已知线线角、线面角、面面角求其他量讲义-2025-2026学年高二下学期数学苏教版选择性必修第二册

已知线线角、线面角、面面角求其他量讲义 已知线线角、线面角、面面角求其他量讲义 考点目录 已知线线角求其他量 已知线面角求其他量 已知面面角求其他量 考点一 已知线线角求其他量 【知识点解析】 1.平面的法向量的求解：已知平面，且 （1）表示平面中两条相交直线所形成的向量. （2）设为平面的一个法向量. （3）利用法向量与平面的所有直线垂直列方程. （4）赋值求解法向量. 2. 异面直线所成之角（线线角）：若求直线与直线所成之角 （1）表示、、、四点的坐标. （2）表示与. （3）记直线所成之角为，. 3. 若动点所在直线与坐标轴平行或重合，则直接设动点坐标. ①若动点所在直线与轴平行或重合，则动点的坐标可设为，其中为常数. ②若动点所在直线与轴平行或重合，则动点的坐标可设为，其中为常数. ③若动点所在直线与轴平行或重合，则动点的坐标可设为，其中为常数. 4. 若动点所在直线与坐标轴不平行，已知点、，动点在直线上运动，则,所以，由此可表示出点坐标或直接利用表示出目标向量. 5. 边长缺失问题 在立体几何中，“边长缺失” 是常见问题，即题目未直接给出关键线段的长度，但需要通过这些边长求解体积、表面积、角度或距离等.这类问题的核心是利用几何性质建立边长之间的关系，而非被动依赖已知数据. 核心原则：用 “关系” 替代 “已知” 立体几何中，边长的 “缺失” 往往是因为它们与已知条件存在隐含关联（如垂直、平行、全等、相似、勾股定理、三角函数关系等）.解决的关键是： （1）识别 “缺失边长” 的角色（如棱锥的高、棱柱的侧棱长、球的半径等）. （2）找到它与已知条件的几何联系（如在直角三角形中、在相似三角形中、在面面垂直的交线上等）. （3）用字母表示未知边长，通过方程或几何公式推导其值. 【例题分析】 例1．（25-26高二上·山东青岛·月考）如图所示，正四棱锥中，点E是棱的中点. (1)证明：平面； (2)已知异面直线与所成角的余弦值为，求二面角（锐角）的余弦值. 例2．（25-26高三上·江苏南通·期中）如图1，矩形中，分别是的中点，分别是线段上的点，且，如图2，将四边形沿翻折，使得平面平面. (1)求证：平面； (2)当直线与所成角的余弦值为时，求线段的长度； (3)当线段最短时，求二面角的正弦值. 例3．（25-26高二上·安徽淮南·月考）如图，在四棱锥中，底面，底面为矩形，，点在棱上，且直线与所成的角为．    (1)证明：点为棱的中点； (2)求直线与平面所成角的正弦值． 【变式训练】 变式1．（2025·河北唐山·模拟预测）在长方体中，是棱的中点．    (1)求证：平面平面； (2)若异面直线与所成角为，求与平面所成角的正弦值． 变式2．（25-26高二上·新疆乌鲁木齐·月考）如图，在三棱锥中，底面，.点分别为棱的中点，是线段的中点，，.    (1)求证：平面； (2)已知点在棱上，且直线与直线所成角的余弦值为，求线段的长. 变式3．（2025·广东广州·模拟预测）如图，在四棱锥中，平面，，，，，为棱的中点，直线与所成角的余弦值为．求： (1)点到直线的距离； (2)二面角的余弦值． 考点二 已知线面角求其他量 【知识点解析】 1. 直线与平面所成之角（线面角）：若求直线与平面所成之角 （1）表示、、、、五点的坐标. （2）表示与平面两条相交直线所形成的向量. （3）设平面的一个法向量为，利用法向量与平面的所有直线垂直列方程，赋值求解. （4）记直线与平面所成之角为，. 