专题3 数据分析初步（高效培优讲义）数学浙教版新教材八年级下册

专题3 数据分析初步 教学目标 1.理解平均数（算术平均数、加权平均数）、中位数、众数的定义； 2.掌握三者的计算方法；明晰方差、标准差的含义； 3.熟练掌握方差计算公式与运算步骤； 4.了解极差、四分位数、箱线图的基本意义，能读懂简单箱线图并提取数据信息。 教学重难点 1.重点 （1）平均数（加权平均数）、中位数、众数、方差的定义、计算公式和求解步骤 （2）用集中趋势统计量描述数据平均水平，用离散程度统计量判断数据稳定性，结合实际场景解读数据特征。 （3）对比两组及以上数据，结合集中趋势和离散程度做出合理判断，解决决策类问题 2.难点 （1）区分平均数、中位数、众数的优缺点，理解三者适用场景的差异，避免盲目计算、误用统计量； （2）突破方差公式的抽象性，理解“方差越大，数据波动越大；方差越小，数据越稳定”的核心逻辑，区分方差与极差、标准差的关联与区别 （3）结合实际问题（如比赛评分、产品质检、成绩分析），剔除无效数据、筛选关键信息，综合运用多个统计量全面分析数据，形成完整结论 （4）理解抽样的合理性，能用样本的平均数、方差推断总体特征，体会统计推断的严谨性。 知识点01 数据的集中趋势 1.平均数 定义：一般地，如果有n个数x1，x2，…，xn，那么 ==，读作“x拔”. 优点：平均数能充分利用各数据提供的信息，在实际生活中常用样本的平均数估计总体的平均数. 缺点：在计算平均数时，所有的数据都参与运算,所以它易受极端值的影响. 2.加权平均数 定义：若个数，，…，的权分别是，，…，，则，叫做这个数的加 权平均数. 【注意】若各数据权重相同，则算术平均数等于加权平均数. 3.中位数 定义：将一组数据按大小依次排列，把处在最中间位置的一个数据（或最中间两个数据的平均数）叫 做这组数据的中位数. 优点：中位数不受个别偏大或偏小数据的影响,当一组数据中的个别数据变动较大时,一般用中位数来 描述数据的集中趋势. 缺点：不能充分地利用各数据的信息. 4.众数 定义：一组数据中出现次数最多的数据就是这组数据的众数. 优点：众数考察的是各数据所出现的频数,其大小只与部分数据有关，当一组数据中某些数据多次重复 出现时，众数往往更能反映问题. 缺点：当各数据重复出现的次数大致相等时,它往往就没有什么特别意义. 【即学即练】 1．某小组7位学生的中考体育模拟测试成绩依次为55，60，59，57，60，58，60，则这组数据的众数与中位数分别是（   ） A．60，59 B．60，55 C．59，60 D．60，58 【答案】A 【分析】本题考查众数与中位数的定义，需先将数据从小到大排序，再根据定义分别确定众数和中位数． 本题考查众数和中位数的定义，熟练掌握定义是解题的关键．根据众数是出现次数最多的数据，中位数是按顺序排列后中间位置的数，据此解答即可． 【详解】解：数据按从小到大排序为：55，57，58，59，60，60，60， ∵ 众数为出现次数最多的数，60出现3次，次数最多， ∴ 众数为60； ∵ 数据个数为7，中位数为第4个数， ∴ 中位数为59， ∴这组数据的众数、中位数分别是60，59． 故选：A． 2．从班上13名排球队员中，挑选7名个头高的参加校排球比赛．若这13名队员的身高各不相同，其中队员小明想知道自己能否入选，只需知道这13名队员身高数据的（    ） A．平均数 B．中位数 C．最大值 D．众数 【答案】B 【分析】本题考查中位数的应用，理解中位数在排序数据中的位置是关键． 只需知道中位数即可判断小明是否入选，因为中位数对应第高的身高，小明比较自己的身高与中位数即可． 【详解】解：∵名队员身高各不相同，挑选名个头高的，即选身高排序的前名； ∵是奇数，中位数是第高的身高； ∴只需知道中位数，小明比较自己的身高与中位数：若身高大于或等于中位数，则入选；若小于中位数，则不入选； 其他统计量如平均数、最大值、众数均无法直接提供排名信息； 故选：B． 3．已知一组正整数，5，，，8有唯一众数1，平均数是3.6，则这一组数据的中位数为（    ） A．3 B．3.6 C．4 D．5.2 【答案】A 【分析】根据唯一众数1和平均数3.6，确定数据中的数值，再求中位数． 本题考查了众数、中位数和平均数，熟练掌握相关计算方法是解题的关键． 【详解】解：∵ 一组正整数a，5，b，c，8有唯一众数1，且平均数为3.6， ∴ 总和为， ∴，即， ∵ a，b，c为正整数，且众数为1， ∴ 1出现次数最多，且唯一， ∴ a，b，c中必有两个1和一个3（若为两个2和一个1，则众数为2，矛盾）， ∴ 数据为1，1，3，5，8， 排序后为1，1，3，5，8， ∴ 中位数为3． 故选：A． 知识点02 数据的离散程度 1.离差平方 离差：xi​−xˉ（数据与平均数的差） 离差平方：(xi​−xˉ)2 作用：消除正负，反映数据波动大小 2.方差 定义：在一组数据，，…，中，各个数据与平均数的差的平方的平均数叫做这组数据的方差，记作.计算公式是：. 意义：方差是用来衡量数据在平均数附近波动大小的量，方差越大，数据的波动性越大，方差越小，数据的波动性越小. 3.标准差 定义：方差的算术平方根,即 【补充】标准差也是用来描述一组数据波动的情况,常用来比较两组数据波动的大小. 【即学即练】 1．数据的平均数和离差平方和分别为（    ）． A．和 B．和 C．和 D．和 【答案】C 【分析】本题考查平均数的定义和离差平方和的定义，首先根据平均数的计算公式求出这组数据的平均数，再根据离差平方和的定义，计算每个数据与平均数差的平方和，进而得出答案． 【详解】解：∵这组数据为，共个数据， ∴平均数为， ∴离差平方和为： ， ， ， ， ∴这组数据的平均数和离差平方和分别为和． 故选：． 2．小明用计算一组数据的方差，那么的值为（  ） A．4.2 B．4 C．3.8 D．3.6 【答案】D 【分析】本题考查求一组数据的方差，先计算这组数据的平均数，再将平均数代入方差公式计算即可． 【详解】解：∵这组数据为9、4、7、4、6， ∴平均数， 将代入方差公式得： ． 故选D． 3．义安区某中学九年级人数相等的甲、乙两班学生参加同一次数学测试，两班平均分和方差分别为分，分，，．那么成绩较为整齐的是（   ） A．甲班 B．乙班 C．两班一样 D．无法确定 【答案】B 【分析】本题考查了方差．根据方差的意义，方差越小，数据波动越小，成绩越整齐，通过比较两班方差大小即可得出结论． 【详解】解：∵，， ∴， ∴乙班成绩较为整齐． 故选：B． 知识点03 四分位数与箱线图 四分位数：将排序后的数据四等分的数值，用于分析数据分布区间。 箱线图：借助中位数、四分位数、极值绘制，直观展示数据分布、离散程度和异常值。 【即学即练】 1．将某校吉他社团的10名同学的身高（单位：）绘制成箱线图（如图），从图中可以看出这10名同学身高的上四分位数是（    ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】本题考查了四分位数与箱线图，理解箱线图各数字表示的含义是解题的关键．根据箱线图从上到下的数据依次是极大值、上四分位数、中位数、下四分位数、最小值求解即可． 【详解】解：根据题意得，这10名同学身高的上四分位数是． 故选：B． 2．体育老师统计了八（1）班和八（2）班学生的跳绳次数，并绘制成如下的箱线图．下列说法正确的是（   ） A．八（1）班跳绳次数更集中 B．跳绳次数最小值出现在八（2）班 C．两个班级跳绳次数的中位数相等 D．八（2）班跳绳次数整体比八（1）班好 【答案】D 【分析】本题考查了箱线图的概念，需理解箱线图的构成及表示含义，再逐一分析各个选项即可． 