精品解析：江西南昌市青山湖区江西科技学院附属中学2025-2026学年八年级下学期学情自测数学试卷

2025-2026学年八年级（下）开学收心数学试卷 一．选择题（每小题3分，本大题共18分） 1. 下列图形中，是轴对称图形的是（ ） A. B. C. D. 【答案】C 【解析】 【分析】本题考查轴对称图形，掌握相关知识是解决问题的关键．轴对称图形是指在平面内沿一条直线折叠，直线两旁的部分能够完全重合的图形，这条直线称为对称轴．轴对称图形的关键特点是沿对称轴折叠后，两侧的部分能够完全重合． 直接利用轴对称图形的概念判断即可． 【详解】解：根据轴对称图形的定义，只有C选项符合题意． 故选：C． 2. 已知，则满足的关系是（ ） A. B. C. D. 【答案】A 【解析】 【分析】本题考查幂的乘方的逆用．将转化为，即可得出结果． 【详解】解：∵， ∴； 故选A 3. 如图，，且点E恰好落在线段上，，则的度数为（ ） A. B. C. D. 【答案】B 【解析】 【分析】本题主要考查全等三角形的性质，等边对等角，三角形的内角和，解题的关键是熟记全等三角形的性质：全等三角形的对应边相等，对应角相等． 由全等三角形的性质可得，，可求得，，由三角形的内角和可求得，从而得解． 【详解】解：∵， ，， ， 即， ， ． 故选B． 4. 下列各式属于因式分解的是（ ） A. B. C. D. 【答案】D 【解析】 【分析】本题考查了因式分解的定义，根据把一个多项式分解为几个整式的乘积的形式，即为因式分解， 【详解】解：A、不是因式分解，不符合题意； B、不是因式分解，不符合题意； C、不是因式分解，不符合题意； D、，是因式分解，符合题意； 故选：D 5. 下列三组数中，是勾股数的是（　　） A. 3，9，7 B. 2，3，4 C. 12，16，20 D. 4，5，6 【答案】C 【解析】 【分析】勾股数是满足两个较小数的平方和等于最大数的平方的三个正整数，只需逐一验证各选项即可． 【详解】解：对选项A，∵，，， ∴A不是勾股数； 对选项B，∵，，， ∴B不是勾股数； 对选项C，∵，， ∴，且三个数均为正整数， ∴C是勾股数； 对选项D，∵，，， ∴D不是勾股数． 6. 若关于x的分式方程无解，k的值为（ ） A. 1 B. 0 C. D. 【答案】C 【解析】 【分析】本题主要考查分式方程无解的情况，正确理解分式方程的计算过程，确定分式方程无解时未知数的值是解题的关键． 【详解】解：化简得：， ∵方程无解， ∴， 将代入得：， 解得：，故C正确． 故选：C. 二．填空题（满分18分，每小题3分） 7. 分解因式：2x2﹣8=_______ 【答案】2（x+2）（x﹣2） 【解析】 【分析】先提公因式，再运用平方差公式． 【详解】2x2﹣8， =2（x2﹣4）， =2（x+2）（x﹣2）． 【点睛】考核知识点：因式分解.掌握基本方法是关键． 8. 一个人沿坡面向上走了米，而升高了米，那么这个坡的坡比________． 【答案】 【解析】 【分析】本题考查了坡度的定义，利用勾股定理可求出行走的水平距离，根据坡度的定义即可得答案. 【详解】∵向上行走了10米，上升高度为6米， ∴行走的水平距离=米， ∴此斜坡的坡度， 故答案为： 9. 计算的结果为________． 【答案】 【解析】 【分析】本题考查了二次根式的混合运算，先化简二次根式，计算负整指数幂，再计算乘法，即可得；掌握二次根式、负整指数幂、二次根式的混合运算是解题的关键． 【详解】解：原式 ． 10. 若，，则的最小值为________． 【答案】 【解析】 【分析】本题主要考查完全平方公式及二次函数的性质，熟练掌握完全平方公式及二次函数的性质是解题的关键； 由题意易得，然后根据完全平方公式及二次函数的性质可进行求解． 【详解】解：∵，即，， ∴ ， ∵， ∴， ∴最小值为； 故答案为． 11. 