第二十六章 反比例函数（考情分析+知识点精讲+解题方法技巧+2025真题精练） 2025-2026学年人教版九年级数学下册

第二十六章 反比例函数 📈 考情深度剖析（数据驱动、趋势明确） 1 （一）高频考点 1 （二）命题趋势 1 （三）分值分析 2 （四）考生备考建议 2 📖 知识点精讲精析（法则解析+示例+易错陷阱） 2 （一）反比例函数的定义 2 （二）反比例函数的图象与性质 3 （三）反比例函数k的几何意义 5 （四）反比例函数的解析式求解 5 （五）反比例函数与一次函数的综合 6 💡 核心解题方法技巧提炼（策略导向、高效解题） 8 （一）定义判定技巧 8 （二）图象性质应用技巧 8 （三）k的几何意义应用技巧 8 （四）解析式求解技巧 8 （五）综合题解题技巧 9 🔖 中考真题精粹集训（精选2025真题，覆盖考向） 10 （一） 选择题 10 （二） 填空题 12 解答题 14 参考答案及解析 21 📈 考情深度剖析（数据驱动、趋势明确） （一）高频考点 1.反比例函数的定义与表达式：★★★★☆ 近3年全国中考覆盖率95%，题型以选择题、填空题为主，单题分值3-4分，核心考查反比例函数的形式判定、待定系数法求解析式，2025年结合实际情境求函数表达式题型占比提升。 2.反比例函数的图象与性质：★★★★★ 覆盖率98%，题型全覆盖，单题分值3-6分，核心考查图象所在象限、函数的增减性，2025年结合图象判断参数范围、比较函数值大小成为热点。 3.反比例函数k的几何意义：★★★★★ 覆盖率96%，解答题占比45%，单题分值4-8分，核心考查双曲线上点与坐标轴垂线构成的图形面积计算，2025年与三角形、矩形面积综合考查题型增多。 4.反比例函数与一次函数的综合应用：★★★★☆ 覆盖率92%，以解答题为主，单题分值6-10分，核心考查两函数交点、图象结合判断不等式解集，2025年结合坐标系求图形面积成为高频考向。 （二）命题趋势 1.基础概念精准化，强化表达式辨析，2025年多地真题失分率集中于忽略k≠0、x≠0的限定条件，预计2026年将增加概念正误判断题型。 2.知识融合深度化，跨模块联系紧密，2025年单一考点题占比降至28%，综合题以“反比例函数+一次函数+平面直角坐标系”为主流，2026年预测增加与几何图形的综合题。 3.情境创设实用化，实际应用能力凸显，2025年应用题占比提升至22%，涵盖行程、工程、面积等实际场景，2026年预计新增生活实际中的反比例关系建模题型。 4.核心素养显性化，思想方法贯穿始终，2025年数形结合题占比超70%，2026年预测分类讨论思想考查增加，如多交点问题、参数取值范围讨论。 （三）分值分析 1.选择题/填空题：3-4分/题，通常3-4题，累计9-16分，以基础定义、图象性质、k的几何意义简单应用为主。 2.解答题：分基础解析式求解（4-6分）与综合应用（8-10分）两类，反比例函数与一次函数综合为解答题高频考点。 3.全章反比例函数相关内容占中考数学总分的5%-7%左右，是函数板块的核心考查内容之一。 （四）考生备考建议 1.靶向突破基础易错点：整理反比例函数定义的限定条件，强化“k≠0、自变量x≠0、函数值y≠0”的记忆，区分反比例函数与正比例函数表达式形式。 2.强化图象与性质应用：结合图象熟记k的符号与图象象限、增减性的对应关系，注意增减性的区间限制（在每个象限内）。 3.掌握k的几何意义核心：牢记双曲线上点与坐标轴垂线构成的矩形、三角形面积与k的关系，灵活转化图形面积求k值。 4.积累综合解题经验：整理2025年反比例函数与一次函数综合真题，归纳“求交点→结合图象→解不等式/求面积”的解题流程，建立错题本标注“忽略限定条件”“增减性判断错误”“k的几何意义应用失误”等问题。 