【详解】解：A项：箱线图中，数据的“集中程度”看箱体的宽度，箱体越窄，数据越集中， 在八（1）班和八（2）班中，1班的箱体宽度为，2班的箱体宽度为， ∵， ∴八（2）班跳绳次数更集中，故A错误； B项：箱线图中，最下端点是数据的最小值， 对比1班和2班的最下端点，1班最下端点是136，2班最下端点是152， ∵， ∴1班的最小值更小，而非2班，故B错误； C项：箱线图中，中间的线代表中位数， 对比1班和2班的中位数，1班中位数是165，2班中位数是172， ∵， ∴两个班的中位数不相等，故C错误； D项：判断“整体水平”可看中位数，中位数代表数据的中间水平，中位数越高，整体水平越高， 对比1班和2班的中位数，明显2班的中位数高于1班的中位数， ∴2班的跳绳次数整体比1班的好，故D正确． 3．某中学数学教师共有20人，他们的年龄分布如表所示： 年龄 62 50 43 32 30 28 25 人数 2 3 3 5 2 4 1 下列说法正确的是（    ） A．29是这20人年龄的第一四分位数 B．29是这20人年龄的第三四分位数 C．31是这20人年龄的中位数 D．这20人年龄的众数是5 【答案】A 【分析】本题考查了四分位数，众数，中位数．根据第一四分位数、第三四分位数、中位数、众数的定义及计算方法，逐一验证各选项即可． 【详解】解：依题意，第一四分位数即分位数， 需取年龄从小到大排列后第5个和第6个数据的平均数， 则年龄从小到大排列后，得 ∴第5个数据为28，第6个数据为30， ∴ 第一四分位数为，故A选项正确 依题意，第三四分位数即分位数，， ∴需取年龄从小到大排列后第15个和第16个数据的平均数， 则第15个数据为43，第16个数据为50，平均数为，故B选项错误， 依题意，中位数即分位数，， ∴ 需取年龄从小到大排列后第10个和第11个数据的平均数，第10个和第11个数据均为32，平均数为32，故C选项错误 ∵ 众数是出现次数最多的年龄，32出现的次数最多（5次）， ∴众数是32，故D选项错误， 故选：A． 题型01 算术平均数 【典例1】某校个小组在一次植树活动中植树株数的条形图如图所示，则平均每组植树（    ） A．株 B．株 C．株 D．株 【答案】C 【分析】本题主要考查了平均数，根据平均数公式计算即可． 【详解】解：平均每组植树的棵数为(株)． 故选：C． 【变式1】某景区推出“AI讲解，智游古迹”的活动，当天结束时统计5个景点的订阅数量分别为2，3，4，5，6．上述数据的平均数为（   ） A．3 B．4 C．5 D．6 【答案】B 【分析】本题考查算术平均数的计算，根据算术平均数的定义，将所有数据求和后除以数据的个数即可得到结果． 【详解】解：根据题意，得这组数据的平均数为， 故选：B． 【变式2】小明期末考试语、数、英三科的平均分为92分，他只记得语文是88分，英语是95分，则小明数学考了（    ） A．93分 B．95分 C．92分 D．94分 【答案】A 【分析】本题考查平均数的应用，利用平均数公式求出三科总分，再减去已知的语文和英语分数即可得到数学成绩． 【详解】∵三科平均分为92分 ∴三科总分为（分）， ∵语文是88分，英语是95分 ∴数学成绩（分）． 【变式3】若数据，，，，的平均数是2，则数据，，，，的平均数是（   ） A．2 B．3 C．6 D．18 【答案】C 【分析】本题考查了利用已知的平均数求相关数据的平均数，解题关键是掌握上述知识点并能运用来求解． 利用平均数的性质，当每个数据乘以相同常数时，新平均数为原平均数乘以该常数． 【详解】解：∵数据，，，，的平均数为2， ∴． 对于新数据，，，，， 其和为， ∴新平均数为， 故选：C． 题型02 加权平均数 【典例2】在某小学举办的元旦合唱比赛中，六（3）班的成绩如下表所示，若“总成绩合唱成绩％造型成绩％”，则六（3）班的总成绩是（    ） 维度 合唱 造型 成绩/分 96 92 A．92.8 B．95.2 C．94 D．93.2 【答案】B 【分析】本题考查加权平均数的实际应用，根据题目给出的总成绩计算公式，代入对应成绩与权重进行计算即可． 【详解】解：∵合唱成绩为分，权重，造型成绩为分，权重． ∴总成绩 ． 所以六（）班的总成绩是分， 故选：． 【变式1】某校学期末进行优秀学生评定，王花的“德”“智”“体”“美”得分分别是分、分、分、分，若按的比来计算加权平均分，则王花的得分是（　　） A．分 B．分 C．分 D．分 【答案】B 【分析】本题考查加权平均数的计算，需根据加权平均数的计算公式，将各维度得分乘以对应权重后求和，再除以权重总和得到结果． 【详解】解：权重比为， 权重总和为， 王花的加权平均分为(分)． 故选：B． 【变式2】小明参加了学校广播站招聘广播员的三项素质测试，成绩（百分制）如下：写作65分、朗诵70分、创意设计80分．若写作、朗诵和创意设计的成绩分别按、、计算，则他的素质测试的最终成绩为（    ） A．71 B．72 C．73 D．74 【答案】B 【分析】本题考查加权平均数的计算，解题的关键是掌握加权平均数的公式． 根据加权平均数的计算公式，将各项成绩乘以对应权重后求和即可得到最终成绩． 【详解】解：最终成绩为（分）， 故选：B． 【变式3】某中学评选先进班集体，从“学习”“卫生”“纪律”“活动参与”四个方面考核打分，各项满分均为100分，且所占百分比分别为，八年级2班这四项得分依次为80分、90分、84分、70分，则该班的综合得分为（    ） A．分 B．分 C．84分 D．86分 【答案】B 【分析】根据加权平均数的计算方法，将各项得分乘以对应的比例后求和即可得出综合得分． 本题考查了加权平均数的计算，熟练掌握公式是解题的关键． 【详解】解：根据题意，得（分）， 故选：B． 题型03 中位数 【典例3】在学校迎春节歌咏比赛中，参加决赛的7位同学成绩依次为：80，77，79，77，80，79，80．这组数据的中位数是（   ） A．77 B．79 C．79.5 D．80 【答案】B 【分析】本题考查中位数的定义，解题关键是先将数据按从小到大顺序排列，再根据数据个数的奇偶性确定中位数. 【详解】解：∵将7位同学的成绩从小到大排列为：77，77，79，79，80，80，80 又∵数据个数7为奇数，中位数为第个数据 ∴这组数据的中位数是79， 故选：B. 【变式1】一组数据1，3，5，8，的中位数是5，则下列的取值中，满足条件的是（   ） A．2 B．3 C．4 D．6 【答案】D 【分析】本题考查中位数的定义； 根据奇数个数据的中位数概念，确定的取值范围，再匹配选项即可． 【详解】解：∵中位数定义为：将数据从小到大排列后，奇数个数据的中位数是中间位置的数， ∵这组数据共5个，中位数是5， ∴将数据从小到大排列后，第3个数必须为5， ∴需满足， ∵选项中仅符合条件， 故选：D． 【变式2】从班上13名排球队员中，挑选7名个头高的参加校排球比赛．若这13名队员的身高各不相同，其中队员小明想知道自己能否入选，只需知道这13名队员身高数据的（   ） A．平均数 B．中位数 C．众数 D．方差 【答案】B 【分析】本题考查统计量的实际应用，需结合入选规则，分析各统计量的意义来确定所需统计量． 【详解】∵13名队员身高各不相同，将身高从高到低排序后，第7个数据是这组数据的中位数，要挑选7名个头高的队员参赛． ∴小明将自己的身高与中位数比较，若身高≥中位数则能入选，反之则不能， ∴只需知道这组数据的中位数即可， 故选：B． 【变式3】某射击运动员在一次训练中共射出10发子弹，射击成绩如图所示，这位射击运动员射击成绩的中位数是（　　） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】本题考查条形统计图、中位数，根据统计图中的数据，可以得到中间的两个数据是9，9，然后计算它们的平均数即可得到相应的中位数． 【详解】解：由统计图可得， 中间的两个数据是，，故射击成绩的中位数是(环)， 故选：D． 题型04 众数 【典例4】某校八年级各班参加植树活动的人数统计如下：5，6，6，7，8，8，9，该组数据的众数是（  ） A．5 B．6和8 C．7 D．9 【答案】B 【分析】本题考查了众数的定义，解题的关键是找出数据中出现次数最多的数． 统计数据，，，，，，中每个数字的出现次数，其中和都出现了次，是出现次数最多的数，因此众数为和． 【详解】解：在数据，，，，，，中， 出现次，出现次，出现次，出现次，出现次． ∵ 和出现的次数最多， ∴ 这组数据的众数是和． 