裂项相消法、错位相减法、分组与并项法求和讲义-2025-2026学年高二下学期数学人教B版选择性必修第三册

裂项相消法、错位相减法、分组与并项求和讲义 裂项相消法、错位相减法、分组与并项求和讲义 考点目录 裂项相消法 错位相减法 分组与并项求和 考点一 裂项相消法 【知识点解析】 1. 裂项相消法的基本原理 对于数列，若能将其通项公式拆分为（或）的性质， 则前项和. 2. 裂项的基本模型 （1）等差型：，其中. （2）无理型：，其中. （3）指数型： 3. 常见的裂项公式 （1） （2） （3） （4） （5） （6） 【例题分析】 例1．（25-26高三上·山东济宁·月考）正项数列的前项和满足. (1)求数列的通项公式； (2)令，求数列的前n项和； 【答案】(1) (2) 【详解】（1）由，得. 由于是正项数列，所以，. 当时，， 当时，. 显然，满足， 综上，数列的通项公式为. （2）由于，故 . 例2．（25-26高二下·云南昭通·开学考试）已知数列与满足（），且，． (1)证明：是等差数列． (2)当时，求数列的前项和． 【答案】(1)证明见解析 (2) 【详解】（1）因为，， 所以，． 所以，化简得， 即， 所以是等差数列． （2）由（1）知是公差为1的等差数列，且， 所以，从而， 所以， 所以 例3．（2026·江西·一模）已知数列中，，满足． (1)证明数列是等比数列，并求数列的通项公式： (2)设为数列的前项和，求． 【答案】(1)证明见解析， (2) 【详解】（1）由题意，， 则， ， 所以是以为首项，3为公比的等比数列. 所以，则. （2）由， 则， 所以 即. 例4．（25-26高三上·青海海南·期末）已知数列为等差数列,为其前n项和,,. (1)求数列的通项公式； (2)若,数列的前n项和为，求证：. 【答案】(1) (2)证明见解析 【详解】（1）由题意等差数列中，，，设公差为d， 可得，解得， 故. （2）由（1）可得， 故. 因为，所以， 即得证. 【变式训练】 变式1．（25-26高二上·安徽宣城·期末）已知数列的前n项和为，，（）． (1)求的通项公式； (2)记，数列的前n项和为，若恒成立，求实数的取值范围． 【答案】(1) (2) 【详解】（1）由得：（）， 两式相减得：，即（）， 又时，，（）， 是以为首项，公比的等比数列，. （2）， ， ， 易知，随n增大而增大，的最小值是， 由恒成立，可得，故的取值范围是. 变式2．（25-26高二上·广东广州·期末）已知数列的首项，且满足（）． (1)求证：数列为等差数列； (2)求证：． 【答案】(1)证明见详解 (2)证明见详解 【详解】（1）已知，两边同时除以，得：， 令，则上式可写为：，则是公差为的等差数列， 首项，因此，数列是首项为，公差为的等差数列. （2）由上一小问可知，即：， 因此， 对和式进行裂项相消：， 继续化简可得， 因为，所以，即. 变式3．（25-26高三下·浙江·开学考试）已知公差不为零的等差数列的前5项和为35，且，，成等比数列． (1)求数列的通项公式； (2)数列满足，求证：． 【答案】(1) (2)证明见解析 【详解】（1）设数列的通项公式为，， 由，故； 又，，成等比数列，故，解得， 因为，故. 代入可得，，. 故. （2）， 故. 变式4．（25-26高二上·江苏徐州·期末）已知等差数列的前项和为. (1)求数列的通项公式； (2)求数列的前100项和. 【答案】(1) (2) 【详解】（1）设的公差为，则，解得，， 所以， 即数列的通项公式为. （2）由（1）可得，， 所以数列的前100项和为. 考点二 错位相减法 【知识点解析】 1.错位相减法 错位相减法是数列求和的核心方法之一，专门用于解决「等差数列 × 等比数列」形式的数列求和问题（即 “差比数列” 求和）.