立事件的乘法公式和互斥事件的加法公式计算可得； （2）利用计算可得. 【详解】（1）设表示甲两轮猜对个成语的事件，表示乙两轮猜对个成语的事件．， 根据独立事件的性质，可得 ，， 设A=“两轮活动‘监利一中队’猜对3个成语”， 则，且与互斥，又甲乙的作答相互独立， 所以， 因此，“监利一中队”在两轮活动中猜对3个成语的概率是． （2） “`监利一中队’的甲、乙两人中恰有一人获得此称号”    ，     所以“监利一中队”的甲、乙两人中恰有一人获得此称号的概率. 7．甲、乙、丙三人打台球，约定：第一局甲、乙对打，丙轮空；此后每局的胜者与轮空者进行下一局对打.假设甲、乙、丙三人打台球的水平相同，每局台球的结果相互独立. (1)求前三局中甲恰好参与了两局的概率； (2)求第局有甲参与的概率； (3)求第局是甲、乙对打的概率. 【答案】(1) (2) (3) 【分析】（1）分两种情况：甲第二局轮空和甲第三局轮空，分别求出对应的概率然后求和即可. （2）记第局有甲参与的概率为，则第局有甲参与的概率为，然后根据题意列出等式，进而求出即可. （3）记第局有丙参与的概率为，则第局有丙参与的概率为，然后列出等式，进而求出，从而求出结果. 【详解】（1）分两种情况. 第一种情况：甲第二局轮空，即第一局甲负，此时第三局一定有甲参与，其概率为. 第二种情况：甲第三局轮空，此时第二局甲负，第一局甲胜，其概率为 故所求概率为. （2）记第局有甲参与的概率为，则第局有甲参与的概率为 若第局有甲参与，则第局有甲参与的概率为； 若第局没有甲参与，则第局一定有甲参与，所以， 即 因为，所以，所以，即. （3）第局是甲、乙对打，则第局丙轮空， 记第局有丙参与的概率为，则第局有丙参与的概率为. 若第局有丙参与，则第局有丙参与的概率为； 若第局没有丙参与，则第局一定有丙参与，所以， 即. 因为，所以，所以，即 第局是甲、乙对打的概率为. 8．“猜灯谜”又叫“打灯谜”，是元宵节的一项活动，出现在南宋时期.开始时是好事者把谜语写在纸条上，贴在五光十色的彩灯上供人猜.因为谜语既能启迪智慧又饶有兴趣，所以流传过程中深受社会各阶层的欢迎.在一次猜灯谜活动中，共有30道灯谜，三位同学独立竞猜，甲同学猜对了15道，乙同学猜对了10道，丙同学猜对了道.假设对每位同学而言，他们猜对每道灯谜的可能性都相等. (1)任选一道灯谜，求甲，乙两位同学恰有一个人猜对的概率； (2)任选一道灯谜，若甲，乙，丙三个人中至少有一个人猜对的概率为，求的值. 【答案】(1) (2) 【分析】（1）设出相应事件后，利用相互独立事件概率乘法公式进行求解即可； （2）利用对立事件的概率关系及相互独立事件概率乘法公式即可求出的值. 【详解】（1）设“甲猜对灯谜”为事件，“乙猜对灯谜”为事件， “任选一道灯谜，恰有一个人猜对”为事件C， 由题意得，，，且事件A、B相互独立， 则 . 所以任选一道灯谜，恰有一个人猜对的概率为. （2）设“丙猜对灯谜”为事件D， “任选一道灯谜，甲、乙、丙三个人都没有猜对”为事件E， 由题意知，甲、乙、丙三个人中至少有一个人猜对的概率为， 则其对立事件“三个人都没有猜对”的概率为， 因此 ， 解得. 9．相互独立事件A、B满足，则 ． 【答案】/ 【分析】由得，再根据独立事件的乘法公式计算即可求解 【详解】因为，而，所以， 又A、B相互独立，所以， 即. 故答案为： 10．一项“过关游戏”规则规定：在第关要抛掷一颗骰子次，如果这次抛掷所出现的点数的和大于，则算过关.则某人连过前三关的概率为（   ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】利用古典概型的概率公式、对立事件的概率公式求出此人分别过第一关、第二关、第三关的概率，再结合独立事件的概率乘法公式可求得结果. 