10.1.3 两角和与差的正切（讲义）高一数学苏教版必修第二册

第十章 三角恒等变换 10.1.3 两角和与差的正切 知识点一 两角和与差的正切 两角和的正切：tan(α＋β)＝． 两角差的正切：tan(α－β)＝ 即学即练 （25-26高一上（25-26高一下·全国·课堂例题）（1）已知，求的值； （2）． 【答案】（1）；（2） 【知识点】用和、差角的余弦公式化简、求值、用和、差角的正切公式化简、求值 【分析】（1）根据题意，利用两角和与差的余弦公式，列出方程组，求得，的值，结合三角函数的基本关系式，即可求解； （2）根据两角和的正切公式，求得，代入计算，即可求解. 【详解】解：（1）因为， 可得，解得，， 则． （2）由， 可得， 所以. 题型01 求和、差角的正切 此类问题的解答首先要注意题目中的隐含条件，比如角的取值范围、三角函数值等；然后要注意寻找题目中各角的关系，比如α＋2β＝(α＋β)＋β等． （1）公式Tα±β只有在α≠＋kπ，β≠＋kπ，α±β≠＋kπ(k∈Z)时才成立，否则就不成立，这是由正切函数的定义域决定的． (2)特殊情况： 当tanα或tanβ或tan(α±β)的值不存在时，不能使用Tα±β处理有关问题，但可改用诱导公式或其他方法．例如化简tan(－β)，因为tan的值不存在，不能利用公式Tα－β，所以改用诱导公式来解． tan(－β)＝＝． 典｜例｜精｜析 （25-26高一下·全国·课后作业）已知，均为锐角，且，求的值． 【答案】 【知识点】用和、差角的正切公式化简、求值、正、余弦齐次式的计算 【分析】先借助于题设化弦为切，求得，再将利用和的正切公式展开，将前式代入化简计算即得. 【详解】因为, 所以． 变｜式｜巩｜固 1．（24-25高一下·安徽·期末）已知，则（   ） A． B． C． D． 【答案】B 【知识点】已知两角的正、余弦，求和、差角的正切、正、余弦齐次式的计算 【分析】先根据条件求出，再利用两角和差的正切公式求值即可. 【详解】因为，所以， 所以. 故选：B 2．（25-26高一上·江苏无锡·期末）设矩形（）的周长为，把沿向折叠，折过去后交于点.当的面积最大时，的长度为（   ）cm A． B． C． D． 【答案】C 【知识点】用和、差角的正切公式化简、求值、基本（均值）不等式的应用 【分析】由题意作图，根据对称以及矩形的性质，结合正弦函数的和差公式，利用基本不等式，可得答案. 【详解】由题意可作图如下： 由矩形的周长为，且，则，， 设，则，易知，， 则， 在中，， 所以面积， 当且仅当，等号成立， 故的面积最大值为，此时. 故选：C. 题型02 求15°等特殊角的正切 给角求值问题的策略： 解答这类题目一般先要用诱导公式把角化整化小，化“切”为“弦”，统一函数名称，然后观察角的关系以及式子的结构特点，化为特殊角进行求值． 典｜例｜精｜析 （21-22高一下·陕西咸阳·月考）______． 【答案】/ 【知识点】求15°等特殊角的正切、用和、差角的正弦公式化简、求值、用和、差角的余弦公式化简、求值 【分析】将拆成，利用两角差的正余弦公式，可将分子分母化简得到，再将拆成，计算即得. 【详解】. 故答案为：. 变｜式｜巩｜固 1．（23-24高一下·四川内江·月考）（    ）． A． B． C． D． 【答案】D 【知识点】求15°等特殊角的正切 【分析】由，利用两角差的正切公式计算可得. 【详解】 . 故选：D 2.（24-25高二下·云南红河·期中）（   ） A． B． C． D． 【答案】D 【知识点】用和、差角的正切公式化简、求值、求15°等特殊角的正切 【分析】将15°变成，75°变成，然后利用和差倍角的正切值进行计算. 【详解】. 所以. 故选：D. 题型03 用和、差角的正切公式化简、求值 (1)公式的适用条件： 公式中的α，β不仅可以是任意具体的角，也可以是一个“团体”，如tan(－)中的“”相当于公式中的角α，“”相当于公式中的角β． (2)角的变用，也称为角的变换，如α＝(α＋β)－β，2β＝(α＋β)－(α－β)． 