1.5角平分线第2课时（教学设计）数学新教材北师大版八年级下册

该初中数学教学设计聚焦角平分线性质、判定及三角形三条角平分线交于一点且等距三边的核心知识点，通过“学校选址”情境导入，先回顾角平分线性质与判定定理，搭建旧知到新知的学习支架，引导学生自然过渡到三角形角平分线性质的探究。 此资料以“画—量—猜—证”为主线，让学生动手画图发现三线共点，再通过逻辑推理证明等距性质，培养推理意识。结合生活情境如选址问题，发展应用意识，分层例题与练习提升运算能力，助力学生深度理解，为教师提供清晰教学路径，提升课堂效率。

1.5 角平分线 第2课时 教学设计 1.教学内容 本课选自北师大版八年级下册第一章《三角形的证明及其应用》1.5 角平分线 第 2 课时，核心知识点为角平分线的性质、判定与应用：三角形三条角平分线交于一点且到三边距离相等的性质。 2.内容解析 本节立足“角平分线—距离相等”这一核心命题，分两个层级展开：第一层（基础）：借助“角的平分线上点到两边距离相等”与其逆命题，完成几何证明与长度计算。通过作垂线、构造全等三角形、利用勾股定理等基本方法，引导学生体会“化曲为直、转化为可度量”的思想。第二层（提升）：研究三角形内角平分线的汇交性质。先用画图实验发现三条角平分线共点，再借助判定定理证明该汇交点到三边距离相等，揭示“公共量—等距离—角平分”的内在联系，体现“以点统线”的结构美。教学重点放在角平分线性质与判定的综合运用；难点是用“等距离”确定角平分线并证明三线共点及其等距性质。通过问题情境（选校址、货运站选点等）、典型例题与多层练习，实现知识内化与数学价值的渗透。 1.教学目标 •能熟练运用角平分线的性质定理、判定定理及三角形角平分线性质，进行几何证明和计算。 •掌握三角形三条角平分线的核心性质：相交于一点，且该点到三角形三边的距离相等。 2.目标解析 •准确表述角平分线性质、判定及三角形角平分线定理。 • 理解并能证明三条角平分线的汇交与等距性质。 3.重点难点 • 教学重点：角平分线性质、判定及其在直角、等腰三角形中的计算与证明。 • 教学难点：利用“到两边距离相等”判定角平分线；证明三角形三条角平分线相交于一点且等距三边。 学生已掌握初步的全等三角形判定、勾股定理及一元一次方程，可进行简单的线段关系计算；对“角平分线—等距离”已有感性认识，但对“等距点必在角平分线”与“三线共点”缺乏理论支撑。教学中应通过操作画图、演示动态软件、分层示例和探究活动，引导学生经历“猜想—验证—证明”的完整思维过程，促进概念深层次建构。 创设情景，引入新课 问题情境： 1.知识回顾 角平分线的性质定理： 角的平分线上的点到角的两边的距离相等. 几何语言： ∵OP 是∠AOB的平分线， PD⊥OA,PE⊥OB， ∴PD = PE. 角平分线的判定定理： 角的内部到角的两边的距离相等的点在角的平分线上. 几何语言： ∵ PD⊥OA,PE⊥OB，PD=PE. ∴点P 在∠AOB的平分线上. 2.情景引入 在一个三角形居住区内修有一个学校P，P到AB、BC、CA三边的距离都相等，请在三角形居住区内标出学校P的位置，P在何处？ 【设计意图】借助“学校选址”这一贴近生活的任务，引导学生用几何语言描述现实问题；通过回顾两定理，为后续探究打下知识基础，明确本节“角平分线及其在三角形中的应用”学习方向。 探究点1：角平分线性质的综合应用 1.