16.4三元一次方程组的解法（教学课件）数学新教材人教版五四制七年级下册

【新教材】人教版五四制·七年级下册 16.4三元一次方程组的解法 第十六章 二元一次方程组 1.三元一次方程组的解法及“消元”思想. 2.根据方程组的特点，选择合适的未知数和方法消元． 学习目标 问题 在一次足球联赛中，一支球队共参加了22场比赛.积47分，且胜的场数比负的场数的4倍多2.按照足球联赛的积分规则，胜一场得3分，平一场得1分，负一场得0分，那么这支球队胜、平、负各多少场? 思考（1）题目中有几个未知量? （2）题目中有哪些等量关系? （3）如何用方程表示这些等量关系? 情境引入 设这支球队胜、平、负的场数分别为x，y，z.根据题意，可以得到下面三个方程 x+y+z=22 3x+y=47 x=4z+2 等量关系: ①胜的场数+平的场数+负的场数=22； ②胜场积分+平场积分+负场积分=47； ③胜的场数=负的场数×4+2. 新知探究 这个问题的解必须同时满足上面三个条件，因此，我们把这三个方程合在一起，写成 x+y+z=22 3x+y=47 x=4z+2 这个方程组含有三个未知数，且含有未知数的式子都是整式，含有未知数 的项的次数都是1,一共有三个方程，像这样的方程组叫作三元一次方程组. 新知探究 怎样解三元一次方程组呢？我们知道，二元一次方程组可以利用代入法或加减法消去一个未知数，化成一元一次方程求解．那么，能不能按照同样的思路，用代入法或加减法消去三元一次方程组的一个未知数 ，把它化成二元一次方程组呢？ x+y+z=22， ① 3x+y=47， ② x=4z+2. ③ 新知探究 x+y+z=22， ① 3x+y=47， ② x=4z+2. ③ 仿照前面学过的代入法，可以把③分别代入①②并化简，得到两个只含y,z的方程y+5z=20和y+12z=41, 它们组成方程组 y+5z=20, y+12z=41. 解这个二元一次方程组，可以求出y和z，进而可以求出x. 新知探究 从上面的分析可以看出，解三元一次方程组的基本思路是 ：通过 “代入”或“加减”进行消元，把“三元”化为“二元”，使解三元一次方程组转化为解二元一次方程组，进而再转化为解一元一次方程．这与解二元一次方程组的思路是一样的. 三元一次方程组 消元 二元一次方程组 消元 一元一次方程 新知探究 分析：方程①只含x，z，因此，可以由②③消去y，得到一个只含x，z的方程，与方程①组成一个二元一次方程组. 解:②×3+③,得11x+10z=35.④ ①与④组成方程组 解这个方程组，得 例1 解三元一次方程组 3x+4z=7， ① 2x+3y+z=9， ② 5x-9y+7z=8. ③ 3x+4z=7， 11x+10z=35. x=5， z=-2. 典例精析 把x=5,z=-2代入②, 得 2×5+3y-2=9, y=. 因此，这个三元一次方程组的解为 x=5， y=， z=-2. 典例精析 例2 在等式y=ax2＋bx＋c中，当x=-1时，y=0；当x=2时，y=3；当x=5时，y=60．求a，b，c的值． 解：根据题意，列得三元一次方程组 a-b+c=0， ① 4a+2b+c=3， ② 25a+5b+c=60. ③ ②-①, 得 a＋b=1. ④ ③-①, 得 4a＋b=10. ⑤ 分析：把a，b，c看作三个未知数，分别把已知的x，y值代入原等式，就可以得到一个三元一次方程组. 典例精析 ④与⑤组成二元一次方程组 解这个方程组，得 把a=3，b=-2代入①, 得 c=-5 . 因此a，b，c的值分别为3,-2,-5. a+b=1， 4a+b=10. a=3， b=-2. 典例精析 例3 一个三位数，各数位上的数的和为14,百位上的数的2倍减去十位上的数的差是个位上的数的.如果把这个三位数个位上的数与百位上的数交换位置，那么所得的新数比原数小99.求这个三位数. 分析：把这个三位数各位上的数看成三个未知数，则根据题目中的三个相等关系，可以列三元一次方程组. 典例精析 解：设这个三位数百位上的数为x，十位上的数为y，个位上的数为z.根据题意，列得三元一次方程组 解这个方程组，得 因此这个三位数是 473. x+y+z=14， ① 2x-y=z， ② 100z+10y+x+99=100x+10y+z. ③ x=4， y=7， z=3. 典例精析 1.若(m+1)x+y|m|+z=4是关于x，y，z的三元一次方程，则m的值为_____. 2.已知|x-6y|+2(4y-1)2+|3x-6z|=0，则x+y+z= . 1 随堂检测 3.解方程组 2x-y+3z=3 3x+y-2z=-1 x+y+z=5 （1）若先消去x，得到关于y、z的方程组是____________； （2）若先消去y，得到关于x、z的方程组是____________； （3）若先消去z，得到关于x、y的方程组是____________. -3y+z=-7 2y+5z=16 5x+z=2 3x+4z=8 x+4y=12 5x+3y=9 随堂检测 4.解方程组:　 解:把③分别代入①②,得解得 把y=3,z=2代入③,得x=5. 因此,这个三元一次方程组的解为. ① ② ③ 随堂检测 1.若|a－b－1|＋(b－2a＋c)2＋|2c－b|＝0，求a，b，c的值． 解：因为三个非负数的和等于0，所以每个非负数都为0. 可得方程组 解得 能力提升 2.某车间共有职工63人，加工一件产品需要三道工序，平均每人每天在第一道工序里能加工300件，在第二道工序里能加工500件，在第三道工序里能加工600件，为使每天能生产出最多的产品，应如何安排各工序的人数？ 解：设第一道工序安排 x 人，第二道工序安排 y 人，第三道工序安排 z 人， 根据题意，得 解得 答：为使每天能生产出最多的产品，第一道工序应安排30人，第二道工序应安排18人，第三道工序应安排15人. 能力提升 实际 问题 三元一次 方程组 消元 二元一次 方程组 消元 一元一次 方程 三元一次方程组的解 课堂小结 1.下列方程中，属于三元一次方程的是（　　） A.π+x+y＝6 B.xy+y+z＝6 C.x+2y+3z＝9 D.3x+2y﹣4z＝4x+2y﹣2z 2.将三元一次方程组 消去未知数z，得到的 二元一次方程组为 ． C 课后作业 3.解方程组: 解:①+②,得x-z=2.④ ③与④组成二元一次方程组解得 把x=4代入①,得4-y=1, 解得y=3. 因此,这个三元一次方程组的解是. ① ② ③ 课后作业 感谢聆听 $