【例题分析】 例1．（25-26高二上·安徽淮北·期末）如图，在四棱锥中，底面是菱形，，是分别以为斜边的等腰直角三角形，是棱上的动点. (1)证明：； (2)若与平面所成角的大小为，求的值. 例2．（25-26高三下·重庆沙坪坝·开学考试）如图，圆台的下底面圆的半径为，为圆的内接正方形．为上底面圆上两点，为的中点，且平面平面，． (1)求证：； (2)若，直线与平面所成角正弦值为，求线段长度． 例3．（2026·广东广州·模拟预测）如图，四棱锥中，平面，为棱上一点，为中点． (1)若，证明：平面； (2)证明：平面； (3)若直线与平面所成角的正弦值为，求． 【变式训练】 变式1．（2026·山东青岛·模拟预测）如图，在直三棱柱中，，点P在线段上运动（包含端点），点Q为AC的中点，设平面PBQ与平面的交线为l．    (1)证明：平面ABC； (2)若直线PQ与平面ABC所成角的余弦值为，求； (3)求平面PBQ截直三棱柱所得的截面面积的最大值． 变式2．（2026·黑龙江大庆·二模）如图，在三棱锥中，底面.已知是的中点，且.    (1)证明：平面； (2)若与平面所成角的正弦值为，求平面与平面夹角的余弦值. 变式3．（25-26高三上·河南·月考）如图，在三棱台中，平面． (1)若，求三棱台的体积． (2)若直线与平面所成角的正弦值为， （i）求． （ii）三棱台的顶点中，同在一个球面上的点最多有几个？请任选一个包含最多顶点的球面，计算该球的表面积． （注：若选择多个球面分别计算，按第一个结果给分）． 考点三 已知面面角求其他量 【知识点解析】 1. 平面与平面所成之角（二面角）：若求平面与平面所成之角 （1）表示、、、、、五点的坐标. （2）分别表示平面与平面两条相交直线所形成的向量. （3）设平面的一个法向量为，利用法向量与平面的所有直线垂直列方程，赋值求解，同理求平面的一个法向量. （4）记平面与平面所成之角为，. 【例题分析】 例1．（2026·黑龙江哈尔滨·一模）如图，在四棱锥中，底面ABCD为菱形，，分别为CD，PA的中点. (1)证明：平面PBC； (2)若平面平面ABCD，，，，平面PAE与平面PAB夹角的余弦值为，求点到平面PBC的距离. 例2．（2026·湖南·模拟预测）如图，在三棱锥中，． (1)证明：； (2)若和所在平面垂直，且平面与平面所成角的余弦值为，求． 例3．（25-26高二上·安徽·期末）如图，在直三棱柱中，．    (1)求证：为直角三角形； (2)若平面与平面所成角的正弦值为，求的值． 【变式训练】 变式1．（25-26高三下·重庆沙坪坝·开学考试）如图，、、为圆台下底面圆周上三点，为直径且为上底面圆周上一点，、分别为线段、的中点，且满足：，平面平面. (1)求证：平面； (2)若，满足要求的点有且只有一个，设三棱锥外接球半径为，圆台的高为. （i）求； （ii为上底面圆周上一动点，当平面与平面夹角为时，求点到平面的距离. 变式2．（25-26高二上·新疆和田·期末）如图，在四棱锥中，，，，是对角线与的交点，点满足，且平面. (1)证明：. (2)若二面角的余弦值为， （i）求； （ii）求直线与平面所成角的正弦值. 变式3．（25-26高二上·湖北荆州·期末）如图，在四棱锥中，底面为平行四边形，是正三角形，平面． (1)设，求点到平面的距离； (2)若二面角的正弦值为，求的长． 2 学科网（北京）股份有限公司 $已知线线角、线面角、面面角求其他量讲义 已知线线角、线面角、面面角求其他量讲义 考点目录 已知线线角求其他量 已知线面角求其他量 已知面面角求其他量 考点一 已知线线角求其他量 【知识点解析】 1.