7.1.2正弦函数的性质（第1课时）（教学课件）高一数学沪教版必修第二册

第七章 三角函数 7.1 正弦函数的图像与性质 7.1.2 正弦函数的性质（第1课时） 学 习 目 标 1 2 3 理解周期函数、最小正周期的定义，掌握正弦函数最小正周期为的推导过程； 能熟练运用换元法和公式求型函数的最小正周期，会解决已知最小正周期求参数的问题； 正弦函数最小正周期的推导、复合型三角函数周期的探究，培养学生的抽象概括能力、逻辑推理能力和数学运算能力 新课引入 观察视频中图像的运动，你会发现该图像的特征是什么？ 本节课我们将要研究以下问题： 视频中的图像在不断的重复、循环 在数学中，函数值随自变量变化呈现‘重复出现’的规律，称为周期性，正弦函数是典型的周期函数. ①什么是周期函数？②正弦函数的最小正周期是多少？③复合型正弦函数的周期怎么求？ 新知探究 探究一：周期函数、最小正周期的定义 观察图像，当 增加多少时，函数图像会完全重复？对应的函数值有什么关系？ 增加，函数值不变 数学表达式： 对于函数，如果存在一个非零常数 ，使得当 取定义域内的每一个值时， 都成立 那么函数叫做周期函数，非零常数 叫做这个函数的一个周期。 由此我们可以总结出周期函数的定义： 新知探究 周期函数的周期有无数个（如等），在所有正周期中，最小的那个正数叫做函数的最小正周期. 想一想：是不是的周期？ 不是； 如： 时， 注：是的最小正周期 即时训练 1.判断题：下列说法正确的是（ ） A. 是的一个周期 B. 的周期只有、、 C. 所有周期函数都有最小正周期 D. 的最小正周期为 【解析】 A：由周期定义，对任意，，故是其一个周期，正确； B：的周期为 ()，包含负周期如，错误； C：反例：常函数 (为常数) 是周期函数，但无最小正周期，错误； D：中，最小正周期为，系数不影响周期，错误. A 知识小结 周期函数、最小正周期的定义 ①周期函数的定义： 对于函数，如果存在一个非零常数 ，使得当 取定义域内的每一个值时， 都成立 那么函数叫做周期函数，非零常数 叫做这个函数的一个周期。 ②最小正周期： 在所有正周期中，最小的那个正数叫做函数的最小正周期. 探究二：正弦函数最小正周期的推导 新知探究 我们知道是正弦函数的一个正周期，如何证明它是最小正周期？即不存在小于的正周期。 推导过程： 假设存在,使得对, 成立. 令,则 结合,得 但验证得 ,与假设矛盾 故不存在小于的正周期 结论： ()的最小正周期为 典例分析 例1 求下列函数 的最小正周期： (1) ； (2) . 【分析】根据正弦函数的周期性质 ，将函数变形为，从而求出最小正周期. 解： (1) 因为对于函数 的定义域 内任意给定的实数 ，有 所以 是函数 的一个正周期. 此外， 也是函数 的最小正周期. 典例分析 事实上，令 ， 可改写为 其以 为自变量的最小正周期为 ． 返回到 变量，因 故 的最小正周期为 ． （2）因为对于函数 的定义域 内任意给定的实数 ，有 典例分析 所以 是函数 的一个正周期． 此外，也是函数y=2的 最小正周期. 事实上，令 原来的函数可改写为, 其以为自变量的最小正周期为 2 返回到变量，因 故原来函数的最小正周期为 4π. 新知探究 探究三：复合型正弦函数的周期探究 结合以上例题,观察的绝对值与周期的关系，能否归纳出 ()的最小正周期公式？ 以上例题利用换元法： 将整体换元为， 把复合型正弦函数转化为基本正弦函数，利用基本正弦函数的周期求原函数周期. 最小正周期公式：, 无论为正还是负，均取绝对值 即时训练 1.求下列函数的最小正周期： （1）；（3）；（3） 【分析】①找准解析式中的；②牢记公式中取绝对值；③明确常数项、相位不影响函数周期. 解：（1），代入公式得； （2），代入公式得； （3）常数项 4、相位不影响周期，，得. 知识小结 复合型正弦函数的周期 核心公式： 无论为正还是负，均取绝对值 典例分析 例2 已知函数 (其中常数 ) 的最小正周期是 2，求 的值. 