2026年中考一轮突破复习讲义 专题02整式与因式分解(全国通用版)

专题02整式与因式分解中考一轮突破复习讲义 【6大模块+25个题型】 【模块一 代数式及其应用】.......................................4 【题型01 代数式】...............................................4 【题型02 代数式的概念及其意义】.................................5 【题型03 代数式求值】...........................................5 【模块二 整式】.................................................6 【题型04 整式的概念与识别】.....................................6 【题型05 用整式表示变化规律】...................................6 【模块三 整式的加减 】..........................................7 【题型06 同类项的概念与应用】...................................7 【题型07 合并同类项】...........................................8 【题型08 去(添)括号】...........................................8 【题型09 整式的加减及运用】.....................................9 【模块四 整式的乘除】...........................................9 【题型10 幂的运算及逆运算】.....................................9 【题型11 单项式的乘除运算】....................................10 【题型12 多项式与单项式的乘除】................................10 【题型13 多项式乘多项式运算】..................................10 【题型14 整式乘除混合运算】....................................11 【题型15 整式乘除混合运算】....................................11 【题型16 新定义与创新运算】....................................12 【模块五 乘法公式】............................................13 【题型17 公式的识别与基本运算】................................13 【题型18 公式的几何意义与应用】................................13 【题型19 公式变形与求值】......................................14 【题型20 公式与整式的混合运算】................................15 【模块六 因式分解】............................................16 【题型21 因式分解的概念辨析】..................................16 【题型22 基础因式分解】........................................16 【题型23 综合因式分解】........................................16 【题型24 因式分解的简便运算】..................................16 【题型25 因式分解的综合应用】..................................16 ● 分值占比：整式与因式分解是中考基础必考核心，总分值约 5–12 分，覆盖选择、填空、解答（化简求值第 1 题）三种题型，属于必须满分板块。 ● 常考考点：聚焦整式相关概念（单项式、多项式、同类项）、整式加减乘除运算、乘法公式（平方差、完全平方）、因式分解（提公因式法、公式法）、代数式求值、规律探究与简单应用六大方向。 ● 命题趋势：基础题侧重概念辨析与直接运算，中档题侧重公式法则规范运用与整体代入求值，难题多以新定义、规律探究、几何情境为主，且结合图形规律、实际情境的题型占比逐年提升，因式分解 “分解彻底” 始终是核心考查点。 ★知识梳理★ 知识点01:整式的相关概念 1. 单项式 定义：由数或字母的积组成的代数式，单独的一个数或一个字母也是单项式。 系数：单项式中的数字因数（包括符号）。 次数：单项式中所有字母的指数和（只看字母，数字不算次数）。 2. 多项式 定义：几个单项式的和叫做多项式。 项：多项式中的每个单项式（包括符号）。 次数：多项式中次数最高的项的次数。 常数项：不含字母的项。 3. 整式 定义：单项式和多项式统称为整式（分母不含字母，根号不含字母）。 辨析：整式 ≠ 分式（分母含字母）≠ 根式（根号内含字母）。 4. 同类项 定义：所含字母相同，并且相同字母的指数也相同的项。 判断要点：两 “同”（字母同、指数同），与系数、字母顺序无关。 知识点02:整式的运算 1. 整式的加减 核心步骤：去括号 → 合并同类项 去括号法则： 括号前是 “+”：去括号后，括号内各项符号不变。 括号前是 “−”：去括号后，括号内各项符号都改变。 合并同类项法则：同类项的系数相加，字母和字母的指数不变。 2. 幂的运算（核心基础） 法则 公式 注意事项 同底数幂相乘 aman=am+n 底数不变，指数相加 同底数幂相除 am÷an=am−n（a0） 底数不变，指数相减 幂的乘方 (am)n=amn 底数不变，指数相乘 积的乘方 (ab)n=anbn 每个因式分别乘方 零指数幂 a0=1（a0） 底数不能为 0 负整数指数幂 a−p=（a0,p 为正整数） 结果为正指数幂的倒数 3. 整式的乘除 单项式 × 单项式：系数相乘，同底数幂相乘，单独字母照抄。 单项式 × 多项式：用单项式去乘多项式的每一项，再把积相加（分配律）。 多项式 × 多项式：用一个多项式的每一项去乘另一个多项式的每一项，再把积相加。 单项式 ÷ 单项式：系数相除，同底数幂相除，单独字母照抄。 多项式 ÷ 单项式：用多项式的每一项分别除以单项式，再把商相加。 4. 乘法公式（高频考点） 特征：两项和 × 两项差 = 平方差。 特征：首平方，尾平方，积的 2 倍在中央，符号看前方。 变形应用： a2+b2=(a+b)2−2ab (a−b)2=(a+b)2−4ab 5. 整式的混合运算 运算顺序：先乘方 → 再乘除 → 后加减；有括号先算括号内（先小括号，再中括号）。 化简求值：先化简整式，再代入字母数值计算（整体代入法是高频考法）。 知识点03:因式分解 1. 定义 把一个多项式化成几个整式的积的形式，叫做因式分解（也叫分解因式）。 关键辨析：因式分解 ≠ 整式乘法（二者是互逆变形）。 2. 基本方法 （1）提公因式法（第一步必须先考虑） 公因式：多项式各项都含有的公共因式（系数取最大公约数，字母取最低次幂）。 步骤：找公因式 → 提公因式 → 剩余项放括号内。 （2）公式法 平方差公式：a2−b2=(a+b)(a−b) 特征：两项，符号相反，都是平方项。 完全平方公式：a2±2ab+b2=(a±b)2特征：三项，首末平方项同号，中间是积的 2 倍。 （3）综合步骤（核心口诀） 一提二套三检查： 提：先提公因式（包括负号）。 套：再用公式法分解。 查：检查每个因式是否还能继续分解（分解要彻底）。 3. 因式分解的要求 (1)结果必须是整式的积的形式。 (2)每个因式都不能再分解（分解彻底）。 (3)因式中多项式首项系数一般为正。 知识点04:高频考点与解题技巧 考点 解题技巧 同类项判断 先看字母是否相同，再看相同字母的指数是否相同 整式化简求值 先化简（去括号、合并同类项），再代入；遇整体条件用整体代入法 幂的运算 先统一底数，再套用公式；注意 a0=1(a0) 和负指数幂的转换 乘法公式应用 识别公式特征（平方差 / 完全平方），直接套用；变形公式用于求值 因式分解 严格按 “一提二套三检查” 步骤，确保分解彻底 【模块一 代数式及其应用】 【题型1.代数式】 【典例】如图，在中，，，，，则________． 【跟踪专练1】一种商品每件盈利为a元，售出60件，共盈利______元（用含a的式子表示） 【跟踪专练2】一种商品先降价， 在此基础上，又返还售价的现金，这种商品此时相当于降价了_____ 【跟踪专练3】若有一组按一定规律排列的单项式：，则第n个单项式是（   ） A． B． C． D． 【题型2.代数式的概念及其意义】 【典例】在式子5，，a，，，中，属于代数式的有（      ）个 A．3 B．4 C．5 D．6 【跟踪专练1】式子可以化为（    ） A． B． C． D． 【跟踪专练2】随着新疆旅游业的持续升温，喀什景区凭借其独特的人文风情与壮丽景色，成为了国内外游客心驰神往的热门打卡点．国庆假期第一天网络预约游客人，第二天网络预约游客人数比第一天的2倍多100人，则代数式“”的实际意义是（   ） A．第一天比第二天多预约的游客人数 B．第二天比第一天多预约的游客人数 C．两天网络预约游客的总人数 D．第二天网络预约的游客人数 【跟踪专练3】关于字母a所表示的数，下列说法正确的是（    ） A．a一定是正数 B．a的相反数是 C．a的倒数是 D．a的绝对值等于a 【题型3.代数式求值】 【典例】若，则的值为_______． 【跟踪专练1】若，则的值为（   ） A． B． C．3 D． 【跟踪专练2】根据如图所示的程序计算，若输入的值是1时，则输出的值是5．