平面的法向量的求解：已知平面，且 （1）表示平面中两条相交直线所形成的向量. （2）设为平面的一个法向量. （3）利用法向量与平面的所有直线垂直列方程. （4）赋值求解法向量. 2. 异面直线所成之角（线线角）：若求直线与直线所成之角 （1）表示、、、四点的坐标. （2）表示与. （3）记直线所成之角为，. 3. 若动点所在直线与坐标轴平行或重合，则直接设动点坐标. ①若动点所在直线与轴平行或重合，则动点的坐标可设为，其中为常数. ②若动点所在直线与轴平行或重合，则动点的坐标可设为，其中为常数. ③若动点所在直线与轴平行或重合，则动点的坐标可设为，其中为常数. 4. 若动点所在直线与坐标轴不平行，已知点、，动点在直线上运动，则,所以，由此可表示出点坐标或直接利用表示出目标向量. 5. 边长缺失问题 在立体几何中，“边长缺失” 是常见问题，即题目未直接给出关键线段的长度，但需要通过这些边长求解体积、表面积、角度或距离等.这类问题的核心是利用几何性质建立边长之间的关系，而非被动依赖已知数据. 核心原则：用 “关系” 替代 “已知” 立体几何中，边长的 “缺失” 往往是因为它们与已知条件存在隐含关联（如垂直、平行、全等、相似、勾股定理、三角函数关系等）.解决的关键是： （1）识别 “缺失边长” 的角色（如棱锥的高、棱柱的侧棱长、球的半径等）. （2）找到它与已知条件的几何联系（如在直角三角形中、在相似三角形中、在面面垂直的交线上等）. （3）用字母表示未知边长，通过方程或几何公式推导其值. 【例题分析】 例1．（25-26高二上·山东青岛·月考）如图所示，正四棱锥中，点E是棱的中点. (1)证明：平面； (2)已知异面直线与所成角的余弦值为，求二面角（锐角）的余弦值. 【答案】(1)证明见解析 (2) 【详解】（1）连接，，设，连接 因为四边形为正方形，则是中点，点是棱的中点， 则，因为平面，平面， 所以平面； （2）连接，正四棱锥中，平面，， 所以，，两两垂直， 以为坐标原点，，，所在直线分别为，，轴建立如图所示的空间直角坐标系， 设，， 则，，，， 所以，， 又异面直线与所成角的余弦值为， 所以， 解得，（负值舍去），故，，，， 所以，， 由题意知平面的一个法向量为， 设平面的法向量为， 则，得， 取，得， 设二面角的平面角为，观察图形可知为锐角， 所以， 所以二面角的余弦值为. 例2．（25-26高三上·江苏南通·期中）如图1，矩形中，分别是的中点，分别是线段上的点，且，如图2，将四边形沿翻折，使得平面平面. (1)求证：平面； (2)当直线与所成角的余弦值为时，求线段的长度； (3)当线段最短时，求二面角的正弦值. 【答案】(1)证明见解析 (2) (3) 【详解】（1）在矩形中，分别是的中点， 所以和是全等的正方形， 所以. 又因为平面平面， 平面平面平面， 所以平面. 因为平面，所以. 又因为平面， 所以平面. （2）以为正交基底，建立如图所示的空间直角坐标系， 则，. 设，则， 所以，而， 设直线与所成角为， 则， 解得或（舍去）.所以， 所以线段的长度为. （3）因为， 所以当时，线段最短， 此时. 设是平面的一个法向量， 则，即， 取平面的一个法向量为. 设是平面的一个法向量， 则即， 取平面的一个法向量为. 设二面角的平面角为， 则， 所以. 例3．（25-26高二上·安徽淮南·月考）如图，在四棱锥中，底面，底面为矩形，，点在棱上，且直线与所成的角为．    (1)证明：点为棱的中点； (2)求直线与平面所成角的正弦值． 