故选：B． 【变式1】某校给足球队的十一位运动员每人购买了一双运动鞋，尺码及购买数量如下表，则这十一双运动鞋尺码的众数为（   ） 尺码 40 41 42 43 44 购买数量 2 4 2 2 1 A．41 B．42 C．43 D．44 【答案】A 【分析】本题考查众数的定义，众数是指一组数据中出现次数最多的数据值．从表格中找出对应购买数量最多的尺码，该尺码即为众数． 【详解】解：∵观察表格可知，尺码对应的购买数量为4，是所有尺码中数量最多的， ∴这十一双运动鞋尺码的众数为； 故选：A． 【变式2】已知一组数据6，8，10，x的平均数和众数相等，则x的值为（） A．6 B．8 C．10 D．12 【答案】B 【分析】本题考查平均数，众数，掌握相关的概念和计算方法是解题的关键． 通过计算数据的平均数和众数，并令它们相等，求解x的值．众数为出现次数最多的数，需根据x的取值讨论． 【详解】解：数据的平均数为． ∵平均数和众数相等， ∴需使众数等于平均数． 当时，数据为6,8,8,10，众数为8，平均数为，两者相等． 当时，众数为6，平均数为7.5，不相等． 当时，众数为10，平均数为8.5，不相等． 当时，数据无众数或众数不唯一，平均数为9，与任何数都不等． ∴． 故选：B． 题型05 ；离差平方和 【典例5】青青记录了某一周每天下午放学回家所用的时间（单位：分）：10，11，12，10，12，则这组数据的离差平方和为（   ） A．2 B．4 C．6 D．8 【答案】B 【分析】本题考查了离差平方和．先计算数据的平均值，然后求每个数据与平均值的差的平方和，据此进行列式计算，即可作答． 【详解】解：∵数据：10，11，12，10，12， 则平均值， 依题意， ， 即这组数据的离差平方和为4， 故选：B． 【变式1】“强省会·劳动美”2025贵阳贵安职工篮球赛于7月19日晚正式落下帷幕，贵阳教育工会夺得机关组冠军．若比赛中六位队员得分（单位：分）分别为：7，7，8，8，9，9，则这六位队员得分的离差平方和为（   ） A．1 B．2 C．4 D．8 【答案】C 【分析】本题考查求离差平方和，先计算数据的平均值，再求每个数据与平均值之差的平方和即可. 【详解】解：∵平均数为， ∴ 离差平方和. 故选C. 【变式2】对于两组数据和，若数据的离差平方和为，数据的离差平方和为，则下列说法正确的是（   ） A．数据的波动比数据大 B．数据的波动比数据大 C．数据和数据的波动相同 D．无法判断两组数据的波动情况 【答案】D 【分析】本题考查组内离差平方和，掌握离差平方和的意义是解题的关键． 离差平方和反映数据波动，但波动大小需考虑数据个数，题干未给出数据个数，故无法比较波动情况． 【详解】解：∵ 离差平方和的大小受数据个数影响， 题干中未提供数据和的个数， ∴ 无法判断两组数据的波动情况． 故选：D． 【变式3】某组数据分为两组后，第一组离差平方和为5，第二组离差平方和为7，则组内离差平方和为（   ） A．2 B．12 C．35 D．无法确定 【答案】B 【分析】本题考查了方差，正确理解离差的定义是解决问题的关键． 组内离差平方和即为各组离差平方和之和，直接相加即可． 【详解】解：∵ 第一组离差平方和为，第二组离差平方和为， ∴ 组内离差平方和 ． 故选：B． 题型06 方差 【典例6】若一组数据2，4，x，1，6的平均数是3，则这组数据的方差为（   ） A．2 B．3.5 C．3.2 D．5 【答案】C 【分析】先根据平均数公式求出未知数x，再利用方差公式计算方差，即可得到结果． 【详解】解：∵这组数据2，4，x，1，6的平均数为，数据个数为， ∴ 解得， ∴方差． 【变式1】小明列出了一个样本数据方差的计算公式：，则公式中的＝_____． 【答案】4 【分析】本题考查方差的概念和计算，掌握好方差的计算公式是关键． 根据方差公式的结构确定样本数据及数据个数，再利用算术平均数的计算公式求解即可． 【详解】解：由方差计算公式可知，样本数据为1，3，4，6，6，数据个数． 根据算术平均数的计算公式，可得． 故答案为：． 【变式2】甲、乙两名射击运动员在相同条件下各射击次，甲的成绩单位：环为：，，，，，，乙的成绩单位：环为：，，，，，，这两名射击运动员的平均成绩均为环，则这两名运动员中发挥得更稳定的是__________填写“甲”或“乙”． 【答案】甲 【分析】该题考查了方差，通过计算方差比较稳定性，方差较小的运动员发挥更稳定． 【详解】解：甲的方差：， 乙的方差：， 由于 ，即 ，因此甲运动员发挥更稳定． 故答案为：甲． 【变式3】要从两名水平相当的射击运动员中挑选出成绩更稳定的选手，应关注的统计量是（    ） A．众数 B．方差 C．中位数 D．平均数 【答案】B 【分析】本题主要考查统计量的选择，解题的关键是掌握众数、方差、中位数及平均数的意义． 根据方差的意义求解即可． 【详解】解：要从两名水平相当的射击运动员中挑选出成绩更稳定的选手，应关注的统计量是方差， 故选：B． 题型07 求四分位数 【典例7】祖冲之把圆周率精确到小数点后7位，领先世界约1000年.数学活动课上，小红对圆周率的小数点后100位数字进行了统计： 数字 0 1 2 3 4 5 6 7 8 9 频数 8 8 12 11 10 8 9 8 12 14 则圆周率的小数点后100位数字的上四分位数、下四分位数为（    ） A．8，2 B．2，8 C．12，12 D．12，8 【答案】A 【分析】本题考查了求四分位数等知识点，解题关键是掌握上述知识点并能运用其来求解． 先根据四分位数的定义计算出对应位置，再通过累计频数确定对应位置的数字，注意题目中“上四分位数、下四分位数”的顺序． 【详解】解：将100个数字按从小到大排列， 数字0出现8次；数字1出现8次；数字2出现12次；数字3出现11次；数字4出现10次；数字5出现8次；数字6出现9次；数字7出现8次；数字8出现12次；数字9出现14次，总共有100个数据， 第25、26个数都是2， ∴下四分位数是， 第75、76个数都是8， ∴上四分位数是， 故选：A． 【变式1】如图是某校足球队队员身高的箱线图，则这组数据的上四分位数是（   ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】本题考查了箱线图和上四分位数，根据箱线图和上四分位数的定义即可求解，掌握知识点是解题的关键． 【详解】解：由箱线图可知，则这组数据的上四分位数是， 故选：． 【变式2】某校“魅力篮球节”活动中，有8位同学各投篮10次，进球次数（单位：次）分别为6，5，4，7，6，10，9，8．则这8位同学投篮进球次数的上四分位数为（   ） A．5.5次 B．6次 C．8.5次 D．9次 【答案】C 【分析】本题考查上四分位数的计算，需先将数据从小到大排序，再取上半部分数据的中位数． 【详解】解：∵数据从小到大排序为4，5，6，6，7，8，9，10，共8个数据， ∴上半部分数据为7，8，9，10， ∵上半部分数据有4个， ∴上四分位数为第2和第3个数据的平均值，即（次）， 故选：C． 【变式3】小红在班上做节水意识调查，收集了班上6名同学家里上个月的用水量（单位：），数据如下：，5，6，7，8，9．该组数据的四分位数分别是（    ） A．5，6.5，8 B．6，7，8 C．5，6，9 D．5，7，8 【答案】A 【分析】本题考查四分位数的计算，需先将数据排序，再根据四分位数的位置确定对应数值即可． 【详解】解：数据已从小到大排序为：5，5，6，7，8，9，共6个数据 中位数为：； 下四分位数为：5，5，6中的中位数，即5； 上四分位数为：7，8，9中的中位数，即8， ∴该组数据的四分位数分别是5，6.5，8， 故选：A． 题型08 画箱线图 【典例8】在以“运动强体魄，青春绽光彩”为主题的跳绳比赛中，已知八年级1班和2班的人数相等．两个班成绩的箱线图如图所示，由图可知_______班成绩更集中． 【答案】二 【详解】解：由箱线图可知，一班在50和140之间波动，二班在70和130之间波动， 所以成绩比较集中的班级是二班． 