1.5角平分线 ——角平分线的性质课件 2025-2026学年北师大版八年级下册

该初中数学课件聚焦角平分线的性质定理与判定定理，通过回顾三角形全等判定及角平分线性质旧知，结合“建贸易市场”情境问题导入，搭建从旧知到新知的学习支架，引导学生逐步探究。 其亮点在于以情境问题激发数学眼光，通过性质定理的AAS全等推理证明和判定定理的HL全等推理验证培养数学思维中的推理能力，例题与练习结合生活实际强化数学语言的应用意识。课堂小结采用对比表格清晰呈现知识联系，助力学生系统掌握，也为教师提供结构化教学资源，提升教学效率。

1.5 角平分线 第一章 三角形的证明 八年级数学下（BS） 教学课件 第1课时 角平分线 北师大版八年级数学下册 SSS SAS ASA AAS 旧知回顾:1.我们学过的判定三角形全等的方法 回顾复习 HL 性质定理： 角的平分线上的点到角的两边的距离相等. 2.角平分线的性质定理内容是什么? 情境引入 如图，要在S区建一个贸易市场，使它到铁路和公路距离相等， 离公路与铁路交叉处500米，这个集贸市场应建在何处？ （比例尺为1︰20000） D C S 解：1.作夹角的角平分线OC， 2.截取OD=2.5cm , D即为所求. O 导入新课 验证性质定理 已知：如图， OC是∠AOB的平分线,点P在OC上，PD⊥OA,PE⊥OB,垂足分别为D,E. 求证：PD=PE. P A O B C D E 证明： ∵ PD⊥OA,PE⊥OB， ∴ ∠PDO= ∠PEO=90 ° 在△PDO和△PEO中， ∠PDO= ∠PEO， ∠AOC= ∠BOC， OP= OP， ∴ △PDO ≌ △PEO(AAS). ∴PD=PE. 角的平分线上的点到角的两边的距离相等 ∵OC是∠AOB的平分线 ∴∠AOC= ∠BOC 性质定理： 角的平分线上的点到角的两边的距离相等. 应用所具备的条件： （1）角的平分线； （2）点在该平分线上； （3）垂直距离. 应用格式： ∵OP 是∠AOB的平分线， ∴PD = PE （在角的平分线上的点到这个角的两边的距离相等）. 推理的理由有三个，必须写完全，不能少了任何一个. 知识要点 PD⊥OA,PE⊥OB， B A D O P E C 判一判：（1）∵ 如下左图，AD平分∠BAC（已知）， ∴ = ，( ) 在角的平分线上的点到这个角的两边的距离相等 BD CD × B A D C (2)∵ 如上右图， DC⊥AC，DB⊥AB （已知）. ∴ = , ( ) 在角的平分线上的点到这个角的两边的距离相等 BD CD × B A D C （ ） （ ） 例1：已知：如图，在△ABC中，AD是它的角平分线，且BD=CD, DE⊥AB, DF⊥AC.垂足分别为E,F. 求证：EB=FC. A B C D E F 证明： ∵AD是∠BAC的角平分线， DE⊥AB, DF⊥AC， ∴ DE=DF, ∠DEB=∠DFC=90 °. 在Rt△BDE 和 Rt△CDF中， DE=DF， BD=CD， ∴ Rt△BDE ≌ Rt△CDF(HL). ∴ EB=FC. 角平分线的判定 二 P A O B C D E 在一个角的内部，到角的两边距离相等的点在角的平分线上． 思考：交换角的平分线性质中的已知和结论，你能得到什么结论，这个新结论正确吗？ 角平分线的性质： 角的平分线上的点到角的两边的距离相等. 思考：这个结论正确吗？ 逆 命 题 已知：如图，PD⊥OA，PE⊥OB，垂足分别是D、E，PD=PE. 求证：点P在∠AOB的角平分线上. 