江苏省启东中学等九校2026届高三下学期3月联考数学试题

江苏联考 一、选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分。在每小题给出的四个选项中，只有一项 是符合题目要求的。 1．若，则 A． B. C． D． 【答案】C 【解析】 因为，所以．故选C． 2．设集合，，若含有4个元素，则 A． B． C． D． 【答案】B 【解析】由题意，且，当时，含有3个元素，不符合； 当时，含有5个元素，不符合．故选B． 3．的展开式中常数项为 A. B. C. D. 【答案】A 【解析】 的展开式中常数项为．故选C． 4．已知两条直线m，n和平面，则下列命题为真命题的是 A．若，，则 B．若，，则 C．若，，则 D．若，，则 【答案】C 【解析】对于A，或，故A错误； 对于B，m，n的关系不确定，故B错误； 对于D，m可绕n任意旋转，故n与关系不确定，故D错误．故选C． 5．科学研究中经常涉及对粒子状态的分析. 某假想粒子有状态1，状态2，状态3，……，每种状态下的粒子经过1秒有两种可能：状态保持不变或变为更高一级状态，已知状态1的粒子有概率变为状态，状态的粒子有概率变为状态，以此类推. 现有若干状态1的该粒子，则经过3秒处于状态1和状态2的粒子数目约占 A. 39% B. 51% C. 64% D. 73% 【答案】C 【解析】由题意，经过3秒处于状态1和状态2的粒子数目约占 ．故选C． 6．若直线上存在点A，圆上存在点B，使得，则 的最大值为 A. 0 B. 2 C. 3 D. 4 【答案】D 【解析】不妨设，因为，所以，故在直线上运动，故直线与圆有交点， 所以，解得，故的最大值为4．故选D． 7．记△ABC的内角A，B，C的对边分别为a，b，c，，，，则△ABC的面积为 A. B. C. D. 【答案】B 【解析】因为， 所以，所以， 故△ABC的面积为．故选C． 8．已知正数，满足，则 A． B． C． D． 【答案】A 【解析】解法一 因为，为正数，所以， 故由得， 令，易见单调递增，则，所以．故选A． 解法二 因为，为正数，所以， 令，易见单调递增， ，， 所以在上有零点．故选A． 二、选择题：本题共3小题，每小题6分，共18分。在每小题给出的选项中，有多项符合 题目要求。全部选对的得6分，部分选对的得部分分，有选错的得0分。 9．下列说法正确的是 A．若随机变量，则 B．若事件A，B相互独立，则 C．若样本数据的方差为2 ，则数据的方差为8 D．用相关指数刻画回归效果，越接近1，说明回归模型的拟合效果越好 【答案】ACD 【解析】对于A，由正态分布的对称性，A正确； 对于B，由题意， 又，故B错误； 对于C，若样本数据的方差为，则数据的方差为； 对于D，由相关指数(决定系数)的概念，故D正确．故选ACD． 10．已知函数，，则 A．曲线与曲线存在相同的对称中心 B．曲线与曲线存在相同的对称轴 C．曲线向左平移个单位得到曲线 D．曲线与曲线关于y轴对称 【答案】AC 【解析】因为， 对于，令，得对称中心，同理，对称轴为． 对于，令，得对称中心，同理，对称轴为． 故有相同的零点，所以A正确，B错误； 对于C，向左平移个单位得到 ，故C正确； 对于D，与显然不关于y轴对称(可由特殊值判断)．故选AC． 11. 已知四棱锥P-ABCD的体积为12，四边形ABCD是平行四边形，Q为PA的中点，经过直线CQ的平面与侧棱PB，PD分别交于点M，N，设，，则 A. 时，平面CMN B. 时， C. 四面体PQBC的体积为3 D. 四棱锥P-MCNQ的体积的最小值为4 【答案】BCD 【解析】因为，所以， 因为，，，所以， 因为四点共面，故，所以，即． 对于A，当时，得，若平面CMN，由平面， 平面平面，所以，故为的中点 显然不满足，故A错误； 对于B，代入到中，得； 对于C，因为，故C正确； 对于D，因为 ， 因为(当且仅当时取等号)， 故D正确．故选BCD． 三、填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分。 12．已知向量a，ab，且ab，则 ． 【答案】 【解析】因为ab，a，所以baba ， 因为ab，所以ab，故．故填． 13．已知抛物线（）的焦点为，直线与C有唯一的公共点A，则 ． 【答案】 【解析】联立，得， 所以，故， 此时，所以，所以．故填． 14．已知函数，对任意，都有≤m，则m的取值范围为 ． 【答案】 【解析】解法一 由题意，因为，所以，故． 又， 故在和上单调递增，在上单调递减， 又，而，． 若时，此时，故不恒成立，不满足题意； 若，此时，故恒成立，符合； 若，此时或，必满足恒成立，符合； 综上所述：实数的取值范围是．故填． 解法二 由题意，因为，所以，故． 又， 故在和上单调递增，在上单调递减， 又，而，． 此时，故． 若，此时，故恒成立，符合； 若，此时或，必满足恒成立，符合； 综上所述：实数的取值范围是．故填． 