若输入的值是2，则输出值为______．    【跟踪专练3】若的整数部分为，小数部分为，则代数式的值为（   ） A． B．1 C． D． 【模块二 整式】 【题型4.整式的概念与识别】 【典例】观察下面的一列单项式：、、、、、…，根据其中的规律得出的第9个单项式是（    ） A． B． C． D． 【跟踪专练1】化简代数式（m，n是正整数）可得一个关于x，y的三次二项式，则的值为_______． 【跟踪专练2】已知整式M：，其中n，，，为自然数，为正整数，且满足，其中表示中最大的数．下列说法： ①满足条件的整式M 中只有4个单项式； ②在所有满足条件的整式M中，整式M 的系数和的最大值为6； ③当时，满足条件的整式M 共有19个． 其中正确的个数是（   ） A．3 B．2 C．1 D．0 【跟踪专练3】若关于的二次三项式可分解为，则_________． 【题型5.用整式表示变化规律】 【典例】中国南宋数学家杨辉1261年所著的《详解九章算法》出现了如下图的内容，后人称其为“杨辉三角”．请观察图中规律，则图中横线处应填写的内容是__________． 【跟踪专练1】如图所示，下列图形都是由同样大小的O按一定的规律组成的，其中第①个图形中有3个○，第②个图形中有5个○，第③个图形中有7个○，……．按此规律，第⑧个图形中○的个数是（    ） A．15 B．17 C．19 D．21 【跟踪专练2】观察下列各式：，，，，请用含的式子写出你猜想的规律：______． 【跟踪专练3】汉诺塔问题是指有三根杆子和套在杆子上的若干大小不等的碟片，按下列规则，把碟片从一根杆子上全部移到另一根杆子上； （1）每次只能移动1个碟片． （2）较大的碟片不能放在较小的碟片上面． 如图所示，将1号杆子上所有碟片移到2号杆子上，3号杆可以作为过渡杆使用，称将碟片从一根杆子移动到另一根杆子为移动一次，记将1号杆子上的个碟片移动到2号杆子上最少需要次，则（    ） A．31次 B．33次 C．62次 D．63次 【模块三 整式的加减】 【题型6.同类项的概念与应用】 【典例】若单项式与的和仍为单项式，则______． 【跟踪专练1】下列单项式中，与是同类项的是（    ） A． B． C． D． 【跟踪专练2】已知和是同类项，那么______． 【跟踪专练3】下列说法中，正确的个数为（    ） ①单项式的系数是；②0是最小的有理数；③不是整式；④的次数是4；⑤与是同类项；⑥是单项式；⑦连接两点的线段叫两点间的距离；⑧若点C是线段的中点，则． A．2个 B．3个 C．4个 D．5个 【题型7.合并同类项】 【典例】化简：_______． 【跟踪专练1】下列运算正确的是（    ） A． B． C． D． 【跟踪专练2】定义一种新运算：，则_____． 【跟踪专练3】对多项式添加一次绝对值运算（只添加一个绝对值，不可添加单项式的绝对值）后只含加减运算，然后化简，结果按降幂排列，称此为一次“绝对操作”．例如：，称对多项式一次“绝对操作”；选择这次“绝对操作”的其中一个结果，例如对多项式进行如上操作，称此为二次“绝对操作” 下列说法正确的个数是（    ） ①经过两次“绝对操作”后，式子化简后的结果可能为； ②进行一次“绝对操作”后的式子化简结果可能有5种； ③经过若干次“绝对操作”，一定存在式子化简后的结果与原式互为相反数． A．0 B．1 C．2 D．3 【题型8.去(添)括号】 【典例】将代数式去括号，得_________________________． 【跟踪专练1】如果代数式的值为3，那么代数式的值等于（   ） A．2 B． C．8 D． 【跟踪专练2】不一定相等的一组是（    ） A．与 B．与 C．与 D．与 【跟踪专练3】已知，则______． 【题型9.整式的加减及运用】 【典例】已知a，b，c是三角形的三边，化简______． 【跟踪专练1】若x2－3y－5＝0，则6y－2x2－6的值为(　　) A．4 B．－4 C．16 D．－16 【跟踪专练2】已知为实数，等式对于任意实数恒成立，则的值为_________． 【跟踪专练3】在两个形状、大小完全相同的大长方形内，分别互不重叠地放入四个如图③的小长方形后得图①，图②，已知大长方形的长为，两个大长方形未被覆盖部分分别用阴影表示，则图①阴影部分周长与图②阴影部分周长的差是（   ） A． B． C． D． 【模块四 整式的乘除】 【题型10.幂的运算与逆运算】 【典例】下列运算正确的是（   ） A． B． C． D． 【跟踪专练1】若，则_____________． 【跟踪专练2】若x，y均为正数，，则与之间的数量关系为__________． 【跟踪专练3】定义：如果（，），那么x叫做以a为底N的对数，记作．例如：因为，所以；因为，所以．则下列说法中：①；②若，则；③；④（，）．正确的个数为（   ） A．1 B．2 C．3 D．4 【题型11.单项式的乘除运算】 【典例】已知单项式满足，则____________． 【跟踪专练1】中国的陆地面积约为，2023年底我国人口数量约为14亿，人均陆地面积约是（   ） A． B． C． D． 【跟踪专练2】计算： =_________________. 【跟踪专练3】下列运算正确的是（    ） A． B． C． D． 【题型12.多项式与单项式的乘除】 【典例】若，则的值为___________． 【跟踪专练1】计算：（    ） A． B． C． D． 【跟踪专练2】若，则_______________． 【跟踪专练3】已知，则的值是___． 【题型13.多项式乘多项式运算】 【典例】若多项式因式分解的结果为，则__________． 【跟踪专练1】若与的乘积中不含的一次项，则的值为（   ） A． B．3 C．0 D．1 【跟踪专练2】观察下列各式： ； ； ； 根据规律计算：的值_________． 【跟踪专练3】已知：，（其中为a整数，且）；有下列结论，其中正确的结论个数有（    ） ①若M·N中不含项，则；②若为整式，则；③若a是的一个根，则． A．0个 B．1个 C．2个 D．3个 【题型14.整式乘除混合运算】 【典例】已知，则式子的值是_________． 【跟踪专练1】对于多项式：，用任意两个多项式的积，再与剩余两个多项式的积作差，并算出结果，称之为“积差操作”．例如：，…下列说法：①一定存在一种“积差操作”使得操作后的结果，无论取何值，都为3的倍数；②不存在任何“积差操作”，使其结果为0；③所有的“积差操作”共有5种不同的结果．其中正确的个数是（    ） A．0 B．1 C．2 D．3 【跟踪专练2】公园里有一个长方形花坛，原来长为 ，宽为x，现在要把花坛四周均向外扩展，扩展后的长方形花坛的长，宽为，则扩展后的长方形花坛的面积比扩展前的长方形花坛的面积增加______________． 【跟踪专练3】已知，，，下列结论正确的是（　　） A．， B．， C．， D．， 【题型15.整式乘除的实际应用】 【典例】如图，矩形内有两个相邻的正方形，面积分别是和4，那么阴影部分的面积_________．（用含x的代数式表示） 【跟踪专练1】图2是图1中长方体的三视图，用S表示面积，则（　　）   . A． B． C． D． 【跟踪专练2】某中学计划在一块长，宽的矩形空地上修建三块全等的矩形草坪，如图所示，余下空地修建成同样宽为a的小路． （1）若，则草坪总面积为________平方米． （2）若草坪总面积恰好等于小路总面积，那么，此时的路宽a是________米． 【跟踪专练3】某工厂计划m天生产2160个零件，若安排15名工人每人每天加工a个零件（a为整数）恰好完成．实际开工x天后，其中3人外出培训，剩下的工人每人每天多加工2个零件，不能按期完成这次任务，则a的值至少为__． 【题型16.新定义与创新运算】 【典例】定义一种新运算：规定．若，则的值为________． 【跟踪专练1】定义一种新的运算：一般地，如果，那么x叫做以a为底N的对数，记作，于是，我们可探究出对数运算的性质：如果，且，，那么会有．求（   ） A．19 B．21 C．16 D．40 【跟踪专练2】定义关于任意正整数的一种新运算：．例如，规定，则，．若规定，则（ A． B． C． D． 【跟踪专练3】我们规定：若一个正整数A能写成，其中m与n都是两位数，且m与n的十位数字相同，个位数字之和为9，则称A为“方减数”，并把A分解成的过程，称为“方减分解”．例如：因为，24与25的十位数字相同，个位数字5与4的和为9，所以551是“方减数”，551分解成的过程就是“方减分解”．按照这个规定，最小的“方减数”是______． 【模块五 乘法公式】 【题型17.公式的识别与基本运算】 【典例】计算：_______． 【跟踪专练1】若，则（   ） A． B． C．2 D． 【跟踪专练2】已知，则的值是______． 【跟踪专练3】如图，点A、B、C在同一条直线上，点B在点之间，点在直线同侧，，，，连接，设，，，给出下面三个结论： ①；②；③ 上述结论中，所有正确结论的序号是（    ） A．①② B．①③ C．②③ D．①②③ 【题型18.公式的几何意义与应用】 【典例】如图，大正方形与小正方形的面积之差是30，则阴影部分的面积是______． 【跟踪专练1】下列图形阴影部分的面积能够直观地解释的是（　　） A． B． C． D． 【跟踪专练2】数学活动课上，小明同学尝试将正方形纸片剪去一个小正方形，剩余部分沿虚线剪开，其中能够验证平方差公式的方案是 _______．（请填上正确的序号） 【跟踪专练3.】如图，将个长、宽分别为，的长方形摆成一个大正方形．利用面积的不同表示方法写出一个代数恒等式是（    ） A． B． C． D． 【题型19.公式变形与求值】 【典例】若代数式能用公式法因式分解，则m的值为（    ） A． B． C．2 D．1 【跟踪专练1】已知，，则__________． 【跟踪专练2】已知矩形周长为12，面积为6，则矩形的对角线长为_____． 