【分析】根据正弦函数的周期性质 ，将函数变形为 ，从而求出最小正周期 . 所以， 的值为 . 解：当 时，函数 的最小正周期为 由此解得 . 当 时， ，函数 其最小正周期为 ，由此解得 . 典例分析 例3 对于函数 ，当 时， 能否成立？如果成立，那么 是不是 的周期？为什么？ 【分析】利用正弦型函数周期公式，结合已知周期 2，分情况求解得到 解：当 时， 故当 时， 成立. 典例分析 但是， 不是 的周期. 事实上， 并不是对函数 的定义域中一切给定的实数 都成立。 例如，当 时，. 题型1 概念易错辨析题 1.当时，成立，请问是不是的周期？请说明理由. 【分析】判断周期的唯一依据：定义域内所有 满足，而非某一个 . 解：不是的周期. 取，则 即存在不满足等式，故不是其周期。 理由：根据周期函数的定义，若是函数的周期 需对定义域内的每一个，都满足 题型2 化简推导与参数求解 2.已知函数,求实数的值。 【分析】已知周期求参数时， 直接用公式列方程，避免分类讨论. 解：令,由周期公式得 则或,解得或 结合条件,故。 题型3 实际情境建模 3.某海水的潮汐高度 （单位：m）与时间 （单位：小时）的函数关系为 ，求海水潮汐变化的最小正周期，并说明其实际意义。 【分析】结合题目给出的单位换算、刻度信息，将实际量转化为数学计算；若给出实际问题的函数解析式，直接套用​计算. 解：，代入公式得 （小时） 实际意义：海水的潮汐高度每 12 小时会重复出现一次，即潮汐的涨落规律以 12 小时为一个周期. 拓展提升 4.已知函数是周期为的周期函数，且当时，，求的值。 【分析】利用周期性求函数值：将自变量转化为[0,2π)内的等价量，再代入已知解析式计算。 解：的周期为，故， 将变形：， 其中，故 当时，， 故，即 一起来看看这节课我们学到了些什么？ 点击此处，进入本节课的课堂总结 要点回顾 课堂总结 感谢聆听! 课堂小结 正弦函数的性质：周期性 📚 知识点回顾 ⚠️ 易错点警示 💡 解题技巧 🔊 播放引导 01 核心定义与公式 周期函数的定义 对于函数 f(x)，如果存在一个非零常数 T，使得当 x 取定义域内的每一个值时，都有： f(x + T) = f(x) 那么函数 f(x) 叫做周期函数，T 叫做这个函数的周期。 最小正周期 如果在周期函数的所有周期中存在一个最小的正数，那么这个最小正数就叫做 f(x) 的最小正周期。 正弦函数的周期性 正弦函数 y = sin x 是周期函数，它的周期是 2kπ (k ∈ Z 且 k ≠ 0)。 正弦函数 y = sin x 的最小正周期是 2π。 函数 y = A sin(ωx + φ) (其中 A, ω, φ 为常数，且 A ≠ 0, ω ≠ 0) 的最小正周期公式为： T = 2π |ω| 02 易错点警示 🚫 忽视“任意”二字 f(x + T) = f(x) 必须对定义域内的每一个 x 都成立，仅个别点成立不能说明是周期函数。 🚫 误认为所有周期函数都有最小正周期 常数函数 f(x) = C 是周期函数，但它没有最小正周期。 🚫 混淆 ω 与周期 T 的关系 周期 T 只与 ω 的绝对值有关，与 A 和 φ 无关。注意公式中分母是 |ω| 而不是 ω。 🚫 定义域陷阱 周期函数的定义域必须是无界的（至少向两端无限延伸）。如果定义域是有限区间，则不具有周期性。 03 解题技巧与模型 1. 公式法求周期 对于形如 y = A sin(ωx + φ) 的函数，直接利用公式： T = 2π |ω| 注：若函数较为复杂（如包含绝对值或平方），可先利用三角恒等变换化简为标准形式，或利用图像判断。 2. 定义法（抽象函数） 若题目给出抽象函数满足 f(x + a) = -f(x)，则推导： f(x + 2a) = -f(x + a) = f(x) 故周期 T = 2a。 3. 数形结合（图像法） 画出函数图像，观察图像重复出现的最小间隔长度，即为最小正周期。特别适用于含绝对值的函数，如 y = |sin x|。 $