不能灵活进行角的变换导致错误. 典｜例｜精｜析 （24-25高一下·山东济宁·期中）已知，，其中，. (1)求； (2)求. 【答案】(1) (2) 【知识点】已知两角的正、余弦，求和、差角的正切、已知两角的正、余弦，求和、差角的正弦、已知正（余）弦求余（正）弦 【分析】（1）利用同角三角函数的基本关系求出、的值，再利用两角差的正弦公式可求得的值； （2）求出、的值，利用两角差的正切公式求出、的值，代入可得的值. 【详解】（1）因为，，则，， 因为，， 所以，， ， 所以， . （2）因为， ， 所以， ， 因此. 变｜式｜巩｜固 1．（25-26高一上·广东肇庆·期末）在平面直角坐标系中，角是第二象限角且终边与单位圆交于点. (1)分别求的值； (2)若角且满足，求函数的对称中心. 【答案】(1)； (2). 【知识点】用和、差角的正切公式化简、求值、求正切（型）函数的对称中心、由终边或终边上的点求三角函数值 【分析】（1）根据单位圆特点解出，再利用三角函数定义即可得到答案； （2）利用两角差的正切公式即可求出的大小，再利用正切函数对称性即可得到答案. 【详解】（1）由题意得，且，解得， 则. （2）， 又因为，则，则， 令，解得， 则其对称中心为 2．（25-26高一下·全国·课堂例题）已知，求 (1)的值； (2)． 【答案】(1) (2) 【知识点】三角函数的化简、求值——同角三角函数基本关系、用和、差角的正切公式化简、求值 【分析】（1）先利用三角函数的基本关系式，求得的值，得到的值，再根据，结合两角差的正切公式，即可求解； （2）根据题意，由，结合两角和的正切公式，即可求解. 【详解】（1）解：因为，且，所以， 可得，所以， 又因为， 可得. （2）解：由（1）知，且， 可得. 题型04 逆用和、差角的正切公式化简、求值 1.“1”的代换：在Tα±β中如果分子中出现“1”常利用1＝tan45°来代换，以达到化简求值的目的． 2．若α＋β＝＋kπ，k∈Z，则有(1＋tanα)(1＋tanβ)＝2． 3．若化简的式子里出现了“tanα±tanβ”及“tanαtanβ”两个整体，常考虑tan(α±β)的变形公式． 典｜例｜精｜析 （25-26高一下·全国·课堂例题）化简： (1)； (2)． 【答案】(1) (2) 【知识点】用和、差角的正切公式化简、求值、逆用和、差角的正切公式化简、求值 【详解】（1）解：由两角和的正切公式，可得. （2）解：由， 可得， 所以 ． 变｜式｜巩｜固 1．（25-26高一上·江苏无锡·月考）若，则________. 【答案】 【知识点】逆用和、差角的正切公式化简、求值 【分析】根据正切函数的和角公式，结合已知条件，化简求值即可. 【详解】 . 故答案为： 2.（25-26高一下·全国·课堂例题）已知为锐角三角形的内角，求证：． 【答案】证明见解析 【知识点】诱导公式二、三、四、用和、差角的正切公式化简、求值 【分析】由三角形的内角和定理，得到，结合两角和的正切公式，进行化简，即可得证. 【详解】在中，可得，所以， 可得， 又由，所以， 可得， 所以． 题型05 两角和与差的三角函数公式的应用 三角恒等变换常见变形策略有：变角、变名、变次，其中变角是核心；常见变角形式有：2α＝(α－β)＋(α＋β)，＝α＋－(＋β)等． 变换角的结构形式不当导致错误. 典｜例｜精｜析 （24-25高一下·江苏南通·月考）用高中所学知识解决下列问题：如图正方形的边长为分别为上动点，且的周长为2. (1)求的最小值； (2)试判断是否为定值，如是，求出该定值，若不是，请说明理由； 【答案】(1) (2)是定值，定值为 【知识点】已知两角的正、余弦，求和、差角的正切、已知两角的正、余弦，求和、差角的正弦 【分析】（1）设，得出，求三角函数的值域即可求出的最小值； （2）设，，利用表示的周长即可化简得出，再利用两角和差的正切公式求出即可. 