【跟踪专练3】设，是一元二次方程的两根，则的值为（     ） A．6 B．8 C．14 D．16 【题型20.公式与整式的混合运算】 【典例】定义新运算：，则的运算结果是___________． 【跟踪专练1】下列运算正确的是（    ） A． B． C． D． 【跟踪专练2】一个各个数位上的数字均不为零的四位自然数，若满足，则称这个数为“方和数”．例如，四位数2331，∵，∴2331是“方和数”．若是“方和数”，那么______；将“方和数”A的千位数字与百位数字对调，得到另一个“方和数”，规定，已知一个四位数是“方和数”，若能被6整除，则满足条件的N的值为_______． 【跟踪专练3】将代数式记为，代数式记为，现进行如下操作：记，；，；，以此类推，下列说法：①；②若，为正整数，为整数，则或或；③关于的方程（为正整数）只有个实数根；④当时，代数式取得最小值，其中正确的有（   ）个． A． B． C． D． 【模块六 因式分解】 【题型21.因式分解的概念辨析】 【典例】已知关于的二次三项式可分解为，则的值为______． 【跟踪专练1】多项式12ab3+8a3b的各项公因式是（　　） A．ab B．2ab C．4ab D．4ab2 【跟踪专练2】在将因式分解时，小刚看错了m的值，分解得；小芳看错了n的值，分解得，那么原式正确分解为___________. 【跟踪专练3】多项式，的公因式是______． 【题型22.基础因式分解】 【典例】分解因式：______． 【跟踪专练1】若，，则的值为（　　） A． B． C．2 D． 【跟踪专练2】若，，则的值是______． 【跟踪专练3】下列因式分解正确的是（   ） A． B． C． D． 【题型23.综合因式分解】 【典例】分解因式：______． 【跟踪专练1】下列各式在实数范围内，不能进行因式分解的是（   ） A． B． C． D． 【跟踪专练2】因式分解：__________． 【跟踪专练3】分解因式：的结果为___________________________． 【题型24.因式分解的简便运算】 【典例】已知a＋b＝3，ab＝－1，则a2b＋ab2＝____ 【跟踪专练1】若a+b=1，则的值为（    ） A．4 B．3 C．2 D．1 【跟踪专练2】已知方程的两个解分别为，则的值为_______． 【跟踪专练3】下列运算正确的是（    ） A． B． C． D． 【题型25.因式分解的综合应用】 【典例】若有理数x、y满足，则的值为__________． 【跟踪专练1】若，，则，的大小关系为（   ） A． B． C． D． 【跟踪专练2】若，则_________． 【跟踪专练3】已知为正整数，则四个连续正整数可表示为，，，，它们的乘积为，当时，的值为（   ） A．3 B．4 C．5 D．6 试卷第1页，共3页 试卷第1页，共3页 学科网（北京）股份有限公司 $ 专题02整式与因式分解中考一轮突破复习讲义 【6大模块+25个题型】 【模块一 代数式及其应用】.......................................5 【题型01 代数式】...............................................5 【题型02 代数式的概念及其意义】.................................6 【题型03 代数式求值】...........................................8 【模块二 整式】................................................10 【题型04 整式的概念与识别】....................................10 【题型05 用整式表示变化规律】..................................13 【模块三 整式的加减 】.........................................15 【题型06 同类项的概念与应用】..................................15 【题型07 合并同类项】..........................................17 【题型08 去(添)括号】..........................................19 【题型09 整式的加减及运用】....................................21 【模块四 整式的乘除】..........................................23 【题型10 幂的运算及逆运算】....................................23 【题型11 单项式的乘除运算】....................................25 【题型12 多项式与单项式的乘除】................................26 【题型13 多项式乘多项式运算】..................................27 【题型14 整式乘除混合运算】....................................30 【题型15 整式乘除混合运算】....................................32 【题型16 新定义与创新运算】....................................35 【模块五 乘法公式】............................................37 【题型17 公式的识别与基本运算】................................37 【题型18 公式的几何意义与应用】................................40 【题型19 公式变形与求值】......................................42 【题型20 公式与整式的混合运算】................................44 【模块六 因式分解】............................................49 【题型21 因式分解的概念辨析】..................................49 【题型22 基础因式分解】........................................51 【题型23 综合因式分解】........................................52 【题型24 因式分解的简便运算】..................................54 【题型25 因式分解的综合应用】..................................55 ● 分值占比：整式与因式分解是中考基础必考核心，总分值约 5–12 分，覆盖选择、填空、解答（化简求值第 1 题）三种题型，属于必须满分板块。 ● 常考考点：聚焦整式相关概念（单项式、多项式、同类项）、整式加减乘除运算、乘法公式（平方差、完全平方）、因式分解（提公因式法、公式法）、代数式求值、规律探究与简单应用六大方向。 ● 命题趋势：基础题侧重概念辨析与直接运算，中档题侧重公式法则规范运用与整体代入求值，难题多以新定义、规律探究、几何情境为主，且结合图形规律、实际情境的题型占比逐年提升，因式分解 “分解彻底” 始终是核心考查点。 ★知识梳理★ 知识点01:整式的相关概念 1. 单项式 定义：由数或字母的积组成的代数式，单独的一个数或一个字母也是单项式。 系数：单项式中的数字因数（包括符号）。 次数：单项式中所有字母的指数和（只看字母，数字不算次数）。 2. 多项式 定义：几个单项式的和叫做多项式。 项：多项式中的每个单项式（包括符号）。 次数：多项式中次数最高的项的次数。 常数项：不含字母的项。 3. 整式 定义：单项式和多项式统称为整式（分母不含字母，根号不含字母）。 辨析：整式 ≠ 分式（分母含字母）≠ 根式（根号内含字母）。 4. 同类项 定义：所含字母相同，并且相同字母的指数也相同的项。 判断要点：两 “同”（字母同、指数同），与系数、字母顺序无关。 知识点02:整式的运算 1. 整式的加减 核心步骤：去括号 → 合并同类项 去括号法则： 括号前是 “+”：去括号后，括号内各项符号不变。 括号前是 “−”：去括号后，括号内各项符号都改变。 合并同类项法则：同类项的系数相加，字母和字母的指数不变。 2. 幂的运算（核心基础） 法则 公式 注意事项 同底数幂相乘 aman=am+n 底数不变，指数相加 同底数幂相除 am÷an=am−n（a0） 底数不变，指数相减 幂的乘方 (am)n=amn 底数不变，指数相乘 积的乘方 (ab)n=anbn 每个因式分别乘方 零指数幂 a0=1（a0） 底数不能为 0 负整数指数幂 a−p=（a0,p 为正整数） 结果为正指数幂的倒数 3. 整式的乘除 单项式 × 单项式：系数相乘，同底数幂相乘，单独字母照抄。 单项式 × 多项式：用单项式去乘多项式的每一项，再把积相加（分配律）。 多项式 × 多项式：用一个多项式的每一项去乘另一个多项式的每一项，再把积相加。 单项式 ÷ 单项式：系数相除，同底数幂相除，单独字母照抄。 多项式 ÷ 单项式：用多项式的每一项分别除以单项式，再把商相加。 4. 乘法公式（高频考点） 平方差公式：(a+b)(a−b)=a2−b2 特征：两项和 × 两项差 = 平方差。 完全平方公式：(a±b)2=a2±2ab+b2 特征：首平方，尾平方，积的 2 倍在中央，符号看前方。 变形应用： a2+b2=(a+b)2−2ab (a−b)2=(a+b)2−4ab 5. 整式的混合运算 运算顺序：先乘方 → 再乘除 → 后加减；有括号先算括号内（先小括号，再中括号）。 化简求值：先化简整式，再代入字母数值计算（整体代入法是高频考法）。 