奇偶数列问题、数列插项问题专项训练-2025-2026学年高二下学期数学人教B版选择性必修第三册

奇偶数列问题、数列插项问题专项训练 奇偶数列问题、数列插项问题专项训练 考点目录 奇偶数列问题 数列插项问题 考点一 奇偶数列问题 例1．（25-26高二下·浙江·开学考试）已知正项数列的前n项和为，且，表示不超过x的最大整数，如，，. (1)求数列的通项公式： (2)记，求的值； (3)记，若，求n的最小值. 【答案】(1) (2)2551 (3)316 【详解】（1）由，当时，可得， 两式相减可得： 所以，（），又因为， 所以数列是首项为1，公差为1的等差数列，即； （2）由， 则， 因为， ， 所以， 即. （3）由，则，，，， 可得：当时，，， 当时，记 则 两式相减可得： 则， 因为时，，，所以 则 所以，因为，所以，所以. 例2．（25-26高三下·辽宁·开学考试）已知数列的前项和，在等比数列中，. (1)求数列的通项公式； (2)记，求数列的前项和. 【答案】(1)，或 (2). 【详解】（1）， ， 当时，，也满足上式，所以. ，设数列的公比为q，则， 故. 当时，， 当时，. （2）当为奇数时，两种通项公式与计算出的值相等， 所以， ， ， 故. 例3．（25-26高三下·湖北武汉·月考）已知数列满足． (1)记，证明：数列为等比数列，并求的通项公式； (2)求数列的前2n项和； 【答案】(1)证明见解析； (2) 【详解】（1）由题意得： ， 又，所以， 所以数列是以为公比，首项为的等比数列， 所以； （2）由（1）有，所以， 所以， 又，所以 所以 ， 所以 . 例4．（25-26高二上·广西柳州·期末）记为正项数列的前项和，已知. (1)求数列的通项公式； (2)设数列，求数列的前项和. 【答案】(1) (2) 【详解】（1）对任意的，， 当时，，即，解得（舍去）或， 当时，由可得， 上述两个等式作差得， 即，即， 因为，所以， 所以数列是首项和公差均为的等差数列，所以. （2）当为奇数时，， 故数列的前项的奇数项的和为 ， 当为偶数时，， 故数列的前项的偶数项的和为 ， 所以. 变式1．（2026·黑龙江·一模）数列是各项均为正数的等比数列，其前n项和为，满足____．数列满足，且．从下面三个条件中任选一个，补充在上面横线中. ①，； ②，，，成等差数列； ③，； (1)分别求出数列与的通项公式； (2)若数列满足，求数列的前10项和． （注：若选择多个条件分别解答，则按第一个解答给分） 【答案】(1)选择任一条件都有， (2) 【详解】（1）若选①，设的公比为，则，且， 解得，，因此， 由，得，而， 则数列是以2为首项，2为公差的等差数列， 所以． 若选②，设的公比为，由成等差数列，得，解得，因此 由，得，而， 则数列是以2为首项，2为公差的等差数列， 所以． 若选③，设的公比为，则，解得，因此， 由，得，而， 则数列是以2为首项，2为公差的等差数列， 所以． （2）数列满足，则， 所以 ． 变式2．（25-26高二上·湖南岳阳·期末）已知数列的前项和为，且满足，数列是单调递增的等差数列，，且，，成等比数列. (1)求数列和数列的通项公式； (2)记，求的前项和. 【答案】(1)， (2) 【详解】（1）当时，，解得， 当时，①，②， ①-②得：， 又，，， ∴数列是首项为8、公比为4的等比数列，， 设等差数列的公差为， ，且，，成等比数列， ， 即，解得 （2）   当为偶数时， 当为奇数时， 变式3．（25-26高二上·山东临沂·月考）已知单调递增等比数列满足， (1)求的通项公式； (2)若，求数列的前项和. 【答案】(1) (2) 【详解】（1）设等比数列的公比为q， 由可得， 即，解得， 故 （2）由（1）得，记偶数项的和为，奇数项的和为， 则， ， 则， 两式相减得， ， 则， 故. 变式4．（25-26高二上·广东汕头·期末）已知等比数列的前项和为，且. (1)求数列通项公式； (2)若数列满足，求数列的前项和. 