【变式1】箱线图中，箱体中间的竖线表示（   ） A．平均值 B．中位数 C．下四分位数 D．上四分位数 【答案】B 【分析】本题考查了箱线图的结构，解题关键是明确箱线图中箱体各部分对应的统计量（左边界为下四分位数、中间线为中位数、右边界为上四分位数）． 本题考查箱线图的组成元素，需明确箱体各部分对应的统计量． 【详解】解：A、平均值：箱线图中通常不直接体现平均值，不符合题意； B、中位数：箱体中间的竖线对应的是数据的中位数，符合箱线图的结构定义，符合题意； C、下四分位数：下四分位数是箱体的左边界，并非中间竖线，不符合题意； D、上四分位数：上四分位数是箱体的右边界，并非中间竖线，不符合题意． 故选：B． 【变式2】关于箱线图的说法错误的是（    ） A．箱线图可以反映数据的分布情况 B．箱线图最左侧的竖直线段表示这组数据的最小值 C．“箱子”部分包含了样本的数据 D．“箱子”左右两侧的每条水平线段包含了样本的数据 【答案】D 【分析】本题考查了箱线图的组成与数据分布占比，掌握箱线图中箱子、线段对应的样本比例是解题的关键． 根据箱线图各组成部分对应的样本占比，逐一判断每个选项的描述是否符合箱线图的定义． 【详解】解：A、箱线图能够反映数据的分布情况，该说法正确，不符合题意； B、箱线图最左侧的竖直线段对应这组数据的最小值，该说法正确，不符合题意； C、“箱子” 部分由第一四分位数（）和第三四分位数（）界定，包含了样本中间的数据，该说法正确，不符合题意； D、“箱子” 左右两侧的每条水平线段，各包含约的样本数据，并非，该说法错误，符合题意． 故选：D． 题型09 根据要求选择合适的统计量 【典例9】下面是根据八年2班学生1分钟跳绳次数制作的箱线图，由图不能确定这组数据的（   ） A．下四分位数 B．中位数 C．最大值 D．平均数 【答案】D 【分析】本题考查箱线图，‌箱线图‌是一种通过五个关键统计量（最小值、第一四分位数、中位数、第三四分位数、最大值）和异常值标识来展示数据分布的统计图表，据此求解即可． 【详解】解：由箱线图可得，下四分位数是132，中位数136，上四分位数144，最小值115，最大值162， ∴各个选项中，由图不能确定这组数据的平均数， 故选：D． 【变式1】运动会期间，某班要从9名跑成绩各不相同的同学中，选4名参加的接力赛，而这9名同学只知道自己的成绩，要想让他们知道自己是否入选，老师只需公布他们成绩的（    ） A．平均数 B．中位数 C．众数 D．下四分位数 【答案】B 【分析】本题主要考查中位数的意义，熟练掌握中位数的意义是解决此题的关键． 本题需判断哪个统计量能让同学知晓自己是否入选前4名，核心是找到入选与未入选的分界成绩，结合各统计量的定义分析即可． 【详解】解：∵9名同学成绩各不相同，将成绩按从优到劣（跑步时间由短到长）排序后，前4名可入选， 又∵9个数据的中位数是排序后第5个数据，恰好是入选与未入选的分界成绩， ∴同学将自身成绩与中位数对比，若成绩优于中位数（时间更短）则入选，反之则未入选， ∵平均数易受极端值影响、众数在本题无意义（成绩均不同），下四分位数均无法直接判断是否进入前4名， ∴老师只需公布中位数． 故选：B． 【变式2】在一次校园歌唱选拔比赛中，小明成绩为86分，超过本小组一半选手的成绩，分析得出这个结论所用的统计量是（   ） A．平均数 B．众数 C．中位数 D．方差 【答案】C 【分析】本题考查统计量的意义，需结合各统计量的定义，匹配题目描述判断所用统计量．熟知中位数的定义是解答的关键． 【详解】解：∵中位数的定义是将一组数据从小到大（或从大到小）排列后，处于中间位置的数（若数据个数为偶数，则是中间两个数的平均数），它能反映一组数据的中间水平，当成绩超过中位数时，说明超过了本小组一半选手的成绩 ∵平均数反映数据的平均水平，众数反映数据中出现次数最多的数，方差反映数据的波动程度，均不符合题意， ∴符合题意的统计量是中位数， 故选：C． 【变式3】下列表格是某公司员工情况表，你在了解这家公司的员工的平均工资时，你最应该关注的数据是（    ） 职位 普工 文员 经理 董事长 人数 3 10 2 1 工资（元） 1200 1500 1600 8000 A．平均数 B．众数与中位数 C．方差 D．最小数 【答案】B 【分析】此题主要考查统计量的选择，掌握平均数、中位数、众数、方差的意义是银题的关键． 根据题意，结合员工情况表，从统计量的角度分析可得答案． 【详解】解：根据题意，了解这家公司的员工的平均工资时， 结合员工情况表，即要全面的了解大多数员工的工资水平， 故最应该关注的数据众数与中位数， 故选：B． 题型10 数据分析综合 【典例10】一次芭蕾舞比赛中，甲、乙两个芭蕾舞团都表演了舞剧《天鹅湖》，参加表演的女演 员的身高（单位：）如下表所示： 甲 163 164 164 165 165 166 166 167 乙 163 165 165 165 166 167 168 169 数据分析： 芭蕾舞团 平均数 中位数 方差 甲 a 165 1.5 乙 166 b m 根据以上信息，解答下列问题： (1)填空： __________， __________； (2)求乙芭蕾舞团女演员身高的方差，并判断哪个芭蕾舞团女演员的身高更整齐． 【答案】(1)165；； (2)，甲芭蕾舞团女演员的身高更整齐 【分析】本题考查了求方差，中位数，平均数，根据方差判断数据的波动大小，理解方差的意义是解题的关键． （1）根据平均数、中位数的定义求解即可； （2）先求得甲、乙两个芭蕾舞团的女演员的身高的平均数，进而求得的甲、乙两组数据的方差，根据方差的大小来判断哪个芭蕾舞团女演员的身高更整齐． 【详解】（1）解：， ， 故答案为：165，； （2）解：． 而由（1）得， ∴方差分别是 ， ． 由可知，甲芭蕾舞团女演员的身高更整齐． 【变式1】甲、乙两名运动员在相同条件下进行了10次射击训练，成绩如下表： 靶次 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 甲的成绩/环 6 7 6 8 7 6 8 6 9 7 乙的成绩/环 5 5 7 7 5 8 6 9 8 10 将成绩绘制成如下折线统计图： 根据上述图表可求甲、乙两名运动员的平均成绩均为7环，在此基础上解答下列问题： (1)若设甲、乙两运动员成绩的方差分别为，，则与的大小关系是___________（填“>”“<”或“=”）； (2)求甲运动员成绩的方差； (3)如果乙再射击1次，命中7环，那么乙射击成绩的方差将___________（填“变大”“变小”或“不变”） 【答案】(1)< (2)1 (3)变小 【分析】本题考查了方差，熟练掌握方差的计算公式以及方差的意义是解题的关键． （1）结合折线统计图，根据方差的意义即可得出结论； （2）根据方差的公式计算即可； （3）先计算乙运动员10次射击训练成绩的方差，再计算乙再射击1次，命中7环后的方差，比较二者的大小即可得出结论． 【详解】（1）解：由折线统计图可知，甲运动员的成绩比乙运动员的成绩稳定， 又∵设甲、乙两运动员成绩的方差分别为，， ∴， 故答案为：<； （2）解： ， ∴甲运动员成绩的方差为1； （3）解：乙运动员10次射击训练成绩的方差 ， 如果乙再射击1次，命中7环，那么乙射击成绩的方差为， ∴乙射击成绩的方差将变小． 故答案为：变小． 【变式2】为落实《国家学生体质健康标准》，某校重点监测八、九年级男生身体素质．本次校内模拟体测设1000米（）、50米（）、引体向上（）三项，得分均为百分制（综合分四舍五入，保留整数）．为优化教学，学校从八、九年级各抽12名男生的模拟数据进行分析． 