专题08 特殊平行四边形的性质与判定综合（压轴题专项训练）数学新教材沪科版八年级下册

品学科网·上好课 www.zxxk.com 上好每一堂课 专题08特殊平行四边形的性质与判定综合 目录 典例详解 类型一、平行四边形与特殊平行四边形的判定方法选择 类型二、矩形性质的综合应用（含直角三角形斜边中线性质） 类型三、菱形性质的综合应用（含对角线垂直与面积） 类型四、正方形性质的综合应用 压轴专练 典例详解 类型一、平行四边形与特殊平行四边形的判定方法选择 1.基本判定方法梳理 ①平行四边形判定：两组对边分别平行、两组对边分别相等、一组对边平行且相等、两组对角分别相等 对角线互相平分： ②矩形判定：有一个角是直角的平行四边形、对角线相等的平行四边形、有三个角是直角的四边形： ③菱形判定：有一组邻边相等的平行四边形、对角线互相垂直的平行四边形、四边相等的四边形； ④正方形判定：有一组邻边相等的矩形、有一个角是直角的菱形、对角线互相垂直的矩形、对角线相等 的菱形。 2.判定方法的选择策略 ①根据已知条件选择最直接的判定方法： ②注意从定义出发，先判定平行四边形再添加条件得到特殊平行四边形； ③区分判定与性质，不能混淆使用。 【重要性质】 ①矩形、菱形、正方形都是特殊的平行四边形，它们具有平行四边形的所有性质； ②正方形的判定可以“先矩形后菱形”或“先菱形后矩形”两种思路： ③对角线互相垂直的矩形是正方形，对角线相等的菱形也是正方形： ④易错提醒：判定时要注意条件的充分性，避免用性质当判定使用。 例1.(24-25八年级下·安微宿州期末)我们曾借助学习“图形的全等判定”获得的经验与方法对平行四边形 的判定”进行过探究. 1/12 学科网·上好课 www zxxk com 上好每一堂课 M D 图1 图2 图3 【知识回顾】 如图1，四边形ABCD中，我们用符号语言表示出所有的8个边，角、对角线的数量关系： ①AB=CD: ②AD=BC; ③AB∥CD: ④AD∥BC: ⑤ ⑥ ⑦0A=0C; ⑧0B=OD. ∠BAD=LBCD; LABC=ZADC 我们曾任意选择2个作为条件来探索四边形是否为平行四边形 (1)请选择上面8个条件中的2个，写出一个除了课本上平行四边形的定义及3条判定定理外可以判定四 边形为平行四边形的方法：-（请用文字语言表述）： 【数学思考】 若将①②组合可以得到新的数量关系⑨：AB+AD=CD+CB；⑦⑧组合可以得到新的数量关系⑩： OA+0D=OB+0C.那么它们是否可以再加一个条件来判定平行四边形呢？ (2)若选择④和⑨则可判定四边形是平行四边形.如图2，在四边形ABCD中，AD∥BC, AB+AD=CD+CB,求证：四边形ABCD是平行四边形，小明的同学思路如下： 证明：延长DA、BC并截取AM=AB,CN=CD, AB+AD=CD+CB AM+AD=CN+CB,即MD=BN AD∥BC 四边形MBND是平行四边形. 请同学们按照小明的思路完成证明过程， (3)在①或者③中选择一个条件和⑩组成条件也可以判定四边形是平行四边形，并证明.如图3，在四边 形ABCD中，AC、BD相交于点O,-,OA+OD=OB+OC·求证：四边形ABCD是平行四边形 变式1-1.(25-26九年级上·安徽宿州期末)如图，在口ABCD中，对角线AC、BD相交于点0，△AB0是 等腰三角形AO=BO,当ABC满足什么条件时？四边形ABCD为正方形，并说明理由. 2/12 函学科网·上好课 www zxxk.com 上好每一堂课 D B 变式1-2.(23-24八年级下·北京·期中)如图，在口ABCD中，AE平分∠BAD,交BC于点E,BF平分 ∠ABC,交AD于点F,AE与BF交于点P,连接EF,PD. B (I)求证：四边形ABEF是菱形： (2)若AB=8,AD=12,∠ABC=60°，求DP的长. 变式1-3.(25-26八年级上·安微安庆期末)如图，在口ABCD中，点E,F在对角线BD上，连接AE,AF ,CE,CF,∠BAE=∠DCF.求证： D (I)求证：△ABE≌△CDF. (②)求证：四边形AECF是平行四边形. 么类型二、矩形性质的综合应用（含直角三角形斜边中线性质） 1.矩形的性质 ①边：对边平行且相等； ②角：四个角都是直角； ②对角线：对角线相等且互相平分。 2.直角三角形斜边上的中线性质 直角三角形斜边上的中线等于斜边的一半。 【重要性质】 ①矩形的对角线把矩形分成四个等腰三角形： ②当两条对角线的夹角为60°或120°时，图中有等边三角形，可利用等边三角形的性质解题： ③直角三角形斜边上的中线性质常与矩形结合使用，如在矩形中，对角线的交点到各顶点的距离相等： ④常用技巧：在矩形问题中遇到中点，常考虑连接对角线或利用中线性质。 例2.(25-26八年级上·安徽六安期末)如图，在ABC中，∠ACB=90°，∠CAB=30°，BC=6,D为 3/12 品学科网·上好课 www zxxk com 上好每一堂课 AB上一动点（不与点A重合），△AED为等边三角形，过D点作DE的垂线，F为垂线上任意一点，G为 F的中点且始终有DG-号EF,则线段BG长的最小值是《） G B A.√108 B.6 C.√27 D.9 变式2-1.(25-26九年级上·安微六安期末)如图，在矩形ABCD中，AB=6,AD=9,点E,F分别为 AD,DC边上的动点，且EF=5,点G为EF的中点，点P为BC上一动点，则PA+PG的最小值为() E A.16 B.15 C.12.5 D.5.5 变式2-2.