【详解】设这个人过第关的概率为， 过第一关，则抛出的点数构成的集合为，则， 过第二关，则抛两次骰子的点数之和大于，基本事件总数为， 以表示一个样本点， 其中两次点数之和不大于所包含的样本点有：、、、、、，共个， 故， 过第三关，则抛三次骰子的点数之和大于，基本事件总数为， 以表示一个样本点， 其中三次点数之和不大于所包含的样本点有：、、、、 、、、、、、、、、 、、、、、、，共个， 故， 因为这个人过每个关卡是相互独立的，故这个人连过前三关的概率为. 故选：D. 题型二：独立事件的判断 11．已知事件，且，则下列说法正确的是（    ） A．A与B是对立事件 B．若A与B相互独立，则 C．若A与B相互独立，则 D．若A与B相互独立，则P(A∪B)=0.76 【答案】CD 【分析】先根据对立事件的定义排除A选项，再利用相互独立事件的概率公式分别计算B、C、D选项的概率，从而判断正误. 【详解】对于选项A，对立事件需满足 且 ， 仅 不满足互斥条件，故A错误. 若 与 相互独立，则 . ，故B错误，C正确. ，故D正确. 故选：CD 12．有四张同样大小的卡片，上面标有数字，如图所示.从这四张卡片中随机抽取一张，设事件：“抽到的卡片上有数字”，，则下列事件相互独立的是（   ） A． B． C． D． 【答案】ABC 【分析】明确基本事件，用独立事件定义逐一验证选项. 【详解】四张卡片的内容： 卡片1：包含数字1,2,3； 卡片2：包含数字1； 卡片3：包含数字2； 卡片4：包含数字3. 含有数字1的卡片：卡片1、卡片2，∴ 含有数字2的卡片：卡片1、卡片3，∴ 含有数字3的卡片：卡片1、卡片4，∴ 同时含有数字1和2的卡片：卡片1，∴ 同时含有数字1和3的卡片：卡片1，∴ 同时含有数字2和3的卡片：卡片1，∴ 同时含有数字1和2和3的卡片：卡片1，∴ ∵，∴事件相互独立，A选项正确； ∵，∴事件相互独立，B选项正确； ∵，∴事件相互独立，C选项正确； ∵，∴事件不相互独立，D选项不正确； 故选：ABC. 13．从装有除颜色外完全相同的2个红球（编号为1，2）和2个白球（编号为3，4）的口袋中，依次不放回地随机摸出2个球，表示事件“恰有1个白球”，表示事件“恰有2个白球”，表示事件“取到了编号为1的小球”，D表示事件“第一次取到的球编号为奇数”，E表示事件“两次取到的球编号和为偶数”，则下列结论正确的是（   ） A．事件，互为对立事件 B． C．事件，为相互独立事件 D．事件，为相互独立事件 【答案】BCD 【分析】根据对立事件、古典概型以及独立事件的相关概念，可得答案. 【详解】对于A，，{恰有或个白球}全部情况，故A错误； 对于B，，故B正确； 对于C，，，则，故C正确； 对于D，，，，则，故D正确. 故选：BCD. 14．设事件满足，则下列命题正确的有（   ） A．若，则与相互独立 B．若与相互独立，则 C． D．若，则 【答案】ABC 【分析】由条件证明，结合独立事件的定义判断A；若与相互独立，由概率的加法公式求结论判断B；当时，有最小值，当与互斥时，有最大值，故C正确；若，所以；，所以，故D错误. 【详解】对于A，因为，所以， 由，得， 因为，所以， 所以与相互独立，故A正确； 对于B，若与相互独立，则，由概率的加法公式 ，故B正确； 对于C，当时，有最小值， 当与互斥时，有最大值； 所以，故C正确； 对于D，若，则，所以； 又因为， 根据德摩根定律有，又因为，所以，故 所以 所以，故D错误； 故选：ABC. 15．辽宁全省开展慈善文化进机关、进企业、进乡村、进社区、进家庭活动，通过讲座、公益市集、志愿服务等形式，重点帮扶特殊困难群体.现有A，B，C共3场慈善知识竞赛和慰问活动需要安排志愿者，小林从图中四张同样大小的卡片中随机抽取一张，卡片上的字母代表小林参加的活动场次，例如抽到写有A，B，C3个字母的卡片代表小林参加A，B，C3场活动，则（   ） A．“小林参加A场活动”与“小林参加B场活动”互斥 B．“小林参加A场活动”与“小林参加B场活动”相互独立 C．