概念引入 例1：如图，在△ABC中，AC=BC，∠C=90°，AD是△ABC的角平分线，DE⊥AB，垂足为E. (1)已知CD=4cm，求AC的长; (1)解：∵AD是△ABC的角平分线，DC⊥AC，DE⊥AB， ∴DE=CD=4cm(角平分线上的点到这个角的两边的距离相等). ∵AC=BC, ∴∠B=∠BAC(等边对等角). ∵∠C=90°, ∴∠B=×90°=45°. ∴∠BDE=90-°-45°=45°. ∴BE=DE(等角对等边). 在等腰直角三角形BDE中， BD==4cm(勾股定理) ∴AC=BC=CD+BD=(4+4)cm. (2)求证:AB=AC+CD. （2）证明：由（1）的求解过程易知， Rt△ACD≌Rt△AED(HL). ∴AC=AE(全等三角形的对应边相等). ∵BE=DE=CD， ∴AB=AE+BE=AC+CD. 2.知识回顾 角平分线在三角形中的应用： 关键：利用“角平分线到角两边距离相等”，结合直角三角形、等腰三角形性质，分步转化线段关系，精准求解. 1.利用角平分线性质：遇角平分线+垂直条件，转化垂线段长度；无垂线段则作出垂线段，构造全等三角形转化线段； 2.结合三角形特征：借助等腰直角三角形的直角边相等，关联已知线段搭建等式； 3.计算求解：用勾股定理或建立方程求解. 3.练一练 如图，在△ABC中，∠ACB=90°，BE平分∠ABC，DE⊥AB于点D，如果AC=6，则AE+DE等于____. 解：6 【设计意图】通过典型综合例题让学生体会“角平分线 + 垂线 = 等距离”这一关键策略，奠定解决复杂求长、证明题的思维模式。 探究点 2 三角形的内角平分线 1.操作思考 （1）分别画出下列三角形三个内角的平分线，你发现了什么？ 发现：三角形的三条角平分线相交于一点. （2）分别过交点作三角形三边的垂线，用刻度尺量一量，每组垂线段，你发现了什么？ 发现：过交点作三角形三边的垂线段相等. 2.新知探究 例 已知:如图，在△ABC中，角平分线BM与角平分线CN相交于点P. 求证:∠A的平分线经过点P.， 分析:要证∠A的平分线经过点P，需要什么条件？已知的两条角平分线相交于点P，由此你能得到哪些结论？ 教师提问：试试看，你会写出证明过程吗？ 证明：如图所示，过点P分别作PD⊥AB，PE⊥BC，PF⊥AC，垂足分别为D，E，F. ∵BM是△ABC的角平分线， ∴PD=PE(角平分线上的点到这个角的两边的距离相等). 同理，PE=PF. ∴PD= PE= PF. ∴点P在∠A的平分线上(在一个角的内部，到角的两边距离相等的点在这个角的平分线上)， 即∠A的平分线经过点P. 3.知识归纳 三角形三条角平分线的性质： 三角形的三条角平分线交于一点，并且这一点到三条边的距离相等. 几何语言： ∵点P是△ABC角平分线的交点， PD⊥AB，PE⊥BC，PF⊥AC. ∴PD=PE，PE=PF ∴PD=PE=PF. 4.练一练 如图，AI、BI、CI分别平分∠BAC、∠ABC、∠ACB，ID⊥BC，△ABC的周长为18，ID=3，则△ABC的面积为( ) A.18 B.30 C.24 D.27 解：D 5.典例分析 例1 如图，△ABC中，∠C=90°，AD是△ABC的角平分线，DE⊥AB于E，F在AC上，BD=DF. 求证：CF=EB. 证明：∵AD平分∠CAB, DE⊥AB，∠C＝90°（已知）, ∴CD＝DE (角平分线的性质). 在Rt△CDF和Rt△EDB中, CD=ED（已证）, DF=DB （已知）, ∴ Rt△CDF≌Rt△EDB (HL). ∴ CF=EB（全等三角形的对应边相等）. 例2如图，在直角△ABC中，AC=BC，∠C＝90°，AP平分∠BAC，BD平分∠ABC；AP，BD交于点O，过点O作OM⊥AC，若OM＝4，求点O到△ABC三边的距离和. 