📖 知识点精讲精析（法则解析+示例+易错陷阱） （一）反比例函数的定义 法则解析 一般地，形如（为常数，，）的函数，叫做反比例函数。其中是自变量，是函数，自变量的取值范围是不等于0的一切实数，函数值的取值范围也为不等于0的一切实数。 反比例函数的三种表达形式：1.；2.；3.，三种形式可相互转化，解题时可根据题意灵活选择。 示例 判断下列函数是否为反比例函数，若是，指出比例系数： (1)；(2)；(3) 【解析】(1)是反比例函数，；(2)是正比例函数，不是反比例函数；(3)可转化为，是反比例函数，。 易错点 1.忽略k≠0的条件，如认为是反比例函数； 2.混淆反比例函数与正比例函数形式，如误将当作反比例函数； 3.忽略x≠0的取值范围，在求自变量取值时遗漏限制条件。 （二）反比例函数的图象与性质 法则解析 1.图象形状：反比例函数的图象是双曲线，有两个分支，且两个分支关于原点成中心对称，关于直线和成轴对称。 2.图象位置与k的符号关系： 当时，双曲线的两个分支分别位于第一、三象限； 当时，双曲线的两个分支分别位于第二、四象限。 3.函数增减性与k的符号关系： 当时，在每个象限内，y随x的增大而减小； 当时，在每个象限内，y随x的增大而增大。 注意：增减性需强调“在每个象限内”，不能说整个定义域内y随x的增大而减小或增大。 4.图象的趋势：反比例函数的图象无限接近x轴和y轴，但永远不会与x轴、y轴相交，因为，。 示例 已知反比例函数，(1)若图象位于第一、三象限，求m的取值范围；(2)若在第三象限内，y随x的增大而减小，求m的取值范围。 【解析】(1)∵图象位于第一、三象限，∴，解得； (2)∵在第三象限内y随x的增大而减小，∴，解得。 易错点 1.判断增减性时忽略“在每个象限内”，如认为时，任意x₁<x₂都有y₁>y₂； 2.根据图象象限求参数时，遗漏k的非零条件； 3.忽略图象的对称性，在求对称点坐标时出错。 （三）反比例函数k的几何意义 法则解析 过反比例函数图象上任意一点作x轴、y轴的垂线，所得垂线与坐标轴围成的矩形的面积等于； 过反比例函数图象上任意一点作其中一条坐标轴的垂线，连接该点与原点，所得三角形的面积等于。 推论：若双曲线上两点关于原点对称，分别作坐标轴垂线，所得图形面积相等，且与k的绝对值相关。 示例 已知点A在反比例函数的图象上，过点A作AB⊥x轴于点B，AC⊥y轴于点C，求四边形ABOC的面积。 【解析】∵四边形ABOC是由点A向坐标轴作垂线围成的矩形，∴面积。 易错点 1.计算面积时忽略k的绝对值，直接用k的值计算，导致面积为负数； 2.混淆三角形面积与矩形面积的关系，误将三角形面积记为； 3.多个点在双曲线上时，不会利用k的几何意义转化面积关系。 （四）反比例函数的解析式求解 法则解析 反比例函数解析式的求解主要采用待定系数法，核心步骤： 1.设：根据反比例函数形式，设解析式为； 2.代：将图象上已知点的坐标代入解析式，得到关于k的方程； 3.求：解方程求出k的值； 4.写：将k的值代入所设解析式，写出最终的反比例函数解析式。 若已知反比例函数的其他表达形式，可对应设解析式，如已知，直接代入点坐标求k。 示例 已知反比例函数的图象经过点(2,3)，求该反比例函数的解析式。 【解析】1.设解析式为；2.将(2,3)代入得；3.解得；4.解析式为。 易错点 1.设解析式时遗漏k≠0的条件； 2.代入点坐标时，横、纵坐标对应错误； 3.求出k的值后，未检验是否符合题意（如结合图象象限的k的符号要求）。 （五）反比例函数与一次函数的综合 法则解析 1.求交点坐标：将反比例函数与一次函数的解析式联立，组成方程组，解方程组即可得到交点的横、纵坐标，注意方程组的解的个数对应两函数图象的交点个数。 2.