“小林不参加A场活动”与“小林不参加B场活动”相互独立 D．“小林不参加A场活动”与“小林参加B场或C场活动”相互独立 【答案】BC 【分析】由互斥事件的定义即可判断A，由相互独立的定义若，则事件 相互独立即可判断B、C、D. 【详解】若选到第一张卡片，则小林同时参加3场活动，A错误. “小林参加A场活动”的概率为，“小林参加B场活动”的概率为，“小林同时参加A场和B场活动”的概率为，，B正确. “小林不参加A场活动”的概率为，“小林不参加B场活动”的概率为，“小林同时不参加A场与B场活动”的概率为，，C正确. “小林参加B场或C场活动”的概率为，“小林不参加A场活动，参加B场或C场活动”的概率为，，D错误. 故选：BC. 16．掷红色和蓝色两枚均匀的骰子，观察朝上的面的点数 (1)求两枚骰子点数相同的概率； (2)记事件：红骰子的点数为1；事件：两枚骰子的点数和为5；事件：两枚骰子的点数和为7 （ⅰ）判断事件与是否相互独立； （ⅱ）判断事件与是否相互独立． 【答案】(1) (2)（ⅰ）事件与不相互独立 （ⅱ）事件与相互独立 【分析】（1）列出样本空间由古典概型公式计算即可； （2）由相互独立的定义进行判断即可. 【详解】（1）用表示红色和蓝色两枚均匀的骰子朝上的面的点数， 则样本空间， 记事件为两枚骰子点数相同， 则. （2）（ⅰ）,， , 所以, , , 故事件与不相互独立， （ⅱ）因为, ,所以, , 故事件与相互独立. 17．先后两次掷一枚质地均匀的骰子，表示事件“两次掷出的点数之和是），表示事件“第二次掷出的点数是偶数”，表示事件“两次掷出的点数相同”，表示事件“至少出现一个奇数点”，则（   ） A．与互斥 B． C．与对立 D．与相互独立 【答案】D 【分析】根据互斥事件与对立事件的关系判断A,C；根据对立事件概率计算即可判断B；根据结合古典概型求解概率，结合独立事件概率性质即可判断D. 【详解】若两次掷出的点数之和是4，由于每次掷出的点数都在1到6之间， 所以第一次掷出的点数一定小于4，而“两次掷出的点数相同”中的“”的点数之和等于4， 故与不互斥，故A错误； “至少出现一个奇数点”的对立事件是“两次掷出的点数都是偶数点”， 所以，故B错误； 由于“至少出现一个奇数点”的对立事件是“两次掷出的点数都是偶数点”．故B与D不是对立的，故C错误； 先后两次掷一枚质地均匀的骰子，两次出现的点数组有种等可能的不同情况， 第二次掷出的点数为偶数的情况有共18种不同情况， 两次掷出的点数相同的情况有：共6种， 两次掷出的点数相同且第二次掷出的点数为偶数的情况有共3种情况， 所以， 所以，所以独立，故正确． 故选：D. 18．抛掷一枚质地均匀的骰子，观察向上的面的点数，事件为“点数为偶数”，事件为“点数是或”，事件为“点数大于”，下列说法正确的是（     ） A．和是互斥事件 B．和是相互独立事件 C． D． 【答案】BD 【分析】求出样本空间，利用互斥事件定义即可判断A，利用独立事件的定义即可判断B，利用古典概型公式即可判断CD. 【详解】样本空间 对于A： ，所以和不是互斥事件，故A错误； 对于B：由 ，故B正确； 对于C.：由，故C错误； 对于D：由 ，故D正确. 故选：BD. 19．有6个相同的球，分别编号1、2、3、4、5、6，从中先不放回的随机取两次，再将球全部放回随机取一次，以上每次抽取一个小球，记事件A：第一次取球编号数字小于3；B：第二次取球编号数字为偶数；C：第三次取球编号为6；D：前两次取球编号数字和为7；E：第一、三次取球编号数字至少有一个1.则下列说法正确的是（  ） A． B．事件A与事件C相互独立 C．事件A与事件E相互独立 D．事件A与事件B相互独立 【答案】ABD 【分析】求出事件的概率，再根据相互独立事件概率的关系依次判断每个选项得到答案. 