知识点03:因式分解 1. 定义 把一个多项式化成几个整式的积的形式，叫做因式分解（也叫分解因式）。 关键辨析：因式分解 ≠ 整式乘法（二者是互逆变形）。 2. 基本方法 （1）提公因式法（第一步必须先考虑） 公因式：多项式各项都含有的公共因式（系数取最大公约数，字母取最低次幂）。 步骤：找公因式 → 提公因式 → 剩余项放括号内。 （2）公式法 平方差公式：a2−b2=(a+b)(a−b) 特征：两项，符号相反，都是平方项。 完全平方公式：a2±2ab+b2=(a±b)2特征：三项，首末平方项同号，中间是积的 2 倍。 （3）综合步骤（核心口诀） 一提二套三检查： 提：先提公因式（包括负号）。 套：再用公式法分解。 查：检查每个因式是否还能继续分解（分解要彻底）。 3. 因式分解的要求 (1)结果必须是整式的积的形式。 (2)每个因式都不能再分解（分解彻底）。 (3)因式中多项式首项系数一般为正。 知识点04:高频考点与解题技巧 考点 解题技巧 同类项判断 先看字母是否相同，再看相同字母的指数是否相同 整式化简求值 先化简（去括号、合并同类项），再代入；遇整体条件用整体代入法 幂的运算 先统一底数，再套用公式；注意 a0=1(a0) 和负指数幂的转换 乘法公式应用 识别公式特征（平方差 / 完全平方），直接套用；变形公式用于求值 因式分解 严格按 “一提二套三检查” 步骤，确保分解彻底 【模块一 代数式及其应用】 【题型1.代数式】 【典例】如图，在中，，，，，则________． 【答案】4 【分析】本题考查了平行线分线段成比例：三条平行线截两条直线，所得的对应线段成比例．也考查了比例的性质．根据平行线分线段成比例定理得到，把，，代入，然后利用比例性质即可得到的长． 【详解】解：， ． ，，， ，解得． 故答案为：4． 【跟踪专练1】一种商品每件盈利为a元，售出60件，共盈利______元（用含a的式子表示） 【答案】 【分析】根据题意列式即可． 【详解】根据题意得，一种商品每件盈利为a元，售出60件，共盈利元． 故答案为：． 【点睛】本题主要考查了列代数式，解题的关键是熟练掌握总利润=单件利润×件数． 【跟踪专练2】一种商品先降价， 在此基础上，又返还售价的现金，这种商品此时相当于降价了_____ 【答案】 【分析】将商品原价看作a，先求出第一次降价后的售价，再求出返还现金后的实际售价，最后计算出相当于降价的百分比即可． 【详解】设商品原价为a， 第一次降价后售价为， 返还售价的现金后，实际售价为， 降价百分比为：． 【跟踪专练3】若有一组按一定规律排列的单项式：，则第n个单项式是（   ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】本题考查单项式，数字规律探索，掌握相关知识是解决问题的关键．通过观察单项式的系数、x的指数和y的指数的变化规律，发现系数正负交替，x的指数从0开始逐项增加1，y的指数从1开始逐项增加1． 【详解】解：∵ 第1个单项式：系数为2，x指数为0，y指数为1； 第2个单项式：系数为，x指数为1，y指数为2； 第3个单项式：系数为2，x指数为2，y指数为3； …… ∴ 第n个单项式：系数为 ，x指数为，y指数为 ， 即 ． 故选：C. 【题型2.代数式的概念及其意义】 【典例】在式子5，，a，，，中，属于代数式的有（      ）个 A．3 B．4 C．5 D．6 【答案】B 【分析】代数式是由运算符号（加、减、乘、除、乘方、开方）把数或表示数的字母连接而成的式子，单独的一个数或者一个字母也是代数式．依此对每个选项分别进行分析，即可得出答案． 【详解】解：5，a，，是代数式， x=2是等式，不是代数式， m+n＞0是不等式，不是代数式． 故选：B． 【点睛】此题考查了代数式，解题的关键是掌握代数式的定义，注意等式、不等式与代数式的区别． 【跟踪专练1】式子可以化为（    ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】根据代数式的书写规范即可求解．除法运算写成分数形式，即除号改为分数线． 【详解】解：， 故选：C． 【点睛】本题考查了代数式的书写，掌握代数式的书写规范是解题的关键． 【跟踪专练2】随着新疆旅游业的持续升温，喀什景区凭借其独特的人文风情与壮丽景色，成为了国内外游客心驰神往的热门打卡点．国庆假期第一天网络预约游客人，第二天网络预约游客人数比第一天的2倍多100人，则代数式“”的实际意义是（   ） A．第一天比第二天多预约的游客人数 B．第二天比第一天多预约的游客人数 C．两天网络预约游客的总人数 D．第二天网络预约的游客人数 【答案】B 【分析】本题考查代数式的意义．根据第一天网络预约游客a人，得到第二天网络预约游客人，从而确定答案，准确用代数式表示相关数量是解决问题的关键． 【详解】解：第一天网络预约游客人，第二天人数为第一天的2倍加100，即． A：第一天比第二天多的人数应为，与代数式不符． B：第二天比第一天多的人数为，符合代数式． C：两天总人数为，不符． D：第二天人数为，不符． 故选：B． 【跟踪专练3】关于字母a所表示的数，下列说法正确的是（    ） A．a一定是正数 B．a的相反数是 C．a的倒数是 D．a的绝对值等于a 【答案】B 【分析】根据代数式的定义、相反数的性质，绝对值的性质及倒数的性质逐一判断即可得答案． 【详解】A.a可以表示正数、负数和0，故该选项错误， B.a的相反数是，故该选项正确， C.0没有倒数，故该选项错误， D.当a＜0时，a的绝对值等于-a，故该选项错误， 故选：B． 【点睛】本题考查代数式的定义、相反数的性质，绝对值的性质及倒数的性质，熟练掌握相关定义与性质是解题关键． 【题型3.代数式求值】 【典例】若，则的值为_______． 【答案】3 【分析】解：本题考查代数式的求值，掌握等式的性质和整体代入的思想方法是解题的关键，先利用等式的性质，再整体代入即可求值． 【详解】解：∵， ∴， 故答案为：3． 【跟踪专练1】若，则的值为（   ） A． B． C．3 D． 【答案】D 【分析】本题考查整式加减运算与化简求值，掌握整式的加减运算法则，熟练使用添、去括号法则是解题关键．先对原式进行去括号，化简整理，然后根据条件变形后整体代入求解即可． 【详解】解：∵， ∴ ． 故选：D． 【跟踪专练2】根据如图所示的程序计算，若输入的值是1时，则输出的值是5．若输入的值是2，则输出值为______．    【答案】1 【分析】本题主要考查了代数式的求值和有理数的混合运算，理解题意掌握有理数的运算法则是解题的关键． 先根据题意将，代入中求出的值，再将代入中即可求解． 【详解】解：由题意可知，将，代入中得： ， 解得：， 将，代入中得： ， 所以输入的值是2，则输出值为1， 故答案为：1． 【跟踪专练3】若的整数部分为，小数部分为，则代数式的值为（   ） A． B．1 C． D． 【答案】D 【分析】本题考查估算无理数的大小，熟练掌握无理数估算的方法是解题的关键． 先估算的大小后即可求得，的值，然后代入中计算即可． 【详解】解：， ， ， 则，， 那么， 故选：D． 【模块二 整式】 【题型4.整式的概念与识别】 【典例】观察下面的一列单项式：、、、、、…，根据其中的规律得出的第9个单项式是（    ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】本题考查了单项式规律题，正确理解式子的符号、次数与式子的序号之间的关系是关键． 根据已知的式子可以得到系数是以为底的幂，指数是式子的序号减1，x的指数是式子的序号，据此即可解答． 【详解】解：第9个单项式是． 故选：B． 【跟踪专练1】化简代数式（m，n是正整数）可得一个关于x，y的三次二项式，则的值为_______． 【答案】1 【分析】本题主要考查了多项式的次数和项， 根据题意可知与是同类项，且是三次单项式，可得，求出m，n的值，即可得出答案． 【详解】解：根据题意，得， 解得， ∴是三次二项式， 所以． 故答案为：1． 【跟踪专练2】已知整式M：，其中n，，，为自然数，为正整数，且满足，其中表示中最大的数．下列说法： ①满足条件的整式M 中只有4个单项式； ②在所有满足条件的整式M中，整式M 的系数和的最大值为6； ③当时，满足条件的整式M 共有19个． 其中正确的个数是（   ） A．3 B．2 C．1 D．0 【答案】B 【分析】本题考查整式的相关定义，熟练理解题意，并分别列式讨论是解题的关键．先根据题意结合对时、时、时、时、时进行讨论，再判断各选项即可． 【详解】解：当时，， ∵ ∴； 当时，， ∵， ∴， ∴对应的值为，，，，，； 当时，， ∵， ∴， ∴对应的值为，，，，，，，，，，，，，； 当时，， ∵， ∴， ∴对应的值为，，，，，，，； 当时， ∵为正整数， ∴，即不满足题意， 综上，满足题意得单项式有，，，，共4个，故①正确； 在所有满足条件的整式M中，整式M 的系数和的最大值为当，对应的值为时，为（或当，对应的值为时），故②正确； 当时，满足条件的整式M 共有个，故③错误； 综上，正确的有2个， 故选：B． 【跟踪专练3】若关于的二次三项式可分解为，则_________． 【答案】-1 【分析】先利用多项式乘法法则、二元一次方程组的解法求得，再代入求值即可得解． 【详解】解：∵ ∴ ∴ ∴． 故答案是： 【点睛】本题考查了多项式的乘法、二元一次方程组的解法以及两个多项式相等即各项对应相等，能够列出关于、的方程组是解题的关键． 【题型5.用整式表示变化规律】 【典例】中国南宋数学家杨辉1261年所著的《详解九章算法》出现了如下图的内容，后人称其为“杨辉三角”．请观察图中规律，则图中横线处应填写的内容是__________． 【答案】 【分析】根据规律填写即可． 【详解】解：根据题意得， 故答案为：． 【点睛】本题考查了完全平方公式，各项是按a的降幂排列、b的升幂排列的，它的两端都是由数字1组成的，而其余的数则是等于它肩上的两个数之和． 