证明： 作射线OP， ∴点P在∠AOB 角的平分线上. 在Rt△PDO和Rt△PEO 中， （全等三角形的对应角相等）. OP=OP（公共边）， PD= PE（已知 ）， B A D O P E ∵PD⊥OA,PE⊥OB. ∴∠PDO=∠PEO=90°， ∴Rt△PDO≌Rt△PEO（ HL）. ∴∠AOP=∠BOP 猜想证明 判定定理： 在一个角的内部，到角的两边的距离相等的点在角的平分线上. P A O B C D E 应用所具备的条件： （1）位置关系：点在角的内部； （2）数量关系：该点到角两边的距离相等. 定理的作用：判断点是否在角平分线上. 应用格式： ∵ PD⊥OA,PE⊥OB，PD=PE. ∴点P 在∠AOB的平分线上. 知识总结 例2：如图,在△ABC中，∠BAC＝60°，点D在BC上， AD＝10，DE丄AB， DF丄AC ，垂足分别为E，F，DE＝DF，求DE的长. 解： ∵DE丄AB, DF丄AC，垂足分分别为E，F, 且DE＝DF， ∴AD平分∠BAC (在一个角的内部，到角的两边 距离相等的点在这个角的平分线上）. 又∵∠BAC＝60°， ∴∠BAD＝ ∠BAC = 30°. ∵∠AED＝90°，AD＝10， ∴DE＝　AD＝ ×10＝5 (在直角三角形中，如果 一个锐角等于30°. 那么它所对的直角边等于斜 边的一半). 小试牛刀 2.△ABC中, ∠C=90°,AD平分∠CAB,且BC=8,BD=5,则点D到AB的距离是 . A B C D 3 E 1. 如图，DE⊥AB，DF⊥BG，垂足分别是E，F， DE =DF， ∠EDB= 60°，则 ∠EBF= 度，BE= . 60 BF E B D F A C G 3．如图，在△ABC中，∠C＝90°，AB＝10，AD是△ABC的一条角平分线．若CD＝3，则△ABD的面积为（　　） A．15 B．30 C．12 D．10 A 4．如图，OP平分∠AOB，PD⊥OA于点D，点E是射线OB上的一个动点，若PD＝3，则PE的最小值（　　） A．大于3 B．等于3 C．小于3 D．无法确定 B 如图，已知∠CBD和∠BCE的平分线相交于点F， 求证：点F在∠DAE的平分线上． 证明： 过点F作FG⊥AE于G，FH⊥AD于H，FM⊥BC于M. ∵点F在∠BCE的平分线上， 　　　　FG⊥AE， FM⊥BC. ∴FG＝FM. 又∵点F在∠CBD的平分线上， 　　　　FH⊥AD， FM⊥BC， ∴FM＝FH， ∴FG＝FH. ∴点F在∠DAE的平分线上.　　　 G H M A B C F E D ┑ ┑ ┑ 考考你 又∵FG⊥AE，FH⊥AD 课堂小结 通过这节课的学习，你有何收获？ 课堂小结 图形 已知 条件 结论 P C P C OP平分∠AOB PD⊥OA于D PE⊥OB于E PD=PE OP平分∠AOB PD=PE PD⊥OA于D PE⊥OB于E 角的平分线的判定定理 角的平分线的性质定理 作 业 一、基础题（必做题） 二、拓展思维（选做题） 1．如图，在Rt△ABC中，∠C＝90°，BD是∠ABC的平分线， DE⊥AB于点E．若AC＝10，DE＝4，则AD的长为（　　） A．2 B．4 C．6 D．8 2.如图，已知在△ABC中，CD是AB边上的高线，BE平分∠ABC，交CD于点E，BC＝6，DE＝3，则△BCE的面积等于 。 1.如图，△ABC中，AD平分∠BAC，DG⊥BC且平分BC，DE⊥AB于E，DF⊥AC于F． （1）说明BE＝CF的理由； （2）如果AB＝5，AC＝3，求AE的长． 谢谢指导，再见！ $