【详解】根据题意，，，，， 对于A，由于是不放回的取球，则，故A正确； 对于B，因为，所以事件与相互独立，故B正确； 对于C，因为，所以事件与不相互独立，故C错误； 对于D，因为，所以事件与相互独立，故D正确. 故选：ABD. 20．连续抛掷一枚质地均匀的硬币次，记录这次实验的结果.设事件表示“次实验结果中，既出现正面又出现反面”，事件表示“次实验结果中，至多出现一次正面”，则下列结论正确的有  （   ）. A．若，则与互斥 B．若，则与不相互独立 C．若，则与不互斥 D．若，则与相互独立 【答案】BCD 【分析】依次写出和时样本总空间、事件的样本空间，以及利用古典概型求出相应的概率，再结合互斥事件和独立事件定义分析即可得解. 【详解】记抛掷一枚硬币正面向上为1，反面向上为0， 则连续抛掷一枚硬币两次的样本空间为， 此时事件的样本空间为，事件的样本空间为， 积事件的样本空间为， 所以事件交集不空，不互斥，且， 所以，故与不相互独立，故A错误，B正确； 连续抛掷一枚硬币3次的样本空间为共8个样本点， 此时事件的样本空间为共6个样本点， 事件的样本空间为共4个样本点， 积事件的样本空间为， 所以事件的交集不空，不互斥，且， 所以，故与相互独立，故CD正确； 故选：BCD 题型三：频率估计概率 21．运动会上，甲、乙、丙三名运动员最终进入跳高决赛，决赛成绩达到以上（含）的运动员将获得优胜奖.为预测获得优胜奖的情况及冠军得主.收集了甲、乙、丙以往的比赛成绩，并整理得到如下数据（单位：）： 甲：181   180   179   178   173   172   170   168 乙：180   179   175   171   170   169 丙：183   176   165 假设用频率估计概率，且甲、乙、丙的比赛成绩相互独立. (1)估计甲在决赛中获得优胜奖的概率； (2)估计乙、丙两人在决赛中至少有一人获得优胜奖的概率； (3)甲、乙、丙三人中谁夺冠的概率最大？（结论不要求证明） 【答案】(1) (2) (3)丙 【分析】（1）由频率计算公式即可求解； （2）分别计算乙丙获得优胜奖的概率，再计算乙丙都没获得优胜奖的概率，再由对立事件计算公式即可求解； （3）结合甲乙丙高分段的数量（频率）和最大值即可判断. 【详解】（1）由甲：181   180   179   178   173   172   170   168 8组数据中成绩达到以上（含）有4组， 甲在决赛中获得优胜奖的概率为； （2）由乙：180   179   175   171   170   169 6组数据中成绩达到以上（含）有3组， 故乙在决赛中获得优胜奖的概率为； 由丙：183   176   165 3组数据中成绩达到以上（含）有2组， 故丙在决赛中获得优胜奖的概率为； 则乙、丙两人在决赛中都没获得优胜奖的概率为：， 故乙、丙两人在决赛中至少有一人获得优胜奖的概率为； （3）甲的成绩达到以上（含）的数量为2， 概率（频率）为，最大值为181； 乙的成绩达到以上（含）的数量为1， 概率（频率）为，最大值为180； 丙的成绩达到以上（含）的数量为1， 概率（频率）为，最大值为183； 可判断丙获得冠军的概率最大. 22．关于概率与频率，下列说法正确的是（   ） A．频率是随机的，概率是确定的 B．随着试验次数增加，频率会越来越接近概率 C．某事件概率为0，则该事件一定不会发生 D．在大量重复试验中，频率的波动会逐渐减小 【答案】ABD 【分析】根据频率与概率的关系，概率的定义对选项进行分析即可. 【详解】对于A：频率是指在次重复试验中，某事件发生的次数与总试验次数的比值，即.由于每次试验结果不确定，频率随试验结果波动，具有随机性. 概率是事件在理论上发生的可能性大小，是一个确定的常数.故A正确. 对于B：大量重复试验下，事件发生的频率趋于稳定，并趋近于其理论概率.故B正确. 对于C：概率为0的事件不一定不会发生；在离散型概率中，概率为0才意味着不可能发生.