信息1：八年级12名男生体测单项得分表（单位；分） 学生编号 1000米得分 50米得分 引体向上得分 综合得分 1 65 60 62 63 2 72 70 70 71 3 78 75 75 4 80 80 80 80 5 84 82 80 82 6 88 85 82 85 7 88 85 85 86 8 88 85 85 86 9 100 100 60 88 10 90 100 78 89 11 95 92 90 93 12 98 96 95 97 信息2：九年级12名男生体测综合得分数据（单位：分） 学生编码 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 综合得分 75 80 83 85 88 88 88 90 92 93 99 100 信息3：九年级12名男生综合得分箱线图    信息4：八、九年级抽取男生体测（综合得分）统计表： 年级 综合得分平均分 中位数 众数 方差 八年级 83 85.5 81.83 九年级 88 88 47.91 根据以上信息，解答下列问题： (1)_____，_____，_____； (2)请求出八年级编号为3的学生的综合得分（四舍五入，保留整数）． (3)根据抽查的数据，请判断哪个年级的体测成绩更好，并说明理由． 【答案】(1)88；84；86 (2)八年级编号为3的学生的综合得分为76分 (3)九年级的成绩更好，理由见解析 【分析】本题主要考查箱线图及中位数、众数、平均数和方差，熟练掌握中位数、众数、平均数和方差的定义是解题的关键． （1）根据中位数和众数的定义解答即可； （2）根据加权平均数公式解答即可； （3）根据平均数和方差的意义解答即可． 【详解】（1）解：由题意可知，九年级的中位数，下四分位数为， 八年级的众数， 故答案为：88，84，86； （2）解：（分）， 答：八年级编号为3的学生的综合得分为76分； （3）解：九年级的体测成绩更好，理由如下： 因为九年级的体测成绩的平均数比八年级高，方差比八年级小成绩更稳定，所以九年级的体测成绩更好． 【变式3】2025年11月19日，我国在酒泉卫星发射中心成功将实践三十号A、B、C星发射升空，卫星顺利进入预定轨道，发射任务取得圆满成功．为激发青少年崇尚科学、探索未知的热情，某中学开展了“航空航天”知识问答系列活动，为了解活动效果，从七、八年级学生的知识问答成绩中，各随机抽取12名学生的成绩（单位：分）进行统计分析，并绘制如图所示的箱线图（不完整）． 七年级：60，70，70，80，83，89，91，93，95，97，98，100； 八年级：70，77，79，81，88，89，91，92，92，94，95，96． 七、八年级抽取的学生的成绩统计表 年级 平均数 中位数 众数 七年级 85.5 a 70 八年级 m b c (1)上述表中，______，______，并补全七年级的箱线图； (2)求八年级所抽取学生的平均成绩m； (3)若该校八年级有800名学生参与了此次活动，请估计该校此次活动中八年级学生成绩超过90分的人数． 【答案】(1)，，见解析； (2)； (3)估计该校此次活动中八年级学生成绩超过90分的人数为400人． 【分析】（1）根据众数和中位数的定义求出，，，补全箱线图即可； （2）根据平均数的概念求解即可； （3）用800乘以成绩超过90分的人数所占的比例即可． 【详解】（1）解：∵共有12个数据， ∴中位数为第6个数据和第7个数据的平均数， ∴八年级所抽取学生的中位数； ∵出现的次数最多， ∴八年级所抽取学生的众数； 七年级所抽取学生的中位数； 补全七年级的箱线图如下： （2）解：八年级所抽取学生的平均成绩（分）； （3）解：（人）， ∴估计该校此次活动中八年级学生成绩超过90分的人数为400人． 1．一组数据，，，，，的众数和平均数分别是（    ）． A．， B．， C．， D．， 【答案】A 【分析】本题考查了众数和平均数的定义，分别计算出这组数据的众数和平均数即可，掌握众数和平均数的定义是解题的关键． 【详解】解：∵在数据，，，，，中，出现的次数最多， ∴这组数据的众数是， ∵这组数据的和为，数据个数为， ∴平均数为， ∴这组数据的众数和平均数分别是和， 故选：． 2．甲、乙、丙、丁四名同学参加立定跳远训练，他们成绩的平均数相同，方差如下：，，，，则成绩最稳定的是（    ） A．甲 B．乙 C．丙 D．丁 【答案】B 【分析】本题考查了方差与稳定性．熟练掌握方差越小越稳定是解题的关键．根据方差越小越稳定求解作答即可． 【详解】解：∵甲、乙、丙、丁成绩的平均数相同，，，，， 又， ∴成绩最稳定的是乙． 故选：B． 3．小明参加以“诵读经典伴我行浸润书香促成长”为主题的演讲比赛，其演讲形象、演讲内容、演讲效果三项成绩分别是9分、10分、8分．若将演讲形象、演讲内容、演讲效果三项成绩按的比例确定最终成绩，则小明的最终比赛成绩是（   ） A．8分 B．8.5分 C．9分 D．9.3分 【答案】D 【分析】本题考查了加权平均数．熟练掌握加权平均数是解题的关键． 根据加权平均数的计算方法，将各项成绩乘以相应的权重比，求和后除以权重总和． 【详解】最终成绩按的比例计算， 权重之和为， 加权和为， 最终成绩为分． 故选． 4．已知一组数据：8、4、2、6、4、5、1、2，则这组数据的下四分位数为（ ） A．3 B．2 C．6 D．5 【答案】B 【分析】本题考查的是四分位数的定义，按下四分位数的定义求下四分位数即可． 【详解】解：将原数据按从小到大重新排列：1、2、2、4、4、5、6、8， 这组数据的下四分位数是， 故选：B． 5．在某次射击选拔比赛中，某队员10次射击的成绩如图所示，根据此统计图，判断下列错误的是（   ） A．这组成绩的平均数为9 B．这组成绩的中位数是9 C．这组成绩的众数是9 D．最高成绩是9 【答案】D 【分析】本题主要考查了折线统计图，中位数，众数和平均数，根据折线图得到这组数据是解题关键． 根据题意分别求出这组数据的中位数、众数和平均数即可判断． 【详解】解：A、这组成绩的平均数是，选项结论正确，故选项不符合题意； B、这组成绩由小到大排列为：8.4，8.6，8.8，9，9，9，9.2，9.2，9.4，9.4，第五、六个是9，9，故中位数为环，选项结论正确，故选项不符合题意； C、9出现次数为3次，最多，故这组成绩的众数是9环，选项结论正确，故选项不符合题意； D、最高成绩是9.4环，选项结论错误，故选项符合题意． 故选：D． 6．已知某校甲、乙两个篮球队人数相等，两队队员身高（）的箱线图如图所示，则下列说法正确的是（    ） A．甲队身高数据比乙队更集中 B．甲队身高的下四分位数是 C．乙队身高超过的人数占 D．乙队身高的中位数比甲队大 【答案】B 【分析】本题考查箱线图的应用，涉及四分位数、中位数、数据集中程度的判断等知识点．关键是明确箱线图中各统计量的含义． 【详解】解：A选项：观察箱线图，可以看到甲队队员身高的最大值与最小值的差大于乙队， ∴乙队身高数据比甲队更集中，故A选项错误； B选项：由箱线图可知，甲队身高的下四分位数是，故B选项正确； C选项：乙队身高的上四分位数是，即的队员身高不超过， ∴超过的人数占，故C选项错误； D选项：观察箱线图，可以看到甲队队员身高的中位数大于乙队， ∴乙队身高的中位数比甲队小，故D选项错误； 故选：B． 7．若一组数据的方差为：，则该组数据的总和为___________． 【答案】15 【分析】本题主要考查了方差的定义，根据方差公式的定义，先确定数据的个数和平均数，再用平均数乘以数据个数得到数据总和． 【详解】解：由方差的公式可知，该组数据的个数，平均数，根据平均数的定义，数据总和平均数数据个数，即． 故答案为：15． 8．为宣传节约用水，某社区随机统计了8户居民的月用水量：2户用了9立方米，3户用了12立方米，2户用了15立方米，1户用了16立方米．若该社区有300户居民，估计该社区每月共需用水_________ 立方米． 【答案】3750 【分析】先计算抽取样本的平均月用水量，再乘以社区总户数，即可得到该社区每月总用水量的估计值． 【详解】解：抽取的8户居民的总月用水量为 （立方米）， 样本平均每户月用水量为（立方米）， 估计该社区300户居民每月总用水量为（立方米）． 9．张同学参加以“诵读经典伴我行·浸润书香促成长”为主题的演讲比赛，其演讲形象、演讲内容、演讲效果三项成绩分别是9分、10分、8分．