【详解】（1）设，则，， 因的周长为，则， 所以， 又，得，得， 当，即时，取得最小值，且的最小值； （2）设，，，则，， 则，，， 因的周长为，故， 即，得， ， 又，，则，故， 故，为定值； 变｜式｜巩｜固 1．（2025·河南新乡·三模）已知在中，，，则的值为（    ） A． B． C．2 D． 【答案】D 【知识点】已知两角的正、余弦，求和、差角的正切、诱导公式二、三、四、三角函数的化简、求值——同角三角函数基本关系 【分析】由同角三角函数的平方关系及商数关系得出，再根据诱导公式及两角和的正切公式即可求解． 【详解】由已知得，则， 所以， 故选：D． 2.（25-26高一上·浙江衢州·期末）已知，且，则的最小值为（   ） A． B．2 C． D． 【答案】A 【知识点】用和、差角的正弦公式化简、求值、用和、差角的正切公式化简、求值、基本不等式求和的最小值 【分析】由两角差的余弦公式、同角三角函数的商数关系化简可得，再由两角和的正切公式可得，最后由基本不等式求解即可. 【详解】由可得：， 即， 所以， 因为，所以，所以， 所以等式两边同时除以， 所以，即， 所以， 因为，所以， 所以， 当且仅当，即时取等， 所以的最小值为. 故选：A. 题型06 应用和差角正切公式求角 注意题设隐含条件的挖掘 个别条件所附带的信息有时较为隐蔽，常依据需要对题设条件进一步挖掘，如本例要依据“tan(α－β)＝，tanβ＝－，且α，β∈(0，π)”来进一步限定角α，β的范围． 由于角的范围过大致误 典｜例｜精｜析 （25-26高一上·江苏盐城·期末）已知，是方程的两根，且，. (1)求的值； (2)求的值. 【答案】(1) (2) 【知识点】给值求角型问题、用和、差角的正切公式化简、求值 【分析】（1）利用韦达定理先计算出，再由正切和角公式计算出的值； （2）分析 的范围，得到的范围，结合求解出的值. 【详解】（1）因为，是方程的两根， 所以； 由正切和角公式：. （2）因为，，所以. 又因为，所以. 变｜式｜巩｜固 1．（25-26高一下·全国·课后作业）已知，，且． （1）则的值为______； （2）则的值为______． 【答案】 【知识点】给值求角型问题、用和、差角的正切公式化简、求值 【分析】（1）根据两角和的正切公式求解即可. （2）根据两角和的正切公式结合特殊角的正切值求解即可. 【详解】（1）. （2）． 因为，所以． 因为，所以． 所以． 而，所以． 所以． 所以． 故答案为：；. 2.（25-26高一下·全国·课堂例题）（1）已知，， ，若，求的值． （2）已知，是方程的两根，且，，求． 【答案】（1）；（2） 【知识点】用和、差角的正切公式化简、求值、用和、差角的正弦公式化简、求值 【分析】（1）利用角的变换：，然后由正弦公式展开后求得，再根据角的范围得结论； （2）利用韦达定理求得，并确定角的范围后得结论. 【详解】（1）由，得， 则， 整理得， 由，，得，， 则，即， 所以，又，， 所以，则． （2）因为，是方程的两根，所以， ，所以，，又，， 所以，，所以． 又， 所以． 1 / 10 学科网（北京）股份有限公司 $ 第十章 三角恒等变换 10.1.3 两角和与差的正切 知识点一 两角和与差的正切 两角和的正切：tan(α＋β)＝． 两角差的正切：tan(α－β)＝ 即学即练 （25-26高一上（25-26高一下·全国·课堂例题）（1）已知，求的值； （2）． 题型01 求和、差角的正切 此类问题的解答首先要注意题目中的隐含条件，比如角的取值范围、三角函数值等；然后要注意寻找题目中各角的关系，比如α＋2β＝(α＋β)＋β等． （1）公式Tα±β只有在α≠＋kπ，β≠＋kπ，α±β≠＋kπ(k∈Z)时才成立，否则就不成立，这是由正切函数的定义域决定的． (2)特殊情况： 当tanα或tanβ或tan(α±β)的值不存在时，不能使用Tα±β处理有关问题，但可改用诱导公式或其他方法．