(25-26九年级上·安徽宿州·月考)如图，墙面M0与地面N0垂直，一块矩形木板ABCD的顶点 A,B分别在OM和ON上滑动，连接0C(图中各点均在同一平面内)，己知AB=8,BC=3,在木板滑动的 过程中，下面说法正确的是() M A.0C的最大值为9，最小值为3 B.0C的最大值为√3，最小值为3 C.0C的最大值为9，最小值为2 D.OC的最大值为√73，最小值为1 变式2-3.(19-20九年级上·全国·单元测试)如图，矩形ABCD中，E在AD上，且EF⊥EC,EF=EC, DE=2,矩形的周长为16，则AE的长是() B 4/12 品学科网·上好课 www zxxk.com 上好每一堂课 A.3 B.4 C.5 D.7 类型三、菱形性质的综合应用（含对角线垂直与面积） 1.菱形的性质 ①边：四条边都相等，对边平行； ②角：对角相等，邻角互补： ③对角线：对角线互相垂直平分，每条对角线平分一组对角。 2.菱形的面积公式 ①底×高： ②对角线乘积的一半。 【重要性质】 ①菱形是轴对称图形，两条对角线所在的直线是它的对称轴： ②菱形面积可用对角线乘积的一半计算，无需知道边长： ③对角线互相垂直平分，常与勾股定理结合求边长或对角线长： ④菱形被对角线分成四个全等的直角三角形，可利用这一性质进行等量转化。 例3.(2025安徽模拟预测)在边长为6的菱形ABCD中，AB=AC,点E、F是边BC、AB上的点，连 接EF, D 图1 图2 图3 (I)如图1，将∠B沿EF翻折使B的对应点B落在AC中点上，此时四边形BEB'F是什么四边形？并说明理 由. (②)如图2，若BE=2,以EF为边在EF右侧作等边△EFG; ①连接CG,当△CEG是以CG为腰的等腰三角形时，求BF的长度， ②直接写出CG的最小值 变式3-1.(25-26九年级上·安微滁州月考)如图，在矩形ABCD中，边AB的长为2√3，点E,F分别在 AD,BC上，连接BE,DF,EF,BD.若四边形BFDE是菱形，且EF=AE+FC,则菱形BFDE的周长 为() 5/12 命学科网·上好课 www zxxk com 上好每一堂课 C A.8V5 B.16 C.162 D.24 变式3-2.(25-26九年级上安徽宿州期末)如图，点O为菱形ABCD的对角线AC,BD的交点，过点C 作CE⊥AB于点E,连接OE,若OD=3,OE=2,求菱形ABCD的面积. E B 类型四、正方形性质的综合应用 1.正方形的性质 ①边：四条边都相等，对边平行； ②角：四个角都是直角； ③对角线：对角线相等且互相垂直平分，每条对角线平分一组对角。 2.正方形的对称性 既是轴对称图形(4条对称轴)，又是中心对称图形。 【重要性质】 ①正方形集中了矩形和菱形的所有性质，是特殊的矩形也是特殊的菱形： ②正方形的对角线将正方形分成四个等腰直角三角形： ③正方形中的45°角常与等腰直角三角形结合使用： ④在正方形中构造全等三角形是常用技巧（如旅转、翻折等）。 例4.(25-26八年级上·安徽淮北月考)如图，在四边形ABCD中，AB=AD,∠EAF= 5∠BAD. D F B B B E 图1 图2 图3 (I)已知四边形ABCD是正方形， 6/12 品学科网·上好课 www zxxk com 上好每一堂课 ①如图1，E,F分别是边BC,CD上的点，则线段BE,DF和EF之间的数量关系为 ②如图2，点E,F分别在CB,DC的延长线上，则线段BE,DF和EF之间有怎样的数量关系？请写出你 的猜想，并证明 (②)如图3，∠ABC+∠ADC=180°，E,F分别是边BC,CD延长线上的点，②中的结论是否仍然成立？若成立， 请证明；若不成立，请写出它们之间新的数量关系，并证明. 变式41.(25-26八年级上·安徽宿州期末)我们知道：四边形具有不稳定性，如图，在平面直角坐标系中， 边长为2的正方形ABCD的边AB在x轴上，AB的中点是坐标原点O,固定点A,B,把正方形沿箭头方 向推，使点D落在y轴正半轴上点D处，则点C的对应点C的坐标为() A.（5, B.(2,V5 C.(2,5) D.1,5) 变式4-2.(25-26八年级上·安徽合肥期末)如图所示，在正方形ABCD中，点E在边CD上，CF1BE, 垂足为F,连接AF,AB=4,∠BEC=60° E B (1)FC= (2)△ABF的面积为 压轴专练 一、填空题 1.(25-26九年级上安徽宿州月考)如图，在矩形ABCD中，AB=3,AD=4,∠BAD的平分线交BC于 点E,DH⊥AE于点H. 7/12 命学科网·上好课 www zxxk com 上好每一堂课 D B E (1)AH= ； (2)连接BH并延长交CD于点F,则BF= 2.(25-26九年级上·安徽宿州月考)如图，在矩形ABCD中，AB=3,AB<BC,E是BC边上的一动点， 连接DE、AE,过点D作DF⊥AE交BC于点G,垂足为点F,连接BF. D G (1)当DE平分∠FEC时，若DE=V0,则AF=一· (2)当点G恰为BC中点时，则BF=一· 3.(25-26九年级上·安徽毫州期末)如图，在正方形ABCD中，点E、F分别是AB、BC的中点，点G在线 段ED上，∠EGF=60°，连接AF交ED于点H,若CD=10,则FG的长为· D B 二、解答题 4.(24-25八年级下.安徽马鞍山期中)如图，点E是口ABCD对角线AC上一点，延长BE至点F,使 EF=BE,且BF与CD交于点G,连接DF. E B (I)求证：DF∥AC;(要求用两种不同的方法解答) (②)若AB=6,∠BAC=30°，BF垂直平分CD,求AD的长. 8/12 品学科网·上好课 www zxxk com 上好每一堂课 5.