若将演讲形象、演讲内容、演讲效果三项成绩按的比例确定最终成绩，则张同学的最终比赛成绩是___________分． 【答案】9.3 【分析】本题考查加权平均数的计算，需将各项成绩按给定权重比例进行加权求和，再除以权重总和即可． 【详解】解：权重之和为， 因此最终成绩为（分）． 故答案为：9.3． 10．为了解八年级学生的体育运动水平，某校对全体八年级同学进行了体能测试．老师随机抽取20名男生和20名女生的测试成绩（满分100）作为样本进行整理和分析（成绩共分成五组：，，，，），并绘制了不完整的统计图表．收集、整理数据：20名男生的体能测试成绩分别为：50、57、65、76、77，78，79，87，87，88，88，88，89，89，92，93，95，97，98，99：女生体能测试成绩在C组和组的分别为：73，74，74，74，74，78；84，88，89． 分析数据：两组样本数据的平均数、中位数和众数如表所示： 测试成绩 平均数 中位数 众数 男生 88 女生 a 74 请根据以上信息．回答下列问题： (1)补全频数分布直方图： (2)填空：_____，_____； (3)女生体能测试扇形统计图中．表示这组数据的扇形圆心角的度数是_____； (4)如果我校八年级有男生480名，女生460名，请估计八年级体能测试成绩不低于80分的学生人数． 【答案】(1)见解析 (2)， (3) (4)542名 【分析】（1）先根据频数分布直方图及各组人数之和等于被调查总人数求得的人数，然后补全频数分布直方图即可； （2）根据众数和中位数的概念求解即可； （3）先求出样本中女生E组人数，从而可求出样本中女生E组人数所占比例，最后乘即可； （4）先求出男生和女生体能测试成绩不低于80分的学生人数，再用男生和女生人数分别乘以样本中男生和女生体能测试成绩不低于80分的学生人数所占比例，最后相加即可． 【详解】（1）解：20名男生的体能测试成绩分的人数为（名）， ∴补全直方图如下： （2）解：在男生成绩20名男生的体能测试成绩中，88出现次数最多，即男生的众数； 将女生的成绩从小到大排列，处于第10、11位的是78和84，故的中位数． 故答案为：81，88． （3）解：样本中女生A、B组总人数为名，C组人数为6名，D组人数为3名， ∴样本中女生E组人数为（名）， ∴表示这组数据的扇形圆心角的度数是． 故答案为：． （4）解：∵样本中男生成绩不低于80分的学生人数为名，女生成绩不低于80分的学生人数为名， ∴估计八年级体能测试成绩不低于80分的学生人数为（名）． 答：估计八年级体能测试成绩不低于80分的学生人数为542名． 11．【数据收集】 某市射击队为了从，两名选手中选拔一人参加青少年射击比赛，现组织两人在相同的条件下进行八轮射击比赛，每轮每人射靶一次，并对，两名选手每轮的射击成绩进行了数据收集． 【数据整理】 如图，将，两名选手八轮射击成绩绘制成如下统计图． 【数据分析】 (1)分别求，两名选手平均成绩？ (2)如下表格：求表中的，，． 选手 最小值、四分位数、最大值和方差 最小值 最大值 方差 6 10 1.75 8 8 9 10 10 0.75 (3)对上面数据进行分析时，可以从平均数、方差角度进行分析，也可以从四分位数、箱线图角度进行分析．请选择一个角度说明，从他们中选拔一人参加青少年射击比赛，你将选谁？ 【答案】(1)，两名选手平均成绩分别为，9 (2)；9；9.5 (3)选择B选手参加青少年射击比赛 【分析】本题考查折线图及数据分析，从折线图上获得信息是解题的关键． （1）根据平均数的定义进行计算即可； （2）先把A选手的成绩从小到大排列，再根据四分位数的定义求解即可； （3）根据中位数、平均数和方差进行决策即可． 【详解】（1）解：选手A的平均成绩为： ， 选手B的平均成绩为： ； （2）解：选手A的成绩从小到大排列为：6，7，8，9，9，9，10，10， 下四分位数为，则，即； 中位数为，则，即； 上四分位数为，则，即； 故答案为：；9；9.5； （3）解：选择B选手参加青少年射击比赛，理由如下： ，两名选手的中位数相等，B选手平均成绩更高，方差更小， 则成绩更稳定，能力更强， 因此，选择B选手参加青少年射击比赛． 1 / 17 学科网（北京）股份有限公司 $ 专题3 数据分析初步 教学目标 1.理解平均数（算术平均数、加权平均数）、中位数、众数的定义； 2.掌握三者的计算方法；明晰方差、标准差的含义； 3.熟练掌握方差计算公式与运算步骤； 4.了解极差、四分位数、箱线图的基本意义，能读懂简单箱线图并提取数据信息。 教学重难点 1.重点 （1）平均数（加权平均数）、中位数、众数、方差的定义、计算公式和求解步骤 （2）用集中趋势统计量描述数据平均水平，用离散程度统计量判断数据稳定性，结合实际场景解读数据特征。 （3）对比两组及以上数据，结合集中趋势和离散程度做出合理判断，解决决策类问题 2.难点 （1）区分平均数、中位数、众数的优缺点，理解三者适用场景的差异，避免盲目计算、误用统计量； （2）突破方差公式的抽象性，理解“方差越大，数据波动越大；方差越小，数据越稳定”的核心逻辑，区分方差与极差、标准差的关联与区别 （3）结合实际问题（如比赛评分、产品质检、成绩分析），剔除无效数据、筛选关键信息，综合运用多个统计量全面分析数据，形成完整结论 （4）理解抽样的合理性，能用样本的平均数、方差推断总体特征，体会统计推断的严谨性。 知识点01 数据的集中趋势 1.平均数 定义：一般地，如果有n个数x1，x2，…，xn，那么 ==，读作“x拔”. 优点：平均数能充分利用各数据提供的信息，在实际生活中常用样本的平均数估计总体的平均数. 缺点：在计算平均数时，所有的数据都参与运算,所以它易受极端值的影响. 2.加权平均数 定义：若个数，，…，的权分别是，，…，，则，叫做这个数的加 权平均数. 【注意】若各数据权重相同，则算术平均数等于加权平均数. 3.中位数 定义：将一组数据按大小依次排列，把处在最中间位置的一个数据（或最中间两个数据的平均数）叫 做这组数据的中位数. 优点：中位数不受个别偏大或偏小数据的影响,当一组数据中的个别数据变动较大时,一般用中位数来 描述数据的集中趋势. 缺点：不能充分地利用各数据的信息. 4.众数 定义：一组数据中出现次数最多的数据就是这组数据的众数. 优点：众数考察的是各数据所出现的频数,其大小只与部分数据有关，当一组数据中某些数据多次重复 出现时，众数往往更能反映问题. 缺点：当各数据重复出现的次数大致相等时,它往往就没有什么特别意义. 【即学即练】 1．某小组7位学生的中考体育模拟测试成绩依次为55，60，59，57，60，58，60，则这组数据的众数与中位数分别是（   ） A．60，59 B．60，55 C．59，60 D．60，58 2．从班上13名排球队员中，挑选7名个头高的参加校排球比赛．若这13名队员的身高各不相同，其中队员小明想知道自己能否入选，只需知道这13名队员身高数据的（    ） A．平均数 B．中位数 C．最大值 D．众数 3．已知一组正整数，5，，，8有唯一众数1，平均数是3.6，则这一组数据的中位数为（    ） A．3 B．3.6 C．4 D．5.2 知识点02 数据的离散程度 1.离差平方 离差：xi​−xˉ（数据与平均数的差） 离差平方：(xi​−xˉ)2 作用：消除正负，反映数据波动大小 2.方差 定义：在一组数据，，…，中，各个数据与平均数的差的平方的平均数叫做这组数据的方差，记作.计算公式是：. 意义：方差是用来衡量数据在平均数附近波动大小的量，方差越大，数据的波动性越大，方差越小，数据的波动性越小. 3.标准差 定义：方差的算术平方根,即 【补充】标准差也是用来描述一组数据波动的情况,常用来比较两组数据波动的大小. 【即学即练】 1．数据的平均数和离差平方和分别为（    ）． A．和 B．和 C．和 D．和 2．小明用计算一组数据的方差，那么的值为（  ） A．4.2 B．4 C．3.8 D．3.6 3．义安区某中学九年级人数相等的甲、乙两班学生参加同一次数学测试，两班平均分和方差分别为分，分，，．