其核心逻辑是通过 “乘以公比、错位对齐、相减消项”，将复杂的求和转化为等比数列求和，最终简化计算. 2.错位相减法的处理步骤 设等差×等比型数列通项（为常数，），前项和，步骤如下： （1）写原式：列出的展开式，按项依次排列； （2）乘公比：两边同乘等比数列公比，得到，关键：将的每一项向右错位一位（让与对齐）； （3）作差：用（或，建议前者，减少符号错误），得到； （4）化简：作差后，首项为原式第一项，末项为原式最后一项的相反数，中间项为等比数列，用等比数列求和公式（为项数）计算； （5）求：将的结果两边同除以，整理化简得到最终的。 【例题分析】 例1．（2026·吉林通化·模拟预测）已知等差数列的前n项和为，且，． (1)求数列的通项公式； (2)数列满足，求数列的前n项和． 【答案】(1) (2) 【详解】（1）设的公差为d，则由题有， 、，所以． （2）由（1）得，， 所以， 所以， 两式相减得， 即， 解得． 例2．（25-26高二下·海南省直辖县级单位·开学考试）在正项等比数列中，，. (1)求的公比； (2)设，求数列的前项和. 【答案】(1) (2) 【详解】（1）由题意得，且， 得到，又因为，所以，解得. （2）由（1）知，， 则， 可得， 两式相减得 ，故. 例3．（2026·河南·模拟预测）已知数列的前n项和为，且，． (1)求数列的通项公式； (2)数列满足，求数列的前n项和． 【答案】(1) (2) 【详解】（1）因为，所以数列为等差数列， 设数列的公差为d，且，则，解得， 又，所以，即， 则，解得， 所以； （2）由（1）可知，， 所以， 则， 两式相减可得：， 即， 化简可得：. 例4．（25-26高二下·安徽·开学考试）记数列的前项和为，已知. (1)证明：是等比数列； (2)设，求数列的前项和. 【答案】(1)证明见解析 (2) 【详解】（1）由题意得：当时，， 当时，由有：， 所以，即，所以， 所以， 所以数列是以为公比，首项为的等比数列； （2）由（1）有， 所以， 所以①， ②， 由①②有： ， 所以. 【变式训练】 变式1．（25-26高三下·云南楚雄·开学考试）已知数列是递增等差数列，，且是和的等比中项；为数列的前项和，且，． (1)求数列和的通项公式； (2)，求数列的前项和． 【答案】(1)， (2) 【详解】解：（1）设等差数列的公差为， 由，且是和的等比中项得，， 整理得，，解得或． 因为数列是递增等差数列，所以． 所以，故． 数列前项和为，且满足①， 当时，，解得； 当时，②， ①②得，，即． 因为，所以数列是首项为2，公比为2的等比数列，则， 所以． （2）由（1）得，， 所以， 等式两边同乘以2得，， 两式相减得，， 所以， 则． 变式2．（25-26高二下·浙江·开学考试）已知数列，若数列是等比数列，且满足. (1)求数列的通项公式； (2)令，求的前项和. 【答案】(1)； (2) 【详解】（1）当时，，故； 当时，，由数列是等比数列，得， 所以，； 由， 得时，， 两式相除可得，， 故，， 由累加法可得， 又当时，也适合上式， . （2）， 所以，① ①-②得：， . 另解 所以， . 变式3．（25-26高二上·山西运城·期末）已知数列的首项，且. (1)证明：数列是等差数列； (2)令，求数列的前项和. 【答案】(1)证明见解析 (2). 【详解】（1）因为，，所以， 所以， 所以， 又，所以数列是首项为，公差为的等差数列； （2）由（1）可得：，则， 所以 ① ， 则 ②， 两式相减得：， 所以， 所以. 变式4．（25-26高二上·河北石家庄·期末）已知数列中，． (1)证明数列是等差数列， (2)求的通项公式； (3)设，求的前项和． 