【答案】(1) (2) 【详解】（1）方法1：由数列满足， 当时，，当时，， 两式相减，可得，整理得，即， 又，且是等比数列，则其公比为4， 所以，即， 所以的通项公式为：. 方法2：为等比数列，设首项为，公比为， ，， 即，解得， 所以数列通项公式为：. （2）由题意，，则前项中： 奇数项：，共项，且， 是首项为3，公差为4的等差数列， 则： 偶数项：，共项，且， 是首项为4，公比为16的等比数列，则： 因此前项和为. 故. 考点二 数列插项问题 例1．（24-25高二下·河南开封·月考）已知等差数列的首项，公差，在中每相邻两项之间都插入2个数，使它们和原数列的数一起构成一个新的等差数列． (1)求数列的通项公式； (2)插入的数构成一个新数列，求该数列前项的和． 【答案】(1) (2) 【详解】（1）设数列的公差为，由题意知：， ， 所以，所以的通项公式是. （2）数列的通项公式为， 记数列与前项的和分别为， 则 . 例2．（2025·福建福州·模拟预测）已知数列是等差数列，其前和为，，，数列满足. (1)求数列，的通项公式； (2)若对数列，，在与之间插入个1（），组成一个新数列，求数列的前75项的和. 【答案】(1)， (2)96 【详解】（1）为等差数列，设其公差为d， 则，解得， 故； 又①， 故当时，②， 两式相减得， 故，所以，，又，故，满足， 从而； （2）由（1）知，，， 所以在中，从开始到项为止， 共有项数为， 当时，， 当时，， 所以数列前75项是项之后，还有5项为1， 故. 例3．（24-25高三上·天津·月考）已知是公比大于0的等比数列，且，. (1)求的通项公式； (2)求的前项和； (3)若，在与之间插入个，得到一个新数列. 是否存在正整数，使得数列的前项之和? 若存在，求出的值; 若不存在，说明理由. 【答案】(1) (2) (3) 【详解】（1）设等比数列的公比为，则，所以，， 整理可得，因为，解得，故. （2）因为， 所以， . （3）由题意可知，设在数列中的项为， 则由题意可知，， 所以当时，， 当时，，， 当时，，， 因为且， 所以当时，. 变式1．（25-26高二上·宁夏·期末）已知数列满足，，数列满足. (1)求和的通项公式； (2)将中的项按从小到大的顺序插入中，且在任意的，之间插入项，从而构成一个新数列求. 【答案】(1) (2)85 【详解】（1）对于数列，由可得， 又， 所以， 所以数列是首项为3，公比为3的等比数列， 故，所以. 对于数列，设， 则当时，，得， 时，，也满足， 故. （2）新数列为：后插入1项，后插入3项，后插入项，到为止总项数为. 当时，到共项， 前共插入项，即到这36项， 新数列的第50项为后插入的第7项，即，则. 变式2．（25-26高三上·陕西西安·月考）在①，②，③这三个条件中任选一个，补充在下面的问题中，并解答．（注：如果选择多个条件分别解答，按第一个解答计分．） 已知数列的前项和为，，且满足______， (1)求数列的通项公式； (2)在与之间插入个数，使这个数组成一个公差为的等差数列，求数列前项的和． 【答案】(1)条件选择见解析， (2) 【详解】（1）解：若选①，因为， 当时，，两式相减得， 当时，，即， 又，所以，故也满足， 所以是首项为，公比为的等比数列，故； 若选②，因为， 当时， ，故， 也满足，故对任意的，； 若选③，因为，当时，， 两式相减可得，即， 当时，，所以，也满足， 所以是首项为，公比为的等比数列，故. （2）解：在与之间插入个数，使这个数组成一个公差为的等差数列， 所以，，所以，，即， 所以，， ， 上式下式可得 ，故. 变式3．（25-26高三上·天津滨海新·月考）设是公差不为零的等差数列，满足，设正项数列的前项和为，且. (1)求数列和的通项公式； (2)在和之间插入1个数，使成等差数列；在和之间插入2个数，使成等差数列；；在和之间插入个数，使成等差数列，设，求和； (3)对于（2）中求得的，是否存在正整数m、n，使得成立？若存在，求出所有的正整数对；若不存在，请说明理由. 【答案】(1)， (2) (3)存在，及. 【详解】（1）设等差数列的公差为， 则由，得； 由①,当时，②, ①-②，得， 又, 是首项为，公比为的等比数列， . （2）在和之间插入个数，成等差数列，设公差为 ， 则 ， ① 则②, ①-②得 . （3）假设存在正整数m，n，使成立， ， 当时，，当时，， 当时，， 下证，当时，有，即证， 设，则 在上单调递增，故时，， ，时，不是整数， 所有的正整数对为及. 2 学科网（北京）股份有限公司 $奇偶数列问题、数列插项问题专项训练 奇偶数列问题、数列插项问题专项训练 考点目录 奇偶数列问题 数列插项问题 考点一 奇偶数列问题 例1．（25-26高二下·浙江·开学考试）已知正项数列的前n项和为，且，表示不超过x的最大整数，如，，. (1)求数列的通项公式： (2)记，求的值； (3)记，若，求n的最小值. 例2．（25-26高三下·辽宁·开学考试）已知数列的前项和，在等比数列中，. (1)求数列的通项公式； (2)记，求数列的前项和. 例3．（25-26高三下·湖北武汉·月考）已知数列满足． (1)记，证明：数列为等比数列，并求的通项公式； (2)求数列的前2n项和； 例4．（25-26高二上·广西柳州·期末）记为正项数列的前项和，已知. (1)求数列的通项公式； (2)设数列，求数列的前项和. 变式1．（2026·黑龙江·一模）数列是各项均为正数的等比数列，其前n项和为，满足____．数列满足，且．从下面三个条件中任选一个，补充在上面横线中. ①，； ②，，，成等差数列； ③，； (1)分别求出数列与的通项公式； (2)若数列满足，求数列的前10项和． （注：若选择多个条件分别解答，则按第一个解答给分） 变式2．（25-26高二上·湖南岳阳·期末）已知数列的前项和为，且满足，数列是单调递增的等差数列，，且，，成等比数列. (1)求数列和数列的通项公式； (2)记，求的前项和. 变式3．（25-26高二上·山东临沂·月考）已知单调递增等比数列满足， (1)求的通项公式； (2)若，求数列的前项和. 变式4．（25-26高二上·广东汕头·期末）已知等比数列的前项和为，且. (1)求数列通项公式； (2)若数列满足，求数列的前项和. 考点二 数列插项问题 例1．（24-25高二下·河南开封·月考）已知等差数列的首项，公差，在中每相邻两项之间都插入2个数，使它们和原数列的数一起构成一个新的等差数列． (1)求数列的通项公式； (2)插入的数构成一个新数列，求该数列前项的和． 例2．（2025·福建福州·模拟预测）已知数列是等差数列，其前和为，，，数列满足. (1)求数列，的通项公式； (2)若对数列，，在与之间插入个1（），组成一个新数列，求数列的前75项的和. 例3．（24-25高三上·天津·月考）已知是公比大于0的等比数列，且，. (1)求的通项公式； (2)求的前项和； (3)若，在与之间插入个，得到一个新数列. 是否存在正整数，使得数列的前项之和? 若存在，求出的值; 若不存在，说明理由. 变式1．（25-26高二上·宁夏·期末）已知数列满足，，数列满足. (1)求和的通项公式； (2)将中的项按从小到大的顺序插入中，且在任意的，之间插入项，从而构成一个新数列求. 变式2．（25-26高三上·陕西西安·月考）在①，②，③这三个条件中任选一个，补充在下面的问题中，并解答．（注：如果选择多个条件分别解答，按第一个解答计分．） 已知数列的前项和为，，且满足______， (1)求数列的通项公式； (2)在与之间插入个数，使这个数组成一个公差为的等差数列，求数列前项的和． 变式3．（25-26高三上·天津滨海新·月考）设是公差不为零的等差数列，满足，设正项数列的前项和为，且. (1)求数列和的通项公式； (2)在和之间插入1个数，使成等差数列；在和之间插入2个数，使成等差数列；；在和之间插入个数，使成等差数列，设，求和； (3)对于（2）中求得的，是否存在正整数m、n，使得成立？若存在，求出所有的正整数对；若不存在，请说明理由. 2 学科网（北京）股份有限公司 $