那么成绩较为整齐的是（   ） A．甲班 B．乙班 C．两班一样 D．无法确定 知识点03 四分位数与箱线图 四分位数：将排序后的数据四等分的数值，用于分析数据分布区间。 箱线图：借助中位数、四分位数、极值绘制，直观展示数据分布、离散程度和异常值。 【即学即练】 1．将某校吉他社团的10名同学的身高（单位：）绘制成箱线图（如图），从图中可以看出这10名同学身高的上四分位数是（    ） A． B． C． D． 2．体育老师统计了八（1）班和八（2）班学生的跳绳次数，并绘制成如下的箱线图．下列说法正确的是（   ） A．八（1）班跳绳次数更集中 B．跳绳次数最小值出现在八（2）班 C．两个班级跳绳次数的中位数相等 D．八（2）班跳绳次数整体比八（1）班好 3．某中学数学教师共有20人，他们的年龄分布如表所示： 年龄 62 50 43 32 30 28 25 人数 2 3 3 5 2 4 1 下列说法正确的是（    ） A．29是这20人年龄的第一四分位数 B．29是这20人年龄的第三四分位数 C．31是这20人年龄的中位数 D．这20人年龄的众数是5 题型01 算术平均数 【典例1】某校个小组在一次植树活动中植树株数的条形图如图所示，则平均每组植树（    ） A．株 B．株 C．株 D．株 【变式1】某景区推出“AI讲解，智游古迹”的活动，当天结束时统计5个景点的订阅数量分别为2，3，4，5，6．上述数据的平均数为（   ） A．3 B．4 C．5 D．6 【变式2】小明期末考试语、数、英三科的平均分为92分，他只记得语文是88分，英语是95分，则小明数学考了（    ） A．93分 B．95分 C．92分 D．94分 【变式3】若数据，，，，的平均数是2，则数据，，，，的平均数是（   ） A．2 B．3 C．6 D．18 题型02 加权平均数 【典例2】在某小学举办的元旦合唱比赛中，六（3）班的成绩如下表所示，若“总成绩合唱成绩％造型成绩％”，则六（3）班的总成绩是（    ） 维度 合唱 造型 成绩/分 96 92 A．92.8 B．95.2 C．94 D．93.2 【变式1】某校学期末进行优秀学生评定，王花的“德”“智”“体”“美”得分分别是分、分、分、分，若按的比来计算加权平均分，则王花的得分是（　　） A．分 B．分 C．分 D．分 【变式2】小明参加了学校广播站招聘广播员的三项素质测试，成绩（百分制）如下：写作65分、朗诵70分、创意设计80分．若写作、朗诵和创意设计的成绩分别按、、计算，则他的素质测试的最终成绩为（    ） A．71 B．72 C．73 D．74 【变式3】某中学评选先进班集体，从“学习”“卫生”“纪律”“活动参与”四个方面考核打分，各项满分均为100分，且所占百分比分别为，八年级2班这四项得分依次为80分、90分、84分、70分，则该班的综合得分为（    ） A．分 B．分 C．84分 D．86分 题型03 中位数 【典例3】在学校迎春节歌咏比赛中，参加决赛的7位同学成绩依次为：80，77，79，77，80，79，80．这组数据的中位数是（   ） A．77 B．79 C．79.5 D．80 【变式1】一组数据1，3，5，8，的中位数是5，则下列的取值中，满足条件的是（   ） A．2 B．3 C．4 D．6 【变式2】从班上13名排球队员中，挑选7名个头高的参加校排球比赛．若这13名队员的身高各不相同，其中队员小明想知道自己能否入选，只需知道这13名队员身高数据的（   ） A．平均数 B．中位数 C．众数 D．方差 【变式3】某射击运动员在一次训练中共射出10发子弹，射击成绩如图所示，这位射击运动员射击成绩的中位数是（　　） A． B． C． D． 题型04 众数 【典例4】某校八年级各班参加植树活动的人数统计如下：5，6，6，7，8，8，9，该组数据的众数是（  ） A．5 B．6和8 C．7 D．9 【变式1】某校给足球队的十一位运动员每人购买了一双运动鞋，尺码及购买数量如下表，则这十一双运动鞋尺码的众数为（   ） 尺码 40 41 42 43 44 购买数量 2 4 2 2 1 A．41 B．42 C．43 D．44 【变式2】已知一组数据6，8，10，x的平均数和众数相等，则x的值为（） A．6 B．8 C．10 D．12 题型05 ；离差平方和 【典例5】青青记录了某一周每天下午放学回家所用的时间（单位：分）：10，11，12，10，12，则这组数据的离差平方和为（   ） A．2 B．4 C．6 D．8 【变式1】“强省会·劳动美”2025贵阳贵安职工篮球赛于7月19日晚正式落下帷幕，贵阳教育工会夺得机关组冠军．若比赛中六位队员得分（单位：分）分别为：7，7，8，8，9，9，则这六位队员得分的离差平方和为（   ） A．1 B．2 C．4 D．8 【变式2】对于两组数据和，若数据的离差平方和为，数据的离差平方和为，则下列说法正确的是（   ） A．数据的波动比数据大 B．数据的波动比数据大 C．数据和数据的波动相同 D．无法判断两组数据的波动情况 【变式3】某组数据分为两组后，第一组离差平方和为5，第二组离差平方和为7，则组内离差平方和为（   ） A．2 B．12 C．35 D．无法确定 题型06 方差 【典例6】若一组数据2，4，x，1，6的平均数是3，则这组数据的方差为（   ） A．2 B．3.5 C．3.2 D．5 【变式1】小明列出了一个样本数据方差的计算公式：，则公式中的＝_____． 【变式2】甲、乙两名射击运动员在相同条件下各射击次，甲的成绩单位：环为：，，，，，，乙的成绩单位：环为：，，，，，，这两名射击运动员的平均成绩均为环，则这两名运动员中发挥得更稳定的是__________填写“甲”或“乙”． 【变式3】要从两名水平相当的射击运动员中挑选出成绩更稳定的选手，应关注的统计量是（    ） A．众数 B．方差 C．中位数 D．平均数 题型07 求四分位数 【典例7】祖冲之把圆周率精确到小数点后7位，领先世界约1000年.数学活动课上，小红对圆周率的小数点后100位数字进行了统计： 数字 0 1 2 3 4 5 6 7 8 9 频数 8 8 12 11 10 8 9 8 12 14 则圆周率的小数点后100位数字的上四分位数、下四分位数为（    ） A．8，2 B．2，8 C．12，12 D．12，8 【变式1】如图是某校足球队队员身高的箱线图，则这组数据的上四分位数是（   ） A． B． C． D． 【变式2】某校“魅力篮球节”活动中，有8位同学各投篮10次，进球次数（单位：次）分别为6，5，4，7，6，10，9，8．则这8位同学投篮进球次数的上四分位数为（   ） A．5.5次 B．6次 C．8.5次 D．9次 【变式3】小红在班上做节水意识调查，收集了班上6名同学家里上个月的用水量（单位：），数据如下：，5，6，7，8，9．该组数据的四分位数分别是（    ） A．5，6.5，8 B．6，7，8 C．5，6，9 D．5，7，8 题型08 画箱线图 【典例8】在以“运动强体魄，青春绽光彩”为主题的跳绳比赛中，已知八年级1班和2班的人数相等．两个班成绩的箱线图如图所示，由图可知_______班成绩更集中． 【变式1】箱线图中，箱体中间的竖线表示（   ） A．平均值 B．中位数 C．下四分位数 D．上四分位数 【变式2】关于箱线图的说法错误的是（    ） A．箱线图可以反映数据的分布情况 B．箱线图最左侧的竖直线段表示这组数据的最小值 C．“箱子”部分包含了样本的数据 D．“箱子”左右两侧的每条水平线段包含了样本的数据 题型09 根据要求选择合适的统计量 【典例9】下面是根据八年2班学生1分钟跳绳次数制作的箱线图，由图不能确定这组数据的（   ） A．下四分位数 B．中位数 C．最大值 D．平均数 【变式1】运动会期间，某班要从9名跑成绩各不相同的同学中，选4名参加的接力赛，而这9名同学只知道自己的成绩，要想让他们知道自己是否入选，老师只需公布他们成绩的（    ） A．平均数 B．中位数 C．众数 D．