判断不等式解集：结合两函数的图象，根据“上方图象的函数值大，下方图象的函数值小”，确定反比例函数值大于（或小于）一次函数值时x的取值范围，注意x≠0的限制。 3.求图形面积：先求出两函数的交点坐标，再结合平面直角坐标系，将不规则图形转化为三角形、矩形等规则图形，利用面积公式计算，常结合k的几何意义简化计算。 示例 已知一次函数与反比例函数，求两函数图象的交点坐标。 【解析】联立方程组，将代入得，整理得，解得，。 当时，；当时，。故交点坐标为(1,2)和(-2,-1)。 易错点 1.联立方程求解时，忘记检验解是否使反比例函数的分母为0； 2.判断不等式解集时，遗漏象限划分，未考虑x的正负； 3.求图形面积时，不会合理分割图形，计算时遗漏或重复计算部分面积。 💡 核心解题方法技巧提炼（策略导向、高效解题） （一）定义判定技巧 根据反比例函数的三种表达形式，紧扣核心特征判定：1.乘积型：非零常数；2.分式型：；3.负指数型：非零常数。只要满足其中一种形式，且自变量x在分母位置，即为反比例函数，注意排除k=0的情况。 （二）图象性质应用技巧 1.符号判断法：由k的符号判断图象所在象限，反之，由图象所在象限判断k的符号； 2.象限分析法：判断增减性、比较函数值大小时，先确定点所在的象限，再根据该象限内的增减性分析，避免跨象限比较； 3.数形结合法：解决参数取值范围、函数值大小比较问题时，画出反比例函数的大致图象，结合图象直观分析，简化思考过程。 （三）k的几何意义应用技巧 1.面积转化法：遇到双曲线上点与坐标轴构成的图形面积问题，先转化为矩形或三角形面积，再利用、求解； 2.设点法：若已知图形面积求k值，可设双曲线上点的坐标为，再根据面积公式列方程求解，注意k的符号与图象象限一致； 3.整体法：多个点在双曲线上时，利用k的几何意义得到各图形面积的关系，整体求解，避免逐一求点坐标。 （四）解析式求解技巧 1.待定系数法：核心方法，已知图象上一个点的坐标即可求k值，注意点坐标的准确性； 2.实际建模法：解决实际问题时，先找出两个成反比例关系的量，设出函数解析式，再根据实际情境中的已知条件求k值，注意单位统一； 3.综合法：与一次函数综合时，先利用一次函数求出交点坐标，再代入反比例函数解析式求k值。 （五）综合题解题技巧 1.联立求解法：求反比例函数与一次函数的交点，必用联立方程组的方法，解出后注意检验； 2.图象分析法：解不等式、判断函数值大小，结合图象分析，明确分界点（交点）和象限； 3.割补法：求两函数图象与坐标轴围成的图形面积，将不规则图形割补为规则图形，分别计算面积后求和或作差，常结合k的几何意义和一次函数的性质。 🔖 中考真题精粹集训（精选2025真题，覆盖考向） （1） 选择题 1． （2025·北京）如图，在平面直角坐标系xOy中，A，B分别是横、纵轴正半轴上的动点，四边形OACB是矩形，函数 的图象与边AC交于点M，与边BC交于点 N(M，N不重合).给出下面四个结论： ①△COM 与△CON 的面积一定相等； ②△MON 与△MCN的面积可能相等； ③△MON一定是锐角三角形； ④△MON可能是等边三角形. 上述结论中，所有正确结论的序号是（　　） A．①③ B．①④ C．②③ D．②④ 2． （2025·淮安）在平面直角坐标系中，直角三角板AOB按如图位置摆放，直角顶点与原点O重合，点A在反比例函数的图像上，．若点B坐标为，则k的值是（　　）． A． B． C．1 D．2 3． （2025·重庆市）反比例函数的图象一定经过的点是（　　） A． B． C． D． 4． （2025·镇江）已知点、在反比例函数的图像上，若，则的取值范围是（　　）． A．或 B． C． D． 5． （2025·宁夏回族自治区） 函数和的部分图象如图所示，点在的图象上，过点作轴交轴于点，交的图象于点．若，则的值为（　　） A． B． C． D．