精品解析：安徽合肥市阳光中学2025-2026学年下学期八年级期初收心数学试题

2025-2026学年下学期八年级期初收心数学试题 一．选择题（本题共10个小题，每小题3分，共30分） 1. 已知第三象限的点，那么点P到x轴的距离为（ ） A B. 3 C. D. 5 2. 下列图片，不是轴对称图形的是（ ） A. B. C. D. 3. 观察下列命题：①有一个角是的等腰三角形是等边三角形；②到线段两端点的距离相等的点在这条线段的垂直平分线上；③有两个角互余的三角形是直角三角形；④全等三角形的周长相等其中真命题的个数是（ ） A. B. C. D. 4. 关于函数，下列结论中正确的是（　　） A. 函数图象经过点 B. 函数图象经过第二、第四象限 C. y随x增大而增大 D. 不论x取何值，总有 5. 已知与全等，其中，，，，则的长为（　　） A. 3 B. 4 C. 5 D. 不确定 6. 如图，在中，、的平分线、相交于点，，，则的度数为（ ） A. B. C. D. 7. 如图，直线与线段交于点，点在直线上，且．小明说：“直线是垂直平分线．”小亮说：“需再添加一个条件，小明的结论才正确．”下列判断错误的是（ ） A. 小明说得不对 B. 小亮说得对，可添条件为“” C. 小亮说得对，可添条件为“” D. 小亮说得对，可添条件为“平分” 8. 一次函数与（，为常数，且），它们在同一坐标系内的图象可能为（　　） A. B. C. D. 9. 甲、乙两人分别从两地同时出发，相向而行，甲先步行，乙先骑车，两人相遇后，乙将车给甲骑，自己改为步行．设乙骑车的速度是甲的2倍，途中交接车辆时间忽略不计．如图是乙与A地的距离y与出发时间x之间的函数图象，则甲到达B的时间是（ ） A. B. t C. D. 10. 如图，在中，和的平分线相交于点O，过O点作直线交于点E，交于点F，过点O作于D，有下列四个结论： ①；②；③点O到各边的距离相等；④设，，则，其中正确的结论有（ ） A. 1个 B. 2个 C. 3个 D. 4个 二．填空题（本题共4个小题，每小题4分，共16分） 11. 若函数的解析式在实数范围内有意义，则自变量x的取值范围是_______． 12. 若三角形的两边长分别为4和6，则第三边的长度可以为________（写出一个即可）． 13. 如图，在中，，，交于点，，则_____． 14. 一次函数的图象经过点，则的值为______；当时，对于的每一个值，函数的值小于函数的值，则的取值范围______． 三．解答题（共7小题，满分54分） 15. 如图，将直线向下平移2个单位长度，得到一个一次函数的图象，求这个一次函数图象的表达式． 16. 如图，，，，垂足为点E，，垂足为点F．求证：． 17. 描点与作图 （1）用数对表示三角形三个顶点的位置：，B（　　），C（　　）； （2）以为对称轴画出三角形的轴对称图形； （3）将三角形向右平移8格，画出平移后的三角形． 18. 如图，一次函数l1：y=2x-2的图象与x轴交于点D，一次函数l2：y=kx+b的图象与x轴交于点A，且经过点B（3，1），两函数图象交于点C（m，2）． （1）求m，k，b值； （2）根据图象，直接写出1＜kx+b＜2x-2的解集． 19. 如图，，的垂直平分线交于点，交于点，连接． （1）请对题干中的划线部分尺规作图（保留作图痕迹），并标记两点； （2）若，的周长为19，求的长． 20. 近年来，某市坚持经济转型发展的强劲态势，在新能源方面，充分挖掘该市山脉的风力资源与日照资源优势，加快推进风力发电、光伏发电发展．该市2021年风力发电与光伏发电合计发电量为32亿度，2022年风力发电与光伏发电合计发电量为45亿度，已知2022年风力发电量是2021年的倍，2022年光伏发电量是2021年的倍． （1）求该市2021年风力发电量与光伏发电量分别是多少亿度． （2）风力发电机组俗称“大风车”，某基地现有A，B型大风车共20台，其中A型大风车a台，且B型大风车的数量不低于A型大风车的2倍，每台A型大风车每年发电量为200万度，每台B型大风车每年发电量为350万度．