【答案】(1)证明见解析 (2) (3) 【详解】（1）证明：当时，， 所以， 又，所以， 故是以2为首项，3为公差的等差数列， （2）由（1） 故，所以，． （3）由题意， 所以， 令，① 则② ①-②得： 故， 所以． 考点三 分组与并项求和 【知识点解析】 1. 分组求和法： （1）记的前项和为，记的前项和为，记的前项和为. （2）分别求与. （3）. 2. 并项求和法：对于数列，若其项满足相邻几项的和具有规律性（如和为常数、成等差或等比数列），则可将这些项两两（或三三）合并为一组，转化为对新数列的求和. （1）观察项的规律：分析数列项的符号、数值或周期特征，判断是否可合并（如正负交替、周期重复）。 （2）确定并项方式：根据规律选择两两并项、三三并项或按周期并项（如每 2 项、每 3 项一组）。 （3）处理奇偶项差异：若数列项数的奇偶性影响并项结果（如正负交替型），需分情况讨论。 （4）转化为新数列求和：将合并后的项视为新数列，利用等差、等比数列求和公式或其他方法计算。 【例题分析】 例1．（2026·山西大同·一模）已知数列的前项和为，，. (1)求数列的通项公式； (2)求数列的前项和. 【答案】(1) (2) 【详解】（1）因为，所以，， 两式相减，得，即，故， 当时，，所以，满足， 所以数列为以为首项，4为公比的等比数列， 所以. （2）由（1）得， 所以数列的前项和 . 例2．（25-26高三下·安徽·开学考试）已知等差数列的前项和为，且. (1)求数列的通项公式； (2)若，求数列的前项和. 【答案】(1) (2) 【详解】（1）数列为等差数列，设首项为，公差为对恒成立， 必有， 所以，解得 所以 即数列的通项公式为. （2） . 例3．（25-26高二上·上海宝山·期末）已知为等差数列，为等比数列，满足， (1)求和通项公式； (2)记，为的前项和，求，并求出的最小值. 【答案】(1)，； (2)，最小值为. 【详解】（1）由题，所以，即， 所以； 又，所以，即，所以； （2）由，分组求和可得. 法一：若为最小值，则有， 即， 解得，易知数列，为递增数列， 当时，不等式组成立，即当时，取得最小值. 法二：当时， ， 易知为递增数列，当时，，即； 当时，，即； 所以，即当时，取得最小值. 例4．（25-26高二上·北京丰台·期末）已知数列是等差数列，数列是等比数列，，，. (1)求，的通项公式； (2)求数列的前项和. 【答案】(1)； (2) 【详解】（1）设等差数列的公差为，等比数列的公比为， 由题意得，解得或（舍去）， 所以，； （2） . 【变式训练】 变式1．（25-26高二上·浙江绍兴·期末）已知数列是公差不为的等差数列，且， 成等比数列. (1)数列的通项公式； (2)若等比数列的前两项为，求数列的通项公式，并求出数列的前项和. 【答案】(1) (2)，. 【详解】（1）设等差数列的公差为， 由得：，即， 又成等比数列，所以，即， 也即， 解得：（舍去）或， 所以， 所以数列的通项公式为. （2）由，，则， 所以等比数列的首项为， 所以等比数列的公比为， 所以等比数列的通项公式为：， 由，则， 所以 . 变式2．（25-26高二上·河北石家庄·期末）已知等比数列的前n项和为，且满足 (1)求数列的通项公式； (2)令求数列的前n项和. 【答案】(1) (2) 【详解】（1）设等比数列的公比为q， ①当时，由题意得方程无解，不合题意； ②当时，由题意得， 由①②，可得， 解得，代入①，解得，则， 故数列的通项公式为 （2）因 . 则 . 变式3．（25-26高二上·陕西西安·期末）已知在数列中，，， (1)求数列的通项公式； (2)求证：数列是等比数列； (3)求数列的前项和. 