四、解答题：本题共5小题，共77分。解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤。 15．（13分） 如图，已知是圆锥PO的轴截面，，． (1) 求圆锥PO的外接球的表面积； (2) 若为弧的中点，求二面角的正切值． 【解】（1）方法一 圆锥外接球半径即为O C P A B 的外接圆半径， 记为． 在中，由余弦定理得 ， 所以， ……2分 故， 所以外接球的表面积为．……5分 方法二 设， 因为，所以，C P A B O O1 因为，且， ……2分 所以，解得， 故， 所以外接球的表面积为． ……5分 （2）方法一 因为是弧的中点， 所以． 因为平面，且平面， 所以，， 所以两两垂直． ……7分 建立如图所示的空间直角坐标系， 则，，， 所以，， 设平面的法向量为， 则C P A B O x y z 取， ……9分 因为平面的一个法向量为， 所以． ……11分 设二面角为， 由图可知为锐角， 所以，， 所以，即二面角的正切值为． ……13分 方法二 在平面内过作，垂足为，连接， 因为，，， 且平面， 所以平面， ……7分 因为平面， 所以．C P A B O H 因为，， 且平面， 所以平面， ……9分 所以， 所以为二面角的平面角． ……11分 因为，， 所以，即二面角的正切值为． ……13分 16．（15分） 已知数列各项均不为零，，，． (1) 当时，求的前50项和； (2) 若，求正整数t的最小值. 【解】 (1)当时，， 故， ……2分 所以， 即，故， 所以数列是周期为6的数列， ……4分 又， ……5分 故的前50项和为： ． ……7分 (2) 方法一 由题意，故， ……9分 因为，，， 所以，即， ……11分 故正整数满足． 当时，， 所以， 从而， ……13分 即，得，所以， 故最小正整数t的值为2． ……15分 方法二 由（1）知，时，，故不合； ……9分 当时，因为，在两边同除以得， ，即， 所以是等差数列， ……11分 因为，，所以的公差为2， 所以，即， ……13分 所以， 故最小正整数t的值为2． ……15分 17．（15分） 某次考试的多项选择题，每题4个选项中正确选项有2个或3个，得分规则如下：若正确选项有2个，只选1个且为正确选项得3分，选2个且都为正确选项得6分，否则得0分；若正确选项有3个，只选1个且为正确选项得2分，选2个且都为正确选项得4分，选3个且都为正确选项得6分，否则得0分．学生甲对其中的一道多项选择题完全不会，该题恰有2个正确选项的概率为，记为甲随机选择1个选项的得分，为甲随机选择2个选项的得分． (1) 若，求； (2) 求的概率分布列和数学期望； (3) 证明：当且仅当时，． 【解】（1）记事件A为“该题恰有2个正确选项”，事件B为“该题恰有3个正确选项”， 事件C为“甲随机选择1个选项为正确选项”，则， ，……1分 所以 ……3分 . ……5分 （2）随机变量的所有可能取值为， ， ， ， ……8分 所以随机变量X的概率分布列如下： 0 2 3 所以． ……10分 （3）证明：随机变量的所有可能取值为， ， ，， 所以， ……13分 所以当且仅当，当且仅当．得证． ……15分 18．（17分） 已知双曲线（）的离心率为，是C上一点. 直线l的斜率为，且与C交于A，B两点． (1) 求C的方程； (2) 若，求l的方程； (3) 证明：△PAB的外接圆的圆心Q在定直线上． 【解】 (1)记，则， ……1分 设，，（）则，C的方程为：， 因为点在C上，所以， ……2分 即，， 所以双曲线C的方程为． ……4分 (2)不妨设直线的方程为，，， 所以，故， 所以，即，或， ，， ……6分 . ……8分 所以，解得（舍），或， 故所求直线的方程为． ……10分 (3)方法一 由题意的中垂线为：， ， 同理的中垂线， ……12分 联立，消得， 得， 即， 因为，所以 ， ……14分 又设圆心为，则， 故， 所以， 所以， 故，又，所以，从而， 故圆心在直线上． ……17分 方法二 设圆心为，由题意的中垂线为： , 故， ……12分 即， 所以， 整理得， 同理， 即是方程的两根， 从而， ……14分 所以，故， 若，则此时直线为，过点，故舍； 若，则，从而，从而， 故圆心在直线上． ……17分 方法三 不妨设圆的方程为：，则， 又， 所以， 即该方程的两个根为，又为方程的两根， 故， ……12分 由点在圆上，故， 故，即， ……14分 所以，故， 若，则此时直线为，过点，故舍； 若，则，从而，从而， 故圆心在直线上． ……17分 19．（17分） 已知函数. (1) 对任意，是的必要条件，求a的最小值； (2) 对任意，函数存在两个零点，. (ⅰ) 求a的取值范围； (ⅱ) 对于(ⅰ) 中给定的a，证明：当取得最小值时，. 