故C错误. 对于D：随着试验次数增大，频率的相对误差趋于减小，波动幅度减小，趋于稳定值.故D正确. 故选：ABD 23．在一个不透明的盒子里，装有6个黑球和若干个白球，它们除颜色外没有任何区别，摇匀后从中随机摸出一个球记下颜色，再把它放回盒子中，不断重复该试验，共摸球100次，其中30次摸到黑球，则估计一次取球试验中摸出白球的概率为 ，盒子中大约有白球 个 【答案】 /0.7 14 【分析】根据随机事件的概率计算公式计算即可. 【详解】由题意可知摸球100次，其中30次摸到黑球， 所以其中70次摸到白球，故一次试验中摸到白球的概率为， 设不透明的盒子里，装有6个黑球和个白球， 则摸到白球的概率为，解得. 故答案为：；14. 24．（多选）教练想从甲、乙两个人中选择一人参加省运动会800米比赛，收集了甲、乙两人近8次的比赛成绩，并整理得到如下数据： 甲 乙 若比赛成绩在以下（含）为优秀，用频率估计概率，则下列说法正确的是（ ） A．乙比赛成绩优秀的概率为 B．甲比赛成绩的平均数等于乙比赛成绩的平均数 C．甲比赛成绩的方差小于乙比赛成绩的方差 D．为冲击800米省冠军，教练应该选择乙参加省运动会800米比赛 【答案】AC 【分析】由表格数据，计算乙比赛成绩优秀的概率判断A，应用平均数、方差公式求甲乙的平均数、方差，比较它们的大小即可判断BCD. 【详解】对于A：比赛成绩在以下（含）为优秀，由表中的数据，乙比赛成绩优秀的概率为， 故A正确； 对于B：为了好计算甲乙的平均数和方差，只需要根据秒数计算即可， 甲的平均数， 乙的平均数， 所以甲比赛成绩的平均数小于乙比赛成绩的平均数，故B错误； 对于C：甲的方差 . 乙的方差 ，则，C正确； 对于D：由于甲的比赛成绩的平均值比乙比赛成绩平均值低（用时较少说明跑得快）， 并且甲的方差小，数据稳定，故选派甲去参加比赛比较合适，D错误. 故选：AC. 25．某校在校园科技节期间举办了“智能机器人挑战赛”，为了解高一年级500名学生观看比赛的情况，该校学生会用随机抽样的方式抽取了一个容量为50的样本进行调查，并将数据整理后，列表如下： 观看比赛场数 0 1 2 3 4 5 6 7 观看人数所占百分比 7% 18% 15% m% 10% 14% 15% 5% 从表中可以得出正确的结论为（   ） A．估计观看比赛场数的极差为6 B．估计观看比赛场数的众数为2 C．估计观看比赛不低于4场的学生约为200人 D．估计观看比赛不超过2场的学生概率为 【答案】D 【分析】A选项，利用极差的定义得到答案；B选项，先求出，比较频率得到众数为1；C选项，求出观看比赛不低于4场的学生所占百分比，进而求出学生约为220人；D选项，计算出观看比赛不超过2场的学生频率，进而判断D选项. 【详解】A选项，由表可知，估计观看比赛场数的极差为，A错误； B选项，由频率分布表的性质，得． 由表知，出现频率最高的场数为1，所以众数为1，B错误； C选项，因为观看比赛不低于4场的学生所占百分比为， 所以估计观看比赛不低于4场的学生约为（人），C错误； D选项，估计观看比赛不超过2场的学生概率为，D正确． 故选：D. 26．某同学做立定投篮训练，共3组，每组投篮次数和命中的次数如下表：根据表中的数据信息，用频率估计一次投篮命中的概率，误差较小的可能性的估计是（    ） 第一组 第二组 第三组 合计 投篮次数 100 200 300 600 命中的次数 66 126 183 375 命中的频率 0.66 0.63 0.61 0.625 A．0.61 B．0.63 C．0.625 D．0.66 【答案】C 【分析】根据频率和概率的关系即可判断. 【详解】由题可知，试验次数越多，频率越接近概率，对可能性的估计误差越小，可能性越大， 所以合计列对应的频率最为合适. 故选：C. 27．