【答案】(1)证明见解析 (2) 【详解】（1）底面，平面，故， 又底面为矩形，故，所以两两垂直， 以为原点，的方向分别为轴的正方向，建立空间直角坐标系．    因，，则， 则，，，，， 设，则， 因点在棱上，则， 即，解得，则， 可得，， 由题意，可得， 整理可得，解得， 所以点为棱的中点． （2）由（1）可得：，，， 设平面的法向量为， 则，故可取． 设直线与平面所成角为， 则， 所以直线与平面所成角的正弦值为． 【变式训练】 变式1．（2025·河北唐山·模拟预测）在长方体中，是棱的中点．    (1)求证：平面平面； (2)若异面直线与所成角为，求与平面所成角的正弦值． 【答案】(1)证明见解析 (2) 【详解】（1）依题意，以为原点，以所在直线分别为轴，轴，轴， 建立如图所示空间直角坐标系，不妨设．    依题意得， 则， 所以，则， 又，在平面内，所以平面， 又平面，则平面平面． （2）依题意得． 则， 解得（负值舍去）， 故，则，， 设平面的法向量为，则， 取，则，故； 则， 所以与平面所成角的正弦值为． 变式2．（25-26高二上·新疆乌鲁木齐·月考）如图，在三棱锥中，底面，.点分别为棱的中点，是线段的中点，，.    (1)求证：平面； (2)已知点在棱上，且直线与直线所成角的余弦值为，求线段的长. 【答案】(1)证明见解析 (2) 【详解】（1）连接，交于点，连接，    分别为中点，，，， 又为中点，为中点，，， ，又平面，平面，平面. （2）以为坐标原点，正方向为轴，可建立如图所示空间直角坐标系，    设，则，，，， ，， ，整理可得：， 解得：（舍）或， 的长为. 变式3．（2025·广东广州·模拟预测）如图，在四棱锥中，平面，，，，，为棱的中点，直线与所成角的余弦值为．求： (1)点到直线的距离； (2)二面角的余弦值． 【答案】(1) (2)． 【详解】（1）取的中点，连接， 因为，，所以， 又，所以四边形为平行四边形， 又， 故⊥， 因为平面，平面， 所以， 如图，以A为坐标原点，所在直线分别为轴，轴，轴，建立空间直角坐标系， 设，则， 于是． 设所成的角为， 则， 故，解得， 设点到直线的距离为， 则， 所以． 所以点到直线的距离为． （2）依题意，． 设平面的一个法向量， 则， 解得，令，得，所以， 设平面的一个法向量为， 则， 解得，令，得，则． 设二面角的平面角为，由图知为锐角， 则， 所以二面角的余弦值为． 考点二 已知线面角求其他量 【知识点解析】 1. 直线与平面所成之角（线面角）：若求直线与平面所成之角 （1）表示、、、、五点的坐标. （2）表示与平面两条相交直线所形成的向量. （3）设平面的一个法向量为，利用法向量与平面的所有直线垂直列方程，赋值求解. （4）记直线与平面所成之角为，. 【例题分析】 例1．（25-26高二上·安徽淮北·期末）如图，在四棱锥中，底面是菱形，，是分别以为斜边的等腰直角三角形，是棱上的动点. (1)证明：； (2)若与平面所成角的大小为，求的值. 【答案】(1)证明见解析 (2)2 【详解】（1）证明：因为，是分别以，为斜边的等腰直角三角形， 所以，，且平面，平面，， 所以平面，所以. 因为四边形是菱形，所以. 因为平面，，所以平面，所以. （2）由（1）可知平面，且，所以和是等边三角形， 取棱的中点，连接，易证两两垂直， 故以A为原点，，，的方向分别为x轴，y轴，z轴的正方向，建立如图所示的空间直角坐标系. 设，，，则，，，， 则，，， 所以. 设平面的法向量为，则 令x=，得. 