(25-26九年级上，安微宿州·月考)如图，四边形ABCD为平行四边形，BD为其对角线，且BD平分 ∠ABC,过点A作AP⊥BC,垂足为P,AP与BD交于点Q. A D Q B P C (I)求证：四边形ABCD是菱形； (2)若AQ=5,PQ=4,求四边形ABCD的面积. 6.(25-26九年级上，安徽宿州·期中)如图，在菱形ABCD中，对角线AC,BD相交于点O,E为BC的中 点，延长AB到点R使BF=8C,连接OE,EF D (I)求证：四边形OBFE是平行四边形： (2)若BD=6,AB=5,求平行四边形0BFE的面积 7.(25-26九年级上·安徽宿州月考)如图，在矩形ABCD中，对角线AC,BD相交于点0，过点0作 OE⊥AD于点E,OE=2,∠BA0=60°，求BD的长. E D B 8.(25-26九年级上·陕西汉中·月考)如图，在矩形ABCD中，AC,BD相交于点O,延长BD至点E,连接 CE,且BD=2CE,若∠BDC=65°，求∠E的度数. D 0 9.(25-26九年级上·全国期末)在正方形ABCD中，E是DC延长线上的点，F是线段AB上一点且 AF=CE.过E作EG⊥CD,使EG=BF,连接FG. 9/12 学科网·上好课 www zxxk com 上好每一堂课 图1 图2 (I)如图1，连接BG.求∠ABG的度数： (2)如图2，在(1)的条件下，连接AG交BC于N,并取AG中点M,连接FM.若FM=√5，BF=√2， 求线段MN的长. 10.(25-26九年级上·安微合肥期末)在正方形ABCD中，点E在边CD上，连接AE并将ADE沿着AE翻 折，点F为点D的对称点.连接DF,交AE于点G. 图1 图2 图3 (I)如图1，若点F在对角线AC上，且AB=4,求DE的长； (2)如图2，在(1)的条件下，延长DF交BC于点H,连接BF.求证：DF2=BH·CD; 6)如图3，连接GB.若GB∥EF,求4G的值. AB 11.(25-26九年级上·安微宿州期中)如图，在正方形ABCD中，对角线AC,BD相交于点O,点P是线段 OC上一点（不与点O,C重合），连接PD,PB,点Q在BC的延长线上，且PB=PQ. D B C (I)求证：PB=PD; (2)求∠DPQ的度数： (3)探究OP,CQ之间的数量关系，并说明理由. 12.(18-19八年级下·安微宣城期末)如图，在ABC中，点D、E分别是AB、AC的中点，BF平分 ∠ABC,交DE于点F,FG∥AB交BC于点G. 10/12 专题08 特殊平行四边形的性质与判定综合 目录 典例详解 类型一、平行四边形与特殊平行四边形的判定方法选择 类型二、矩形性质的综合应用（含直角三角形斜边中线性质） 类型三、菱形性质的综合应用（含对角线垂直与面积） 类型四、正方形性质的综合应用 压轴专练 类型一、平行四边形与特殊平行四边形的判定方法选择 1．基本判定方法梳理 ① 平行四边形判定：两组对边分别平行、两组对边分别相等、一组对边平行且相等、两组对角分别相等、对角线互相平分； ② 矩形判定：有一个角是直角的平行四边形、对角线相等的平行四边形、有三个角是直角的四边形； ③ 菱形判定：有一组邻边相等的平行四边形、对角线互相垂直的平行四边形、四边相等的四边形； ④ 正方形判定：有一组邻边相等的矩形、有一个角是直角的菱形、对角线互相垂直的矩形、对角线相等的菱形。 2．判定方法的选择策略 ① 根据已知条件选择最直接的判定方法； ② 注意从定义出发，先判定平行四边形再添加条件得到特殊平行四边形； ③ 区分判定与性质，不能混淆使用。 【重要性质】 ① 矩形、菱形、正方形都是特殊的平行四边形，它们具有平行四边形的所有性质； ② 正方形的判定可以“先矩形后菱形”或“先菱形后矩形”两种思路； ③ 对角线互相垂直的矩形是正方形，对角线相等的菱形也是正方形； ④ 易错提醒：判定时要注意条件的充分性，避免用性质当判定使用。 例1．（24-25八年级下·安徽宿州·期末）我们曾借助学习“图形的全等判定”获得的经验与方法对“平行四边形的判定”进行过探究． 【知识回顾】 如图1，四边形中，我们用符号语言表示出所有的8个边，角、对角线的数量关系： ①； ②； ③； ④； ⑤； ⑥； ⑦； ⑧． 我们曾任意选择2个作为条件来探索四边形是否为平行四边形． （1）请选择上面8个条件中的2个，写出一个除了课本上平行四边形的定义及3条判定定理外可以判定四边形为平行四边形的方法： （请用文字语言表述）； 【数学思考】 若将①②组合可以得到新的数量关系⑨：；⑦⑧组合可以得到新的数量关系⑩：．那么它们是否可以再加一个条件来判定平行四边形呢？ （2）若选择④和⑨则可判定四边形是平行四边形．如图2，在四边形中，，．求证：四边形是平行四边形．小明的同学思路如下： 证明：延长并截取． ∵ ∴，即 ∵ ∴四边形是平行四边形． … 请同学们按照小明的思路完成证明过程． （3）在①或者③中选择一个条件和⑩组成条件也可以判定四边形是平行四边形，并证明．如图3，在四边形中，相交于点O， ，．求证：四边形是平行四边形． 【答案】（1）一组对角相等，且一组对边平行的四边形是平行四边形；（2）见解析；（3）见解析． 【分析】本题是四边形综合题，考查的是全等三角形的判定与性质，平行四边形的判定与性质，解题的关键是熟练掌握平行四边形的判定． （1）由平行四边形的判定方法可得出答案； （2）证出，由平行四边形的判定方法可得出答案； （3）选择①，选择③，由平行四边形的判定方法可得出答案． 【详解】解：（1）一组对角相等，且一组对边平行的四边形是平行四边形．或两组对角相等的四边形是平行四边形．