【答案】(1) (2)证明见解析 (3) 【详解】（1）因为，则（常数）， 可知数列构成公差为2的等差数列，首项， 所以数列的通项公式为； （2）证明：若，则由（1）的结论，可得， 因为（常数），且， 所以数列是首项为4，且公比的等比数列； （3）由（1）和（2）得，， 所以 . 即. 变式4．（25-26高三上·江苏盐城·期末）设等差数列的前项和为，已知． (1)求数列的通项公式； (2)记，求数列的前项和． 【答案】(1) (2) 【详解】（1）设等差数列的首项为，公差为， 由得，解得， 所以， 即数列的通项公式为. （2）由（1）知，所以， 因为， 所以数列的前项和 2 学科网（北京）股份有限公司 $裂项相消法、错位相减法、分组与并项求和讲义 裂项相消法、错位相减法、分组与并项求和讲义 考点目录 裂项相消法 错位相减法 分组与并项求和 考点一 裂项相消法 【知识点解析】 1.裂项相消法的基本原理 对于数列{an},若能将其通项公式a,拆分为an=bn+1-bn(或an=bn-bn+1）的性质， 则前n项和Sn=a+a2+a3+…+an=(b2-b)+(b3-b2)+(b-b)+.+(bn+1-bn)=bn+1-b 2.裂项的基本模型 m（1-,1,其中元>4. (1D等差型：a,n+2m+四)元-μn+ukn+入 m (2)无理型：an= √kn+λ+√kn+u元- m_(Nm+元-√km+u),其中元>μ. m·a" m11 3)指数型：a,=a+元a+万a-(a+元a+元) 3.常见的裂项公式 111 (1) n(n+1)nn+1 (2) 111 (2n+1)(2n-1)22n-12n+1 (3) =Vn+l-√n Vn+l+√n 42n+1+v2m2mi-2n可 1 2” 11 5》2+12+02°+12+1 裂项相消法、错位相减法、分组与并项求和讲义 3” 11 (6) 1 (3”+1)3m+1+1)23”+13m1+1 【例题分析】 例1.(25-26高三上山东济宁月考)正项数列an}的前n项和Sn满足S%-n2+n-1Sn-n2+n)=0. (I)求数列{an}的通项公式： n+1 (2)令bn= n+2”G,求数列6，}的前n项和7， 例2.(25-26高二下·云南昭通开学考试)已知数列{an}与{bn}满足an=an-bn(n≥2)，且an+bn=1,0<an<1. (1)证明： 是等差数列. 2)当a=2时，求数列{ab}的前项和S,. 裂项相消法、错位相减法、分组与并项求和讲义 例3.(2026江西.一模)已知数列an}中，a=1,满足an1-3a,-1=0(n∈N) .1 ()证明数列a,+2} 是等比数列，并求数列an}的通项公式： (2)设b。=log,2an+1,Tn为数列 2的前项和，求T bbr 例4.(25-26高三上·青海海南期末)己知数列an}为等差数列，Sn为其前n项和，a2=4,S,=56 (I)求数列{an}的通项公式： ②者6。数列6的前n项和为工，求证：乙<号 andn+ 裂项相消法、错位相减法、分组与并项求和讲义 【变式训练】 变式1.(25-26高二上安徽宣城期末)已知数列{an}的前n项和为Sn,a=2,an+1=2Sn+2(neN). (I)求{an}的通项公式： (2)记b,=0,+1,数列 an b.b 的前n项和为Tn,若T,≥入恒成立，求实数1的取值范围. 变式2.(2526高二上广东广州期末)已知数列a,的首项a,=3,且满足a=n+3)4+n+3)(nN). n+2 ①求证：数列a为等差数列： n+2 ，13 裂项相消法、错位相减法、分组与并项求和讲义 变式3.(25-26高三下…浙江开学考试)已知公差不为零的等差数列{an}的前5项和为35，且a,42,a.