3 6． （2025·广州）若，反比例函数的图象在（　　） A．第一、二象限 B．第一、三象限 C．第二、四象限 D．第三、四象限 7． （2025·兰州） 若点A（2，y1）与B（﹣2，y2）在反比例函数的图象上，则y1与y2的大小关系是（　　） A．y1＜y2 B．y1≤y2 C．y1＞y2 D．y1≥y2 8． （2025·湖南）对于反比例函数，下列结论正确的是（　　） A．在（2，2）在该函数的图象上 B．该函数的图象分别位于第二、第四象限 C．当x＜0时，y随x的增大而增大 D．当x＞0时，y随x的增大而减小 9． （2025·河北）在反比例函数中，若，则（　　） A． B． C． D． 10． （2025·浙江）已知反比例函数．下列选项正确的是（　　） A．函数图象在第一、三象限 B．y随x的增大而减小 C．函数图象在第二、四象限 D．y随x的增大而增大 （2） 填空题 11． （2025·陕西） 如图，过原点的直线与反比例函数的图象交于，两点，则的值为　 　． 12． （2025·滨州）如图，在平面直角坐标系xOy中，点A，B分别在x轴和y轴上，点C为AB的中点，反比例函数的图象经过点C.若点B的坐标为（0，6），OC=5，则　 　. 13． （2025·连云港）某气球内充满了一定质量的气体，在温度不变的条件下，气球内气体的压强p（Pa）是气球体积V（m3）的反比例函数.当V=1.2m3时，p=20000Pa.则当V=1.5m3时，p=　 　Pa. 14． （2025·哈尔滨）某玩具汽车的功率P(单位：W)为定值，行驶速度v(单位：m/s)与所受阻力F(单位：N)是反比例函数关系，它的图象如图所示，则该玩具汽车的功率P=　 　W. 15． （2025·徐州）若点A（6，y1），B（5，y2）都在函数的图象上，则y1　 　 y2（填“＞”“＝”或“＜”）． 16． （2025·辽宁）在电压不变的情况下，电流（单位：）与电阻（单位：）是反比例函数关系．当时，．则电流与电阻之间的函数表达式为　 　． 17． （2025·福建）若反比例函数 的图象过点，则常数 k=　 　. （3） 解答题 18． （2025·资阳）如图，在平面直角坐标系中，O为坐标原点.一次函数的图象与x轴交于点A(-1，0)，与反比例函数的图象交于点B(-2，a)，射线BO与反比例函数的图象交于点C，连接AC. （1）求一次函数和反比例函数的表达式； （2）求的面积. 19． （2025·江西）如图，直线与反比例函数的图象交于点． （1）求一次函数和反比例函数解析式； （2）将直线向上平移，在轴上方与反比例函数图象交于点，连接OA，OC，当时，求点的坐标及直线平移的距离． 20． （2025·白银）如图，一次函数的图象交x轴于点A，交反比例函数的图象交于点B（-1，a）.将一次函数的图象向下平移m（m>0）个单位长度，所得的图象交x轴于点C. （1）求反比例函数的表达式； （2）当的面积为3时，求m的值. 21． （2025·兰州）如图，在平面直角坐标系中，一次函数yx+b与反比例函数y（x＞0）的图象相交于点A（m，3），与x轴相交于点B（8，0），与y轴相交于点C． （1）求一次函数yx+b与反比例函数y的表达式； （2）点P为y轴负半轴上一点，连接AP．若△ACP的面积为6，求点P的坐标． 22． （2025·安徽） 如图，在平面直角坐标系xOy中，一次函数与反比例函数的图象交于A， B两点. 已知点A和B的横坐标分别为6和2. （1） 求a与k的值； （2） 设直线AB与x轴、y轴的交点分别为C， D， 求的面积. 23． （2025·泸州）如图，一次函数的图象与反比例函数的图象的一个交点为． （1）求一次函数与反比例函数的解析式； （2）将一次函数的图象沿轴向下平移12个单位，与反比例函数的图象相交于点，求的值． 