（答案不唯一）； 故答案为：一组对角相等，且一组对边平行的四边形是平行四边形； （2）证明：延长，并截取， ∵， ∴，即． ∵， ∴四边形是平行四边形． ∴， ∵， ∴． ∴． ∴， ∴， ∵， ∴， ∴四边形是平行四边形； （3）选择①， 分别在上截取．延长，过点B、D作、，垂足为点G、H， ∵． ∴． ∵， ∴． ∴． ∵， ∴， 即． ∴， 即． ∴， ∴． 又∵， ∴， ∴． 又∵， ∴． 即． ∴， 又∵， ∴四边形是平行四边形， 选择③，分别在上截取， ． ∵． ∴． ∵， ∴． ∴． ∵， ∴． ∵， ∴， 即． ∴， 即． ∴． ∴， ∵， ∴四边形是平行四边形． 变式1-1．（25-26九年级上·安徽宿州·期末）如图，在中，对角线、相交于点，是等腰三角形，当满足什么条件时？四边形为正方形，并说明理由． 【答案】当中时（答案不唯一），四边形为正方形，见解析 【分析】本题主要考查了平行四边形的性质、矩形的判定、正方形的判定，根据平行四边形的性质可知，根据对角线相等的平行四边形是矩形可证四边形是矩形，根据有一组邻边相等的矩形是正方形可知，当时，四边形是正方形． 【详解】解：当中时，四边形为正方形， 理由如下： 四边形为平行四边形， ，， 是等腰三角形， ，， 四边形为矩形， 又， 矩形为正方形． 变式1-2．（23-24八年级下·北京·期中）如图，在中，平分，交于点E，平分，交于点F，与交于点P，连接，． (1)求证：四边形是菱形； (2)若，求的长． 【答案】(1)见解析 (2) 【分析】本题主要考查了菱形的判定与性质、平行四边形的判定与性质、等边三角形的判定与性质、勾股定理等知识点，熟练掌握菱形的判定与性质是解题的关键． （1）根据平行四边形和角平分线的定义可得、，则，易证四边形是平行四边形，再结合即可证明结论； （2）根据菱形的性质可证明为等边三角形可得，即；如图：过点P作于M，则、，进而得到，最后根据勾股定理求解即可解答． 【详解】（1）证明：∵四边形是平行四边形， ∴． ∴． ∵平分， ∴． ∴． ∴． 同理：． ∴． ∴四边形是平行四边形， ∵， ∴四边形是菱形． （2）解：∵四边形是菱形， ∴，， ∵， ∴，为等边三角形， ∵， ∴， ∴， 如图：过点P作于M， ， ∴，， ∵， ∴， ∴． 变式1-3．（25-26八年级上·安徽安庆·期末）如图，在中，点，在对角线上，连接，，，，．求证： (1)求证：． (2)求证：四边形是平行四边形． 【答案】(1)见解析 (2)见解析 【分析】本题主要考查了平行四边形的性质与判定，全等三角形的性质与判定，熟知平行四边形的性质与判定定理是解题的关键． （1）由平行四边形的性质得到，则，再利用即可证明； （2）由全等三角形的性质可得，则可证明，得到，据此可证明结论． 【详解】（1）证明：∵四边形是平行四边形， ∴， ∴， 又∵， ∴； （2）证明：∵， ∴， ∴， ∴， ∴， ∴四边形是平行四边形． 类型二、矩形性质的综合应用（含直角三角形斜边中线性质） 1．矩形的性质 ① 边：对边平行且相等； ② 角：四个角都是直角； ② 对角线：对角线相等且互相平分。 2．直角三角形斜边上的中线性质 直角三角形斜边上的中线等于斜边的一半。 【重要性质】 ① 矩形的对角线把矩形分成四个等腰三角形； ② 当两条对角线的夹角为60°或120°时，图中有等边三角形，可利用等边三角形的性质解题； ③ 直角三角形斜边上的中线性质常与矩形结合使用，如在矩形中，对角线的交点到各顶点的距离相等； ④ 常用技巧：在矩形问题中遇到中点，常考虑连接对角线或利用中线性质。 例2．（25-26八年级上·安徽六安·期末）如图，在中，，，，D为上一动点（不与点A重合），为等边三角形，过D点作的垂线，F为垂线上任意一点，G为的中点且始终有，则线段长的最小值是（   ） A． B．6 C． D．9 【答案】B 【分析】连接，，设、交于点H，斜边上的中线得到，易得垂直平分线段，三线合一，得到，进而得到点G在射线上，过B作交射线于，垂线段最短，得到当G与重合时，取得最小值，最小值为线段的长，证明，即可得出结果． 【详解】解：如图，连接，，设、交于点H， ∵，G为的中点， ∴． ∵为等边三角形， ∴，， ∴垂直平分线段， ∴， ∴， ∴点G在射线上， 过B作交射线于， 则当G与重合时，取得最小值，最小值为线段的长， ∵，，， ∴， ∴， 即的最小值为6． 变式2-1．（25-26九年级上·安徽六安·期末）如图，在矩形中，，点E，F分别为边上的动点，且，点为的中点，点为上一动点，则的最小值为（   ） A．16 B．15 C． D． 【答案】C 【分析】本题主要考查了轴对称-最短路线问题、勾股定理、矩形的性质、直角三角形的性质等知识点，熟练运用勾股定理解决问题是解题的关键． 如图，连接，由直角三角形斜边上的中线性质得到，作点A关于的对称点，连接，交于点P，当点、点P、点G、点D共线时，的值最小，最小值为的长；勾股定理求出，减去即可解答． 【详解】解：如图，连接， ∵四边形是矩形， ∴， ∵，点为的中点， ∴， 作点A关于的对称点，连接，交于点P，当点、点P、点G、点D共线时，的值最小，最小值为的长； ∵， ∴， 在中，由勾股定理得：， ∴， ∴的最小值为． 故选：C． 变式2-2．（25-26九年级上·安徽宿州·月考）如图，墙面与地面垂直，一块矩形木板的顶点分别在和上滑动，连接（图中各点均在同一平面内），已知，在木板滑动的过程中，下面说法正确的是（   ） A．的最大值为9，最小值为3 B．的最大值为，最小值为3 C．的最大值为9，最小值为2 D．的最大值为，最小值为1 【答案】A 【分析】本题考查了勾股定理，直角三角形的性质，三角形的三边关系，掌握直角三角形斜边上的中线等于斜边的一半是解题的关键． 