所以==， 整理得，解得或(舍去)，所以=2. 例2．（25-26高三下·重庆沙坪坝·开学考试）如图，圆台的下底面圆的半径为，为圆的内接正方形．为上底面圆上两点，为的中点，且平面平面，． (1)求证：； (2)若，直线与平面所成角正弦值为，求线段长度． 【答案】(1)证明见解析 (2)． 【详解】（1）证明：取的中点，连交于． 在正方形中，由于为的中点， 可得≌，则， 因为，所以， 得到，即． 因为，、平面， 所以平面，又平面，故． 由于平面平面，平面平面，平面， ，故平面，又平面，则 因为平面，所以平面， 又因为平面，则，又点是的中点，故． （2）由于圆的半径为，则正方形的边长为2，又，则． 以为坐标原点，过点作平行的直线分别为轴，轴， 所在的直线为轴建立如图空间直角坐标系． 则， 由于圆半径，为上底面圆上一点设， 故． 设平面的法向量为，由，得 取，故， 设与平面所成角为，则 平方后整理方程得 解得或（舍） 所以． 例3．（2026·广东广州·模拟预测）如图，四棱锥中，平面，为棱上一点，为中点． (1)若，证明：平面； (2)证明：平面； (3)若直线与平面所成角的正弦值为，求． 【答案】(1)证明见解析 (2)证明见解析 (3)或 【详解】（1）由得为中点， 又为的中点，于是， 由平面平面，得平面． （2）因为，所以，可求，由余弦定理得，所以 所以， 由平面平面得PD， 由平面平面可得 平面． （3） 如图，以为坐标原点，过点作平行于方向的直线为轴正方向，的方向为轴正方向，的方向为轴正方向，建立空间直角坐标系，则有， 设，则有，则有 设平面的法向量为， 即，可取， 记直线与平面所成角为, ， 即，整理得， 解得或． 【变式训练】 变式1．（2026·山东青岛·模拟预测）如图，在直三棱柱中，，点P在线段上运动（包含端点），点Q为AC的中点，设平面PBQ与平面的交线为l．    (1)证明：平面ABC； (2)若直线PQ与平面ABC所成角的余弦值为，求； (3)求平面PBQ截直三棱柱所得的截面面积的最大值． 【答案】(1)见解析 (2)1 (3)12 【详解】（1）因为平面平面， 平面平面，平面平面， 所以，平面，平面，所以平面； （2）， 如图，以点为原点，以为轴的正方向，建立空间直角坐标系， 设，，，， 平面的一个法向量为， 设与平面的夹角为， 则， 解得：， 所以；    （3）直线与交于点，连接， 所以平面PBQ截直三棱柱所得的截面为梯形， ，根据（2）可知，，， 则点到的距离， 由，且，所以， 所以是等边三角形，则， 所以平面PBQ截直三棱柱所得的截面的面积，， 恒成立， 所以函数在区间上单调递减，所以的最大值为. 所以平面PBQ截直三棱柱所得的截面面积的最大值为12.    变式2．（2026·黑龙江大庆·二模）如图，在三棱锥中，底面.已知是的中点，且.    (1)证明：平面； (2)若与平面所成角的正弦值为，求平面与平面夹角的余弦值. 【答案】(1)证明见解析 (2) 【详解】（1）因为底面平面，所以. 又平面，所以平面. 又平面，所以. 又为的中点，所以. 因为平面，所以平面. 又平面，所以. 又平面，所以平面. （2）由（1）知，平面，垂足为. 所以为与平面所成的角. 因为底面平面，所以，所以. 由，所以. 所以，所以. 由（1）知，，而，所以. 所以，所以，所以.    以A为原点，过A作垂直于的直线轴，以所 在直线为轴，轴，建立如图所示的空间直角坐标系： 则， 因为为中点，所以. 且. 设平面的一个法向量为， 则，取，则. 平面，所以平面的一个法向量可取. 