有依次排列的3个数：2，9，7，对任意相邻的两个数，都用右边的数减去左边的数，所得之差写在这两个数之间，可产生一个新数串：2，7，9，，7，这称为第一次操作；做第二次同样的操作后也可产生一个新数串：2，5，7，2，9，，，9，7，继续依次操作下去，问：从数串2，9，7开始，操作2025次以后所产生的那个新数串的所有数之和是__________ ． 【答案】10143 【解析】 【分析】此题主要考查了规律－数字变化类．根据规律分别求得第一次操作，第二次操作所增加的数都为5，从而求得第2025次操作后所有数之和，即可解答． 【详解】解：由题意可得，第一次操作增加， 第二次操作增加， 所以每次操作加5， 则第2025次操作后所有数之和为． 故答案是：10143． 12. 在等腰中，，，是上任意一点，，，______． 【答案】2 【解析】 【分析】本题考查等腰三角形的性质，直角三角形30度的性质，三角形的面积等知识，解题的关键是学会利用面积法解决问题，属于中考常考题型． 作于，利用含30度的直角三角形的性质得到，根据，，，列出等式，由此即可解决问题． 【详解】解：过作于， ， ， ∵，，， ， 则， 则， 故答案为：2． 三．解答题（满分30分，每小题6分） 13. （1）计算：； （2）解方程：． 【答案】（1）；（2）无解 【解析】 【分析】（1）原式利用完全平方公式和平方差公式展开，再合并计算； （2）分式方程去分母转化为整式方程，求出整式方程的解得到x的值，经检验即可得到分式方程的解． 【详解】解：（1） ； （2）， 方程两边乘以得：， 解得：， 检验：当时，， ∴是原方程的增根， ∴原方程无解． 【点睛】此题考查了二次根式的混合运算，解分式方程，利用了转化的思想，解分式方程注意要检验． 14. 如图，，，．求证：． 【答案】 证明：， ， ， 在和中， ， ． 【解析】 【分析】本题主要考查了全等三角形的判定与性质．根据可证，利用可证，根据全等三角形对应角相等可证结论成立． 【详解】略 15. 阅读与思考 下面是小聪同学的数学日记，请仔细阅读，并解答问题． 今天，我在参加学校举办的升国旗仪式时，发现系在旗杆顶端的绳子垂到地面时，其末端刚好与旗杆底端重合，那么，能不能借助这段绳子的长度测量旗杆的高度呢？我设计了如下测量方案： 【测量方案】 如图，线段表示旗杆，点A是旗杆的顶端，用手拉住绳子末端，从点B处后退，当绳子拉直时，其末端恰好落在宣传栏上的点D处，此时测得点D到地面的距离为2米，B，C两点之间的距离为8米，已知A，B，C，D四点均在同一竖直平面内． 【计算过程】 解：如图，过点D作于点E， ∴米，米， … 请将小聪的计算过程补充完整． 【答案】旗杆的高度为17米 【解析】 【详解】解：由题意知，四边形是矩形， ∴米，米， 设旗杆的高度为x米， 则的长度为米， 在中，，，， 由勾股定理得：，即， 解得：， ∴旗杆的高度为17米． 16. 先化简，再求代数式的值，其中． 【答案】， 【解析】 【分析】本题考查了分式的化简求值，先计算括号中的异分母分式减法，同时将除法写成乘法，再计算乘法，最后将代入计算即可，掌握分式的混合运算法则是解题的关键． 【详解】解：原式 ， 当时，原式． 17. 网格纸上每个小正方形的边长为1． （1）在图1中，以端点均在网格格点上的线段为边画正方形． （2）在图2中，画底边长，腰的等腰，并求高的长度． 【答案】（1）见解析 （2）见解析， 【解析】 【分析】本题主要考查了勾股定理，正方形的判定和等腰三角形的判定和性质，熟知勾股定理是解题的关键． （1）利用网格图的特征以及勾股定理画出图形即可； （2）方法一：根据等腰三角形的性质可得， 然后在中，根据勾股定理解答即可；方法二：根据，解答即可． 【小问1详解】 解：如图1，正方形即为所求； 【小问2详解】 解：如图2，等腰即为所求． 方法一：在等腰中，， ， ∴在中，，根据勾股定理得： ； 方法二：， 又 ∴． 四．解答题（满分24分，每小题8分） 18. 