从某小区抽取100户居民用户进行月用电量调查，发现他们的用电量都在25～325kW·h之间，进行适当分组后（每组为左闭右开的区间），画出如图所示频率分布直方图（同一组中的数据用该组区间的中点值作代表）.    (1)求x的值； (2)若新增加5户居民用户的月用电量，数据分别为74，112，174，221，119（kW·h）； （i）估计105户居民用户月用电量落在中的可能性； （ii）将原来的100户与新增的5户分成两组，估计105户居民用户月用电量的平均值. 【答案】(1) (2)（i）；（ii） kW·h 【分析】（1）借助频率之和为计算即可得； （2）（i）借助频率、频数与总数的关系计算即可得；（ii）先计算出原来的100户居民用户月用电量的平均值，即可得105户居民用户月用电量的平均值. 【详解】（1）由已知和频率之和为1得， 解得； （2）（i）新增加的5户居民用户的月用电量落在的有2户， 则， 即105户居民用户月用电量落在中的可能性为； （ii）设原来的100户居民用户月用电量的平均值为， 则 ， 则， 即可估计105户居民用户月用电量的平均值为 kW·h. 28．对200个电子元件的寿命（单位：h）进行追踪调查，情况如下： 寿命 个数 20 30 80 40 30 (1)估计元件的寿命在（单位：h）内的概率； (2)估计元件的寿命在以上的概率． 【答案】(1) (2) 【分析】（1）先求出200个电子元件的寿命在（单位：h）内的频率，再对元件的寿命在（单位：h）内的概率估计即可； （2）先求出200个电子元件的寿命在以上的频率，再对元件的寿命在以上的概率估计即可. 【详解】（1）因表中200个电子元件的寿命在（单位：h）内的频率为， 故由此估计元件的寿命在（单位：h）内的概率为； （2）因表中200个电子元件的寿命在以上的频率为， 故由此估计元件的寿命在以上的概率为. 29．下列说法错误的是（   ） A．为了解我国中学生的视力情况，应采取抽样调查的方式 B．频率是概率的近似值，概率是频率的稳定值 C．抽签法和随机数法是两种常用的简单随机抽样的方法 D．某种疾病的治愈率为10%，若前9个病人没有被治愈，则第10个病人一定被治愈 【答案】D 【分析】根据抽样调查的概念判断，再根据频率与概率关系，抽样的概念的，再根据概率的定义求解. 【详解】抽样调查适用于调查对象数量庞大，耗时耗力，我国中学生的数量庞大，全面调查不适用，故A正确； 根据频率与概率的关系，频率随试验次数增加趋于稳定，这个稳定值即为概率，故B正确； 抽签法和随机数法是简单随机抽样的两种基础方法，符合定义，故C正确； 独立事件的概率互不影响，治愈率为10%意味每次治疗结果独立，前人未治愈不影响第人的概率，治愈率仍为10%，故D错误. 故选：D. 30．为了解某地区九年级男生的身高情况，随机选取了该地区100名九年级男生进行测量，他们的身高x（cm）统计如下表： 组别     人数 13 43 36 8 根据上表，抽查该地区一名九年级男生，估计他的身高高于170cm的概率是 ． 【答案】0.44/ 【分析】由频率估计概率，得出所求概率. 【详解】因为身高高于170cm的频率为， 抽查该地区一名九年级男生，估计他的身高高于170cm的概率是0.44. 故答案为：0.44 题型四：游戏的公平性 31．小明与小华两人玩游戏，则下列游戏不公平的是（    ） A．抛掷一枚骰子，向上的点数为奇数，小明获胜，向上的点数为偶数，小华获胜 B．同时抛掷两枚硬币，恰有一枚正面向上，小明获胜，两枚都正面向上，小华获胜 C．从一副不含大小王的扑克牌中抽一张，扑克牌是红色，小明获胜，扑克牌是黑色，小华获胜 D．小明、小华两人各写一个数字6或8，如果两人写的数字相同，小明获胜，否则小华获胜 【答案】B 【分析】分别计算各选项中小明、小华获胜的概率，若二人获胜的概率相等，则公平，否则不公平，由此得到选项． 