取的中点，先根据直角三角形斜边上的中线等于斜边的一半，得到，再根据勾股定理求得，再利用三边关系求出的最大值，通过观察图形得到最小值． 【详解】解：如图，取的中点， ， ， ， ， ，即存在最大值为9， 根据图形，可知当在上时，存在最小值，此时． 故选：A． 变式2-3．（19-20九年级上·全国·单元测试）如图，矩形中，在上，且，，，矩形的周长为，则的长是（    ） A．3 B．4 C．5 D．7 【答案】A 【分析】本题考查了三角形内角和定理，矩形性质，全等三角形的性质和判定的应用，关键是推出．设，根据矩形的性质得出，，，求出，证，推出，求出，得出方程，求出即可． 【详解】设， 四边形是矩形， ，，， ， ， ，， ， 在和中， ， ， ， ， ， 矩形的周长为， ， ， 即． 故选：A． 类型三、菱形性质的综合应用（含对角线垂直与面积） 1．菱形的性质 ① 边：四条边都相等，对边平行； ② 角：对角相等，邻角互补； ③ 对角线：对角线互相垂直平分，每条对角线平分一组对角。 2．菱形的面积公式 ① 底×高； ② 对角线乘积的一半。 【重要性质】 ① 菱形是轴对称图形，两条对角线所在的直线是它的对称轴； ② 菱形面积可用对角线乘积的一半计算，无需知道边长； ③ 对角线互相垂直平分，常与勾股定理结合求边长或对角线长； ④ 菱形被对角线分成四个全等的直角三角形，可利用这一性质进行等量转化。 例3．（2025·安徽·模拟预测）在边长为6的菱形中，，点E、F是边、上的点，连接， (1)如图1，将沿翻折使B的对应点落在中点上，此时四边形是什么四边形？并说明理由． (2)如图2，若，以为边在右侧作等边； ①连接，当是以为腰的等腰三角形时，求的长度． ②直接写出的最小值． 【答案】(1)四边形是菱形，理由见解析 (2)①的长为3或；②当点G与点H重合时，的最小值为 【分析】（1）由折叠的性质可得，，，由菱形的性质和等腰三角形的性质可得，可证，可得结论； （2）①由“”可证，可得，，分两种情况讨论，由等边三角形的性质和勾股定理可求解； ②由垂线段最短，可得当点G与点H重合时，的最小值为． 【详解】（1）解：四边形是菱形， 理由如下：连接， ∵四边形是菱形， ∴， ∴， ∵点是的中点， ∴， ∵将沿翻折使B的对应点落在中点上， ∴，，， ∴， ∴，， ∴， ∴， ∴， ∴四边形是菱形； （2）解：①如图2，连接，在上截取，连接，连接，并延长，交于点N，过点C作直线于H， ∵四边形是菱形， ∴， 又∵， ∴， ∴是等边三角形， ∴， ∵， ∴是等边三角形， ∴，， ∴，， ∵是等边三角形， ∴，， ∴， ∴， ∴，， ∴， ∴是等边三角形， ∴，， ∴，， ∴，， 当时，， ∴， ∴； 当时，过点M作于Q，过点G作于P， ∵是等边三角形，， ∴，， ∵，， ∴， ∵， ∴， ∴， ∴四边形是矩形， ∴， ∴， 综上所述：的长为3或， ②由（2）①可知：点G在上运动，且，与的距离为， ∴当点G与点H重合时，的最小值为． 【点睛】本题是四边形综合题，考查了全等三角形的判定和性质，勾股定理，矩形的性质，菱形的性质，等边三角形的判定和性质等知识，添加恰当辅助线构造全等三角形是解题的关键． 变式3-1．（25-26九年级上·安徽滁州·月考）如图，在矩形中，边的长为，点，分别在，上，连接，，，若四边形是菱形，且，则菱形的周长为（    ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】本题考查了矩形的性质、菱形的性质以及在直角三角形中角所对的直角边是斜边的一半，解题的关键是掌握全等三角形的判定和性质． 根据矩形的性质和菱形的性质得，，，，，，进而证明，最后根据含的直角三角形的性质求解即可． 【详解】解：四边形是矩形，四边形是菱形， ，，，，，， ． ， ， ， ， 又， ， ， ， ，， ， ，， ， 菱形的周长为， 故选：B． 变式3-2．（25-26九年级上·安徽宿州·期末）如图，点O为菱形的对角线，的交点，过点C作于点E，连接，若，．求菱形的面积． 【答案】 【分析】本题考查了菱形的性质，直角三角形的性质． 根据菱形对角线互相平分可知，点O是的中点，根据直角三角形斜边上的中线是斜边的一半，，得到，根据，可得，应用菱形的面积等于两条对角线乘积的一半，即可得出答案． 【详解】解：∵四边形是菱形， ∴ ∵， ∴， ∴， ∵， ∴， ∵， ∴， ∴菱形的面积． 类型四、正方形性质的综合应用 1．正方形的性质 ① 边：四条边都相等，对边平行； ② 角：四个角都是直角； ③ 对角线：对角线相等且互相垂直平分，每条对角线平分一组对角。 2．正方形的对称性 既是轴对称图形（4条对称轴），又是中心对称图形。 【重要性质】 ① 正方形集中了矩形和菱形的所有性质，是特殊的矩形也是特殊的菱形； ② 正方形的对角线将正方形分成四个等腰直角三角形； ③ 正方形中的45°角常与等腰直角三角形结合使用； ④在正方形中构造全等三角形是常用技巧（如旋转、翻折等）。 例4．（25-26八年级上·安徽淮北·月考）如图，在四边形中，，． (1)已知四边形是正方形． ①如图1，E，F分别是边，上的点，则线段，和之间的数量关系为______． ②如图2，点E，F分别在，的延长线上，则线段，和之间有怎样的数量关系?请写出你的猜想，并证明． (2)如图3，，E，F分别是边，延长线上的点，②中的结论是否仍然成立?若成立，请证明；若不成立，请写出它们之间新的数量关系，并证明． 【答案】(1)①；②，理由见解析 (2)不成立，它们的数量关系为，理由见解析 【分析】（1）①延长至G点，使，连接．