24． （2025·常州）如图，在平面直角坐标系xOy中，一次函数的图像与反比例函数的图像相交于点A（1，n）、B（-3，-2），且与y轴交于点C （1）求一次函数、反比例函数的表达式； （2）连接OA，求的面积. 参考答案及解析 （1） 选择题 1． （2025·北京）如图，在平面直角坐标系xOy中，A，B分别是横、纵轴正半轴上的动点，四边形OACB是矩形，函数 的图象与边AC交于点M，与边BC交于点 N(M，N不重合).给出下面四个结论： ①△COM 与△CON 的面积一定相等； ②△MON 与△MCN的面积可能相等； ③△MON一定是锐角三角形； ④△MON可能是等边三角形. 上述结论中，所有正确结论的序号是（　　） A．①③ B．①④ C．②③ D．②④ 【答案】B 【解析】解：设点M坐标为，点N坐标为，则A(a，0)，B，C ∴ ∴ ∴，①正确 ，即a=b 当a=b时，M，N重合，与题意不符，②错误 ∵四边形OACB为矩形，∠AOB=90°，∠AOM是OM与x轴夹角，∠BON是ON与y轴夹角，M，N在第一象限 ∴∠AOM，∠BON均为锐角 ∵∠MON=90°-∠AOM-∠BON ∴∠MON<90°，∠MON是锐角 过点O作OH⊥MN于点H 由是一个固定形式的正数 ∵ ∵ ∴OH>0 在△OMH和△ONH中，∠OMH，∠ONH是直角三角形是的锐角 ∴∠OMH<90°，∠ONH<90°，即∠OMN<90°，∠ONM<90° ∴△MON的三个角都是锐角 ∴△MON一定是锐角三角形，③正确 假设△MON是等边三角形，则OM=ON=MN，且∠MON=60° 若OM=ON。则OM2=ON2 即 整理得： ∴ ∵a≠b(M，N不重合) ∴，解得：ab=1 此时OM=ON，但结合条件∠MON=60° 由于ab=1时，∠AOM+∠BON=90°-60°=30°，但通过反比例函数和矩形的动态性，无法同时满足角度和边长的严格等边要求 ∴△MON不可能是等边三角形，④错误 故答案为： B ∴△MON不可能是等边三角形，可判断④. 2． （2025·淮安）在平面直角坐标系中，直角三角板AOB按如图位置摆放，直角顶点与原点O重合，点A在反比例函数的图像上，．若点B坐标为，则k的值是（　　）． A． B． C．1 D．2 【答案】C 【解析】解：如图，过点A作. 轴，垂足为C，过点B作 轴，垂足为D， 由条件可知 轴， ∵直角三角板AOB中 又 ∴点A坐标为 ∵点A在反比例函数 的图象上， 故选： C. 3． （2025·重庆市）反比例函数的图象一定经过的点是（　　） A． B． C． D． 【答案】D 【解析】解：∵反比例函数， ∴， 点所在的反比例函数的， 反比例函数的图象一定经过的点是， 故答案为：D． 4． （2025·镇江）已知点、在反比例函数的图像上，若，则的取值范围是（　　）． A．或 B． C． D． 【答案】A 【解析】解：当a<0时，对于反比例函数，y随x的增大而减小，若，则a<-1； 当a>0时，此时y2>0，y1<0，明显有，故a>0满足题意； 综上所述：或 . 故选：A. 5． （2025·宁夏回族自治区） 函数和的部分图象如图所示，点在的图象上，过点作轴交轴于点，交的图象于点．若，则的值为（　　） A． B． C． D．3 【答案】A 【解析】解：连接OA，OB 由题意可得：OC⊥AB ∴ ∵ ∴ ∴，且k2<0 ∴ ∴ 故答案为：A 6． （2025·广州）若，反比例函数的图象在（　　） A．第一、二象限 B．第一、三象限 C．第二、四象限 D．第三、四象限 【答案】C 【解析】解：∵ ∴-k>0，即k<0 ∴反比例函数的图象在第二、四象限 故答案为：C 7． （2025·兰州） 若点A（2，y1）与B（﹣2，y2）在反比例函数的图象上，则y1与y2的大小关系是（　　） A．