成等比数 列 (1)求数列{an}的通项公式； ②数列6满足么=，求证：么+6+…+么<行 aan+ 变式4.(25-26高二上江苏徐州期末)已知等差数列{an}的前项和为Sn,a4+a,=22,S。=54 (I)求数列{an}的通项公式： (2)求数列 6的前100项和 a an 裂项相消法、错位相减法、分组与并项求和讲义 考点二 错位相减法 【知识点解析】 1.错位相减法 错位相减法是数列求和的核心方法之一，专门用于解决「等差数列×等比数列」形式的数列求和问题（即“差 比数列”求和).其核心逻辑是通过“乘以公比、错位对齐、相减消项”，将复杂的求和转化为等比数列求和， 最终简化计算. 2.错位相减法的处理步骤 设等差×等比型数列通项an=(an+b)g(a,b为常数，q≠0,1)，前n项和Sn=a1十a2十a3+十an, 步骤如下： (1)写原式：列出Sn的展开式，按项依次排列： (2)乘公比：两边同乘等比数列公比9，得到qS,关键：将qS的每一项向右错位一位（让qk与q+1对齐）； (3)作差：用Sn-qSn(或9Sn-Sn,建议前者，减少符号错误)，得到(1-qSn (4)化简：作差后，首项为原式第一项，末项为原式最后一项的相反数，中间项为等比数列，用等比数列求和公 式S等此= 首项x(上g （m为项数)计算； (5)求Sn:将(1-q)Sn的结果两边同除以1-q,整理化简得到最终的Sn 【例题分析】 例1.(2026吉林通化模拟预测)已知等差数列{an}的前n项和为Sn,且S。=4S3,a4=2a2+1. 1)求数列{an}的通项公式； “a (2)数列(b}满足bn= 求数列{abn}的前n项和Tn, 6 裂项相消法、错位相减法、分组与并项求和讲义 例2.（25-26高二下·海南省直辖县级单位·开学考试)在正项等比数列an}中，a1=1,a2a4=9 (1)求{an}的公比q; (2)设bn=2n+1)a2m+1,求数列{bn}的前n项和Sn. 例3.(2026河南模拟预测)已知数列{an}的前n项和为Sn,a+2=2a+1-an,n∈N,且S6=4S,a2m=2an+1. (1)求数列{an}的通项公式： ②藏列6满E-日八 求数列{a,bn}的前n项和T. 裂项相消法、错位相减法、分组与并项求和讲义 例4.(25-26高二下.安微开学考试)记数列{an}的前n项和为Sn,已知2Sn+an=2n+2 (1)证明：{a。-1}是等比数列； (②)设b,=n(an-1,求数列{bn}的前项和T 【变式训练】 变式1.(25-26高三下·云南楚雄·开学考试)已知数列an}是递增等差数列，a2=3,且4是a,和a13的等比中项； Sn为数列{b,}的前n项和，且S。=2b-n,n∈N. (1)求数列{an}和{bn}的通项公式： (2)c,=（an-1)(bn+1),求数列cn}的前n项和T,. 6 裂项相消法、错位相减法、分组与并项求和讲义 变式2.(25-26高二下·浙江开学考试)已知数列an}、b,},41=b,=3,若数列an}是等比数列，且满足 01a203…an=3」 (I)求数列{an}、{b}的通项公式； 2b,,求c的前项和S ②令cn+ia 变式3.(25-26高二上山西运城期末)己知数列{an}的首项4，=1，且a+1= 2a 0n+20 2" (1)证明：数列 是等差数列： (2)令b.=一，求数列{b}的前n项和Sn. a 0 裂项相消法、错位相减法、分组与并项求和讲义 变式4.(25-26高二上河北石家庄期末)己知数列{a}中，a=4,a。=a-1+2-+3(n≥2，n∈N). (1)证明数列{a,-2”}是等差数列， (2)求{an}的通项公式： (3)设。，=受，求九的前项和S, 9