先根据证明 ，则可得，．由，，可得，即．再根据证明，则可得，进而可得． ②在上截取，连接．先根据证明，则可得，，进而可得．再根据证明，则可得． （2）延长至点G，使得，连接．先根据证明，则可得，，进而可得．由可得，进而可得．根据证明，则可得．由此可得②中结论不成立． 【详解】（1）① 如图，延长至G点，使，连接． ∵四边形是正方形， ∴，， ∴， 又∵，， ∴， ∴，， ∵， ∴， 即， 在和中， ∴， ∴， 又∵， ∴． 故答案为：． ②． 证明：如图1，在上截取，连接． 由题意，得， ∴． ∵，， ∴， ∴，． ∵， ∴， ∴， ∴． ∵，， ∴， ∴． （2）解：②中结论不成立，它们的数量关系为． 证明：如图2，延长至点G，使得，连接． ∵，， ∴． 又∵，， ∴， ∴，． ∴， 即， ∵， ∴， ∴． ∵，， ∴， ∴． 【点睛】本题主要考查了正方形的性质以及全等三角形的判定和性质．正确的作出辅助线是解题的关键． 变式4-1．（25-26八年级上·安徽宿州·期末）我们知道：四边形具有不稳定性，如图，在平面直角坐标系中，边长为2的正方形的边在轴上，的中点是坐标原点，固定点，，把正方形沿箭头方向推，使点落在轴正半轴上点处，则点的对应点的坐标为（   ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】本题考查了正方形的性质，平行四边形的性质，全等三角形的判定和性质，勾股定理的运用，根据正方形的性质，平行四边形的性质可证，，，再根据勾股定理得到，由此即可求解． 【详解】解：如图所示，过点作轴于点， ∴， ∵四边形是边长为2的正方形， ∴，， 固定点，，把正方形沿箭头方向推，使点落在轴正半轴上点处， ∴， ∴， ∴，且， ∴， ∴，， ∵的中点是坐标原点， ∴， ∴， ∴， ∴， 故选：C ． 变式4-2．（25-26八年级上·安徽合肥·期末）如图所示，在正方形ABCD中，点E在边CD上，，垂足为，连接． （1）__________； （2）的面积为__________． 【答案】 2 6 【分析】本题考查了正方形的性质，平行线的性质，解直角三角形，直角三角形的性质，熟练掌握知识点是解题的关键． （1）根据直角三角形的性质解答即可； （2）过点F分别作，垂足为M，N，连接，则，先根据平行线间的距离处处相等得出，继而得出，通过解直角三角形得出，即可求解． 【详解】解：（1）在正方形ABCD中，，， ， ∴， ∵， ∴； 故答案为：2 （2）过点F分别作，垂足为M，N，连接，则， ∵四边形为正方形， ∴， ∴， ∴， ∴， ∵， ∴， ∵， ∴， ∴， ∴， ∴， ∴， 故答案为：6． 一、填空题 1．（25-26九年级上·安徽宿州·月考）如图，在矩形中，，，的平分线交于点，于点． （1）________； （2）连接并延长交于点，则________． 【答案】 【分析】（1）根据已知得出，则为等腰直角三角形．根据勾股定理即可求解； （2）过点作，，，垂足分别为点，，．则四边形为正方形，四边形，为矩形，勾股定理求得，进而证明得出，即可求解． 【详解】解：（1）∵四边形为矩形，平分， ∴． ∵， ∴为等腰直角三角形． ∵， ∴由勾股定理，得， 即， 解得（负值舍去）． 故答案为：． （2）如答图，过点作，，，垂足分别为点，，． ∴四边形，，为矩形． ∵为等腰直角三角形． ∴， ∵， ∴， ∴四边形为正方形， ∵为等腰直角三角形，， ∴，，． 在中，由勾股定理，得． ∵， ∴， ∴，， ∵， ∴， ∴． ∴． 故答案为：． 2．（25-26九年级上·安徽宿州·月考）如图，在矩形中，，，E是边上的一动点，连接，过点D作交于点G，垂足为点F，连接．    （1）当平分时，若，则_____． （2）当点G恰为中点时，则_____． 【答案】 4 3 【分析】本题主要考查了全等三角形的判定与性质、矩形的性质、勾股定理、角平分线的性质等知识点，添加适当的辅助线是解题的关键． （1）根据矩形的性质可得，再利用角平分线的性质可得，，从而可得，进而可得，然后在中，利用勾股定理求出，再设，则，从而在中，利用勾股定理进行计算可求出的长． （2）延长与交于点H，根据矩形的性质可得，从而可得，再根据线段的中点定义可得，然后利用证明，从而利用全等三角形的性质可得，进而可得，再根据垂直定义可得，最后利用直角三角形斜边上的中线性质进行计算即可解答； 【详解】解：（1）∵四边形是矩形， ∴，， ∴， ∵平分，， ∴， ， ， 在中，， ∴， 设，， 在中，， ∴，解得：， ∴， 故答案为：4； （2）如图：延长与交于点H，    ∵四边形是矩形， ∴， ∴， ∵点G为中点， ∴， ∴, ∴， ∴， ∵， ∴， ∴． 故答案为：3． 3．（25-26九年级上·安徽亳州·期末）如图，在正方形中，点分别是的中点，点在线段上，，连接交于点，若，则的长为______ ． 【答案】 【分析】本题考查了正方形的性质，全等三角形的判定和性质，勾股定理，直角三角形的性质，由四边形是正方形，得，，由点分别是的中点，所以，，再利用全等三角形的性质证明，，利用勾股定理求出，，再利用面积法求出，然后通过勾股定理求出即可，掌握知识点的应用是解题的关键． 【详解】解：∵四边形是正方形， ∴，， ∵点分别是的中点， ∴，， ∴， ∴， ∴，， 由勾股定理得：， ∵， ∴， ∴， ∴， ∵， ∴， ∴， ∴， ∵，， ∴， ∴， ∵， ∴， ∴， 故答案为：． 二、解答题 4．（24-25八年级下·安徽马鞍山·期中）如图，点E是对角线上一点，延长至点F，使，且与交于点G，连接． (1)求证：；(要求用两种不同的方法解答) (2)若，，垂直平分，求的长． 