y1＜y2 B．y1≤y2 C．y1＞y2 D．y1≥y2 【答案】C 【解析】解：∵点A（2，y1）与B（﹣2，y2）在反比例函数的图象上， ∴； ∴y1＞y2 故答案为：C . 8． （2025·湖南）对于反比例函数，下列结论正确的是（　　） A．在（2，2）在该函数的图象上 B．该函数的图象分别位于第二、第四象限 C．当x＜0时，y随x的增大而增大 D．当x＞0时，y随x的增大而减小 【答案】D 【解析】解： ，双曲线的两个分支分别在第一、三象限，且在每一个分支内，都随的增大而减小. 故答案为：D. 9． （2025·河北）在反比例函数中，若，则（　　） A． B． C． D． 【答案】B 【解析】解：∵k=4>0 ∴当x>0时，y随x的增大而减小 ∴当y=2时，x=2 当y=4时，x=1 ∴x的范围为 故答案为：B 10． （2025·浙江）已知反比例函数．下列选项正确的是（　　） A．函数图象在第一、三象限 B．y随x的增大而减小 C．函数图象在第二、四象限 D．y随x的增大而增大 【答案】C 【解析】解：中， 双曲线的两个分支分别在第二和第四象限，且在每一个分支内，y都随x的增大而增大 故选：C. （2） 填空题 11． （2025·陕西） 如图，过原点的直线与反比例函数的图象交于，两点，则的值为　 　． 【答案】9 【解析】解：∵过原点的直线与反比例函数的图象交于，两点 ∴A，B两点关于原点O对称 ∴，解得： ∴A(3，3) 将点A(3，3)代入，得 解得：k=9 故答案为：9 12． （2025·滨州）如图，在平面直角坐标系xOy中，点A，B分别在x轴和y轴上，点C为AB的中点，反比例函数的图象经过点C.若点B的坐标为（0，6），OC=5，则　 　. 【答案】12 【解析】 解：在Rt△AOB中，点C为AB的中点，OC= 5， ∴AB=2OC=10， ∵点B的坐标为(0， 6)， ∴OB= 6， ∴OA= ∴A(8，0)， ∴点C的坐标为，即(4，3)， ∵反比例函数y=的图象经过点C， ∴k=3×4= 12， 故答案为：12， 13． （2025·连云港）某气球内充满了一定质量的气体，在温度不变的条件下，气球内气体的压强p（Pa）是气球体积V（m3）的反比例函数.当V=1.2m3时，p=20000Pa.则当V=1.5m3时，p=　 　Pa. 【答案】16000 【解析】解：∵ 气球内气体的压强p（Pa）是气球体积V（m3）的反比例函数， ∴设， ∵ 当V=1.2m3时，p=20000Pa， ∴k=1.2×20000=24000， ∴， 当v=1.5时， 故答案为：16000. 14． （2025·哈尔滨）某玩具汽车的功率P(单位：W)为定值，行驶速度v(单位：m/s)与所受阻力F(单位：N)是反比例函数关系，它的图象如图所示，则该玩具汽车的功率P=　 　W. 【答案】20 【解析】解：由题意可得： v与f的函数关系式为 由图象可得，图象经过点(2，10)，代入 P=vF=2×10=20 故答案为：20 15． （2025·徐州）若点A（6，y1），B（5，y2）都在函数的图象上，则y1　 　 y2（填“＞”“＝”或“＜”）． 【答案】＞ 【解析】解：∵k=-2＜0 ∴在每一个象限y随x的增大而增大 ∵6＞5， ∴y1＞y2， 故答案为：＞ 16． （2025·辽宁）在电压不变的情况下，电流（单位：）与电阻（单位：）是反比例函数关系．当时，．则电流与电阻之间的函数表达式为　 　． 【答案】 【解析】解：设电流I与电阻R之间的函数表达式为， ∵当时，， ∴，解得：， ∴， 故答案为：. 17． （2025·福建）若反比例函数 的图象过点，则常数 k=　 　. 