第3章 数据分析初步 学案 2025-2026学年浙教版八年级数学下册

专题3　数据分析初步 题型一　平均数、中位数、众数 　　【典例1】 为了更好地迎接某区排球比赛，某校积极准备，从全校学生中遴选出21名同学进行相应的排球训练，该训练队成员的身高如下表所示： 身高/cm 170 172 175 178 180 182 185 人数 2 4 5 2 4 3 1 　　该校排球训练队21名同学身高(单位：cm)的众数和中位数分别是( ) A.185，178 B.175，176.5 C.175，178 D.175，175 　　【点悟】 找中位数要把数据按从小到大的顺序排列，位于最中间的一个数据(数据总数为奇数)或最中间两个数据的平均数(数据总数为偶数)为中位数；众数是一组数据中出现次数最多的数据，注意众数可能不止一个；平均数等于所有数据的和除以数据的个数。 　　【变式1】 某地接连上映两部在校园广受欢迎的电影A和B，为了解学生对这两部影片的评价，某调查小组从该校八年级学生中随机抽取了20名学生对这两部作品分别进行评级，等级分为一星、二星、三星、四星、五星，其中对应等级的得分依次记为2分、4分、6分、8分、10分。现将学生对电影的评级整理并绘制成统计图如图。 变式1图 请你根据以上信息，解答下列问题： (1)在此次电影评级中，认为B影片等级在三星以上(包括三星)的人数为。  (2)在表格中a=，b=。  平均数/分 众数/分 中位数/分 A a 10 8 B 7.7 8 b 　　(3)从相关统计量进行分析，你认为该校八年级学生对哪部作品的评价更高？请说明理由。 题型二　方差 　　【典例2】 某地举行网络安全知识竞赛，A，B两校各派出5名选手组成代表队参加决赛，两校派出的选手的决赛成绩如图所示。 A，B两校选手决赛成绩条形统计图 典例2图 (1)根据图示填写下表： 平均数/分 中位数/分 众数/分 A校 85 B校 85 100 　　(2)结合两校成绩的平均数和中位数，分析哪个学校的决赛成绩较好。 (3)计算两校决赛成绩的方差，并判断哪个学校代表队的选手成绩较为稳定。 　　【点悟】 计算方差：“先平均、再作差、平方后、再平均”，也就是说，先求出一组数据的平均数，再将每一个数据都与平均数作差，然后将这些差进行平方，最后求这些差的平方的平均数，其结果就是这组数据的方差。方差越大，波动越大，越不稳定。 　　【变式2】 若数据1，2，3，4，5的方差是a，则数据7，8，9，10，11的方差是( ) A.a B.2a C.4a D.5a 题型三　统计量的选择与应用 　　【典例3】 某校八(1)班甲、乙两名男生在5次引体向上测试中有效次数记录如下： 甲：8，8，7，8，9； 乙：5，9，7，10，9。 甲、乙两人引体向上的平均数、众数、中位数、方差如下表所示： 平均数 众数 中位数 方差 甲 8 b 8 0.4 乙 a 9 c 3.2 　　(1)表中a=，b=，c=。  (2)体育老师根据这5次的成绩，决定选择甲同学代表班级参加年级引体向上比赛，选择甲的理由是。班主任李老师根据去年比赛的成绩(至少9次才能获奖)，决定选择乙同学代表班级参加年级引体向上比赛，选择乙的理由是。  (3)如果乙同学再做一次引体向上，有效次数为8，那么乙同学6次引体向上成绩的平均数，中位数，方差(均填“变大”“变小”或“不变”)。  　　【点悟】 (1)平均数、中位数、众数是描述一组数据集中程度的统计量，方差是描述一组数据离散程度的统计量，在单独使用时，它们都存在一定的局限性。 (2)解决有关决策的问题时，需要对数据的变化趋势及平均数、中位数、众数、方差等多个统计量进行综合分析，角度不同，作出的决策也不同。 　　【变式3－1】 某校合唱团成员的年龄分布如下表所示： 年龄/岁 12 13 14 15 频数 5 15 x 10－x 　　对于x的不同取值，下列关于年龄的统计量不会发生变化的是( ) A.平均数、中位数 B.众数、中位数 C.平均数、方差 D.中位数、方差 　　【变式3－2】 体育老师要从每班选取一名同学参加学校的跳绳比赛，小静和小炳是跳绳能手，下面分别是小静、小炳6次跳绳成绩的统计图和成绩分析表。 小静、小炳6次跳绳成绩的折线统计图 变式3－2图 小静、小炳6次跳绳成绩分析表 平均数 中位数 方差 小静 180 182.5 79.7 小炳 180 a 49.7 　　(1)根据统计图中的数据，表中a=。  　　(2)结合以上信息，请你从两个不同的角度评价这两位学生的跳绳水平。 题型四　四分位数和箱线图 　　【典例4】 有一组数据：12，15，18，22，25，28，30，35，40，45。 (1)求这组数据的四分位数。 (2)绘制箱线图。 典例4图 1.某篮球队5名场上队员的身高(单位：cm)分别是：188，190，192，194，195。现用一名身高为190 cm的队员换下场上身高为195 cm的队员，与换人前相比，换人后场上队员的身高( ) A.平均数变小，方差变小 B.平均数变小，方差变大 C.平均数变大，方差变小 D.平均数变大，方差变大 2.如图是根据某店今年6月1日至5日每天的用水量(单位：吨)绘制成的折线统计图。下列结论 第2题图 正确的是( ) A.平均数是6 B.众数是7 C.中位数是11 D.方差是8 3.某校五个绿化小组一天的植树棵数如下：10，10，12，x，8。已知这组数据的平均数是 10，那么这组数据的方差是。  4.一组数据3，x，7的离差平方和是8，x的值为。  5.有一组数据：10，14，16，18，20，22，24，26，30，50。 (1)若这组数据中有一个异常值，请指出异常值并计算剩余数据的m25、中位数和m75。 (2)根据(1)中的数据绘制箱线图，并标记异常值。 第5题图 6.为增强学生的社会实践能力，促进学生全面发展，某校计划招募若干名学生会干事。现有20名学生报名参加选拔，报名的学生需参加文化水平、口头表达、组织策划三项测试，每项测试均由七位评委打分(满分100分)，取平均分作为该项的测试成绩，再将文化水平、口头表达、组织策划三项的测试成绩按3∶3∶4的比例计算出每人的总评成绩。 已知圆圆、芳芳的三项测试成绩和总评成绩如表，这20名学生的总评成绩频数直方图(每组含最小值，不含最大值)如图。 选手 测试成绩/分 总评成绩/分 文化水平 口头表达 组织策划 圆圆 83 72 80 78.5 芳芳 86 84 ▲ ▲ 第6题图 (1)在组织策划测试中，七位评委给芳芳打出的分数如下：75，82，74，81，70，83，81。这组数据的中位数是分，众数是分，平均数是分。  (2)请你计算芳芳的总评成绩。 (3)学校决定根据总评成绩择优选拔11名学生会干事。试分析芳芳、圆圆能否入选，并说明理由。 7.若数据x1，x2，…，x8的平均数是2，则数据2x1＋1，2x2＋1，…，2x8＋1的平均数是。  8.某校为提高学生的汉字书写能力，开展了“汉字听写”大赛，七、八年级学生参加比赛，为了解这两个年级参加比赛学生的成绩情况，从中各随机抽取10名学生的成绩，数据如下(单位：分)： 七年级88 94 90 94 84 94 99 94 99 100 八年级84 93 88 94 93 98 93 98 97 99 【整理数据】 将数据分组整理如下表： 成绩x年级 80≤x＜85 85≤x＜90 90≤x＜95 95≤x≤100 七年级 1 1 5 3 八年级 a b 4 4 【分析数据】 数据分析结果如下表： 统计量年级 平均数 中位数 众数 方差 七年级 93.6 94 m 23.6 八年级 93.7 n 93 20.4 (1)计算表格中a， b，m，n的值。 (2)你认为哪个年级学生“汉字听写”大赛的成绩比较好？请说明理由(至少从两个不同的角度说明推断的合理性)。 9.奥运会即将开幕，某校组织七、八年级学生进行了奥运知识竞赛，并从七、八年级各随机抽取了20名学生的竞赛成绩，进行了整理和分析。 【数据的收集与整理】 素材 1：竞赛成绩用x(单位：分)表示，总分为100分，80分及以上为优秀，共分为四个等级： A：90≤x≤100，B：80≤x＜90，C：70≤x＜80，D：0≤x＜70。 素材2：八年级20名学生的竞赛成绩统计图如图所示。 第9题图 其中B等级包含的所有数据为：80，81，81，81，82。 素材3：七年级20名学生的竞赛成绩为 31，45，50，55，60，60，65，70，74，78， 78，78，78，83，85，87，90，93，100，100。 素材4：七、八年级抽取学生的竞赛成绩统计如下表： 年级 平均数 众数 中位数 优秀率 七年级 73 a 78 35% 八年级 73 81 b c 【数据的分析与应用】 任务一：(1)结合上述素材，直接写出素材4中，a=，b=，c=。  任务二：(2)结合上述竞赛成绩统计表， 你认为该校七、八年级的奥运知识竞赛哪个年级的学生成绩更好？ 请说明理由。 任务三：(3)若该校七、八年级参加本次竞赛活动的共有600人(七、八年级人数相同)，请估计该校七、八两个年级共有多少人成绩为优秀。 w 学科网（北京）股份有限公司 $ 专题3　数据分析初步 题型一　平均数、中位数、众数 　　【典例1】 为了更好地迎接某区排球比赛，某校积极准备，从全校学生中遴选出21名同学进行相应的排球训练，该训练队成员的身高如下表所示： 身高/cm 170 172 175 178 180 182 185 人数 2 4 5 2 4 3 1 　　该校排球训练队21名同学身高(单位：cm)的众数和中位数分别是(　D　) A.185，178 B.175，176.5 C.175，178 D.175，175 　　【点悟】 找中位数要把数据按从小到大的顺序排列，位于最中间的一个数据(数据总数为奇数)或最中间两个数据的平均数(数据总数为偶数)为中位数；众数是一组数据中出现次数最多的数据，注意众数可能不止一个；平均数等于所有数据的和除以数据的个数。 　　【变式1】 某地接连上映两部在校园广受欢迎的电影A和B，为了解学生对这两部影片的评价，某调查小组从该校八年级学生中随机抽取了20名学生对这两部作品分别进行评级，等级分为一星、二星、三星、四星、五星，其中对应等级的得分依次记为2分、4分、6分、8分、10分。现将学生对电影的评级整理并绘制成统计图如图。 变式1图 请你根据以上信息，解答下列问题： (1)在此次电影评级中，认为B影片等级在三星以上(包括三星)的人数为　18　。  (2)在表格中a=　8.1　，b=　8　。  平均数/分 众数/分 中位数/分 A a 10 8 B 7.7 8 b 　　(3)从相关统计量进行分析，你认为该校八年级学生对哪部作品的评价更高？请说明理由。 解：(1)20×(20%＋30%＋40%)=18， 即认为B影片等级在三星以上(包括三星)的人数为18。 (2)a==8.1(分)， 将B影片中学生的评价分从小到大进行排序，排在中间位置的2个数为8分， ∴中位数b==8(分)。 (3)∵八年级学生对A影片评分的平均数和众数都比B影片高，而中位数相同， ∴八年级学生对A影片的评价更高。 题型二　方差 　　【典例2】 某地举行网络安全知识竞赛，A，B两校各派出5名选手组成代表队参加决赛，两校派出的选手的决赛成绩如图所示。 A，B两校选手决赛成绩条形统计图 典例2图 (1)根据图示填写下表： 平均数/分 中位数/分 众数/分 A校 85 85 85 B校 85 80 100 　　(2)结合两校成绩的平均数和中位数，分析哪个学校的决赛成绩较好。 (3)计算两校决赛成绩的方差，并判断哪个学校代表队的选手成绩较为稳定。 解：(2)A校成绩较好。因为两个学校的平均数相同，但A校的中位数更高。 (3)A校的方差×[(85－85)2＋(80－85)2＋(85－85)2＋(75－85)2＋(100－85)2]=70， B校的方差×[(70－85)2＋(100－85)2＋(80－85)2＋(75－85)2＋(100－85)2]=160。 ∵， ∴A校代表队的选手成绩较为稳定。 　　【点悟】 计算方差：“先平均、再作差、平方后、再平均”，也就是说，先求出一组数据的平均数，再将每一个数据都与平均数作差，然后将这些差进行平方，最后求这些差的平方的平均数，其结果就是这组数据的方差。方差越大，波动越大，越不稳定。 　　【变式2】 若数据1，2，3，4，5的方差是a，则数据7，8，9，10，11的方差是(　A　) A.a B.2a C.4a D.5a 题型三　统计量的选择与应用 　　【典例3】 某校八(1)班甲、乙两名男生在5次引体向上测试中有效次数记录如下： 甲：8，8，7，8，9； 乙：5，9，7，10，9。 甲、乙两人引体向上的平均数、众数、中位数、方差如下表所示： 平均数 众数 中位数 方差 甲 8 b 8 0.4 乙 a 9 c 3.2 　　(1)表中a=　8　，b=　8　，c=　9　。  (2)体育老师根据这5次的成绩，决定选择甲同学代表班级参加年级引体向上比赛，选择甲的理由是　甲的方差较小，成绩比较稳定　。班主任李老师根据去年比赛的成绩(至少9次才能获奖)，决定选择乙同学代表班级参加年级引体向上比赛，选择乙的理由是　乙的中位数是9，众数是9，获奖的可能性更大　。  (3)如果乙同学再做一次引体向上，有效次数为8，那么乙同学6次引体向上成绩的平均数　不变　，中位数　变小　，方差　变小　(均填“变大”“变小”或“不变”)。  【解析】 (1)∵×(5＋9＋7＋9＋10)=8， ∴a=8。 ∵甲的成绩中，8出现的次数最多， ∴b=8。 ∵将乙的成绩从小到大排列为5，7，9，9，10，处在中间的数是9， ∴c=9。 (3)原平均数是8，增加1个数据8后，平均数不变，方差变小。 6次成绩按从小到大排列为5，7，8，9，9，10，中位数是8.5，∴中位数变小。 　　【点悟】 (1)平均数、中位数、众数是描述一组数据集中程度的统计量，方差是描述一组数据离散程度的统计量，在单独使用时，它们都存在一定的局限性。 (2)解决有关决策的问题时，需要对数据的变化趋势及平均数、中位数、众数、方差等多个统计量进行综合分析，角度不同，作出的决策也不同。 　　【变式3－1】 某校合唱团成员的年龄分布如下表所示： 年龄/岁 12 13 14 15 频数 5 15 x 10－x 　　对于x的不同取值，下列关于年龄的统计量不会发生变化的是(　B　) A.平均数、中位数 B.众数、中位数 C.平均数、方差 D.中位数、方差 【解析】 由表可知，年龄为14岁与年龄为15岁的频数和为x＋10－x=10， ∴总人数为5＋15＋10=30， 故该组数据的众数是13岁，中位数是13岁， ∴对于x的不同取值，关于年龄的统计量不会发生变化的是众数和中位数。 　　【变式3－2】 体育老师要从每班选取一名同学参加学校的跳绳比赛，小静和小炳是跳绳能手，下面分别是小静、小炳6次跳绳成绩的统计图和成绩分析表。 小静、小炳6次跳绳成绩的折线统计图 变式3－2图 小静、小炳6次跳绳成绩分析表 平均数 中位数 方差 小静 180 182.5 79.7 小炳 180 a 49.7 　　(1)根据统计图中的数据，表中a=　179　。  　　(2)结合以上信息，请你从两个不同的角度评价这两位学生的跳绳水平。 解：(2)从中位数看，小静的中位数大于小炳的中位数，所以小静取得高分的可能性较大； 从方差看，小炳的方差小于小静的方差，所以小炳的成绩更为稳定。(答案不唯一) 题型四　四分位数和箱线图 　　【典例4】 有一组数据：12，15，18，22，25，28，30，35，40，45。 (1)求这组数据的四分位数。 (2)绘制箱线图。 典例4图 解：(1)数据已按升序排列，中位数==26.5。 m25为前5个数据12，15，18，22，25的中位数，即18。 m75为后5个数据28，30，35，40，45的中位数，即35。 (2)绘制箱线图如答图： 典例4答图 1.某篮球队5名场上队员的身高(单位：cm)分别是：188，190，192，194，195。现用一名身高为190 cm的队员换下场上身高为195 cm的队员，与换人前相比，换人后场上队员的身高(　A　) A.平均数变小，方差变小 B.平均数变小，方差变大 C.平均数变大，方差变小 D.平均数变大，方差变大 【解析】 原数据的平均数为(188＋190＋192＋194＋195)÷5=191.8， 方差为[(188－191.8)2＋(190－191.8)2＋(192－191.8)2＋(194－191.8)2＋(195 －191.8)2]÷5=6.56， 新数据的平均数为191.8－(195－190)÷5=190.8， 方差为[(188－190.8)2＋(190－190.8)2＋(192－190.8)2＋(194－190.8)2＋(190－190.8)2]÷5=4.16， ∴平均数变小，方差变小。 2.如图是根据某店今年6月1日至5日每天的用水量(单位：吨)绘制成的折线统计图。下列结论 第2题图 正确的是(　D　) A.平均数是6 B.众数是7 C.中位数是11 D.方差是8 【解析】 平均数为(5＋7＋11＋3＋9)÷5=7，A错误。 众数为5，7，11，3，9，B错误。 将数据从小到大排列为3，5，7，9，11，中位数是7，C错误。 方差S2=×[(5－7)2＋(7－7)2＋(11－7)2＋(3－7)2＋(9－7)2]=8， D正确。 3.某校五个绿化小组一天的植树棵数如下：10，10，12，x，8。已知这组数据的平均数是 10，那么这组数据的方差是　1.6　。  【解析】 ∵数据10，10，12，x，8的平均数是10， ∴=10，解得x=10， ∴这组数据的方差是[3×(10－10)2＋(8－10)2＋(12－10)2]÷5=1.6。 4.一组数据3，x，7的离差平方和是8，x的值为　5　。  【解析】 设这三个数的平均数为m， 则=m，所以x=3m－10， 所以D2=(3－m)2＋(3m－10－m)2＋(7－m)2 =9－6m＋m2＋4m2－40m＋100＋49－14m＋m2 =6m2－60m＋158， 由题意，得6m2－60m＋158=8， 整理，得(m－5)2=0， 解得m1=m2=5， 所以x=3m－10=5。 5.有一组数据：10，14，16，18，20，22，24，26，30，50。 (1)若这组数据中有一个异常值，请指出异常值并计算剩余数据的m25、中位数和m75。 (2)根据(1)中的数据绘制箱线图，并标记异常值。 第5题图 解：(1)异常值是50。 排除异常值后剩下9个数据，中位数是第5个数据20。 下四分位数是前半部分(10，14，16，18)的中位数，m25==15。 上四分位数是后半部分(22，24，26，30)的中位数，m75==25。 (2)绘制箱线图并标记异常值如答图。 第5题答图 6.为增强学生的社会实践能力，促进学生全面发展，某校计划招募若干名学生会干事。现有20名学生报名参加选拔，报名的学生需参加文化水平、口头表达、组织策划三项测试，每项测试均由七位评委打分(满分100分)，取平均分作为该项的测试成绩，再将文化水平、口头表达、组织策划三项的测试成绩按3∶3∶4的比例计算出每人的总评成绩。 已知圆圆、芳芳的三项测试成绩和总评成绩如表，这20名学生的总评成绩频数直方图(每组含最小值，不含最大值)如图。 选手 测试成绩/分 总评成绩/分 文化水平 口头表达 组织策划 圆圆 83 72 80 78.5 芳芳 86 84 ▲ ▲ 第6题图 (1)在组织策划测试中，七位评委给芳芳打出的分数如下：75，82，74，81，70，83，81。这组数据的中位数是　81　分，众数是　81　分，平均数是　78　分。  (2)请你计算芳芳的总评成绩。 (3)学校决定根据总评成绩择优选拔11名学生会干事。试分析芳芳、圆圆能否入选，并说明理由。 解：(1)七位评委给芳芳打出的分数从小到大排列为：70，74，75，81，81，82，83， ∴这组数据的中位数是81分，众数是81分，平均数是(70＋74＋75＋81＋81＋82＋83)÷7=78(分)。 (2)(86×3＋84×3＋78×4)÷10=82.2(分)。 答：芳芳的总评成绩为82.2分。 (3)不能判断圆圆能否入选，但是芳芳能入选。理由如下： 由20名学生的总评成绩频数分布直方图可知，小于80分的有10人，因为圆圆78.5分、芳芳82.2分， 所以不能判断圆圆能否入选，但是芳芳能入选。 7.若数据x1，x2，…，x8的平均数是2，则数据2x1＋1，2x2＋1，…，2x8＋1的平均数是　5　。  【解析】 ∵数据x1，x2，…，x8的平均数是2，∴数据2x1＋1，2x2＋1，…，2x8＋1的平均数为2×2＋1=5。 8.某校为提高学生的汉字书写能力，开展了“汉字听写”大赛，七、八年级学生参加比赛，为了解这两个年级参加比赛学生的成绩情况，从中各随机抽取10名学生的成绩，数据如下(单位：分)： 七年级88 94 90 94 84 94 99 94 99 100 八年级84 93 88 94 93 98 93 98 97 99 【整理数据】 将数据分组整理如下表： 成绩x年级 80≤x＜85 85≤x＜90 90≤x＜95 95≤x≤100 七年级 1 1 5 3 八年级 a b 4 4 【分析数据】 数据分析结果如下表： 统计量年级 平均数 中位数 众数 方差 七年级 93.6 94 m 23.6 八年级 93.7 n 93 20.4 (1)计算表格中a， b，m，n的值。 (2)你认为哪个年级学生“汉字听写”大赛的成绩比较好？请说明理由(至少从两个不同的角度说明推断的合理性)。 解：(1)整理数据：由题意，可得a=1，b=1； 分析数据：由题意，可知94分出现次数最多，所以众数m=94， 将八年级10名学生的成绩从小到大排列：84，88，93，93，93，94，97，98，98，99， 中间两个数分别是93，94，(93＋94)÷2=93.5， ∴中位数n=93.5。 (2)从平均数来看，八年级比七年级高，说明八年级的成绩比七年级好； 从方差上看，八年级的比七年级的小，说明八年级的成绩比较稳定。 因此，成绩较好的是八年级。(答案不唯一，合理即可) 9.奥运会即将开幕，某校组织七、八年级学生进行了奥运知识竞赛，并从七、八年级各随机抽取了20名学生的竞赛成绩，进行了整理和分析。 【数据的收集与整理】 素材 1：竞赛成绩用x(单位：分)表示，总分为100分，80分及以上为优秀，共分为四个等级： A：90≤x≤100，B：80≤x＜90，C：70≤x＜80，D：0≤x＜70。 素材2：八年级20名学生的竞赛成绩统计图如图所示。 第9题图 其中B等级包含的所有数据为：80，81，81，81，82。 素材3：七年级20名学生的竞赛成绩为 31，45，50，55，60，60，65，70，74，78， 78，78，78，83，85，87，90，93，100，100。 素材4：七、八年级抽取学生的竞赛成绩统计如下表： 年级 平均数 众数 中位数 优秀率 七年级 73 a 78 35% 八年级 73 81 b c 【数据的分析与应用】 任务一：(1)结合上述素材，直接写出素材4中，a=　78　，b=　80.5　，c=　55%　。  任务二：(2)结合上述竞赛成绩统计表， 你认为该校七、八年级的奥运知识竞赛哪个年级的学生成绩更好？ 请说明理由。 任务三：(3)若该校七、八年级参加本次竞赛活动的共有600人(七、八年级人数相同)，请估计该校七、八两个年级共有多少人成绩为优秀。 解：(1)在七年级20名学生的竞赛成绩中78出现的次数最多，故众数a=87； 把八年级20名学生的竞赛成绩从小到大排列，中位数是第10位、第11位的平均数，故中位数b==80.5； 八年级的优秀率c=×100%=55%。 (2)八年级的学生成绩更好。理由如下： 因为七、八年级的平均数相同，但八年级的中位数(众数、优秀率)高于七年级，所以八年级的学生成绩更好(答案不唯一)。 (3)300×35%＋300×55%=270(人)。 答：该校七、八年级大约共有270人成绩为优秀。 学科网（北京）股份有限公司 $