【答案】(1)见解析 (2)6 【分析】（1）连接交于点O，利用三角形中位线定理证明；在上截取，连接，利用平行四边形的判定和性质证明即可． （2）利用平行四边形的性质，直角三角形的性质，勾股定理解答即可． 【详解】（1）证明： 方法1：连接交于点O， ∵， ∴， ∵， ∴， ∴． 方法2：在上截取，连接， ∵，， ∴， ∴， ∵， ∴， ∴， ∴， ∴． （2）解：∵，， ∴，，， ∵垂直平分， ∴， ∵，，， ∴，， ∴，， ∴， ∴，， 同理可得， ∴， ∴， ∴． 【点睛】本题考查了平行四边形的判定和性质、三角形中位线定理、勾股定理、含角的直角三角形的性质等知识，熟练掌握平行四边形的性质和三角形中位线定理是解题的关键． 5．（25-26九年级上·安徽宿州·月考）如图，四边形为平行四边形，为其对角线，且平分，过点作，垂足为与交于点． (1)求证：四边形是菱形； (2)若，求四边形的面积． 【答案】(1)见解析； (2)135． 【分析】本题主要考查了菱形的性质与判定，勾股定理，全等三角形的性质与判定，平行四边形的性质，熟知菱形的性质及其判定定理是解题的关键． （1）由角平分线的定义得到，由平行四边形的性质和平行线的性质可得，则可证明，得到，据此可证明结论； （2）连接．证明，得到，由勾股定理得．设，则，求出，由勾股定理得，解方程求出x的值，则可求出的长，进而可得答案． 【详解】（1）证明：平分， ， 四边形为平行四边形， ， ， ， ∴， 平行四边形是菱形； （2）解：如图，连接． 由（1）知四边形是菱形， ∴ 又， ∴， ∴， ， ． 设，则， ∵ ∴， 在中，由勾股定理得，即， 解得， ， 四边形的面积为． 6．（25-26九年级上·安徽宿州·期中）如图，在菱形中，对角线，相交于点O，E为的中点，延长到点F，使，连接，． (1)求证：四边形是平行四边形； (2)若，求平行四边形的面积． 【答案】(1)见解析； (2)． 【分析】本题考查了菱形的性质，平行四边形的判定，勾股定理，三角形的中位线定理等知识点，熟练掌握菱形的性质，平行四边形的判定是解题的关键． （1）先得到为的中位线，则根据三角形中位线的性质以及已知添加证明，即可证明； （2）先求出，再由勾股定理求出，然后过点作于点，由面积法得到，即可求解，再由平行四边形面积公式求解． 【详解】（1）证明：菱形 为中点 为的中位线 四边形是平行四边形 （2）解：过点作于点 菱形 解得： ． 7．（25-26九年级上·安徽宿州·月考）如图，在矩形中，对角线，相交于点，过点作于点，，，求的长． 【答案】 【分析】本题考查了矩形的性质和特殊直角三角形的性质，综合运用图形的性质解题是关键．先由矩形的性质得出，结合已知得为的中位线．再得出，再推出是等边三角形．根据等边三角形的性质即可求解． 【详解】解：∵四边形是矩形， ∴． ∵， ∴，为的中位线． ∵， ∴． 又∵，， ∴是等边三角形． ∴． ∴． ∴ 8．（25-26九年级上·陕西汉中·月考）如图，在矩形中，相交于点，延长至点，连接，且，若，求的度数． 【答案】 【分析】本题主要考查矩形的性质，等角对等边，三角形内角和，熟练掌握以上知识是解题的关键． 根据题意和矩形的性质可得，，根据等角对等边可得，再根据三角形内角和可得知，进而可得． 【详解】∵四边形是矩形， ∴， 即， ∴， ∴， 又∵，， ∴， ∴． 9．（25-26九年级上·全国·期末）在正方形中，是延长线上的点，是线段上一点且．过作，使，连接． (1)如图1，连接．求的度数； (2)如图2，在（1）的条件下，连接交于，并取中点，连接．若，，求线段的长． 【答案】(1) (2) 【分析】（1）过作于，根据正方形的性质及垂直的定义，证得四边形为矩形，进而求得，即可解答． （2）连接、，过作于，证明，、、三点共线，利用勾股定理即可解答． 【详解】（1）解：如图，过作于， ∵四边形为正方形， ∴， 即， ∵， ∴， 又∵， ∴， ∴四边形为矩形， ∴， ∵四边形为正方形， ∴， 又∵， ∴， ∴， 即， ∵， ∴， ∴； （2）解：如图，连接、，过作于， ∵， ∴， ∴， 又∵为中点， ∴， 又∵， ∴， ∴， ∵， ∴， ∴、、三点共线， 又∵， ∴， ∴，， 在中，根据勾股定理得， 由（1）知， ∴， ∴，， 根据勾股定理得， ∵， ∴， ∴， ∴， ∴， ∵， ∴． 10．（25-26九年级上·安徽合肥·期末）在正方形中，点E在边上，连接并将沿着翻折，点F为点D的对称点．连接，交于点． (1)如图1，若点F在对角线上，且，求的长； (2)如图2，在（1）的条件下，延长交于点H，连接．求证：； (3)如图3，连接．若，求的值． 【答案】(1) (2)见详解 (3) 【分析】本题考查了正方形的性质，轴对称的性质，勾股定理，全等三角形的判定和性质，相似三角形判定和性质，理解轴对称的性质和全等三角形的判定和性质是解题的关键． （1）由翻折可得，利用勾股定理可求，再由列等式求解； （2）由翻折的性质和正方形的性质得，根据三角形的内角和及等边对等角的性质求得，证明，，得到，根据，通过等量代换可解决此问题； （3）先证，得出，然后在中，由勾股定理得出，再利用正方形的性质用替换即可求解． 【详解】（1）解：在正方形中，，， 由翻折可得， ， 点F在对角线上， ， 由勾股定理，可得， ， ； （2）证明：在正方形中，， 由翻折得， 在和中，， ， ， ， ， ， ， ， ， ， ； （3）解：设交于H，由翻折，得， ， ， ， 在正方形中，，， ， ， 由翻折，得垂直平分，即， ， 又， ， ， ， 在中，，由勾股定理，得， ，即， ． 