解：过点O作ON⊥BC，OE⊥AB, ∵点O在∠BAC，∠ABC的角平分线上， OM⊥AC ，ON⊥BC，OE⊥AB, ∴OM=OE,OE=ON, ∴OM=OE=ON=4, ∴OM+OE+ON=12. 【设计意图】通过“画—量—猜—证”全过程，引导学生经历数学发现与证明，突破“内心到三边距离相等”的理解难点，发展空间观念与逻辑推理能力。 1.如图，△ABC中，BD是AC边的高线，CE平分∠ACB，DE=1cm，BC=4cm，则△BEC的面积是（　　） A．1 B．2 C．3 D．4 解：B 2. 如图，△ABC中，CD是角平分线，DE⊥AC垂足为E，DF⊥BC垂足为F，EF与CD交于G，下列说法不一定正确的是（　　） A．CD也是△ABC中线 B．CD平分∠EDF C．CD⊥EF D．EG=GF 解：A 3.如图，AD是△BAC的平分线，DE⊥AB于点E，=32，DE=4，AB=9，则AC的长是（　　） A．5 B．6 C．7 D．8 解：C． 4.如图，△ABC的角平分线BD，CE交于点P，∠A=60°，△ABC的面积为16，四边形AEPD的面积为5，则△BPC的面积为（　　） A．5 B．5.5 C．6 D．7 解：B． 5.如图，在△ABC中，AB=8，AC=6，O为△ABC角平分线的交点，若△ABO的面积为20，则△ACO的面积为______. 解：15 6.如图，Rt△ABC中，∠ACB=90°，△ABC的三条内角平分线交于点O，OM ⊥AB于M，OM=4，S△ABC=180，则△ABC的周长是__________ . 解：90 7.已知：如图，∠C=90°，∠B=30°，AD是△ABC的角平分线. 求证：BD=2CD. 证明：如图，过点D作DE⊥AB于点E， ∵AD平分∠BAC，DE⊥AB，∠C=90°， ∴DE=DC， ∵在直角三角形BED中，∠B=30°， ∴BD=2DE， ∴BD=2CD. 8.如图, 直线、、表示三条互相交叉的公路, 现要建一个货物中转站, 要求它到三条公路的距离相等, 可选择的地址有几处? 画出它的位置. 解：有4处，如图所示. 9.如图，在△ABC中，AD平分∠BAC，DG⊥BC且平分BC，DE⊥AB于点E，DF⊥AC，交AC的延长线于点F. (1)试说明BE=CF; (2)如果AB=5，AC=3，求AE，BE的长. 解:(1)如图,连接BD,CD. ∵AD平分∠BAC,DE⊥AB,DF⊥AC, ∴DE=DF,∠BED=∠CFD=90°. ∵DG⊥BC且平分BC, ∴BD=CD. 在Rt△BED与Rt△CFD中, ∵BD=CD,DE=DF, ∴Rt△BED≌Rt△CFD(HL), ∴BE=CF. (2)在△AED和△AFD中,∵∠AED=∠AFD=90°,∠EAD=∠FAD,AD=AD, ∴△AED≌△AFD(AAS), ∴AE=AF. 设BE=x,则CF=x. ∵AB=5,AC=3,AE=AB-BE,AF=AC+CF, ∴5-x=3+x,解得x=1, ∴BE=1, ∴AE=AB-BE=5-1=4. 【设计意图】本环节将“新知巩固”设为巩固练习，题型从基础到综合，帮助学生系统理解并掌握角平分线的应用。 主板书 1.5 角平分线 第2课时 探究点1 角平分线性质的综合应用 探究点2 三角形的内角平分线 课堂小结 副板书 例题 学生练习板演 1.必做题：习题1.5第2~5题。 2.探究性作业：习题1.5第6题。 学科网（北京）股份有限公司 $