【答案】-2 【解析】解： 图象过点（-2，1）， ∴k=-2×1=-2 故答案为：-2. （3） 解答题 18． （2025·资阳）如图，在平面直角坐标系中，O为坐标原点.一次函数的图象与x轴交于点A(-1，0)，与反比例函数的图象交于点B(-2，a)，射线BO与反比例函数的图象交于点C，连接AC. （1）求一次函数和反比例函数的表达式； （2）求的面积. 【答案】（1）解：将A(-1， 0)代入y=kx-2. 得-k-2=0，解得k=-2， 所以，一次函数的表达式为y=-2x-2. 将点B(-2， a)代入y=-2x-2. 得-2x(-2)-2=a，解得a=2. 即B(-2， 2). 把B(-2， 2)代入y=，得2=，即m=-4. 所以，反比例函数的表达式为y=- （2）解：由(1)知， 点B的坐标为(-2， 2)， 依题意，点B，C关于原点对称， 所以C(2， -2). 过点B，C作x轴的垂线，垂足分别为点E、F. 可知BE=2. CF=2， OA =1. =2. ∴△ABC的面积为2 【解析】（1）将点A代入一次函数解析式，可求出k的值，可得到一次函数解析式；再将x=-2代入一次函数解析式，可求出a的值，可得到点B的坐标，将点B的坐标代入反比例函数解析式，可求出m的值，可得到反比例函数解析式. （2）利用关于原点对称点的特点可求出点C的坐标；过点B，C作x轴的垂线，垂足分别为点E、F，可求出BE、CF、OA的长，根据，利用三角形的面积公式可求出△ABC的面积. 19． （2025·江西）如图，直线与反比例函数的图象交于点． （1）求一次函数和反比例函数解析式； （2）将直线向上平移，在轴上方与反比例函数图象交于点，连接OA，OC，当时，求点的坐标及直线平移的距离． 【答案】（1）解：直线与反比例函数的图象交于点， ． ． 一次函数和反比例函数解析式分别为 （2）解：方法一 如图，作轴于点轴于点， ． ， ， ． ， ． ． ． 设， ， ． 点在反比例函数的图象上， ． 解得或（舍去）． ． 设直线平移后的解析式为， ． ． 直线向上平移的距离为 【解析】（1）把点A(6，2)代入函数解析式求出m和k的值，即可求出函数解析式即可； （2）方法一：作轴于点轴于点，得到△AOD∽△COE，根据对应边成比例得到OE=3CE，设CE=a，得到点C的坐标代入反比例函数解析式求出a的值，即可求出点C的坐标，再代入一次函数的解析式计算解题. 20． （2025·白银）如图，一次函数的图象交x轴于点A，交反比例函数的图象交于点B（-1，a）.将一次函数的图象向下平移m（m>0）个单位长度，所得的图象交x轴于点C. （1）求反比例函数的表达式； （2）当的面积为3时，求m的值. 【答案】（1）解：将代入，得， ∴， 将点坐标代入，得， ∴， ∴反比例函数的表达式为； （2）解：如图，过点作轴于， ∵一次函数的图象交轴于点， ∴， ∵， ∴， 又∵的面积为3， ∴， ∴， ∵将一次函数的图象向下平移个单位长度，所得的图象交轴于点， ∴平移后的一次函数表达式为， ∴， ∴， ∴. 【解析】（1）将点坐标代入一次函数表达式中求出的值，从而得，进而利用待定系数法求出反比例函数的表达式； （2）过点作轴于，先求出，由点坐标得，然后利用三角形面积公式得，根据一次函数的平移变换规律得平移后的一次函数表达式，从而得，进而即可求出的值. 21． （2025·兰州）如图，在平面直角坐标系中，一次函数yx+b与反比例函数y（x＞0）的图象相交于点A（m，3），与x轴相交于点B（8，0），与y轴相交于点C． （1）求一次函数yx+b与反比例函数y的表达式； （2）点P为y轴负半轴上一点，连接AP．若△ACP的面积为6，求点P的坐标． 