【解】（1）对任意，是的必要条件， 即由可以推出，所以， 结合的解析式可知，在上是增函数， ……2分 因为，对，所以，即， 设，，则， 所以在上是减函数， 所以，即a的最小值是1. ……5分 （2）由得，设，则， （ⅰ）若，取，， 所以时，，递减；时，，递增. ，故至多一个零点， 即至多一个零点，不合； ……7分 若，因为，所以时，，递减； 时，，递增. ……8分 所以，设， 则，所以时，，递增； 时，，递减. 所以，即， ……9分 因为，所以， 故，且， 因为， 所以， 所以时，存在两个零点. 故a的取值范围是. ……10分 （ⅱ）因为，由（ⅰ）知的两个零点异号，不妨设， 设，因为， 所以， 因为，所以， ……12分 由（1）知，在上递增， 所以m存在最小值当且仅当y存在最小值， 即函数在上存在最小值， ……13分 因为，设，， 则，所以在上递增， 因为，， 所以存在，， 当时，，递减； 时，，递增. 所以在时取得最小值， ……15分 即时，取得最小值，m取得最小值. 此时， 所以取得最小值时. ……17分 数学试卷 第 1 页（共18页） 学科网（北京）股份有限公司 $ 江苏联考 一、选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分。在每小题给出的四个选项中，只有一项 是符合题目要求的。 1．若，则 A． B. C． D． 2．设集合，，若含有4个元素，则 A． B． C． D． 3．的展开式中常数项为 A. B. C. D. 4．已知两条直线m，n和平面，则下列命题为真命题的是 A．若，，则 B．若，，则 C．若，，则 D．若，，则 5．科学研究中经常涉及对粒子状态的分析. 某假想粒子有状态1，状态2，状态3，……，每种状态下的粒子经过1秒有两种可能：状态保持不变或变为更高一级状态，已知状态1的粒子有概率变为状态，状态的粒子有概率变为状态，以此类推. 现有若干状态1的该粒子，则经过3秒处于状态1和状态2的粒子数目约占 A. 39% B. 51% C. 64% D. 73% 6．若直线上存在点A，圆上存在点B，使得，则 的最大值为 A. 0 B. 2 C. 3 D. 4 7．记△ABC的内角A，B，C的对边分别为a，b，c，，，，则△ABC的面积为 A. B. C. D. 8．已知正数，满足，则 A． B． C． D． 二、选择题：本题共3小题，每小题6分，共18分。在每小题给出的选项中，有多项符合 题目要求。全部选对的得6分，部分选对的得部分分，有选错的得0分。 9．下列说法正确的是 A．若随机变量，则 B．若事件A，B相互独立，则 C．若样本数据的方差为2 ，则数据的方差为8 D．用相关指数刻画回归效果，越接近1，说明回归模型的拟合效果越好 10．已知函数，，则 A．曲线与曲线存在相同的对称中心 B．曲线与曲线存在相同的对称轴 C．曲线向左平移个单位得到曲线 D．曲线与曲线关于y轴对称 11. 已知四棱锥P-ABCD的体积为12，四边形ABCD是平行四边形，Q为PA的中点，经过直线CQ的平面与侧棱PB，PD分别交于点M，N，设，，则 A. 时，平面CMN B. 时， C. 四面体PQBC的体积为3 D. 四棱锥P-MCNQ的体积的最小值为4 三、填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分。 12．已知向量a，ab，且ab，则 ． 13．已知抛物线（）的焦点为，直线与C有唯一的公共点A，则 ． 14．已知函数，对任意，都有≤m，则m的取值范围为 ． 四、解答题：本题共5小题，共77分。解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤。 15．（13分） 如图，已知是圆锥PO的轴截面，，． (1) 求圆锥PO的外接球的表面积； (2) 若为弧的中点，求二面角的正切值． O C P A B 16．（15分） 已知数列各项均不为零，，，． (1) 当时，求的前50项和； (2) 若，求正整数t的最小值. 17．（15分） 某次考试的多项选择题，每题4个选项中正确选项有2个或3个，得分规则如下：若正确选项有2个，只选1个且为正确选项得3分，选2个且都为正确选项得6分，否则得0分；若正确选项有3个，只选1个且为正确选项得2分，选2个且都为正确选项得4分，选3个且都为正确选项得6分，否则得0分．学生甲对其中的一道多项选择题完全不会，该题恰有2个正确选项的概率为，记为甲随机选择1个选项的得分，为甲随机选择2个选项的得分． (1) 若，求； (2) 求的概率分布列和数学期望； (3) 证明：当且仅当时，． 18．（17分） 已知双曲线（）的离心率为，是C上一点. 直线l的斜率为，且与C交于A，B两点． (1) 求C的方程； (2) 若，求l的方程； (3) 证明：△PAB的外接圆的圆心Q在定直线上． 19．（17分） 已知函数. (1) 对任意，是的必要条件，求a的最小值； (2) 对任意，函数存在两个零点，. (ⅰ) 求a的取值范围； (ⅱ) 对于(ⅰ) 中给定的a，证明：当取得最小值时，. 数学试卷 第 1 页（共5页） 学科网（北京）股份有限公司 $