设这20台大风车每年发电量为w万度，请你求出w关于a的函数关系式，并求出w的最小值． 21. 如图，在等腰中，，，，交于点O，过A作的垂线交BC于D，过D作的垂线交于G．连接并延长交于M． （1）求证：； （2）连接．求证：． （3）作射线，在上是否存在一点K，使和有最小值，如果有请求出这个最小值，并求出此时的长；如果不存在，请说明理由． 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $ 2025-2026学年下学期八年级期初收心数学试题 一．选择题（本题共10个小题，每小题3分，共30分） 1. 已知第三象限的点，那么点P到x轴的距离为（ ） A. B. 3 C. D. 5 【答案】D 【解析】 【分析】根据点到x轴的距离等于纵坐标的绝对值解答即可． 【详解】解：点到x轴的距离为． 故选：D． 【点睛】本题考查了点的坐标到坐标轴的距离，熟记点到x轴的距离等于纵坐标的绝对值是解题的关键． 2. 下列图片，不是轴对称图形的是（ ） A. B. C. D. 【答案】B 【解析】 【分析】本题考查了轴对称图形的识别，解题的关键在于熟练掌握：在平面内，一个图形沿一条直线折叠，直线两旁的部分能够完全重合的图形叫做轴对称图形． 根据轴对称图形的概念求解即可． 【详解】解：A、该图形是轴对称图形，不符合题意； B、该图形不是轴对称图形，符合题意； C、该图形是轴对称图形，不符合题意； D、该图形是轴对称图形，不符合题意； 故选：B． 3. 观察下列命题：①有一个角是的等腰三角形是等边三角形；②到线段两端点的距离相等的点在这条线段的垂直平分线上；③有两个角互余的三角形是直角三角形；④全等三角形的周长相等其中真命题的个数是（ ） A. B. C. D. 【答案】D 【解析】 【分析】利用等边三角形的判定方法、垂直平分线的判定、直角三角形的判定及全等三角形的性质等知识分别判断即可．本题考查了命题与定理的知识，解题的关键是了解有关的定义及性质． 【详解】解：有一个角是的等腰三角形是等边三角形，正确，是真命题，符合题意； 到线段两端点的距离相等的点在这条线段的垂直平分线上，正确，是真命题，符合题意； 有两个角互余的三角形是直角三角形，正确，是真命题，符合题意； 全等三角形的周长相等，正确，是真命题，符合题意． 真命题有个， 故选：D． 4. 关于函数，下列结论中正确的是（　　） A. 函数图象经过点 B. 函数图象经过第二、第四象限 C. y随x的增大而增大 D. 不论x取何值，总有 【答案】B 【解析】 【分析】根据正比例函数的性质逐项分析即可． 【详解】解：A．当时，，， ∴函数的图象不经过点，故不符合题意； B．∵， ∴函数的图象经过第二、四象限，故符合题意； C．∵， ∴y随x的增大而减小，故不符合题意； D．当时，，故不符合题意． 故选：B． 【点睛】本题考查了正比例函数图象上点的坐标特征，以及正比例函数的性质，熟练掌握正比例函数的性质是解题的关键． 5. 已知与全等，其中，，，，则的长为（　　） A. 3 B. 4 C. 5 D. 不确定 【答案】A 【解析】 【分析】先利用三角形内角和定理求出，得到，再根据全等三角形的性质，对应角所对的边是对应边，对应边相等即可求解． 【详解】解：∵，， ∴在中，， ∵， ∴， ∵与全等，的对边为，的对边为，， ∴． 6. 如图，在中，、的平分线、相交于点，，，则的度数为（ ） A. B. C. D. 【答案】A 【解析】 【分析】本题考查角平分线的定义和三角形外角的定义，熟练掌握角平分线和三角形外角的定义是解题的关键，根据角平分线的定义得到，，再由外角的定义得到，代入即可得到答案． 【详解】解：∵平分、平分， ∴，， ∵，， ∴，， ∴， 故答案为：A． 7. 如图，直线与线段交于点，点在直线上，且．小明说：“直线是的垂直平分线．”小亮说：“需再添加一个条件，小明的结论才正确．”下列判断错误的是（ ） A. 小明说得不对 B. 小亮说得对，可添条件为“” C. 小亮说得对，可添条件为“” D. 小亮说得对，可添条件为“平分” 【答案】B 【解析】 【分析】本题考查了线段垂直平分线的判定，根据线段垂直平分线的判定进行判断即可． 