【跟踪专练1】如图所示，下列图形都是由同样大小的O按一定的规律组成的，其中第①个图形中有3个○，第②个图形中有5个○，第③个图形中有7个○，……．按此规律，第⑧个图形中○的个数是（    ） A．15 B．17 C．19 D．21 【答案】B 【分析】本题主要考查了图形类的规律探索，观察可知每个图形中○的个数为序号的2倍加1，据此规律求解即可． 【详解】解：第①个图形中有3个○， 第②个图形中有5个○， 第③个图形中有7个○， 第④个图形中有9个○， ……， 以此类推可知，第n个图形中有个○， ∴第⑧个图形中○的个数是， 故选：B． 【跟踪专练2】观察下列各式：，，，，请用含的式子写出你猜想的规律：______． 【答案】（为整数，且） 【分析】本题考查了二次根式有关的规律题，观察等式左右两边的式子结构，即可得出第的式子，根据题意列递推等式，最终找出规律是解题关键． 【详解】解：， ， ， ， ∴第的式子为（为整数，且）， 故答案为：（为整数，且）． 【跟踪专练3】汉诺塔问题是指有三根杆子和套在杆子上的若干大小不等的碟片，按下列规则，把碟片从一根杆子上全部移到另一根杆子上； （1）每次只能移动1个碟片． （2）较大的碟片不能放在较小的碟片上面． 如图所示，将1号杆子上所有碟片移到2号杆子上，3号杆可以作为过渡杆使用，称将碟片从一根杆子移动到另一根杆子为移动一次，记将1号杆子上的个碟片移动到2号杆子上最少需要次，则（    ） A．31次 B．33次 C．62次 D．63次 【答案】D 【分析】本题考查了归纳推理、图形变化的规律问题．根据移动方法与规律发现，随着盘子数目的增多，都是分两个阶段移动，用盘子数目减1的移动次数都移动到2柱，然后把最大.的盘子移动到3柱，再用同样的次数从2柱移动到3柱，从而完成，然后根据移动次数的数据找出总的规律求解即可． 【详解】解：时，； 时，小盘柱，大盘柱，小盘从3柱柱，完成，即； 时，小盘柱，中盘柱，小盘从2柱柱，大盘柱，再用的方法转移， 即， 以此类推，， ． 故选：D． 【模块三 整式的加减】 【题型6.同类项的概念与应用】 【典例】若单项式与的和仍为单项式，则______． 【答案】1 【分析】本题考查了同类项的定义，掌握两个相同是解题关键．含有相同的字母，并且相同字母的指数也相同的两个单项式是同类项．根据单项式与的和仍为单项式，得出与是同类项，根据同类项定义求出a、b的值，然后求出结果即可． 【详解】解：单项式与的和仍为单项式， 与为同类项， ，， ， ． 故答案为：1． 【跟踪专练1】下列单项式中，与是同类项的是（    ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】本题考查同类项的定义，所含字母相同，并且相同字母的指数也相同，这样的项叫做同类项． 【详解】解：A、相同字母的指数不相同，不是同类项； B、相同字母的指数不相同，不是同类项； C、符合同类项的定义，是同类项； D、相同字母的指数不相同，不是同类项； 故选：C． 【跟踪专练2】已知和是同类项，那么______． 【答案】 【分析】本题考查了同类项，解二元一次方程组，代数式求值，由同类项的定义可得，解方程组求出的值，再代入代数式计算即可求解，掌握同类项的定义是解题的关键． 【详解】解：∵和是同类项， ∴， 解得， ∴， 故答案为：． 【跟踪专练3】下列说法中，正确的个数为（    ） ①单项式的系数是；②0是最小的有理数；③不是整式；④的次数是4；⑤与是同类项；⑥是单项式；⑦连接两点的线段叫两点间的距离；⑧若点C是线段的中点，则． A．2个 B．3个 C．4个 D．5个 【答案】A 【分析】由单项式的系数的概念判断①，由有理数与绝对值的含义判断②，由整式的概念判断③，由单项式的次数的概念判断④。由同类项的概念判断⑤，由单项式的概念判断⑥，由两点间的距离的概念判断⑦，由线段中点的含义判断⑧． 【详解】解：单项式的系数是，故①不符合题意； 0是绝对值最小的有理数，故②不符合题意； 是整式中的单项式，故③不符合题意； 的次数是4，故④符合题意； 与不是同类项，故⑤不符合题意； 是不单项式，故⑥不符合题意； 连接两点的线段的长度叫这两点间的距离；故⑦不符合题意； 若点C是线段的中点，则，故⑧符合题意； 故选： 【点睛】本题考查的是单项式的系数与系数的含义，单项式的概念，整式的概念，线段的中点的含义，同类项的概念，两点之间的距离的概念，掌握以上知识是解题的关键． 【题型7.合并同类项】 【典例】化简：_______． 【答案】 【分析】本题主要考查了去括号，再合并同类项．解决本题的关键是根据去括号法则去括号，再根据合并同类项法则合并同类项． 【详解】解：． 故答案为：． 【跟踪专练1】下列运算正确的是（    ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】本题考查合并同类项，根据合并同类项的法则逐一判断每个选项是否正确即可． 【详解】解：A、，故此选项运算错误，不符合题意； B、和不是同类项，不能合并，故此选项运算错误，不符合题意； C、，故此选项运算错误，不符合题意； D、，故此选项运算正确，符合题意； 故选：D． 【跟踪专练2】定义一种新运算：，则_____． 【答案】/ 【分析】本题考查整式的混合运算、新定义，根据，可以将所求式子变形，然后化简即可，解题的关键是明确题意，利用新定义解答． 【详解】解：∵， ∴ ， ， 故答案为：． 【跟踪专练3】对多项式添加一次绝对值运算（只添加一个绝对值，不可添加单项式的绝对值）后只含加减运算，然后化简，结果按降幂排列，称此为一次“绝对操作”．例如：，称对多项式一次“绝对操作”；选择这次“绝对操作”的其中一个结果，例如对多项式进行如上操作，称此为二次“绝对操作” 下列说法正确的个数是（    ） ①经过两次“绝对操作”后，式子化简后的结果可能为； ②进行一次“绝对操作”后的式子化简结果可能有5种； ③经过若干次“绝对操作”，一定存在式子化简后的结果与原式互为相反数． A．0 B．1 C．2 D．3 【答案】B 【分析】先将一次“绝对操作”化简为，对经过两次“绝对操作”可以得到，故①正确，再经过不同的一次“绝对操作”得到4种化简结果，故②错误，经过和的“绝对操作”不可能可能得到原式的相反数，故③错误． 【详解】解： 将原式一次“绝对操作”： 再把第一个结果二次“绝对操作”：当时，， 故①正确； 把原式一次“绝对操作”还可以为：； ； ∴进行一次“绝对操作”后的式子化简结果可能有，，，，4种，故②错误． 其中， ， 不管几次“绝对操作”，得到的结果中不存在与原式互为相反数，故③错误． 故选B 【点睛】本题考查了新定义的理解，绝对值的意义，其中对新定义的理解是解题的关键． 【题型8.去(添)括号】 【典例】将代数式去括号，得_________________________． 【答案】 【分析】本题考查了去括号，熟练掌握去括号法则是关键．当括号前是“+”号时，去掉括号和前面的“+”号，括号内各项的符号都不变号；当括号前是“－”号时，去掉括号和前面的“－”号，括号内各项的符号都要变号．据此解答即可． 【详解】解：， 故答案为：． 【跟踪专练1】如果代数式的值为3，那么代数式的值等于（   ） A．2 B． C．8 D． 【答案】A 【分析】本题主要考查了代数式求值，根据题意可得，则． 【详解】解：∵代数式的值为3， ∴， ∴， ∴， 故选：A． 【跟踪专练2】不一定相等的一组是（    ） A．与 B．与 C．与 D．与 【答案】D 【分析】本题考查了合并同类项，加法结合律，同底数幂的乘法，去括号，根据运算法则逐项判断即可，熟练掌握运算法则是解题的关键． 【详解】、，原选项一定相等，不符合题意； 、，原选项一定相等，不符合题意； 、，原选项一定相等，不符合题意； 、，原选项不一定相等，符合题意； 故选：． 【跟踪专练3】已知，则______． 【答案】10 【分析】此题考查了已知式子的值求代数式的值，正确理解已知代数式与所求代数式的关系正确变形代入是解题的关键． 将多项式变形代入计算即可． 【详解】解：∵， ∴ = ， 故答案为：． 【题型9.整式的加减及运用】 【典例】已知a，b，c是三角形的三边，化简______． 【答案】 【分析】本题考查了三角形的三边关系、化简绝对值和整式的加减，正确化简绝对值是解题的关键． 根据三角形三边关系得到，再化简绝对值，合并同类项即可求解． 【详解】∵，是一个三角形的三条边长， 故答案为：． 【跟踪专练1】若x2－3y－5＝0，则6y－2x2－6的值为(　　) A．4 B．－4 C．16 D．－16 【答案】D 【详解】试题分析：由x2﹣3y﹣5=0可得x2﹣3y=5，所以6y﹣2x2﹣6=﹣2（x2﹣3y）﹣6=﹣2×5﹣6=﹣16，故答案选D． 考点：整体思想. 【跟踪专练2】已知为实数，等式对于任意实数恒成立，则的值为_________． 【答案】 【分析】由根据等式的性质可得，根据题意可得且，求出、的值，再求的值即可． 【详解】解：， 整理得：， 等式对于任意实数恒成立， 且，, 解得：，， ， 故答案为：． 【点睛】本题考查了等式的性质，根据等式恒成立求出、的值是解题的关键． 【跟踪专练3】在两个形状、大小完全相同的大长方形内，分别互不重叠地放入四个如图③的小长方形后得图①，图②，已知大长方形的长为，两个大长方形未被覆盖部分分别用阴影表示，则图①阴影部分周长与图②阴影部分周长的差是（   ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】本题主要考查的是列代数式，整式的加减的有关知识，设图中小长方形的长为，宽为，表示出两图形中阴影部分的周长，求出之差即可． 【详解】解：设图中小长方形的长为，宽为，大长方形的宽为， 根据题意得：，， 即， 图中阴影部分的周长为， 图中阴影部分的周长为， 则图阴影部分周长与图阴影部分周长之差为 故选B 【模块四 整式的乘除】 【题型10.