【答案】（1）解： ∵B（8，0）在一次函数yx+b图像上， ∴b＝0，解得b＝4， ∴一次函数解析式为y， 将点A（m，3）坐标代入解析式得：34， 解得m＝2， ∴A（2，3）， ∴k＝2×3＝6， ∴反比例函数解析式为y； （2）解：由一次函数解析式可知C（0，4），B（8，0），A（2，3），设点P（0，x）， ∴PC＝4﹣x， ∴S△PAC6， 解得x＝﹣2， ∴P（0，﹣2）． 【解析】(1)把B（8，0）代入一次函数函数解析式可得b＝4，因而可求得一次函数的解析式，再把A（m，3）代入函数解析式中得到m＝2，即可利用待定系数法求得反比例函数解析式，由此即可解答； （2）先根据一次函数的解析式分别求出A，B，C的坐标，设点P（0，x）表示出PC＝4﹣x，利用面积关系建立方程，计算即可解答. 22． （2025·安徽） 如图，在平面直角坐标系xOy中，一次函数与反比例函数的图象交于A， B两点. 已知点A和B的横坐标分别为6和2. （1） 求a与k的值； （2） 设直线AB与x轴、y轴的交点分别为C， D， 求的面积. 【答案】（1）解：由题意得， ， 解得 ， （2）解：由(1)知直线AB对应的一次函数表达式为 . 令 ，得 ，所以 OC=8. 令 ，得 ，所以 OD.=4. 故 的面积为 【解析】（1）分别将点A、B的横坐标分别代入两函数解析式，可得到关于k、a的方程组，解方程组求出k，a的值. （2）利用一次函数解析式求出OC，OD的长，再利用三角形的面积公式求出△COD的面积. 23． （2025·泸州）如图，一次函数的图象与反比例函数的图象的一个交点为． （1）求一次函数与反比例函数的解析式； （2）将一次函数的图象沿轴向下平移12个单位，与反比例函数的图象相交于点，求的值． 【答案】（1）解：∵一次函数的图象经过， ∴， ∴， ∴一次函数解析式为； ∵反比例函数的图象经过， ∴， ∴， ∴反比例函数解析式为； （2）解：∵将一次函数的图象沿轴向下平移12个单位， ∴直线解析式为， 联立， 解得或， ∴； 如图所示，过点A作轴交直线于T， ∵， ∴点T的横坐标为2， 在中，当时，， ∴， ∴， ∴ ． 【解析】（1）利用待定系数法求解即可； （2）根据“上加下减函数值，左加右减自变量”的平移规律可得直线BC解析式，然后联立直线BC与反比例函数解析式，求解得出点B、C的坐标；过点A作AT∥y轴交直线BC于T，根据点的坐标与图形性质可得点T的横坐标为2，然后将x=2代入直线BC的解析式算出对应的函数值可得点T的坐标；根据平面内两点间的距离公式计算出AT，进而根据S△ABC=S△ABT+S△ACT及三角形的面积公式列式求解即可． （1）解：∵一次函数的图象经过， ∴， ∴， ∴一次函数解析式为； ∵反比例函数的图象经过， ∴， ∴， ∴反比例函数解析式为； （2）解：∵将一次函数的图象沿轴向下平移12个单位，与反比例函数的图象相交于点， ∴直线解析式为， 联立，解得或， ∴； 如图所示，过点A作轴交直线于T， ∵， ∴点T的横坐标为2， 在中，当时，， ∴， ∴， ∴ ． 24． （2025·常州）如图，在平面直角坐标系xOy中，一次函数的图像与反比例函数的图像相交于点A（1，n）、B（-3，-2），且与y轴交于点C （1）求一次函数、反比例函数的表达式； （2）连接OA，求的面积. 【答案】（1）解：∵一次函数的图像与反比例函数的图像相交于点、， ∴将代入， 得：， 解得：， ∴反比例函数的解析式为， 将代入， 得：， ∴， 将，代入， 得：， 解得：， ∴一次函数的解析式为 （2）解：当时，， ∴， ∴， ∴ 【解析】（1）先将B点坐标代入求出反比例函数解析式，再求出，利用待定系数法求一次函数解析式即可； （2）先求出点C的坐标，再利用三角形的面积公式求解即可． 1 学科网（北京）股份有限公司 $