【详解】解：A、可添条件为“”才能说：“直线是的垂直平分线．”，故小明说的不对，该选项正确； B、添条件为“”，则，不能证明，故该选项错误； C、添条件为“”，在和中，，则， ， 直线是的垂直平分，故该选项正确； D、添条件为“平分”， 在和中，，则， ， 直线是的垂直平分，故该选项正确； 故选：B． 8. 一次函数与（，为常数，且），它们在同一坐标系内的图象可能为（　　） A. B. C. D. 【答案】C 【解析】 【分析】根据一次函数的图象与系数的关系，由一次函数图象分析可得的符号，进而可得的符号，从而判断的图象是否符合，进而比较可得答案． 【详解】解：根据一次函数的图象分析可得： 对于A、由一次函数图象可知，则； 正比例函数的图象可知，故此选项不符合题意； 对于B、由一次函数图象可知，则； 正比例函数的图象可知，故此选项不符合题意； 对于C、由一次函数图象可知，； 正比例函数的图象可知，故此选项符合题意； 对于D、由一次函数图象可知，； 正比例函数的图象可知，故此选项不符合题意． 9. 甲、乙两人分别从两地同时出发，相向而行，甲先步行，乙先骑车，两人相遇后，乙将车给甲骑，自己改为步行．设乙骑车的速度是甲的2倍，途中交接车辆时间忽略不计．如图是乙与A地的距离y与出发时间x之间的函数图象，则甲到达B的时间是（ ） A. B. t C. D. 【答案】D 【解析】 【分析】本题考查了一次函数图象与行程问题的结合，具体涉及路程、速度、时间的关系以及分段函数的实际应用．解题的关键点是：读懂函数图象中横纵坐标的意义，找出乙在不同时间段的运动状态，利用“相遇时两人路程和为总路程”这一等量关系列出方程． 【详解】解：由图知：，则， 故甲在相遇前步行，距离为，相遇后骑车距离为， 甲总时间：， 故选：D． 10. 如图，在中，和的平分线相交于点O，过O点作直线交于点E，交于点F，过点O作于D，有下列四个结论： ①；②；③点O到各边的距离相等；④设，，则，其中正确的结论有（ ） A. 1个 B. 2个 C. 3个 D. 4个 【答案】C 【解析】 【分析】根据角平分线的定义和三角形的内角和定理，即可求得②正确；与不一定平行，进而得出①不正确；过点O作于M，作于N，连接，由角平分线的性质定理得出，然后利用三角形的面积公式即可得出④正确；由角平分线的性质定理得出，于是可得结论③正确． 【详解】解：∵和的平分线相交于点O， ∴， ∴， ∴， ∴②符合题意； ∵和平分线相交于O， ∴， ∵与不一定平行， ∴与不一定相等，与不一定相等， ∴与不一定相等，与不一定相等， ∴与不一定相等，与不一定相等， ∴， ∴故①错误； 如图： 过点O作于M，作于N，连接， ∵和的角平分线相交于点O， ∴， ∴， ∵， ∴ ， ∴④符合题意； 由， 即点O到各边的距离相等， ∴③符合题意； ∴正确的结论有：②③④，共3个， 故答案为：C． 【点睛】本题主要考查了角平分线的定义，三角形的内角和定理，平行线的性质，等腰三角形的判定，角平分线的性质定理，三角形的面积公式等知识点． 二．填空题（本题共4个小题，每小题4分，共16分） 11. 若函数的解析式在实数范围内有意义，则自变量x的取值范围是_______． 【答案】##x不等于1 【解析】 【分析】本题考查了反比例函数自变量的取值范围，掌握分母不为0是解题的关键．根据反比例函数分母不为0求解即可． 【详解】解：解析式在实数范围内有意义， ， ， 故答案为：． 12. 若三角形的两边长分别为4和6，则第三边的长度可以为________（写出一个即可）． 【答案】6（只要满足大于2小于10均可） 【解析】 【分析】本题主要考查了构成三角形的条件，三角形中任意两边之差小于第三边，任意两边之和大于第三边，据此求出第三边的取值范围即可得到答案． 【详解】解：∵三角形的两边长分别为4和6， ∴第三边长， ∴第三边长， ∴第三边的长度可以为6， 故答案为：6（只要满足大于2小于10均可）． 13. 如图，在中，，，交于点，，则_____． 