材料阅读 材料一：两个含有二次根式且非零的代数式相乘，如果它们的积不含二次根式，那么这两个代数式互为有理化因式． 例如：，，我们称的一个有理化因式是，的一个有理化因式是． 材料二：如果一个代数式的分母中含有二次根式，通常可将分子、分母同乘分母的有理化因式，使分母中不含根号，这种变形叫做分母有理化． 例如：，． 请你仿照材料中的方法探索并解决下列问题： （1）填空：的有理化因式是_____________．（写出一个即可） （2）化简：． （3）比较与的大小，并说明理由．（提示：逆向运用分母有理化） 【答案】（1）（答案不唯一） （2） （3），见解析 【解析】 【分析】本题考查了分母有理化，平方差公式．熟练掌握分母有理化，平方差公式是解题的关键． （1）根据题干求解作答即可； （2）根据，计算求解即可； （3）由题意知，，，由，可判断与的大小． 【小问1详解】 解：由题意知，的有理化因式是， 故答案为：； 【小问2详解】 解： ； 【小问3详解】 解：，理由如下； 由题意知，，， ∵， ∴，即． 19. 【问题呈现】为保障新冠病毒疫苗接种需求，某生物科技公司开启“加速”模式，生产效率比原先提高了20%，现在生产420万剂疫苗所用时间比原先生产380万剂疫苗所用的时间少0.6天．问原先每天生产多少万剂疫苗． （1）【分析数据】某学习小组用表格的形式对本问题的信息进行了梳理，请你把表格内容补充完整： 时间生产量 原先 现在 生产总量（单位：万剂） ______ 420 每天生产量（单位：万剂） ______ （2）【建模解答】（请你完整解答本题） 【答案】（1）420；380；；（2）50 【解析】 【分析】（1）根据题意直接得到答案； （2）根据时间=总量除以每天的生产量及现在生产420万剂疫苗所用时间比原先生产380万剂疫苗所用的时间少0.6天，列分式方程解答即可． 【详解】解：（1）原先生产总量为420万剂，现在生产总量为380万剂， 设原先每天生产x万剂，则现在每天生产万剂， 故答案依次为：420；380；； （2）根据题意得， 解得， 经检验，是分式方程的解且符合题意， 答：原先每天生产50万剂疫苗． 【点睛】此题考查了分式方程的实际应用，正确理解题意确定等量关系是解题的关键． 20. 整式乘法与因式分解是相反的变形，如整式乘法，反过来为，恰好是因式分解．基于上述原理，将式子分解因式如下： ，一次项①分解二次项和常数项；②交叉相乘再相加验证一次项：；③横向写出两因式：． 请仔细阅读材料，回答下列问题： （1）填空：______； （2）若可分解为（a，b均为整数），则整数p的所有可能值有哪些？ 【答案】（1） （2）或或或或或 【解析】 【分析】本题考查了十字相乘法因式分解，解题关键是掌握“将二次项、常数项拆分后交叉相乘验证一次项”的十字相乘方法． （1）将的二次项拆为，常数项拆为，交叉相乘匹配一次项，横向写出因式． （2）把展开，得出，，找出的所有整数拆分方式，即可得到整数的所有可能值． 【小问1详解】 解： 故答案为． 【小问2详解】 解：∵可分解为， ∴， ∴，， ∵、为整数， ∴， ∵，，，，，，， ，，，，， ∴整数p的所有可能值为或或或或或． 五．解答题（满分18分，每小题9分） 21. 如果分式与分式的差为常数，且为正整数，则称为的“差整分式”，常数称为“差整值”．如分式，，，故为的“差整分式”，“差整值”． （1）以下各组分式中，为的“差整分式”的是______（填序号）； ①， ②， ③； （2）已知分式为的“差整分式”，且“差整值”为2，求所代表的代数式； 【答案】（1）② （2） 【解析】 【分析】本题考查的是新定义运算的理解，分式的加减运算，理解题意是解本题的关键． （1）分别计算出，然后根据“差整分式”定义判断即可； （2）根据“差整分式”定义列出关于G的方程，然后求解即可． 【小问1详解】 解：， A不是B的“差整分式”， ②， ； A是B的“差整分式”， ③ ； A不是B的“差整分式”， 故答案为：② 【小问2详解】 分式 ， ，C为D的“差整分式”，且“差整值”为， ， ∴， 解得：． 