设平面与平面的夹角为， 则， 故平面与平面夹角的余弦值为. 变式3．（25-26高三上·河南·月考）如图，在三棱台中，平面． (1)若，求三棱台的体积． (2)若直线与平面所成角的正弦值为， （i）求． （ii）三棱台的顶点中，同在一个球面上的点最多有几个？请任选一个包含最多顶点的球面，计算该球的表面积． （注：若选择多个球面分别计算，按第一个结果给分）． 【答案】(1) (2)（i）；（ii）答案见解析 【详解】（1）因为平面平面， 所以，又， 所以． 同理，． 又，所以与都是等腰直角三角形， 故三棱台的体积为 （2）设的中点为，连接．由（1）可知， 所以， 故以为坐标原点，的方向分别为轴的正方向，建立如图所示的空间直角坐标系． （i）设， 由，得． 所以， 所以． 设平面的法向量为， 则， 取． 设直线与平面所成的角为， 则， 所以，解得，所以． 故． （ii）因为侧面和侧面都是直角梯形，不存在外接圆，所以其顶点不可能在同一个球面上，又侧面是等腰梯形，存在外接圆，所以其4个顶点可以在同一个球面上，再加上点或，可知同在一个球面上的点最多有5个． 利用平面几何知识计算可知等腰梯形的外接圆圆心即点，外接圆半径为2． 设所求的球面球心为，半径为，则， 设， 即． ①若选所在的球面： 因为，所以， 即， 解得，此时． ②若选所在的球面： 因为，所以， 即，解得， 此时． 考点三 已知面面角求其他量 【知识点解析】 1. 平面与平面所成之角（二面角）：若求平面与平面所成之角 （1）表示、、、、、五点的坐标. （2）分别表示平面与平面两条相交直线所形成的向量. （3）设平面的一个法向量为，利用法向量与平面的所有直线垂直列方程，赋值求解，同理求平面的一个法向量. （4）记平面与平面所成之角为，. 【例题分析】 例1．（2026·黑龙江哈尔滨·一模）如图，在四棱锥中，底面ABCD为菱形，，分别为CD，PA的中点. (1)证明：平面PBC； (2)若平面平面ABCD，，，，平面PAE与平面PAB夹角的余弦值为，求点到平面PBC的距离. 【答案】(1)证明见解析 (2) 【详解】（1）取PB中点，连接， 分别为的中点， 且，且， ，且，则四边形为平行四边形， ，平面平面， 平面. （2）取AB中点，连接OP，OD，BD 因为，所以， ∵平面平面，面，为交线， 平面，， 为正三角形，， 以为原点，分别以OB，OD，OP为，，轴建系，如图， 设， 则，，，，， 所以， 易知平面PAB的法向量可取， 设平面PAE的法向量为， 因为，令，可取， 所以，解得， 所以，，， 设平面PBC的法向量为， 因为，令，可得， 所以. 例2．（2026·湖南·模拟预测）如图，在三棱锥中，． (1)证明：； (2)若和所在平面垂直，且平面与平面所成角的余弦值为，求． 【答案】(1)证明见解析 (2)或． 【详解】（1）取中点，连接． 因为，所以． 又由题，可得≌，则， 故． 因为平面，所以平面， 又平面，所以. （2）法一：设， 由平面平面且平面平面，由面面垂直的性质定理可知， 可以点为坐标原点，过点垂直于平面的直线为轴，直线为轴， 过点垂直于平面的直线为轴建立空间直角坐标系， 则有， 则， 设平面的一个法向量为， 则有，故可取， 易知平面的一个法向量为， 则，解得， 所以或， 法二：如图，过点作于点，过点作于点，连接． 因为平面平面且平面平面，平面， 所以平面， 又平面，所以． 又，平面， 所以平面，即为平面与平面所成的角， 由题，可知． 设，则， 所以在中，，所以， 在中，， 所以，即， 所以或． 例3．