【答案】6 【解析】 【分析】此题主要考查了直角三角形的性质，以及等腰三角形的判定和性质，关键是掌握在直角三角形中，30度角所对的直角边等于斜边的一半．利用等腰三角形的性质可得，然后利用含30度角的直角三角形可得的长，进而可得答案． 【详解】解：∵， ， ， ， ， ， ， ， 在中，， ， ， 故答案为：6． 14. 一次函数的图象经过点，则的值为______；当时，对于的每一个值，函数的值小于函数的值，则的取值范围______． 【答案】 ①. ②. 【解析】 【分析】本题考查了待定系数法求一次函数解析式、一次函数的图象与性质，熟练掌握以上知识点并灵活运用是解此题的关键．根据一次函数图象上的点满足函数解析式得到，解方程即可；求出函数的图象过定点，当时，，若函数的图象过，此时，则，结合和的图象即可得到答案． 【详解】解：一次函数的图象经过点， ， ； 当时，， ∴函数图象过定点， 当时，， 若函数的图象过， 则， 此时，则此时， 如图， 当时，对于的每一个值，函数的值小于函数的值， 的取值范围是． 故答案为：， 三．解答题（共7小题，满分54分） 15. 如图，将直线向下平移2个单位长度，得到一个一次函数的图象，求这个一次函数图象的表达式． 【答案】 【解析】 【分析】利用待定系数法求出直线的解析式为，然后利用一次函数的平移规律求解即可． 【详解】解：设直线的解析式为， 将点代入，得， 解得：， ∴直线的解析式为， 向下平移2个单位，得到解析式． 16. 如图，，，，垂足为点E，，垂足为点F．求证：． 【答案】见详解 【解析】 【分析】本题考查了全等三角形的判定与性质，作辅助线构造出全等三角形是解题的关键．连接，利用“边边边”证明和全等，再根据全等三角形对应边上的高相等证明． 【详解】证明：如图，连接， 在和中， ， ∴， ∴， ，， ∴， ． 17. 描点与作图 （1）用数对表示三角形三个顶点位置：，B（　　），C（　　）； （2）以为对称轴画出三角形的轴对称图形； （3）将三角形向右平移8格，画出平移后的三角形． 【答案】（1）； （2）见解析 （3）见解析 【解析】 【分析】（1）在数对中前面的数表示列，后面的数表示行，可写出B、C两个点的位置； （2）根据对称图形的画法进行解答画图即可； （3）三角形向右平移8格，根据平移的性质得出的顶点位置，依次连接即可． 【小问1详解】 解：用数对表示三角形三个顶点的位置． ； 故答案为：；； 【小问2详解】 解：三角形如图所示： ； 【小问3详解】 解：三角形如图所示： ． 【点睛】本题主要考查了学生对数对表示位置的知识及在方格纸上画平移和轴对称图形的能力． 18. 如图，一次函数l1：y=2x-2的图象与x轴交于点D，一次函数l2：y=kx+b的图象与x轴交于点A，且经过点B（3，1），两函数图象交于点C（m，2）． （1）求m，k，b的值； （2）根据图象，直接写出1＜kx+b＜2x-2的解集． 【答案】（1）m=2；；（2）2＜x＜3． 【解析】 【分析】（1）点C在直线l1上，将点C（m，2）代入一次函数l1：y=2x-2即可求得，将点C（2，2）、B（3，1）代入直线解析式，待定系数法求解析式即可求得的值； （2）根据函数图象写出直线l1在直线l2上方部分的x的取值范围，结合l1的函数值大于1的部分． 【详解】解：（1）∵点C在直线l1：y=2x-2上 ∴2=2m-2 解得m=2 ∵点C（2，2）、B（3，1）在直线l2上 ∴ 解得：； （2）图象可得， 两函数图象交于点C（2，2） 不等式组kx+b＜2x-2的解集为 由（1）可知由直线l2的解析式为 当时， 1＜kx+b＜2x-2的解集为． 【点睛】本题考查了一次函数性质，待定系数法求一次函数的解析式，一次函数交点问题及不等式，数形结合是解决此题的关键． 19. 如图，，的垂直平分线交于点，交于点，连接． （1）请对题干中的划线部分尺规作图（保留作图痕迹），并标记两点； （2）若，的周长为19，求的长． 【答案】（1）见解析 （2） 【解析】 【分析】（1）根据垂直平分线的尺规作图，作出线段即可； （2）根据线段垂直平分线的性质证得，，进而证得，，根据的周长求出的长即可． 