幂的运算与逆运算】 【典例】下列运算正确的是（   ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】本题考查了积的乘方、同底数幂的乘法、同底数幂的除法、幂的乘方． 根据积的乘方、同底数幂的乘法、同底数幂的除法、幂的乘方的运算法则逐一判断选项的正误即可． 【详解】解：≠，故A选项错误； ≠，故B选项错误； ≠，故C选项错误； ，故D选项正确； 故选：D． 【跟踪专练1】若，则_____________． 【答案】 【分析】本题考查了求代数式的值，幂的乘方，同底数幂相乘，由题意可得，再将所求式子利用幂的乘方以及同底数幂相乘的运算法则变形为，整体代入进行计算即可得解，熟练掌握以上知识点并灵活运用是解答此题的关键． 【详解】解：∵， ∴， ∴， 故答案为：． 【跟踪专练2】若x，y均为正数，，则与之间的数量关系为__________． 【答案】 【分析】本题考查幂的运算，根据已知条件得到，进而得到，进行求解即可． 【详解】解：∵， ∴， ∴， ∴， ∴， ∴， ∴； 故答案为：． 【跟踪专练3】定义：如果（，），那么x叫做以a为底N的对数，记作．例如：因为，所以；因为，所以．则下列说法中：①；②若，则；③；④（，）．正确的个数为（   ） A．1 B．2 C．3 D．4 【答案】C 【分析】本题以新定义题型为背景，主要考查了数的乘方的计算能力，解题的关键是理解定义． 根据定义理解，然后灵活应用定义变化，一一判断给出的说法是否正确即可． 【详解】解：①∵， ∴，该选项正确，符合题意； ②∵， ∴， 解得，该选项错误，不符合题意； ③由得，设， ∴， ∴， ∴， ∴， ∴，该选项正确，符合题意； ④令，则， ∵， ∴，该选项正确，符合题意； ∴正确的选项有：①③④， 故选：C． 【题型11.单项式的乘除运算】 【典例】已知单项式满足，则____________． 【答案】/ 【分析】本题考查了单项式乘以多项式，单项式除以单项式；已知等式左边利用单项式乘多项式法则计算，利用多项式相等的条件确定出，即可求解． 【详解】解：∵ ∴ ∴ 故答案为：． 【跟踪专练1】中国的陆地面积约为，2023年底我国人口数量约为14亿，人均陆地面积约是（   ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】本题主要考查了科学记数法、单项式除法，先把14亿用科学记数法表示，再根据总面积除以总人口计算即可． 【详解】解：14亿 故选：B 【跟踪专练2】计算： =_________________. 【答案】 【详解】试题解析：原式=×（-4）•a•a2•b2•b4 =-2a3b6． 【跟踪专练3】下列运算正确的是（    ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】本题考查了合并同类项、整式的乘法、除法，根据合并同类项、整式的乘法、除法运算法则逐项判断即可解答即可；掌握相关运算法则是解题的关键． 【详解】解：A.，故本选项符合题意； B．，故本选项不符合题意； C．，故本选项不符合题意； D．，故本选项不符合题意． 故选：A． 【题型12.多项式与单项式的乘除】 【典例】若，则的值为___________． 【答案】 【分析】本题考查了求代数式的值、整式的混合运算，由题意可得，整体代入计算即可得解，熟练掌握运算法则是解此题的关键． 【详解】解：∵， ∴， ∴， 故选：． 【跟踪专练1】计算：（    ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】本题考查了多项式除以单项式，根据多项式除以单项式的运算法则计算即可求解，掌握多项式除以单项式的运算法则是解题的关键． 【详解】解：， 故选：． 【跟踪专练2】若，则_______________． 【答案】8 【分析】此题考查了整式的化简求值，先利用单项式乘以多项式和完全平方公式展开，合并同类项后整体代入即可． 【详解】解：∵， ∴ ∴， 故答案为：8 【跟踪专练3】已知，则的值是___． 【答案】14 【分析】根据题意可得，将已知等式两边同时除以，得到，进而根据完全平方公式的变形即可求解． 【详解】解：，且由题意可得， ， ， 原式， 故答案为：14 【点睛】本题考查了完全平方公式，掌握完全平方公式是解题的关键． 【题型13.多项式乘多项式运算】 【典例】若多项式因式分解的结果为，则__________． 【答案】6 【分析】本题考查因式分解，熟练掌握因式分解是整式乘法的逆运算是关键． 通过比较因式分解后的形式与原始多项式的系数，建立方程求解． 【详解】解：∵多项式因式分解的结果为， ∴ ∴ 得方程组： 解得： ． 故答案为：． 【跟踪专练1】若与的乘积中不含的一次项，则的值为（   ） A． B．3 C．0 D．1 【答案】A 【分析】本题主要考查多项式乘多项式的法则，注意不含某一项就让某一项的系数等于0是解题的关键． 先根据多项式乘多项式的法则进行计算，找出所有含有x的一次项，合并同类项，令含有x的一次项的系数等于0，即可求出结果． 【详解】解：， ∵乘积中不含的一次项， ∴， 解得， 故选：A． 【跟踪专练2】观察下列各式： ； ； ； 根据规律计算：的值_________． 【答案】 【分析】本题考查了多项式乘法规律探究，根据题中规律第一个式子的结果等于两项的差，被减数的指数比第二个因式中第一项大，减数都为，利用规律即可求解，掌握相关知识是解题的关键． 【详解】解：原式 ， 故答案为：． 【跟踪专练3】已知：，（其中为a整数，且）；有下列结论，其中正确的结论个数有（    ） ①若M·N中不含项，则；②若为整式，则；③若a是的一个根，则． A．0个 B．1个 C．2个 D．3个 【答案】B 【分析】根据要求，逐个结论进行求解即可． 【详解】解：①∵，， ∴， ∵M∙N中不含项， ∴，即，故①正确； ∵是整式， ∴设， ∴， ∴， ∴， ∴，故②错误； ∵ ∴， 设方程的另一个根为 ∵a是的一个根， ∴， ∴， ∴， ∴， 两边平方整理得，，故③错误， 所以，正确的结论是①， 故选：A 【点睛】本题主要考查了整式的乘除法，一元二次方程根与系数的关系，正确掌握各知识点是解答本题的关键． 【题型14.整式乘除混合运算】 【典例】已知，则式子的值是_________． 【答案】/ 【分析】可以提取公因式,将式子化简，然后代入的值求解即可． 【详解】解：原式= 当时，原式 故答案是：． 【点睛】本题考查了代数式的化简求值，解题的关键是掌握提取公因式化简的方法． 【跟踪专练1】对于多项式：，用任意两个多项式的积，再与剩余两个多项式的积作差，并算出结果，称之为“积差操作”．例如：，…下列说法：①一定存在一种“积差操作”使得操作后的结果，无论取何值，都为3的倍数；②不存在任何“积差操作”，使其结果为0；③所有的“积差操作”共有5种不同的结果．其中正确的个数是（    ） A．0 B．1 C．2 D．3 【答案】C 【分析】本题根据题目的要求，罗列所有情况，进行求解即可解答，是中考常考的题型． 根据题意，写出所有情况，计算结果，即可． 【详解】解：； ； ； ； ； ； ①说法正确； ②说法错误； ③说法正确； 故选:C． 【跟踪专练2】公园里有一个长方形花坛，原来长为 ，宽为x，现在要把花坛四周均向外扩展，扩展后的长方形花坛的长，宽为，则扩展后的长方形花坛的面积比扩展前的长方形花坛的面积增加______________． 【答案】 【分析】本题主要考查了整式混合运算的应用，掌握多项式乘多项式的运算法则是关键．用改变后的花坛的面积减去改变前的面积，计算即可． 【详解】解：由题意得：改变后花坛的长，宽， 这个花坛的面积将增加： ． 故答案为：． 【跟踪专练3】已知，，，下列结论正确的是（　　） A．， B．， C．， D．， 【答案】C 【分析】本题考查整式的乘法，先把变形为，然后代入即可确定，然后根据即可判断． 【详解】解：∵， ∴， ∴， 又∵， ∴， 故选C． 【题型15.整式乘除的实际应用】 【典例】如图，矩形内有两个相邻的正方形，面积分别是和4，那么阴影部分的面积_________．（用含x的代数式表示） 【答案】 【分析】根据两正方形面积，利用算术平方根定义求出各自的边长，表示出阴影部分面积即可． 【详解】解：∵面积分别是和4，， ∴它们的边长分别为：x，2， ∴阴影部分的面积为：， 故答案为：． 【点睛】本题考查了整式的混合运算，熟练掌握运算法则是解本题的关键． 【跟踪专练1】图2是图1中长方体的三视图，用S表示面积，则（　　）   . A． B． C． D． 【答案】C 【分析】由主视图和左视图的宽为c，结合两者的面积得出俯视图的长和宽，从而得出答案． 【详解】解：∵，， ∴俯视图的长为 ，宽为， ∴． 故选：C 【点睛】本题主要考查由三视图判断几何体，整式乘法的应用，解题的关键是根据主视图、俯视图和左视图想象几何体的前面、上面和左侧面的形状，以及几何体的长、宽、高． 【跟踪专练2】某中学计划在一块长，宽的矩形空地上修建三块全等的矩形草坪，如图所示，余下空地修建成同样宽为a的小路． （1）若，则草坪总面积为________平方米． （2）若草坪总面积恰好等于小路总面积，那么，此时的路宽a是________米． 【答案】 30 1 【分析】本题考查全等图形、代数式求值，解答本题的关键是明确题意，列出相应的代数式和方程． （1）根据题意和图形中的数据，可以用的代数式表示出草坪的面积，然后将的值代入计算即可； （2）根据草坪总面积恰好等于小路总面积，可以得到关于的一元二次方程，从而可以求得此时的路宽． 【详解】解：（1）由图可得， 草坪的总面积是， 当时， ， 即时，草坪总面积为30平方米， 故答案为：30； （2）由图可得， 草坪的总面积是， 路的总面积是， ∵草坪总面积恰好等于小路总面积， ， 解得(舍去)， 即此时的路宽为1米， 故答案为：1． 【跟踪专练3】某工厂计划m天生产2160个零件，若安排15名工人每人每天加工a个零件（a为整数）恰好完成．