【详解】对于A，抛掷一枚骰子，一共6种情况，向上的点数为奇数的概率为，向上的点数为偶数的概率为，所以游戏公平； 对于B，同时抛掷两枚硬币，一共4种情况：（正，正），（正，反），（反，正），（反，反）， 恰有一枚正面向上的概率为，两枚都正面向上的概率为，所以游戏不公平； 对于C，从一副不含大小王的扑克牌中抽一张，扑克牌是红的概率为，扑克牌是黑色的概率为，所以游戏公平； 对于D，小明､小华两人各写一个数字6或8，共四种情况， 两人写的数字相同的概率为，两人写的数字不同的概率为，所以游戏公平． 故选：B． 32．如果将一枚质地均匀的硬币连续抛掷次，那么第次出现反面朝上的概率是（    ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】根据每次试验出现正反面的概率是相等的即可得到结果. 【详解】因为每次试验出现正反面的概率是相等的，均为. 故选：D. 33．某学校校庆，给每班发了5张庆典门票．班主任王老师准备采用抽签方式来决定哪5位同学参加，为此制作了50张卡片，其中5张写有“庆典”字样．50位同学轮流抽签，抽中写有“庆典”字样的同学参加学校庆典．小明提出：“抽签有先后，第一名同学抽中的概率是．如果第一名同学抽到，第二名同学抽到的概率只有，如果第一名同学未抽中，第二名同学抽中的概率为．抽中的机会未必相等．”你认为王老师的抽签方法公平吗？小明的话又如何解释？ 【答案】公平，理由见解析. 【分析】利用随机抽样的定义及性质分析可得抽签方法公平即可求解. 【详解】王老师的抽签方法公平，每位同学抽中的概率均为，即. 理由如下： 小明的话看似也有道理，第二名同学在第一名同学抽中和未抽中的情况下抽到门票的概率有所不同，但抽中门票的总概率是相同的，只考虑第个人摸卡片的情况，50张卡片中的每张卡片有可能被第50个人摸到，且可能性相等，其中有5张情形写有“庆典”，因此第50个人摸到写有“庆典”的卡片的概率为，即，与摸卡片的人的摸卡片顺序无关. 34．下列说法中错误的是（    ） A．抛掷硬币出现正面向上的概率为0.5，那么连续两次抛掷一枚质地均匀的硬币，一定是一次正面朝上，一次反面朝上 B．如果某种彩票的中奖概率为，那么买10张这种彩票一定能中奖 C．在乒乓球、排球等比赛中，裁判通过上抛均匀塑料圆板并让运动员猜着地时是正面还是反面来决定哪一方先发球，这样做公平 D．一个骰子掷一次得到点数2的概率是，这说明一个骰子掷6次会出现一次点数2 【答案】ABD 【分析】根据事件发生的随机性，即可判断正误. 【详解】概率反映的是随机性的规律，但每次试验出现的结果具有不确定性，因此A、B、D错误；抛掷均匀塑料圆板出现正面与反面的概率相等，是公平的，因此C正确. 故选：ABD. 35．下列说法正确的是（    ） A．一个人打靶，打了10发子弹，有6发子弹中靶，因此这个人中靶的概率为0.6 B．某地发行福利彩票，其回报率为47%，有个人花了100元钱买彩票，一定会有47元回报 C．5张奖券中有一张有奖，甲先抽，乙后抽，则乙与甲中奖的可能性相同 D．大量试验后，可以用频率近似估计概率. 【答案】CD 【分析】由概率统计的基本概念逐一核对四个选项得答案． 【详解】解：、某人打靶，射击10次，击中6次，那么此人中靶的频率为0.6，故错误； 、买这种彩票是一个随机事件，中奖或者不中奖都有可能，但事先无法预料，故错误； 、根据古典概型的概率公式可知C正确； 、大量试验后，可以用频率近似估计概率，故正确． 故选：CD． 36．一天，甲拿出一个装有三张卡片的盒子（一张卡片的两面都是绿色，一张卡片的两面都是蓝色，还有一张卡片一面是绿色，另一面是蓝色），跟乙说玩一个游戏，规则是：甲将盒子里的卡片顺序打乱后，由乙随机抽出一张卡片放在桌子上，然后卡片朝下的面的颜色决定胜负，如果朝下的面的颜色与朝上的面的颜色一致，则甲赢，否则甲输.乙对游戏的公平性提出了质疑，但是甲说：“当然公平！你看，如果朝上的面的颜色为绿色，则这张卡片不可能两面都是蓝色，因此朝下的面要么是绿色，要么是蓝色，因此，你赢的概率为，我赢的概率也是，怎么不公平？”分析这个游戏是否公平. 【答案】见解析. 【分析】把卡片六个面的颜色记为，，，，，，其中，G表示绿色，B表示蓝色；和是两面颜色不一样的那张卡片的颜色，用树形图得到样本空间，计算出概率即可判断. 【详解】解：把卡片六个面的颜色记为，，，，，， 其中，G表示绿色，B表示蓝色；和是两面颜色不一样的那张卡片的颜色. 游戏所有的结果可以用如图表示. 不难看出，此时，样本空间中共有6个样本点，朝上的面与朝下的面颜色不一致的情况只有2种，因此乙赢的概率为. 因此，这个游戏不公平. 37．有以下说法: ①一年按365天计算,两名学生的生日相同的概率是;②买彩票中奖的概率为0.001,那么买1 000张彩票就一定能中奖;③乒乓球赛前,决定谁先发球,抽签方法是从1~10共10个数字中各抽取1个,再比较大小,这种抽签方法是公平的;④昨天没有下雨,则说明“昨天气象局的天气预报降水概率是90%”是错误的. 根据我们所学的概率知识,其中说法正确的序号是 . 【答案】①③ 【详解】根据“概率的意义”求解,买彩票中奖的概率0.001,并不意味着买1 000张彩票一定能中奖,只有当买彩票的数量非常大时,我们可以看成大量买彩票的重复试验,中奖的次数为; 昨天气象局的天气预报降水概率是90%,是指可能性非常大,并不一定会下雨. 说法②④是错误的，而利用概率知识可知①③是正确的. 故答案为①③． 38．张明与张华两人做游戏,下列游戏中不公平的是(　　) ①抛掷一枚骰子,向上的点数为奇数则张明获胜,向上的点数为偶数则张华获胜; ②同时抛掷两枚硬币,恰有一枚正面向上则张明获胜,两枚都正面向上则张华获胜; ③从一副不含大小王的扑克牌中抽一张,扑克牌是红色的则张明获胜,扑克牌是黑色的则张华获胜; ④张明、张华两人各写一个数字6或8,如果两人写的数字相同张明获胜,否则张华获胜. A．①② B．② C．②③④ D．①②③④ 【答案】B 【详解】①抛掷一枚骰子,向上的点数为奇数和偶数是等可能的，均为，所以公平； ②中,恰有一枚正面向上包括(正,反),(反,正)两种情况,而两枚都正面向上仅为(正,正),因此②中游戏不公平. ③从一副不含大小王的扑克牌中抽一张,扑克牌是红色和黑色是等可能的，均为，所以公平； ④张明、张华两人各写一个数字6或8,一共四种情况(6,6),(6,8),(8,6),(8,8)，两人写的数字相同和不同是等可能的，均为，所以公平；. 故选B. 39．小明和小颖按如下规则做游戏：桌面上放有5支铅笔，每次取1支或2支，最后取完铅笔的人获胜，你认为这个游戏规则 .(填“公平”或“不公平”) 【答案】不公平 【分析】由游戏规则可知若谁第一次取两支铅笔就一定能获胜即可作出判断. 【详解】当第一个人第一次取2支时，还剩余3支，无论第二个人取1支还是2支， 第一个人在第二次取铅笔时，都可取完，即第一个人一定能获胜.所以不公平. 故答案为:不公平 40．下列说法正确的是（  ） A．甲、乙两人做游戏；甲、乙两人各写一个数字，若是同奇数或同偶数则甲胜，否则乙胜，这个游戏公平 B．做次随机试验，事件发生的频率就是事件发生的概率 C．某地发行福利彩票，回报率为47%，某人花了100元买该福利彩票，一定会有47元的回报 D．试验：某人射击中靶或不中靶，这个试验是古典概型 【答案】A 【详解】对于A，两人各写一个数字，则同奇数或同偶数的概率为，可知甲胜的概率为，反之乙胜的概率为，故游戏公平，故正确； 对于B，概率为频率的趋近值；故错误 对于C，中奖几率为随机事件发生的概率，具有随机性，所以不一定会有47元的回报；故错误 对于D，古典概型的特点是：（1）实验中所有可能出现的基本事件只有有限个；（2）每个基本事件出现的可能性相等.中靶与不中靶不是等可能的，故错误. 故选：A 2 / 37 学科网（北京）股份有限公司 学科网（北京）股份有限公司 $