22. 如图，点C为矩形和正方形的公共顶点，点E，F在矩形的边，上． （1）求证：； （2）连接，若，F是的中点，求的长； （3）在（2）的条件下，猜想和的数量关系，并说明理由． 【答案】（1）见解析 （2） （3），理由见解析 【解析】 【分析】（1）证明即可； （2）先求出的长，再利用正方形的对角线求出； （3）过点作于点，先证明，可得，从而可得，再证明，即可得结论． 【小问1详解】 证明：∵四边形是矩形，四边形是正方形， ∴，， ∴， ∴， 在和中， ， ∴， ∴． 【小问2详解】 解：如图，连接， ∵四边形是正方形，四边形是矩形， ∴，， ∵点F是的中点， ∴， ∵由（1）可知，， 在中，， ∴， ∵四边形是正方形， ∴是等腰直角三角形， ∴． 【小问3详解】 解：，理由如下： 如图，过点作于点，则， ∵四边形是矩形，四边形是正方形， ∴，， ∴，即， 在和中， ， ∴， ∴， 由（1）知：， ∴， ∵点F是的中点， ∴， ∴， 在和中， ， ∴， ∴． 六．解答题（满分12分） 23. 通过学习，同学们发现在正方形网格中，构造某些图形可以发现和解决一些数学问题．例如：在正方形网格中（每个小正方形的边长都为1），如图1，构造，比较与的大小，其理由如下：因为，点A、B、C都为小正方形的顶点（构造图形），所以（三角形任意两边之和大于第三边）．因为，（勾股定理），，所以． （1）在上面解决问题的过程中，体现了初中数学的一种重要的基本思想是___________（填写正确选项的字母代号）． A．类比思想 B．整体思想 C．分类讨论思想 D．数形结合思想 （2）参考“例子”中的方法，在图2中，构造图形，比较与的大小，并说明理由． 【答案】（1）D （2）；理由见解析 【解析】 【分析】（1）利用数形结合的思想解决问题； （2）根据题干中的方法解决问题即可． 【小问1详解】 解：在上面解决问题的过程中，体现了初中数学的一种重要的基本思想是数形结合，故D正确． 故选：D． 【小问2详解】 解：；理由如下： 根据题意构造，如图所示： ∵三角形任意两边之差小于第三边， ∴， ∵，，， ∴． 【点睛】本题主要考查了勾股定理和网格问题，解题的关键是数形结合，构造合适的三角形． 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $ 2025-2026学年八年级（下）开学收心数学试卷 一．选择题（每小题3分，本大题共18分） 1. 下列图形中，是轴对称图形的是（ ） A. B. C. D. 2. 已知，则满足的关系是（ ） A. B. C. D. 3. 如图，，且点E恰好落在线段上，，则的度数为（ ） A. B. C. D. 4. 下列各式属于因式分解的是（ ） A. B. C. D. 5. 下列三组数中，是勾股数的是（　　） A. 3，9，7 B. 2，3，4 C. 12，16，20 D. 4，5，6 6. 若关于x的分式方程无解，k的值为（ ） A. 1 B. 0 C. D. 二．填空题（满分18分，每小题3分） 7. 分解因式：2x2﹣8=_______ 8. 一个人沿坡面向上走了米，而升高了米，那么这个坡的坡比________． 9. 计算的结果为________． 10. 若，，则的最小值为________． 11. 有依次排列的3个数：2，9，7，对任意相邻的两个数，都用右边的数减去左边的数，所得之差写在这两个数之间，可产生一个新数串：2，7，9，，7，这称为第一次操作；做第二次同样的操作后也可产生一个新数串：2，5，7，2，9，，，9，7，继续依次操作下去，问：从数串2，9，7开始，操作2025次以后所产生的那个新数串的所有数之和是__________ ． 12. 在等腰中，，，是上任意一点，，，______． 三．