实际开工x天后，其中3人外出培训，剩下的工人每人每天多加工2个零件，不能按期完成这次任务，则a的值至少为__． 【答案】9． 【分析】根据工作总量=工作效率×工作时间即可得出am=144，由“实际开工x天后，其中3人外出培训，剩下的工人每人每天多加工2个零件，不能按期完成这次任务”，即可得出ax+8m-8x＜144，结合am=144可得出8（m-x）＜a（m-x），由m＞x可得出m-x＞ 0，进而可得出a＞8，再取其中的最小整数值即可得出结论． 【详解】解：∵某工厂计划m天生产2160个零件，若安排15名工人每人每天加工a个零件（a为整数）恰好完成， ∴15am=2160， ∴am=144． ∵实际开工x天后，其中3人外出培训，剩下的工人每人每天多加工2个零件，不能按期完成这次任务， ∴15ax+（15-3）（a+2）（m-x）＜2160， 即ax+8m-8x＜144， ∴ax+8m-8x＜am， ∴8（m-x）＜a（m-x）． ∵m＞x， ∴m-x＞0， ∴a＞8， ∴a至少为9． 故答案为：9． 【点睛】本题考查了一元一次不等式的应用，根据各数量之间的关系，正确列出一元一次不等式是解题的关键． 【题型16.新定义与创新运算】 【典例】定义一种新运算：规定．若，则的值为________． 【答案】1 【分析】本题考查了定义新运算，同底数幂的乘法，读懂题意是解题的关键．根据题意可知，，然后解方程即可． 【详解】解： 故答案为：1． 【跟踪专练1】定义一种新的运算：一般地，如果，那么x叫做以a为底N的对数，记作，于是，我们可探究出对数运算的性质：如果，且，，那么会有．求（   ） A．19 B．21 C．16 D．40 【答案】B 【分析】本题是材料问题，考查了对数的定义及性质，幂的运算性质，理解题中对数的定义及性质是解题的关键与难点．把化为，再结合新定义可得答案． 【详解】解：∵， ∴ ； 故选：B 【跟踪专练2】定义关于任意正整数的一种新运算：．例如，规定，则，．若规定，则（ A． B． C． D． 【答案】D 【分析】本题主要考查的是同底数幂的乘法，新定义运算，关键是正确理解新定义，将把新运算化成常规运算．根据新定义进行计算即可求解． 【详解】解：∵ 由新运算，可知， 则， ∴． 故选：D． 【跟踪专练3】我们规定：若一个正整数A能写成，其中m与n都是两位数，且m与n的十位数字相同，个位数字之和为9，则称A为“方减数”，并把A分解成的过程，称为“方减分解”．例如：因为，24与25的十位数字相同，个位数字5与4的和为9，所以551是“方减数”，551分解成的过程就是“方减分解”．按照这个规定，最小的“方减数”是______． 【答案】81 【分析】本题考查整式的混合运算的应用，涉及新定义，解题的关键是读懂题意，用含字母的式子表示相关的数． 设，则，根据最小的“方减数”可得m=10，n=18，即可求解． 【详解】解：设，则， 由题意得：， ∵， ∴要使“方减数”最小，需， ∴， ∴， 当时， 最小为81． 故答案为：81． 【模块五 乘法公式】 【题型17.公式的识别与基本运算】 【典例】计算：_______． 【答案】 【分析】本题考查了二次根式的乘法运算，平方差公式，熟练掌握二次根式的乘法运算及平方差公式是解题的关键．根据平方差公式计算即可． 【详解】解：． 故答案为：． 【跟踪专练1】若，则（   ） A． B． C．2 D． 【答案】C 【分析】本题主要考查了化简绝对值、二次根式的性质、完全平方公式等知识，根据题意可得，，将整理为，根据绝对值的性质和二次根式的性质，化简求解即可． 【详解】解：∵， ∴，， ∴． 故选：C． 【跟踪专练2】已知，则的值是______． 【答案】25 【分析】本题主要考查了代数式求值，掌握整体代入法是解题的关键．利用平方差公式分解，结合已知，推出，再将式子变形为，据此可得答案． 【详解】解：∵， ∴ ， 故答案为：25． 【跟踪专练3】如图，点A、B、C在同一条直线上，点B在点之间，点在直线同侧，，，，连接，设，，，给出下面三个结论： ①；②；③ 上述结论中，所有正确结论的序号是（    ） A．①② B．①③ C．②③ D．①②③ 【答案】D 【分析】本题考查了勾股定理、全等三角形的性质、三角形的三边关系、完全平方公式等知识，熟练掌握勾股定理和全等三角形的性质是解题关键．先根据全等三角形的性质可得，，则可得，利用勾股定理可得，再根据三角形的三边关系即可得①正确；在中，利用勾股定理即可得②正确；利用直角梯形的面积公式即可得③正确． 【详解】解：∵， ∴， ∵，，， ∴，，， ∴， ∴， 由勾股定理得：， 在中，由三角形的三边关系得：， ∴，结论①正确； 在中，，即， ∴，结论②正确； 又∵， ∴， ∴， ∴四边形是直角梯形， ∴， ∴，结论③正确； 综上，所有正确结论的序号是①②③， 故选：D． 【题型18.公式的几何意义与应用】 【典例】如图，大正方形与小正方形的面积之差是30，则阴影部分的面积是______． 【答案】15 【分析】此题考查了平方差公式几何背景问题的解决能力，关键是能准确理解题意，结合图形运用以上知识进行求解．设大正方形和小正方形的边长各为a，b，由题意可得，再运用三角形面积公式进行求解． 【详解】解：设大正方形和小正方形的边长各为，， 由题意可得， 阴影部分的面积为： = = 故答案为：15． 【跟踪专练1】下列图形阴影部分的面积能够直观地解释的是（　　） A． B． C． D． 【答案】A 【详解】本题考查完全平方公式，掌握完全平方公式的结构特征是正确解答的关键． 根据完全平方公式的几何背景，结合面积之间的和差关系进行判断即可． 【解答】解：选项A中的阴影部分的面积可以用来解释， 故选：A． 【跟踪专练2】数学活动课上，小明同学尝试将正方形纸片剪去一个小正方形，剩余部分沿虚线剪开，其中能够验证平方差公式的方案是 _______．（请填上正确的序号） 【答案】①② 【分析】本题考查了平方差公式．熟练掌握平方差公式是解题的关键． 通过分别计算三种拼法中拼接前、后阴影部分的面积，利用面积相等来验证平方差公式． 【详解】解：在图①中，左边的图形阴影部分的面积，右边图形中阴影部分的面积， 故可得：，可以验证平方差公式； 在图②中，阴影部分的面积相等，右边阴影部分面积， 可得：，可以验证平方差公式； 在图③中，阴影部分的面积相等，右边阴影部分面积， 可得：（，不可以验证平方差公式． 故答案为：①②． 【跟踪专练3.】如图，将个长、宽分别为，的长方形摆成一个大正方形．利用面积的不同表示方法写出一个代数恒等式是（    ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】本题考查平方差公式的几何背景，完全平方公式的几何背景，根据图形中各个部分面积与总面积的关系可得答案．掌握完全平方公式、平方差公式的结构特征是正确解答的前提，用代数式表示各个部分面积是解决问题的关键． 【详解】解：∵总体大正方形的边长为，则面积为， 中间小正方形的边长为，则面积为， 个长方形的面积为， 又∵大正方形的面积减去小正方形的面积等于个长方形的面积， ∴． 故选：D． 【题型19.公式变形与求值】 【典例】若代数式能用公式法因式分解，则m的值为（    ） A． B． C．2 D．1 【答案】A 【分析】此题主要考查了运用公式法分解因式，解答此题的关键是熟练掌握完全平方公式；能运用完全平方公式分解因式的多项式必须是三项式，其中有两项能写成两个数的平方的形式，第三项是这两个数的积的2倍，即或，解得结果即可． 【详解】解：∵能用完全平方公式进行因式分解， ∴或， 即：； 故选：A． 【跟踪专练1】已知，，则__________． 【答案】 【分析】本题考查了平方差公式与完全平方公式．熟练掌握平方差公式与完全平方公式是解题的关键． 先利用平方差公式求出的值，再根据完全平方公式求出的值即可． 【详解】解：设， 则， 则， ， ， 则， ， ， ． 故答案为：． 【跟踪专练2】已知矩形周长为12，面积为6，则矩形的对角线长为_____． 【答案】 【分析】设矩形的长为a，宽为b，可得，，再利用勾股定可理及完全平方式的变式，即可求解． 【详解】解：设矩形的长为a，宽为b， 矩形周长为12，面积为6， ，， 矩形的对角线长为： 故答案为：． 【点睛】本题考查了矩形的性质，勾股定理的应用，完全平方式的变式，代数式求值问题，熟练掌握和运用勾股定理及完全平方式的变式是解决本题的关键． 【跟踪专练3】设，是一元二次方程的两根，则的值为（     ） A．6 B．8 C．14 D．16 【答案】C 【分析】利用一元二次方程根与系数的关系，先求出与的值，再将转化为进行计算．本题主要考查了一元二次方程根与系数的关系，熟练掌握是解题的关键． 【详解】解：∵，是一元二次方程的两根， ∴，． ∴． 故选：C． 【题型20.公式与整式的混合运算】 【典例】定义新运算：，则的运算结果是___________． 【答案】 【分析】此题考查了整式混合运算新定义问题的解决能力，关键是能准确理解并运用运算定义进行代入、求解．运用计算定义进行代入、求解即可． 【详解】解：， ， 故答案为：． 【跟踪专练1】下列运算正确的是（    ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】本题考查整式的乘法公式及加减运算，根据完全平方公式和平方差公式及整式加减运算法则逐一计算判断即可． 【详解】解：A．，原式计算错误，不符合题意； B．，原式计算错误，不符合题意； C．，原式计算正确，符合题意； D．，原式计算错误，不符合题意； 故选：C． 【跟踪专练2】一个各个数位上的数字均不为零的四位自然数，若满足，则称这个数为“方和数”．例如，四位数2331，∵，∴2331是“方和数”．若是“方和数”，那么______；将“方和数”A的千位数字与百位数字对调，得到另一个“方和数”，规定，已知一个四位数是“方和数”，若能被6整除，则满足条件的N的值为_______． 【答案】 1 4352 【分析】本题考查了新定义，整式的混合运算，正确掌握相关性质内容是解题的关键．