【小问1详解】 解：如图所示： 【小问2详解】 解：垂直平分， ，， ， ， ， ， ． 20. 近年来，某市坚持经济转型发展的强劲态势，在新能源方面，充分挖掘该市山脉的风力资源与日照资源优势，加快推进风力发电、光伏发电发展．该市2021年风力发电与光伏发电合计发电量为32亿度，2022年风力发电与光伏发电合计发电量为45亿度，已知2022年风力发电量是2021年的倍，2022年光伏发电量是2021年的倍． （1）求该市2021年风力发电量与光伏发电量分别是多少亿度． （2）风力发电机组俗称“大风车”，某基地现有A，B型大风车共20台，其中A型大风车a台，且B型大风车的数量不低于A型大风车的2倍，每台A型大风车每年发电量为200万度，每台B型大风车每年发电量为350万度．设这20台大风车每年发电量为w万度，请你求出w关于a的函数关系式，并求出w的最小值． 【答案】（1）2021年风力发电与光伏发电量分别是22亿度、10亿度 （2）（，且a为正整数），w的最小值为6100 【解析】 【分析】（1）分别设出2021年风力发电量与光伏发电量为x、y，找到2022年风力发电量与光伏发电量与x、y的关系，列出方程即可求解出； （2）根据发电量列出函数解析式，判断a的取值范围，根据一次函数的增减性求出最小值． 【小问1详解】 解：设2021年风力发电量与光伏发电量分别是x亿度、y亿度，则2022年风力发电与光伏发电量分别是亿度、亿度，根据题意列方程： 解得 答：2021年风力发电与光伏发电量分别是22亿度、10亿度． 【小问2详解】 解：根据题意，， ∵B型大风车的数量不低于A型大风车的2倍， ∴， ∴， ∵， ∴w随a的增大而减小， 又∵a为正整数， ∴当时，w最小，此时， 故w的最小值为6100． 【点睛】本题考查了二元一次方程和一次函数，根据题意正确找出变量之间的关系，熟悉一次函数的增减性是解本题的关键． 21. 如图，在等腰中，，，，交于点O，过A作的垂线交BC于D，过D作的垂线交于G．连接并延长交于M． （1）求证：； （2）连接．求证：． （3）作射线，在上是否存在一点K，使的和有最小值，如果有请求出这个最小值，并求出此时的长；如果不存在，请说明理由． 【答案】（1）证明见解析 （2）证明见解析 （3）存在这样的一点K．．理由见解析 【解析】 【分析】（1）连接，设法证明即可得到求证结果． （2）设法证明所在的两个三角形全等，过程曲折，见下面详解． （3）先求证K位于的垂直平分线上，然后证明存在这样的K点，使得的和最小，最后结合三角函数的知识即可求得最小值． 【小问1详解】 如图，连接． 在与中，， ∴． ∴． 由得，（等边对等角）， ∴， 即：． ∴．再结合可知， ． ∴． 由A可知，． ∴． 由，得到， ， ∴． 在与中，， ∴． ∴． 【小问2详解】 如下图，设与的交点为L，与的交点为N，与交于P点，连接． 在直角与直角中，， 再由已证，得：． ∵（已证）， ∴， 即：．或 由已证得，． 在与中， ， ∴， 则． 在直角与直角中， ， ∴． ∴． ∴． ∴， 即：． ∴（等角对等边）． 由知． 在与中， ∴， ∴． 【小问3详解】 如下图，由已证及已知条件知，， 则是等腰直角三角形，且． 又已证， 所以射线在线段的垂直平分线上，即点K一定在线段的垂直平分线上． 如图1，在等腰直角中，K为内部的任意一点，如果存在一点K，使的和有最小值，则以A为旋转中心，顺时针将旋转，得到，则． 图1 ∵， ∴为等边三角形． ． ∴． 当处在同一条直线上时，的和有最小值．如下图2． 图2 此时因，则． ． ． ∴仅当K点满足时，的和有最小值． 因此，作等腰直角三角形的斜边的垂直平分线，与交于H，在上取点K，使，如图3，则，可推得， ，因此K点就是使的和有最小值的费马点． 图3 ∵， ∴． ∴． ． ． ∴． 故． 因此， 在上存在一点K，使的和有最小值，最小值是． 【点睛】本题考查了等腰直角三角形、等边三角形、全等三角形、特殊角三角函数等知识点，解题的关键是灵活运用综合分析法与探究法． 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $