6.2.1排列 知识归纳与试题检测-2025-2026学年高二下学期数学人教A版选择性必修第三册

6.2.1排列 知识归纳与试题检测(学生版) 【1】问题式教材知识归纳 1.排列的概念 一般地，从n个不同对象中，任取个对象，按照_____________排成一列，称为从n个不同对象中取出m个对象的_________．特别地，时的排列(即取出所有对象的排列)称为_________． 2．排列定义中的两个要素是什么？ 3．排列中“一定顺序”的含义是什么？ 4．两个排列相同的条件是什么？ 5．如何判断一个问题为排列问题？ 【2】基于教材的检测题 一、单选题 1．下面问题中，是排列问题的是（   ） A．由1，2，3三个数字组成无重复数字的三位数 B．从40人中选5人组成篮球队 C．从100人中选2人抽样调查 D．从1，2，3，4，5中选2个数组成集合 2．已知下列问题： ①从甲､乙､丙三名同学中选出两名分别参加数学､物理兴趣小组； ②从甲､乙､丙三名同学中选出两人参加一项活动； ③从a，b，c，d中选出3个字母； ④从1，2，3，4，5这五个数字中取出2个数字组成一个两位数. 其中是排列问题的有（    ） A．1个 B．2个 C．3个 D．4个 3．从甲、乙、丙三人中选两人站成一排的所有站法为（   ） A．甲乙，乙甲，甲丙，丙甲 B．甲乙，丙乙，丙甲 C．甲乙，甲丙，乙甲，乙丙，丙甲，丙乙 D．甲乙，甲丙，乙丙 4．从1，2，3，4四个数字中，任选两个数做加、减、乘、除运算，分别计算它们的结果，在这些问题中，可以看作排列问题的运算有（   ） A．1种 B．2种 C．3种 D．4种 5．下列选项中，不属于排列问题的是（    ） A．从六名学生中选三名学生参加数学、物理、化学竞赛，共有多少种选法 B．有十二名学生参加植树活动，要求三人一组，共有多少种分组方案 C．从3，5，7，9中任选两个数做指数运算，可以得到多少个幂 D．从中任取两个数作为点的坐标，可以得到多少个不同的点 6．从集合中任取两个元素，①相加可得多少个不同的和？②相除可得多少个不同的商？③作为椭圆中的a，b，可以得到多少个焦点在x轴上的椭圆方程？④作为双曲线中的a，b，可以得到多少个焦点在x轴上的双曲线方程？ 上面四个问题属于排列问题的是（    ） A．①②③④ B．②④ C．②③ D．①④ 二、多选题 7．(多选)从1，2，3，4四个数字中，任选两个数做以下数学运算，并分别计算它们的结果．在这些问题中，相应运算可以看作排列问题的有（    ） A．加法 B．减法 C．乘法 D．除法 8．下面问题中，不是排列问题的是（    ） A．由1,2,3三个数字组成无重复数字的三位数 B．从40人中选5人组成篮球队 C．从100人中选2人抽样调查 D．从1,2,3,4,5中选2个数组成集合 9．下列问题属于排列问题的是（    ） A．从10个人中选2人分别去种树和扫地； B．从10个人中选2人去扫地； C．从班上30名男生中选出5人组成一个篮球队； D．从数字5，6，7，8中任取两个不同的数作为中的底数与真数 三、填空题 10．北京、广州、南京、天津4个城市相互通航，应该有________种机票． 11．给出下列问题： ①有10位同学，每两人互通一次电话，共通了多少次电话？ ②有10位同学，每两人互写一封信，共写了多少封信？ ③有10位同学，每两人互握一次手，共握了多少次手？ 以上问题中，属于排列问题的是______．（写出所有满足要求的问题序号） 四、解答题 12．判断下列问题是不是排列问题： (1)从1到10十个自然数中任取两个数组成直角坐标平面内的点的坐标，可得多少个不同的点的坐标？ (2)从10名同学中任抽两名同学去学校开座谈会，有多少种不同的抽取方法？ (3)某商场有四个大门，若从一个门进去，购买物品后再从另一个门出来，不同的出入方式共有多少种？ 13．写出下列问题的所有排列． (1)从1，2，3，4四个数字中任取两个数字组成两位数，共有多少个不同的两位数？ (2)写出从4个元素a，b，c，d中任取3个元素的所有排列． 14．写出从a、b、c、d、e这五个不同元素中任意取出两个元素的所有排列． 15．10名学生排成两排照相，每排5人，共有多少种不同的排列方式？ 16．从0，1，2，3这四个数字中，每次取出三个不同的数字排成一个三位数，能组成多少个不同的三位数？并写出这些三位数． 试卷第1页，共3页 试卷第1页，共3页 学科网（北京）股份有限公司 $ 6.2.1排列 知识归纳与试题检测(详解版) 【1】问题式教材知识归纳 1.排列的概念 一般地，从n个不同对象中，任取个对象，按照_____________排成一列，称为从n个不同对象中取出m个对象的_________．特别地，时的排列(即取出所有对象的排列)称为_________． 【答案】 一定的顺序 一个排列 全排列 2．排列定义中的两个要素是什么？ 【答案】一是“取出不同的元素”，二是“将元素按一定顺序排列”． 3．排列中“一定顺序”的含义是什么？ 【答案】一定顺序就是指排列中的元素与位置有关，当位置不同时排列也就不同． 4．两个排列相同的条件是什么？ 【答案】两个排列相同的条件：①元素相同；②元素的排列顺序相同．也就是说元素完全相同，顺序不同或者元素不完全相同的两个排列都是不同的排列． 5．如何判断一个问题为排列问题？ 【答案】判断一个问题是否为排列问题，首先判断是否有顺序，然后判断是否是从n个不同元素中取出个元素，满足这两个条件的问题就是排列问题，否则就不是排列问题． 【2】基于教材的检测题 一、单选题 1．下面问题中，是排列问题的是（   ） A．由1，2，3三个数字组成无重复数字的三位数 B．从40人中选5人组成篮球队 C．从100人中选2人抽样调查 D．从1，2，3，4，5中选2个数组成集合 【答案】A 【知识点】排列的意义理解 【分析】根据排列与排列数的定义，逐项判定，即可求解. 【详解】根据排列及排列数的定义，可得： 对于A中，由1，2，3三个数字组成无重复数字的三位数，符合排列的定义，是排列问题； 对于B中，从40人中选5人组成篮球队，与顺序无关的问题，不是排列问题； 对于C中， 从100人中选2人抽样调查，与顺序无关的问题，不是排列问题； 对于D中， 从1，2，3，4，5中选2个数组成集合，与顺序无关的问题，不是排列问题. 故选：A. 2．已知下列问题： ①从甲､乙､丙三名同学中选出两名分别参加数学､物理兴趣小组； ②从甲､乙､丙三名同学中选出两人参加一项活动； ③从a，b，c，d中选出3个字母； ④从1，2，3，4，5这五个数字中取出2个数字组成一个两位数. 其中是排列问题的有（    ） A．1个 B．2个 C．3个 D．4个 【答案】B 【知识点】排列的意义理解 【分析】根据排列的定义分别判断即可. 【详解】①选出的两名同学分别参加数学､物理兴趣小组与顺序有关，所以①是排列问题；②选出两人参加一项活动与顺序无关，所以②不是排列问题；③选出3个字母与顺序无关，所以③不是排列问题；④选出两个数字组成两位数与顺序有关，所以④是排列问题.所以①④是排列问题，共2个. 故选：B 3．从甲、乙、丙三人中选两人站成一排的所有站法为（   ） A．甲乙，乙甲，甲丙，丙甲 B．甲乙，丙乙，丙甲 C．甲乙，甲丙，乙甲，乙丙，丙甲，丙乙 D．甲乙，甲丙，乙丙 【答案】C 【知识点】排列的意义理解 【分析】根据题意，结合枚举法一一列出，即可求解. 【详解】根据题意，从甲、乙、丙三人中选两人站成一排， 若选甲乙两人，则站法为甲乙，乙甲； 若选甲丙两人，则站法为甲丙，丙甲； 若选乙丙两人，则站法为乙丙，丙乙， 所以所有站法为“甲乙，甲丙，乙甲，乙丙，丙甲，丙乙”. 故选：C. 4．从1，2，3，4四个数字中，任选两个数做加、减、乘、除运算，分别计算它们的结果，在这些问题中，可以看作排列问题的运算有（   ） A．1种 B．2种 C．3种 D．4种 【答案】B 【知识点】排列的意义理解 【分析】根据题意，结合排列的定义，进行分析判断，即可求解. 【详解】因为加法和乘法满足交换律，所以选出两个数做加法和乘法时，结果与两数字位置无关， 所以加法和乘法不是排列问题； 而减法、除法与两数字的位置有关，即减法和除法，是排列问题． 故选：B. 5．下列选项中，不属于排列问题的是（    ） A．从六名学生中选三名学生参加数学、物理、化学竞赛，共有多少种选法 B．有十二名学生参加植树活动，要求三人一组，共有多少种分组方案 C．从3，5，7，9中任选两个数做指数运算，可以得到多少个幂 D．从中任取两个数作为点的坐标，可以得到多少个不同的点 【答案】B 【知识点】排列的意义理解 【分析】排列是要求有顺序的，故而只需看每个选项中的是否和顺序有关即可. 【详解】A.选出3名学生后，哪位同学参加哪门竞赛需再排序，故属于排列问题，故A错误； B. 分组无顺序，故不属于排列问题，B正确； C. 如和是不同的，即哪个数作指数和底数是不同的，故属于排列问题，故C错误； D. 如和是不同的点，故属于排列问题，故D错误. 故选：B. 6．从集合中任取两个元素，①相加可得多少个不同的和？②相除可得多少个不同的商？③作为椭圆中的a，b，可以得到多少个焦点在x轴上的椭圆方程？④作为双曲线中的a，b，可以得到多少个焦点在x轴上的双曲线方程？ 上面四个问题属于排列问题的是（    ） A．①②③④ B．②④ C．②③ D．①④ 【答案】B 【知识点】排列的意义理解 【分析】根据排列的定义，关键是确定选取的两个数有无顺序． 【详解】∵加法满足交换律，∴①不是排列问题； ∵除法不满足交换律，∴②是排列问题； 若方程表示焦点在x轴上的椭圆，则必有，故③不是排列问题； 在双曲线中不管还是，方程均表示焦点在x轴上的双曲线，且是不同的双曲线，故④是排列问题． 故选：B． 二、多选题 7．(多选)从1，2，3，4四个数字中，任选两个数做以下数学运算，并分别计算它们的结果．在这些问题中，相应运算可以看作排列问题的有（    ） A．加法 B．减法 C．乘法 D．除法 【答案】BD 【知识点】排列的意义理解 【详解】因为加法和乘法满足交换律，所以选出两个数做加法和乘法时，结果与两数字位置无关，故不是排列问题，而减法、除法与两数字的位置有关，故是排列问题，故选BD. 8．下面问题中，不是排列问题的是（    ） A．由1,2,3三个数字组成无重复数字的三位数 B．从40人中选5人组成篮球队 C．从100人中选2人抽样调查 D．从1,2,3,4,5中选2个数组成集合 【答案】BCD 【知识点】排列的意义理解 【分析】根据排列的概念，逐项判定，即可求解. 【详解】对于A中，组成的三位数与数字的排列顺序有关，所以A是排列问题； 对于B，C，D中，只需取出元素即可，与元素的排列顺序无关，所以不是排列问题. 故选：BCD. 9．下列问题属于排列问题的是（    ） A．从10个人中选2人分别去种树和扫地； B．从10个人中选2人去扫地； C．从班上30名男生中选出5人组成一个篮球队； D．从数字5，6，7，8中任取两个不同的数作为中的底数与真数 【答案】AD 【知识点】排列的意义理解 【分析】根据排列的概念逐项进行判断即可. 【详解】排列的概念：从个元素中取个元素，按照一定顺序排成一列， 由题可知：A，D中元素的选取有顺序，B，C中元素的选取无顺序， 由此可判断出：A，D是排列问题， 故选：AD. 三、填空题 10．北京、广州、南京、天津4个城市相互通航，应该有________种机票． 【答案】12 【知识点】排列的意义理解 【分析】列举出机票的起点和终点的所有可能情况，即可得答案. 【详解】列出每一个起点和终点情况，如图所示． 故符合题意的机票种类有： 北京→广州，北京→南京，北京→天津，广州→南京、广州→天津、广州→北京， 南京→天津，南京→北京，南京→广州，天津→北京，天津→广州，天津→南京，共12种, 故答案为：12 11．给出下列问题： ①有10位同学，每两人互通一次电话，共通了多少次电话？ ②有10位同学，每两人互写一封信，共写了多少封信？ ③有10位同学，每两人互握一次手，共握了多少次手？ 以上问题中，属于排列问题的是______．（写出所有满足要求的问题序号） 【答案】② 【知识点】排列的意义理解 【分析】根据排列的定义判断即可 【详解】对于①，假设10位同学中含甲乙，甲与乙通一次电话，也就是乙与甲通一次电话，没有顺序区别，故不是排列问题； 对于②，假设10位同学中含甲乙，甲给乙写一封信，跟乙给甲写一封信，是不一样的，是有顺序区别的，故属于排列问题； 对于③，假设10位同学中含甲乙，甲与乙握一次手，也就是乙与甲握一次手，没有顺序区别，故不是排列问题， 故答案为：② 四、解答题 12．判断下列问题是不是排列问题： (1)从1到10十个自然数中任取两个数组成直角坐标平面内的点的坐标，可得多少个不同的点的坐标？ (2)从10名同学中任抽两名同学去学校开座谈会，有多少种不同的抽取方法？ (3)某商场有四个大门，若从一个门进去，购买物品后再从另一个门出来，不同的出入方式共有多少种？ 【答案】(1)是排列问题 (2)不是排列问题 (3)是排列问题 【知识点】排列的意义理解 【分析】根据排列的定义，逐个分析判断，即可求解. 【详解】（1）解：由于取出的两数组成点的坐标与哪一数作横坐标，哪一数作纵坐标的顺序有关， 所以这是一个排列问题． （2）解：因为从10名同学抽取两人去学校开座谈会的方式不用考虑两人的顺序， 所以这不是排列问题． （3）解：因为从一门进，从另一门出是有顺序的，所以是排列问题． 所以（1）（3）是排列问题，（2）不是排列问题． 13．写出下列问题的所有排列． (1)从1，2，3，4四个数字中任取两个数字组成两位数，共有多少个不同的两位数？ (2)写出从4个元素a，b，c，d中任取3个元素的所有排列． 【答案】(1)12个 (2)答案见解析 【知识点】数字排列问题、排列的意义理解 【分析】（1）根据题意，利用枚举法，一一列举，即可求解； （2）根据题意，利用树形图法，进行列举，即可求解. 【详解】（1）解：根据题意，从1，2，3，4四个数字中任取两个数字组成两位数， 则所有两位数是12，21，13，31，14，41，23，32，24，42，34，43， 共有12个不同的两位数． （2）解：由题意作树形图，如图所示， 故所有的排列为：，，，，，，，，，，，，，，，，，，，，，，，，共有24个． 14．写出从a、b、c、d、e这五个不同元素中任意取出两个元素的所有排列． 【答案】见解析 【知识点】排列的意义理解 【分析】根据排列的定义求解即可. 【详解】任意取出两个元素的所有排列为： . 15．10名学生排成两排照相，每排5人，共有多少种不同的排列方式？ 【答案】 【知识点】排列的意义理解 【分析】根据全排列的定义求解. 【详解】将第一排的5个位置从左至右编号，号码分别为1到5；再将第二排的5个位置从左至右编号，号码分别为6到10． 这样，问题就转化为：10名学生排在编号为1到10的十个位置上，共有多少种不同的排法？这时，完成一个排列可以分为以下十个步骤： 第一步：确定坐在1号位上的学生，有10种方法； 第二步：确定坐在2号位上的学生，有9种方法； …… 第k步：确定坐在k号位上的学生，有11—k种方法； …… 第十步：确定坐在10号位上的学生，有1种方法． 根据乘法原理，不同的排法数为． 16．从0，1，2，3这四个数字中，每次取出三个不同的数字排成一个三位数，能组成多少个不同的三位数？并写出这些三位数． 【答案】18个，答案见解析. 【知识点】排列的意义理解、数字排列问题 【分析】根据给定条件，利用树形图列出符合要求的所有三位数，再写出所有三位数作答. 【详解】画出树形图，如图：    由树形图知，符合条件的三位数共有18个， 它们是102，103，120，123，130，132，201，203，210，213，230，231，301，302，310，312，320，321. 试卷第1页，共3页 试卷第1页，共3页 学科网（北京）股份有限公司 $