（25-26高二上·安徽·期末）如图，在直三棱柱中，．    (1)求证：为直角三角形； (2)若平面与平面所成角的正弦值为，求的值． 【答案】(1)证明见解析 (2)2 【详解】（1）在直三棱柱中， ，则有， 又，， 在中，由余弦定理可得： ， 解得：， 有，所以， 在直三棱柱中，平面， 平面，所以，， 平面，，所以平面， 平面，，所以为直角三角形. （2）建立以为原点，分别以，， 所在直线为，，轴的空间直角坐标系，    设，则，，，， ，， 设平面的一个法向量为， 则，令，则，，即， ，， 设平面的一个法向量为， 则，令，则，，即， 又面与平面所成角的正弦值为， 所以， 又因此， 即，两边平方可得：， 即，求解可得：， 即或（舍去）. 【变式训练】 变式1．（25-26高三下·重庆沙坪坝·开学考试）如图，、、为圆台下底面圆周上三点，为直径且为上底面圆周上一点，、分别为线段、的中点，且满足：，平面平面. (1)求证：平面； (2)若，满足要求的点有且只有一个，设三棱锥外接球半径为，圆台的高为. （i）求； （ii为上底面圆周上一动点，当平面与平面夹角为时，求点到平面的距离. 【答案】(1)证明见解析 (2)（i）（ii） 【详解】（1）证明：、分别为线段、的中点，有， 因为，所以. 又因为平面平面，平面平面， 平面，所以平面. 平面，所以有， 而在下底面里，是直径，所以， ，平面， 所以平面. （2）由（1）可知，是平面的一个法向量， 因为满足要求的点有且只有一个，所以平面与上底面圆周有且只有一个公共点， 所以上底面圆周在下底面的射影图形与相切于点，底面，即上底面圆的半径， （ⅰ）由（1）可知，为等腰直角三角形， 又，所以易得，，，即圆台高， ，，， 因为三棱锥四个面皆为直角三角形，可知，， 即为三棱锥外接球的球心，所以， 所以. （ⅱ）连接，如图建立空间直角坐标系，则有，，，，， 设，则，，， 设平面的一个法向量为，则有， 取，解得，即， 设平面的一个法向量为，则有， 取，解得，即 所以平面与平面夹角的余弦值为， 设，则前式化简得：， 解得或（舍）， 所以点到平面的距离为： . 变式2．（25-26高二上·新疆和田·期末）如图，在四棱锥中，，，，是对角线与的交点，点满足，且平面. (1)证明：. (2)若二面角的余弦值为， （i）求； （ii）求直线与平面所成角的正弦值. 【答案】(1)证明见详解； (2)（i）4；（ii） 【详解】（1）因为，，，所以, 所以为的角平分线， 又为等腰三角形，所以为的中点，， 因为平面，平面，所以， 又，平面，平面， 所以平面，因为平面，所以. （2）（i）因为，所以，， 因为，所以，， 因为平面，平面，所以， 以为原点，分别为轴，过作平面的垂线为轴建立空间直角坐标系，如图所示： 则，设，则， ， 设平面的法向量为， 则，取，得， 易知为平面的一个法向量， 由题知，，解得（负值舍去），即； （ii）由上可得， 则. 变式3．（25-26高二上·湖北荆州·期末）如图，在四棱锥中，底面为平行四边形，是正三角形，平面． (1)设，求点到平面的距离； (2)若二面角的正弦值为，求的长． 【答案】(1) (2)或2 【详解】（1）平面以为原点，建立如图所示的平面直角坐标系，过点作轴于点． 在平行四边形中，，且． ∴平行四边形为矩形，则． ，． ． 设平面的法向量， 则，可取． 则到平面的距离为． （2）设，则． 设平面的一个法向量为，平面的一个法向量为， 则 ， ， 可取． ，， 故二面角的正弦值为 ， 化简得，即或． 且，或2． 2 学科网（北京）股份有限公司 $