解答题（满分30分，每小题6分） 13. （1）计算：； （2）解方程：． 14. 如图，，，．求证：． 15. 阅读与思考 下面是小聪同学的数学日记，请仔细阅读，并解答问题． 今天，我在参加学校举办的升国旗仪式时，发现系在旗杆顶端的绳子垂到地面时，其末端刚好与旗杆底端重合，那么，能不能借助这段绳子的长度测量旗杆的高度呢？我设计了如下测量方案： 【测量方案】 如图，线段表示旗杆，点A是旗杆的顶端，用手拉住绳子末端，从点B处后退，当绳子拉直时，其末端恰好落在宣传栏上的点D处，此时测得点D到地面的距离为2米，B，C两点之间的距离为8米，已知A，B，C，D四点均在同一竖直平面内． 【计算过程】 解：如图，过点D作于点E， ∴米，米， … 请将小聪的计算过程补充完整． 16. 先化简，再求代数式的值，其中． 17. 网格纸上每个小正方形的边长为1． （1）在图1中，以端点均在网格格点上的线段为边画正方形． （2）在图2中，画底边长，腰的等腰，并求高的长度． 四．解答题（满分24分，每小题8分） 18. 材料阅读 材料一：两个含有二次根式且非零的代数式相乘，如果它们的积不含二次根式，那么这两个代数式互为有理化因式． 例如：，，我们称的一个有理化因式是，的一个有理化因式是． 材料二：如果一个代数式的分母中含有二次根式，通常可将分子、分母同乘分母的有理化因式，使分母中不含根号，这种变形叫做分母有理化． 例如：，． 请你仿照材料中的方法探索并解决下列问题： （1）填空：的有理化因式是_____________．（写出一个即可） （2）化简：． （3）比较与的大小，并说明理由．（提示：逆向运用分母有理化） 19. 【问题呈现】为保障新冠病毒疫苗接种需求，某生物科技公司开启“加速”模式，生产效率比原先提高了20%，现在生产420万剂疫苗所用时间比原先生产380万剂疫苗所用的时间少0.6天．问原先每天生产多少万剂疫苗． （1）【分析数据】某学习小组用表格的形式对本问题的信息进行了梳理，请你把表格内容补充完整： 时间生产量 原先 现在 生产总量（单位：万剂） ______ 420 每天生产量（单位：万剂） ______ （2）【建模解答】（请你完整解答本题） 20. 整式乘法与因式分解是相反的变形，如整式乘法，反过来为，恰好是因式分解．基于上述原理，将式子分解因式如下： ，一次项①分解二次项和常数项；②交叉相乘再相加验证一次项：；③横向写出两因式：． 请仔细阅读材料，回答下列问题： （1）填空：______； （2）若可分解为（a，b均为整数），则整数p的所有可能值有哪些？ 五．解答题（满分18分，每小题9分） 21. 如果分式与分式的差为常数，且为正整数，则称为的“差整分式”，常数称为“差整值”．如分式，，，故为的“差整分式”，“差整值”． （1）以下各组分式中，为的“差整分式”的是______（填序号）； ①， ②， ③； （2）已知分式为的“差整分式”，且“差整值”为2，求所代表的代数式； 22. 如图，点C为矩形和正方形的公共顶点，点E，F在矩形的边，上． （1）求证：； （2）连接，若，F是的中点，求的长； （3）在（2）的条件下，猜想和的数量关系，并说明理由． 六．解答题（满分12分） 23. 通过学习，同学们发现在正方形网格中，构造某些图形可以发现和解决一些数学问题．例如：在正方形网格中（每个小正方形的边长都为1），如图1，构造，比较与的大小，其理由如下：因为，点A、B、C都为小正方形的顶点（构造图形），所以（三角形任意两边之和大于第三边）．因为，（勾股定理），，所以． （1）在上面解决问题的过程中，体现了初中数学的一种重要的基本思想是___________（填写正确选项的字母代号）． A．类比思想 B．整体思想 C．分类讨论思想 D．数形结合思想 （2）参考“例子”中的方法，在图2中，构造图形，比较与的大小，并说明理由． 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $