5.1.1 数列的概念-【成才之路·学案】2025-2026学年高中数学选择性必修第三册同步新课程学习指导(人教B版)

学案及练案部分 参芳答案 [学案部分] 第五章数列 所以a。=n+1+(-1) 2 5.1数列基础 ⑤将数列变形为1×2，-2×3,3×4，-4×5,5×6，…， 所以am=(-1)+ln(n+1). 5.1.1数列的概念 例3：(1)a4=3×16-28×4=-64,a6=3×36-28×6= -60. 必备知识探新知 知识点一1.一定次序项 (2)令32-28m=-49,解得m=7或n=子（舍去， 知识点二1.an=f代n) 所以n=7,即-49是该数列的第7项. 知识点三2.大于小于相等 关键能力攻重难 令3n-28n=6,解得n警或n-2 例1：(1)①6②③④⑤①⑤②⑥③④①为有 穷数列且为递增数列：②为无穷、递减数列：③为无穷、摆动数 因为号：N,-2gN,所以68不是该数列的项 列；④是摆动数列，是无穷数列，也是周期为4的周期数列；⑤为 (3)an=n(3n-28),令an<0,又neN,解得n=1,2,3,4, 递增数列，也是无穷数列：⑥为有穷数列，也是常数列： 5,6,7,8,9,即数列{an}中有9个负数项. (2)CD是有穷数列，A是递减数列，B是摆动数列， 对点训练3：(1)B由题意令a.=n2-n=2,可得n=2(负 故选C 值舍去)，为正整数，即2是{an}的项；同理令an=n2-n=40,可 对点训练1：(1)D①是错误的，例如无穷个3构成的常数得n不为正整数，即40不是a,}的项；令a.=n2-n=56,可得n=8 列3,3,3，…的各项都是3：②是错误的，数列-1,0,1与数列1， （负值舍去)，为正整数，即56是{an}的项；令an=n2-n=90,可得 0,-1各项的顺序不同，即表示不同的数列；③是正确的，n=10(负值舍去)，是正整数，即0是a}的项故选B. 故选D. (2)①因为a.=+3n 4 (2)①②③④⑤①②③⑤①是有穷递增数列， ②是无穷递增数列，③是无穷递减数列，④是无穷数列，也是摆 4 1 动数列：⑤是无穷数列，也是常数列 所以a,=+3x47 例2：(1)各项加1后，变为10,100,1000,10000，…，新数 4. 2 列{b,}的通项公式为b.=10",可得原数列{an}的一个通项公式 a=62+3×627 为an=10“-1. ②令3n0则心+3-40=0，解得n5成n-8 4 (2)数列各项的绝对值为1,3,5,7,9，…，是连续的正奇数， 记为数列{bn},则数列{bn}的通项公式为b。=2n-1,考虑到注意到neN, （-1)1具有转换正负号的作用，所以原数列{an}的一个通项 公式为an=(-1)"+'(2n-1). 故将n=-8舍去，所以品是该数列的第5项 10 +1 (3)数列的项有的是分数，有的是整数，可将各项统一成分 例4：解法一：a+1-a,=(n+2)(） -(n+1)·（ 10 数再观煞各项变为}专号空…，所以数列。的 =(”则 个通项公式为=号 当n<9时，a1-an>0,即atl>an; (4)3可看作2+1,5可看作22+1,9可看作2+1,17可 当n=9时，a1-an=0,即an+l=an; 看作24+1,33可看作2+1，…，所以数列{a}的一个通项公式 当n>9时，an+1-an<0,即at1<a 为an=2”+1. ..a1<a2<a3<…<ag=a10>a11>a12>… 对点训练2：(1)a=(-1)·元 .该数列中有最大项，为第9，第10项，且a,=ao= 数列各项负正相间，选 用符号选择器(-1)“，分子均为1，分母是序号的2倍，所以am= 0x(9 (-品 解法二：根据题意，令厂.1≤a, lan≥an+ly (2)①从3开始的奇数列，an=2n+1. ②分子为偶数，分母为相邻两奇数的积 a+n9 即 2n a,=(2n-1)(2n+1) ③%.-1+D或a.=lsm”2l 解得9≤n≤10.又neN,,n=9或n=10. 2 ∴.该数列中有最大项，为第9，第10项， ④将数列变形为1+0,2+1,3+0,4+1,5+0,6+1,7+0 8+1,…, 即w=aw=10×()》 157 对点训练4：11令an=(25-2n)2"-1,当n≥2时，设an为 最大项，则，≥0-1， ②因为a=1,4号4=分子 an≥am+l, 2 2 即25-2m2≥(27-2n2 -号=名所以a子 1(25-2n)2-1≥(23-2n)2", 解得≤n≤因为 例2：因为a1=1, neN*,所以n=11,又当n=1时，有a1=23<a2=42,所以数列 a=(1-(n≥2. {(25-2n)2"-1}的最大项所在的项数为11. 例53成4m=a-7)=-7=(a-名-婴 所以=n-L,。 .0.0-2.4.41 0w-1 n,n、 dn-1 an-2 dn-3 az a 因为neN*,所以n=3或n=4时，数列{nan}的项最小. =n-1.n-2.n-3..2.↓1= n-1n-2 32 n 课堂检测固双基 1.C选项A、B、D中，a1=1不满足，排除A、BD,故选C. 又因为n=1时，a1=1, 2.A②正确，其余均不对 符合上式所以a=一 3c依题意知，4-a=(5十+与中2+…+2) 1 对点训练2：(1)C 由题意得共-=ln(n+I)-hn, n+I n 1 1.111 (4+1*4+2+…+2x4=9+105=90故选C 4129a=-2++9=-2n+1 令n分别为1,2.3，，-1，累加得号-兰=nn-n1=h 8 =2+lnm,a.=(hn+2)n,故选C N,), n 又7<<8 (2)C由na1=(n+1)a,可得2=n+1, an n .a7=128,ag=129,a7<ag, .4..=2×3 -× .数列{an}中的最大项为129， a a2 n-1 5.令n(n+1)=419, ..n2+n-419=0, 即哈=片又a-la=n 此方程无正整数解，故419不是数列中的项. .1 令n(n+1)=420, 2n=l, 例3：(1) .n2+n-420=0 2m- 当m=1时，e=S-号当n>2 2n≥2. .(n-20)(n+21)=0, .'neN,,.n=20, 时a.=5.-5=2++5-[a-1+a-)+=2 故420是数列中的第20项. 5.1.2数列中的递推 分当=1时，上式不成立 1 必备知识探新知 2,n=1, 知识点一首项（或前几项）递推关系 ..a= 1 知识点二1.Sn=a1+a2+a3+…+an 2n-2n≥2 28n=1, (2)当n=1时，a1=S1=4； lSm-Sm-1,n≥2， 当n≥2时，a.=54-5-1=(5"-1)-(5"-1-1)= 关键能力攻重难 14×5m-1 例1：(1)C因为数列{an}满足a1=1,a+1=2aa+ 对n=1时，上式也成立. 1(neN*),所以a2=2a1+1=2+1=3,a3=2a2+1=6+1=7, 所以数列{an}的通项公式为a.=4×5”-1.(n≥1) a4=2a3+1=14+1=15. (2)①，am=am-1+am-2（n≥3)，且a1=1,a2=2, 对点训练3：a,={2,n≥2. 3,n=1, 由条件得Sn=21-1. ∴.a3=a2+a1=3,a4=a3+a2=3+2=5, a5=a4+a3=5+3=8. 当n=1时，a1=S1=22-1=3; 故数列{an}的前5项依次为a1=1,a2=2,a3=3, 当n≥2时，a.=5。-S.-1=(2"1-1)-(2-1)=2” a4=5,a3=8. 「3，n=1, 而2=2≠a,故a.={2,n≥2 ②：b.=0,且a1=1,a=2,4=3,4=5,45=8, 例4：[3，+o)当n=1时，a1=1;当n≥2时，an=Sn dn+l 5 Sm-1=2”-1-2-1+1=2-1,a1适合上式 as 8 所以数列{a,}的通项公式为an=2-l, 放6，的萌4项依次为么=分4=子4=子 3 Aa,≥4n-2,即A≥-子对一切aeN,恒成立， 么高 A≥（经）令)=子)=2 对点训练1：①因为a1=0,a2=1,43=4,a4=9,a5=16,所 以am=(n-1)2. 当n≥2时，f(n+1)-f(m)=4(n+)-2_4n-2。 2” 21 158001 第五章 数列 S.1数列基础 5.1.1数列的概念 素养目标 定方向 课程目标 学法指导 1.通过身边的具体案例感受数列的相关 1.理解数列的概念，了解数列的几种分类.（数学 概念 抽象) 2.通过具体的数列，结合函数的概念理解数 2.理解数列通项公式的概念及意义.（数学抽象) 列的概念及其函数特征， 3.了解数列与函数的关系.（逻辑推理） 3.类比函数的表示方法体会数列的表示方 4.能够利用通项公式求数列的项，能够根据数列 法，理解函数解析式与数列的通项公式的 的已知项，求数列的通项公式.（数学运算) 关系 必备知识探新知 知识点一数列 1.数列的概念 按照 排列的一列数称为数列数列中的每一个数都称为这个数列的 2.数列按项的个数分类 类别 含义 有穷数列 项数有限的数列 无穷数列 项数无限的数列 知识解读：数列中的项与集合中的元素的对比 (1)确定性：一个数是或不是某一数列中的项是确定的，集合中的元素也具有确定性。 (2)可重复性：数列中的数可以重复，而集合中的元素不能重复出现（即互异性） (3)有序性：一个数列不仅与构成数列的“数”有关，而且与这些数的排列顺序有关，而集合中 的元素没有顺序（即无序性） (4)数列中的每一项都是数，而集合中的元素还可以代表除数字外的其他事物. 知识点二数列的通项 1.通项公式 一般地，如果数列的第n项an与n之间的关系可以用 来表示，其中f(n)是关于n的 不含其他未知数的表达式，则称上述关系式为这个数列的一个通项公式. 002 2.对数列通项公式的两点说明 (1)并非所有的数列都有通项公式； (2)有的数列的通项公式在形式上不一定是唯一的. 知识解读：数列的通项公式an=f(n)揭示了数列{an}的第n项a,与n之间的函数关系，体现 了数列的本质，即数列项与序号之间的对应关系，一旦知道了数列的通项公式，便可写出数列中的 任一项，从而确定数列的取值特点. 知识点三数列与函数的关系 1.数列的本质 数列{α}可以看成定义域为正整数集的子集的函数，数列中的数就是自变量从小到大依次取 正整数值时对应的函数值，而数列的通项公式也就是相应函数的解析式 2.数列按函数特性分类 类别 含义 递增数列 从第2项起，每一项都 它的前一项的数列 递减数列 从第2项起，每一项都 它的前一项的数列 常数数列（简称为常数列）》 各项都 的数列 摆动数列 从第2项起，有些项大于它的前一项，有些项小于它的前一项的数列 知识解读：数列是一种特殊的函数，因此，我们可以借用函数的研究方法来研究数列，但也要时 刻注意两者之间的区别：一般函数的定义域为连续区间[α，b],而数列的定义域则为离散的正整数 集的子集 关键能力攻重难 ●题型探究 题型一数列的概念及分类 例.已知下列数列： ①2015,2016,2017,2018,2019,2020： @1分4…… 1 规律方法： 1房，以 解答数列概念题要紧 2n-1 扣相关定义，观察裁 nT 列的项数特征，确定 ④1,0，-1，…，sin 2,； 是有穷数列还是无穷 ⑤2,4,8,16,32，… 数列，观察项的特 ⑥-1，-1，-1，-1. 点、变化规律确定增 其中，有穷数列是 ,无穷数列是 ,递增数列是 减性、周期性，也可 ,递减数列是 ,常数列是 ,摆动数 以借助函数的单调性 判断数列的增减 列是 .(填序号) (2)下列四个数列中，既是无穷数列又是递增数列的是 A1,3写… Bsm号in2牙m钙， c-1,分子g D.1,2,W3,…,√21[规律方法] 003 》对点训练1 (1)下列有关数列的说法正确的是 ①同一数列的任意两项均不可能相同； ②数列-1,0,1与数列1,0，-1是同一个数列； 规律方法： ③数列中的每一项都与它的序号有关， 根据数列的前n项写 A.①② B.①③ 出其一个通项公式的 C.②3 D.③ 方法 首先从下面4个角度 (2)已知下列数列： 观察数列的前几项： ①2,22,222,2222； （1)各项的符号特 20}子… ,… 征：（2)各项能否分 n 拆：(3)分式的分 ③15g3 1 子、分母的特征： （4)相邱项的变化 ④-1,0，-1,0，…，-)”-1 2 ，… 规律。 其次寻我各项与对应 ⑤a,a,a,a,… 的项的序号之间的规 其中，有穷数列是 ,无穷数列是 递增数列 律，一般方法为： 是 ,递减数列是 ,常数列为·（将正确的序号填在横线上） (1)熟记一些特殊裁 题型二根据数列的前n项写出数列的一个通项公式 列的通项公式，如an 例2写出下面各数列0，的一个通项公式： =10°-1 ，an=n,an= (1)9,99,999,9999,; 9 (2)1,-3,5,-7,9, 2n-1,an=2”,an=n2 322号82 25 等，熟悉它们的变化 规律，并灵活运用： (4)3,5,9,17,33,… (2)将数列的各项分 [分析]观察给出的前几项，归纳、猜想出通项公式， 拆成若千个常见裁列 的“和”“差” “积”“商”，如分 式形式的裁列，可将 分子、分母分别求 通项： (3)当一个裁列各项 的符号出现“+” “-”相间时，应把 符号分离列出，可用 (-1)”或(-1)”+来 实现： （4)当数列的奇偶项 分别呈现各自的规律 时，可以考虑用分段 的形式给出，也可以 将给出的各项统一化 成某种形式 [规律方法] 004 》对点训练2 1111 (1)写出数列-2×2×2-2×32×4的-个通项公式 (2)根据下面数列的前几项的值，写出数列的一个通项公式： ①3,5,7,9,11,13， 号清品89 ③0,1,0,1,0,1，…； ④1,3,3,5,5,7,7,9,9，… ⑤2，-6,12，-20,30，-42，… 题型三数列中的项的求解与判断 例3.已知数列1a.的通项公式为a,=3r-28m (1)写出数列的第4项和第6项； (2)-49是否为该数列的一项？如果是，是哪一项？68是否为该数 列的一项呢？ (3)数列{a,}中有多少个负数项？ [分析](1)分别将n=4,n=6代人通项公式，即可求得a4,a6;(2)令 an=-49,an=68,分别求得n的值，若n∈N*,则是数列的项，否则不是该数 列的项；(3)令an<0,求出n的范围，范围内正整数的个数即数列{an}中负数 项的个数 规律方法： 判断某数是否为数列 中的项的方法及步骤 (1)将所给项代入通 项公式中. (2)解关于n的方程. (3)若n为正整数， 说明某数是该裁列的 项；若n不是正整 数，则不是该数 列的项 [规律方法] ●005 》对点训练3 (1)已知数列{an}的通项公式为an=n2-n,则下列各数中不是数列中的 项的是 () A.2 B.40 C.56 D.90 (2)已知数列a.的通项公式为a,=R+3n 4 ①写出数列的第4项和第6项； ②试问0是该数列的项吗？若是，是第几项？若不是，请说明理由。 题型四数列中的最值问题 例4已知数列a,的通项公式是a=(n+1)·(9,该数列a有没有最大 项？若有，求出最大项和最大项的序号；若没有，请说明理由 [分析]探求数列的最大项可以通过作差或不等式组解决 规律方法： 1.利用裁列（函数) 的单调性可以求数列 中的最大（最小）项. 一般常用方法为： 当≥0时，4 an≥um-1 是数列中的最大项： 当， 时，an Lan≤an-l 是数列中的最小项 2.数列是一种特殊的 函数，因此在解决数 列问题时，可利用函 裁的知识、函数的观 点、函数的思想方法 P[规律方法] 来解題 006 》对点训练4 数列{(25-2n)2”-1}的最大项所在的项数为 ●易错警示 忽视数列中n的取值范围致误 例5.已知数列a,的通项公式为a=n-7,则数列nm,的最小项为第 项 〔错解)子 [正解] 课堂检测固双基 1.(2025·山东荣成六中高二月考)数列-1,3,4.已知数列{an}中，an=-2n2+31n+9(n∈N), -5,7,-9,…的一个通项公式为（) 则{an}中的最大项为 A.a =2n-1 5.已知数列{an}的通项公式为an=n(n+1),判 B.am=(-1)"(1-2n) 断419和420是否为数列中的项？若是，是数 C.am=(-1)"(2n-1) 列中的第几项？ D.an=(-1)"+1(2n-1) 2.有下列命题： ①数列？，345 3,4,行，后，…的一个通项公式是 ②数列的图像是一群孤立的点； ③数列1，-1,1，-1，…与数列-1,1，-1， 1,…是同一数列； ④数列}子“2是造增数列 其中正确命题的个数为 A.1 B.2 C.3 D.0 1 3.若数列an= 1 n+1n+2+… 2n则a5-a,= 1 D品 夯基提能作业 请同学们认真完成练案[1]