11．（25-26九年级上·安徽宿州·期中）如图，在正方形中，对角线相交于点O，点P是线段上一点（不与点O，C重合），连接，点Q在的延长线上，且． (1)求证：； (2)求的度数； (3)探究之间的数量关系，并说明理由． 【答案】(1)见解析； (2)； (3)，理由见解析． 【分析】本题考查了正方形的性质，勾股定理，等腰直角三角形的判定与性质等知识，解题的关键是： （1）利用正方形性质得到垂直平分，利用垂直平分线性质，即可解题； （2）根据等角对等边得出，，结合正方形的性质得出 ，则，结合正方形的性质、三角形的内角和定理可求出，即可得证； （3）作于点，证明，得出，证明为等腰直角三角形，即可得出结论． 【详解】（1）解：四边形是正方形，对角线、交于点O． 垂直平分， ， 故答案为：； （2）证明：四边形是正方形， ． ． （3）解：，理由如下： 作于点 由（2）知 ， 为等腰直角三角形， ； ． 12．（18-19八年级下·安徽宣城·期末）如图，在中，点D、E分别是的中点，平分，交于点F，交于点G． (1)求证：四边形菱形； (2)若，求四边形的周长． 【答案】(1)见解析 (2)8 【分析】本题考查三角形的中位线定理，菱形的判定和性质，勾股定理，熟练掌握相关知识点，是解题的关键： （1）三角形的中位线定理，得到，结合，证明四边形平行四边形，平行结合角平分线，推出，即可得证； （2）根据三角形的中位线定理，得到，结合菱形的性质，线段的和差关系，求出的长，进而求出四边形的周长即可． 【详解】（1）证明：∵在中，点D、E分别是的中点， ∴， ∵， ∴四边形是平行四边形， ∵， ∴， ∵平分， ∴， ∴， ∴， ∴四边形菱形； （2）由（1）知：，四边形是菱形， ∴，， ∴， ∴， ∴， ∴四边形的周长为． 13．（23-24八年级上·安徽马鞍山·期末）如图，在中，是边的垂直平分线，分别交边，于点，，，且为线段的中点，延长与的垂直平分线交于点，连接． (1)若是的中点，求证：； (2)若，求证：为等边三角形． 【答案】(1)见解析 (2)见解析 【分析】本题主要考查了等边三角形的判定与性质，线段垂直平分线的性质，三角形外角的性质等知识点，熟练掌握等边三角形的判定定理是解题的关键． （1）连接，证明是等边三角形，进而得出，即可得出结论； （2）先证明为等边三角形，进而证明，再由等边三角形的判定即可得出结论． 【详解】（1）证明：如图，连接， ∵是边的垂直平分线， ∴， ∵为的中点， ∴， ∴， ∵，为的中点， ∴， ∴， ∴； （2）证明：∵，， ∴， ∴， ∵， ∴为等边三角形， ∴， ∴， ∵的垂直平分线为， ∴， ∴为等边三角形． 14．（25-26九年级上·安徽宿州·月考）如图，正方形的边长为4，点是对角线上的一点，且，点为上任意一点，于点，于点． (1)求的面积； (2)求的值． 【答案】(1) (2) 【分析】本题考查了正方形的性质，三角形的面积，勾股定理； （1）连接，过点作于点．根据正方形的性质得出是等腰直角三角形．进而勾股定理求得，再根据三角形的面积公式，即可求解； （2），，，根据等面积法即可求解． 【详解】（1）解：如答图，连接，过点作于点． ∵四边形为正方形， ∴． ∵正方形的边长为4， ∴． ∵， ∴． ∴是等腰直角三角形． ∴． ∴，即， 解得（负值舍去）． ∴． （2）∵，，， ∴． ∴． 15．（25-26九年级上·安徽宿州·月考）如图，，C是上一点，平分且过的中点O，交于点D，，交于点E． (1)求证：； (2)判断四边形的形状，并说明理由； (3)若，求四边形的面积． 【答案】(1)证明见解析 (2)菱形；理由见解析 (3) 【分析】（1）由即可得出结论． （2）先证明四边形是平行四边形，再证明，即可得出结论． （3）由菱形的性质得出，证明四边形是平行四边形，得出，，由菱形的性质得出，得出，由勾股定理得，即可得出答案． 【详解】（1）证明：∵点O是的中点， ∴， ∵， ∴， 在和中，， ∴． （2）四边形是菱形 证明：由（1）得， ∴， 又∵， ∴四边形是平行四边形， ∵， ∴， ∵平分， ∴， ∴， ∴， ∴平行四边形是菱形． （3）解：由（2）得四边形是菱形， ∴，， 又， ∴， ∵， ∴四边形是平行四边形， ∴，， ∴， ∵四边形是菱形， ∴， ∴， 在中，由勾股定理得， ∴． 【点睛】本题考查了菱形的判定与性质、全等三角形的判定与性质、平行四边形的判定与性质、等腰三角形的判定与性质、勾股定理等知识；熟练掌握菱形的判定与性质是解题的关键． 16．（25-26九年级上·安徽宿州·月考）如图，点P是菱形的对角线上一点，连接，，点E在边上，连接． (1)求证：； (2)若． ①求证：； ②试探究与之间的关系，并说明理由． 【答案】(1)证明见解析 (2)①证明见解析，②，理由见解析 【分析】（1）证明，可得． （2）①证明，结合，可得，可得，可得； ②延长至M，使，过点P作于，连接，如下图所示：证明，可得，证明，，结合在中，，，进一步可得答案． 【详解】（1）证明：∵四边形是菱形， ∴，， ∵， ∴， ∴． （2）证明：①∵四边形是菱形，， ∴， ∴，， ∵， ∴， ∵， ∴， ∴， ∴； ②，理由如下： 延长至M，使，过点P作于，连接，如下图所示： ∵， ∴， ∵， ∴， ∴， ∵， ∴， ∴，， ∴在中，，， ∴， ∴． 【点睛】本题考查了全等三角形的判定和性质，菱形的性质，勾股定理的应用等知识，添加恰当辅助线构造全等三角形是解题的关键． 1 / 10 学科网（北京）股份有限公司 $