下四分位数 【变式2】在一次校园歌唱选拔比赛中，小明成绩为86分，超过本小组一半选手的成绩，分析得出这个结论所用的统计量是（   ） A．平均数 B．众数 C．中位数 D．方差 【变式3】下列表格是某公司员工情况表，你在了解这家公司的员工的平均工资时，你最应该关注的数据是（    ） 职位 普工 文员 经理 董事长 人数 3 10 2 1 工资（元） 1200 1500 1600 8000 A．平均数 B．众数与中位数 C．方差 D．最小数 题型10 数据分析综合 【典例10】一次芭蕾舞比赛中，甲、乙两个芭蕾舞团都表演了舞剧《天鹅湖》，参加表演的女演 员的身高（单位：）如下表所示： 甲 163 164 164 165 165 166 166 167 乙 163 165 165 165 166 167 168 169 数据分析： 芭蕾舞团 平均数 中位数 方差 甲 a 165 1.5 乙 166 b m 根据以上信息，解答下列问题： (1)填空： __________， __________； (2)求乙芭蕾舞团女演员身高的方差，并判断哪个芭蕾舞团女演员的身高更整齐． 【变式1】甲、乙两名运动员在相同条件下进行了10次射击训练，成绩如下表： 靶次 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 甲的成绩/环 6 7 6 8 7 6 8 6 9 7 乙的成绩/环 5 5 7 7 5 8 6 9 8 10 将成绩绘制成如下折线统计图： 根据上述图表可求甲、乙两名运动员的平均成绩均为7环，在此基础上解答下列问题： (1)若设甲、乙两运动员成绩的方差分别为，，则与的大小关系是___________（填“>”“<”或“=”）； (2)求甲运动员成绩的方差； (3)如果乙再射击1次，命中7环，那么乙射击成绩的方差将___________（填“变大”“变小”或“不变”） 【变式2】为落实《国家学生体质健康标准》，某校重点监测八、九年级男生身体素质．本次校内模拟体测设1000米（）、50米（）、引体向上（）三项，得分均为百分制（综合分四舍五入，保留整数）．为优化教学，学校从八、九年级各抽12名男生的模拟数据进行分析． 信息1：八年级12名男生体测单项得分表（单位；分） 学生编号 1000米得分 50米得分 引体向上得分 综合得分 1 65 60 62 63 2 72 70 70 71 3 78 75 75 4 80 80 80 80 5 84 82 80 82 6 88 85 82 85 7 88 85 85 86 8 88 85 85 86 9 100 100 60 88 10 90 100 78 89 11 95 92 90 93 12 98 96 95 97 信息2：九年级12名男生体测综合得分数据（单位：分） 学生编码 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 综合得分 75 80 83 85 88 88 88 90 92 93 99 100 信息3：九年级12名男生综合得分箱线图    信息4：八、九年级抽取男生体测（综合得分）统计表： 年级 综合得分平均分 中位数 众数 方差 八年级 83 85.5 81.83 九年级 88 88 47.91 根据以上信息，解答下列问题： (1)_____，_____，_____； (2)请求出八年级编号为3的学生的综合得分（四舍五入，保留整数）． (3)根据抽查的数据，请判断哪个年级的体测成绩更好，并说明理由． 【变式3】2025年11月19日，我国在酒泉卫星发射中心成功将实践三十号A、B、C星发射升空，卫星顺利进入预定轨道，发射任务取得圆满成功．为激发青少年崇尚科学、探索未知的热情，某中学开展了“航空航天”知识问答系列活动，为了解活动效果，从七、八年级学生的知识问答成绩中，各随机抽取12名学生的成绩（单位：分）进行统计分析，并绘制如图所示的箱线图（不完整）． 七年级：60，70，70，80，83，89，91，93，95，97，98，100； 八年级：70，77，79，81，88，89，91，92，92，94，95，96． 七、八年级抽取的学生的成绩统计表 年级 平均数 中位数 众数 七年级 85.5 a 70 八年级 m b c (1)上述表中，______，______，并补全七年级的箱线图； (2)求八年级所抽取学生的平均成绩m； (3)若该校八年级有800名学生参与了此次活动，请估计该校此次活动中八年级学生成绩超过90分的人数． 1．一组数据，，，，，的众数和平均数分别是（    ）． A．， B．， C．， D．， 2．甲、乙、丙、丁四名同学参加立定跳远训练，他们成绩的平均数相同，方差如下：，，，，则成绩最稳定的是（    ） A．甲 B．乙 C．丙 D．丁 3．小明参加以“诵读经典伴我行浸润书香促成长”为主题的演讲比赛，其演讲形象、演讲内容、演讲效果三项成绩分别是9分、10分、8分．若将演讲形象、演讲内容、演讲效果三项成绩按的比例确定最终成绩，则小明的最终比赛成绩是（   ） A．8分 B．8.5分 C．9分 D．9.3分 4．已知一组数据：8、4、2、6、4、5、1、2，则这组数据的下四分位数为（ ） A．3 B．2 C．6 D．5 5．在某次射击选拔比赛中，某队员10次射击的成绩如图所示，根据此统计图，判断下列错误的是（   ） A．这组成绩的平均数为9 B．这组成绩的中位数是9 C．这组成绩的众数是9 D．最高成绩是9 6．已知某校甲、乙两个篮球队人数相等，两队队员身高（）的箱线图如图所示，则下列说法正确的是（    ） A．甲队身高数据比乙队更集中 B．甲队身高的下四分位数是 C．乙队身高超过的人数占 D．乙队身高的中位数比甲队大 7．若一组数据的方差为：，则该组数据的总和为___________． 8．为宣传节约用水，某社区随机统计了8户居民的月用水量：2户用了9立方米，3户用了12立方米，2户用了15立方米，1户用了16立方米．若该社区有300户居民，估计该社区每月共需用水_________ 立方米． 9．张同学参加以“诵读经典伴我行·浸润书香促成长”为主题的演讲比赛，其演讲形象、演讲内容、演讲效果三项成绩分别是9分、10分、8分．若将演讲形象、演讲内容、演讲效果三项成绩按的比例确定最终成绩，则张同学的最终比赛成绩是___________分． 10．为了解八年级学生的体育运动水平，某校对全体八年级同学进行了体能测试．老师随机抽取20名男生和20名女生的测试成绩（满分100）作为样本进行整理和分析（成绩共分成五组：，，，，），并绘制了不完整的统计图表．收集、整理数据：20名男生的体能测试成绩分别为：50、57、65、76、77，78，79，87，87，88，88，88，89，89，92，93，95，97，98，99：女生体能测试成绩在C组和组的分别为：73，74，74，74，74，78；84，88，89． 分析数据：两组样本数据的平均数、中位数和众数如表所示： 测试成绩 平均数 中位数 众数 男生 88 女生 a 74 请根据以上信息．回答下列问题： (1)补全频数分布直方图： (2)填空：_____，_____； (3)女生体能测试扇形统计图中．表示这组数据的扇形圆心角的度数是_____； (4)如果我校八年级有男生480名，女生460名，请估计八年级体能测试成绩不低于80分的学生人数． 11．【数据收集】 某市射击队为了从，两名选手中选拔一人参加青少年射击比赛，现组织两人在相同的条件下进行八轮射击比赛，每轮每人射靶一次，并对，两名选手每轮的射击成绩进行了数据收集． 【数据整理】 如图，将，两名选手八轮射击成绩绘制成如下统计图． 【数据分析】 (1)分别求，两名选手平均成绩？ (2)如下表格：求表中的，，． 选手 最小值、四分位数、最大值和方差 最小值 最大值 方差 6 10 1.75 8 8 9 10 10 0.75 (3)对上面数据进行分析时，可以从平均数、方差角度进行分析，也可以从四分位数、箱线图角度进行分析．请选择一个角度说明，从他们中选拔一人参加青少年射击比赛，你将选谁？ 1 / 17 学科网（北京）股份有限公司 $