例如化简tan(－β)，因为tan的值不存在，不能利用公式Tα－β，所以改用诱导公式来解． tan(－β)＝＝． 典｜例｜精｜析 （25-26高一下·全国·课后作业）已知，均为锐角，且，求的值． 变｜式｜巩｜固 1．（24-25高一下·安徽·期末）已知，则（   ） A． B． C． D． 2．（25-26高一上·江苏无锡·期末）设矩形（）的周长为，把沿向折叠，折过去后交于点.当的面积最大时，的长度为（   ）cm A． B． C． D． 题型02 求15°等特殊角的正切 给角求值问题的策略： 解答这类题目一般先要用诱导公式把角化整化小，化“切”为“弦”，统一函数名称，然后观察角的关系以及式子的结构特点，化为特殊角进行求值． 典｜例｜精｜析 （21-22高一下·陕西咸阳·月考）______． 变｜式｜巩｜固 1．（23-24高一下·四川内江·月考）（    ）． A． B． C． D． 2.（24-25高二下·云南红河·期中）（   ） A． B． C． D． 题型03 用和、差角的正切公式化简、求值 (1)公式的适用条件： 公式中的α，β不仅可以是任意具体的角，也可以是一个“团体”，如tan(－)中的“”相当于公式中的角α，“”相当于公式中的角β． (2)角的变用，也称为角的变换，如α＝(α＋β)－β，2β＝(α＋β)－(α－β)． 不能灵活进行角的变换导致错误. 典｜例｜精｜析 （24-25高一下·山东济宁·期中）已知，，其中，. (1)求； (2)求. 变｜式｜巩｜固 1．（25-26高一上·广东肇庆·期末）在平面直角坐标系中，角是第二象限角且终边与单位圆交于点. (1)分别求的值； (2)若角且满足，求函数的对称中心. 2．（25-26高一下·全国·课堂例题）已知，求 (1)的值； (2)． 题型04 逆用和、差角的正切公式化简、求值 1.“1”的代换：在Tα±β中如果分子中出现“1”常利用1＝tan45°来代换，以达到化简求值的目的． 2．若α＋β＝＋kπ，k∈Z，则有(1＋tanα)(1＋tanβ)＝2． 3．若化简的式子里出现了“tanα±tanβ”及“tanαtanβ”两个整体，常考虑tan(α±β)的变形公式． 典｜例｜精｜析 （25-26高一下·全国·课堂例题）化简： (1)； (2)． 变｜式｜巩｜固 1．（25-26高一上·江苏无锡·月考）若，则________. 2.（25-26高一下·全国·课堂例题）已知为锐角三角形的内角，求证：． 题型05 两角和与差的三角函数公式的应用 三角恒等变换常见变形策略有：变角、变名、变次，其中变角是核心；常见变角形式有：2α＝(α－β)＋(α＋β)，＝α＋－(＋β)等． 变换角的结构形式不当导致错误. 典｜例｜精｜析 （24-25高一下·江苏南通·月考）用高中所学知识解决下列问题：如图正方形的边长为分别为上动点，且的周长为2. (1)求的最小值； (2)试判断是否为定值，如是，求出该定值，若不是，请说明理由； 变｜式｜巩｜固 1．（2025·河南新乡·三模）已知在中，，，则的值为（    ） A． B． C．2 D． 2.（25-26高一上·浙江衢州·期末）已知，且，则的最小值为（   ） A． B．2 C． D． 题型06 应用和差角正切公式求角 注意题设隐含条件的挖掘 个别条件所附带的信息有时较为隐蔽，常依据需要对题设条件进一步挖掘，如本例要依据“tan(α－β)＝，tanβ＝－，且α，β∈(0，π)”来进一步限定角α，β的范围． 由于角的范围过大致误 典｜例｜精｜析 （25-26高一上·江苏盐城·期末）已知，是方程的两根，且，. (1)求的值； (2)求的值. 变｜式｜巩｜固 1．（25-26高一下·全国·课后作业）已知，，且． （1）则的值为______； （2）则的值为______． 2.（25-26高一下·全国·课堂例题）（1）已知，， ，若，求的值． （2）已知，是方程的两根，且，，求． 1 / 10 学科网（北京）股份有限公司 $