先根据“方和数”的定义进行列式计算，得，再结合，找出，即．因为是“方和数”，得，又因为能被6整除，所以得为整数，结合，得或2或4；再进行逐个分析计算，即可作答． 【详解】解：∵是“方和数”， ∴， 解得或（舍去）， 故； ∵， ∴的千位数字为，百位数字为，十位数字为，个位数字为2， ∴， ∴， ∴， ∴． ∵是“方和数”， ∴， ∴， ∴． ∵能被6整除， ∴为整数， ∴为整数． ∵， ∴或2或4； ∵，，，且b，c均是自然数， ∴①当时，， 当时，（舍去）， 当时，（舍去）， 当时，（舍去）， 即没有满足条件的b与c； ②当时，， 当时， 当时，（舍去）， 当时，（舍去） ∴得，； ③当时，， 同理，没有满足条件的b与c，． ∴，，， ∴． 故答案为：1,4352 【跟踪专练3】将代数式记为，代数式记为，现进行如下操作：记，；，；，以此类推，下列说法：①；②若，为正整数，为整数，则或或；③关于的方程（为正整数）只有个实数根；④当时，代数式取得最小值，其中正确的有（   ）个． A． B． C． D． 【答案】B 【分析】本题考查规律探究，整式的运算，一元二次方程根的判别式，因式分解，理解题意，灵活运用相关知识是解题的关键．依据题意，根据所给条件和运算操作，找出数字的变化规律然后逐个进行分析判断即可得解． 【详解】解：由题意得，，， ，． ，， ，， ，， ，， ，， ，， 依次类推，，， ，， ，故正确； ， ， ，为正整数，为整数，为整数， 或或， 解得或或，故正确； 关于的方程， 当时，， ， ， 整理，得， 即， ， 此时原方程有两个不相等的实数根； 当时，， ， ， 即， 整理，得， ， 此时原方程无实数根， 关于的方程为正整数只有个实数根，故正确； ， 当时，取得最小值，故错误． 故正确的结论有共个． 故选：B． 【模块六 因式分解】 【题型21.因式分解的概念辨析】 【典例】已知关于的二次三项式可分解为，则的值为______． 【答案】 【分析】本题考查了因式分解的定义，熟练掌握因式分解的定义是解题的关键．利用因式分解定义将变为即可解答． 【详解】解：∵， ∴， ∴，， ∴， 故答案为：． 【跟踪专练1】多项式12ab3+8a3b的各项公因式是（　　） A．ab B．2ab C．4ab D．4ab2 【答案】C 【分析】根据公因式定义，对各选项整理然后即可选出有公因式的项． 【详解】解：， 4ab是12ab3和8a3b的公因式， 故选C． 【点睛】本题考查的是公因式的定义，找公因式的要点是：（1）公因式的系数是多项式各项系数的最大公约数；（2）字母取各项都含有的相同字母；（3）相同字母的指数取次数最低的． 【跟踪专练2】在将因式分解时，小刚看错了m的值，分解得；小芳看错了n的值，分解得，那么原式正确分解为___________. 【答案】 【分析】利用多项式乘多项式法则先算乘法，根据因式分解与乘法的关系及小刚、小明没有看错的值确定m、n，再利用十字相乘法分解整式即可． 【详解】解：（x﹣1）（x+6）＝x2+5x﹣6， ∵小刚看错了m的值， ∴n＝﹣6； （x﹣2）（x+1）＝x2﹣x﹣2， ∵小芳看错了n的值， ∴m＝﹣1． ∴x2+mx+n ＝x2﹣x﹣6 ＝（x﹣3）（x+2）． 故答案为：（x﹣3）（x+2）． 【点睛】本题考查了整式的因式分解，掌握十字相乘法、能根据乘法与因式分解的关系确定m、n的值是解决本题的关键． 【跟踪专练3】多项式，的公因式是______． 【答案】 【分析】本题主要考查公因式的确定，因式分解 熟练掌握公因式的定义及因式分解是解题的关键．先因式分解两个多项式，找出系数的最大公约数，相同字母的最低指数次幂，即可确定公因式． 【详解】解：， 多项式，的公因式是， 故答案为：． 【题型22.基础因式分解】 【典例】分解因式：______． 【答案】 【分析】本题考查了因式分解，先提取公因式，再根据完全平方公式分解． 【详解】解：． 故答案为：． 【跟踪专练1】若，，则的值为（　　） A． B． C．2 D． 【答案】D 【分析】本题主要考查了因式分解的应用，熟练掌握提取公因式法因式分解是解题的关键． 先将所求式子进行因式分解，再将已知条件代入求值． 【详解】解：∵，， ∴ ． 故选：D． 【跟踪专练2】若，，则的值是______． 【答案】15 【分析】本题考查代数式求值．熟练掌握因式分解，在已知代数式值的前提下求代数式值的方法步骤，是解决问题的关键． 将，再将，代入求值即可得到答案． 【详解】∵，， ∴． 故答案为：15． 【跟踪专练3】下列因式分解正确的是（   ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】本题主要考查了因式分解，掌握常见的因式分解法和定义成为解题的关键． 根据因式分解的定义、提公因式法、公式法、十字相乘法进行因式分解并判断即可解答． 【详解】解：A． ，故该选项符合题意； B． ，故该选项不符合题意； C． ，故该选项不符合题意；     D． 不符合因式分解的定义，故该选项不符合题意． 故选：A． 【题型23.综合因式分解】 【典例】分解因式：______． 【答案】 【分析】本题考查了分解因式，先提取公因式，再利用完全平方公式进行分解因式即可． 【详解】解： ， 故答案为：． 【跟踪专练1】下列各式在实数范围内，不能进行因式分解的是（   ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】此题考查了实数范围内分解因式，分别分解因式判断即可得出结果 【详解】A. 不能进行因式分解，故符合题意； B. ，故不符合题意； C. ，故不符合题意； D. ，故不符合题意； 故选：A 【跟踪专练2】因式分解：__________． 【答案】 【分析】把和看成整体，利用十字相乘分解因式，再进行合并同类项即可求出答案． 【详解】 ， 故答案为：． 【点睛】本题考查了多项式的因式分解中的十字相乘法，把和看成整体，利用十字相乘分解因式是解决本题的关键． 【跟踪专练3】分解因式：的结果为___________________________． 【答案】 【分析】首先将x+y与xy看作一个整体，去括号，再利用完全平方公式分解因式得出结果即可． 【详解】解：（xy−1）2−（x＋y−2xy）（2−x−y） ＝（xy−1）2＋（x＋y−2）（x＋y−2xy） ＝（x＋y）2−2xy（x＋y）−2（x＋y）＋4xy＋（xy）2−2xy＋1 ＝[（x＋y）2−2xy（x＋y）＋（xy）2]−2（x＋y−xy）＋1 ＝（x＋y−xy）2−2（x＋y−xy）＋1 ＝[（x＋y−xy）−1]2 ＝（−xy＋x＋y−1）2 ＝[−x（y−1）＋（y−1）]2 ＝[（y−1）（1−x）]2 ＝（x−1）2（y−1）2 故答案为：． 【点睛】此题主要考查了因式分解，正确去括号进而利用完全平方公式分解因式是解题关键． 【题型24.因式分解的简便运算】 【典例】已知a＋b＝3，ab＝－1，则a2b＋ab2＝____ 【答案】－3 【详解】先提取公因式ab，再代入数据计算即可． 解：∵a+b=3，ab=-1，∴a2b+ab2=ab（a+b）=（-1）×3=-3． 【跟踪专练1】若a+b=1，则的值为（    ） A．4 B．3 C．2 D．1 【答案】D 【分析】把进行变形，代入a+b=1，计算，再次代入即可求解． 【详解】解： 故选：D 【点睛】本题考查了对式子变形求解，熟练掌握平方差公式是解题关键，本题也可以把a+b=1变形为a=1-b，代入求值． 【跟踪专练2】已知方程的两个解分别为，则的值为_______． 【答案】 【分析】先根据根与系数的关系求出和的值，然后再对因式分解后代入计算即可． 【详解】解：∵方程的两个解分别为， ∴，， ． 故答案为：． 【点睛】本题主要考查了一元二次方程根与系数的关系，若为方程的两个根，则与系数的关系式：，． 【跟踪专练3】下列运算正确的是（    ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】本题考查了同底数幂的除法，平方差公式，积的乘方等知识．熟练掌握同底数幂的除法，平方差公式，积的乘方是解题的关键． 根据同底数幂的除法，平方差公式，积的乘方对各选项进行判断作答即可． 【详解】解：由题意知，A中，错误，故不符合要求； B中，错误，故不符合要求； C中，错误，故不符合要求； D中，正确，故符合要求； 故选：D． 【题型25.因式分解的综合应用】 【典例】若有理数x、y满足，则的值为__________． 【答案】1 【分析】本题主要考查偶次幂的非负性，熟练掌握偶次幂的非负性是解题的关键；由题意易得或，然后根据可进行求解． 【详解】解：由可知：或， ∵， ∴， ∴， ∴； 故答案为1． 【跟踪专练1】若，，则，的大小关系为（   ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】此题主要考查了整式因式分解的应用和大小比较的能力，解题的关键是能准确确定解题方法，并能进行正确地变形、求解．运用作差法和因式分解进行比较即可． 【详解】解：∵ ， 又∵，， ∴， ∴， 故选：B． 【跟踪专练2】若，则_________． 【答案】 【分析】本题考查因式分解、代数式求值．先提公因式得到，再整体代入求解即可． 【详解】解：∵， ∴ ， 故答案为：． 【跟踪专练3】已知为正整数，则四个连续正整数可表示为，，，，它们的乘积为，当时，的值为（   ） A．3 B．4 C．5 D．6 【答案】A 【分析】此题考查了有理数的混合运算，分解因式（因数），熟练掌握是解本题的关键． 根据，，，得． 【详解】证明: ∵，， ∴． ∵，需要将其组合为四个连续正整数的乘积， ∴四个连续数中必有两个偶数，且其中一个是4的倍数，另一个是2的倍数；同时必有一个数是3的倍数，一个数是5的倍数（或含因数5）． ∴，恰好为四个连续正整数． ∴． 故选：A． 试卷第1页，共3页 试卷第1页，共3页 学科网（北京）股份有限公司 $