专题08 解三角形结合三角函数及几何图形问题（压轴题2大类型专项训练）高一数学人教A版必修二

专题08 解三角形结合三角函数及几何图形问题 目录（Ctrl并单击鼠标可跟踪链接） 典例详解 1 类型一、解三角形结合三角函数公式应用 1 类型二、几何图形中解三角形 3 压轴专练 5 类型一、解三角形结合三角函数公式应用 1、两角和与差的正余弦与正切 ①； ②； ③； 2、二倍角公式 ①； ②； ③； 3、降幂公式 4、辅助角公式 （其中）． 5、三角形角的关系 （1）中，, = （2）， （3）， 1．在中，内角的对边分别为，且，则（    ） A． B． C． D． 2．在锐角中，角的对边分别为，为的面积，，且，则的周长的取值范围是（    ） A． B． C． D． 3．（24-25高一下·河南·月考）（多选题）在锐角中，内角，，的对边分别为，，，若，且，则（   ） A． B．的取值范围为 C．的最大值为2 D．的取值范围为 4．钝角中，角的对边分别为，，，若，则的最大值是_________. 5．（25-26高一下·全国·课后作业）在中，角A，B，C的对边分别为a，b，c，且. (1)求角A的大小； (2)若的外接圆半径，且，求的周长． 6．（23-24高一下·湖南常德·期中）已知向量. (1)求的取值范围； (2)记，在中，角的对边分别为且满足，求函数的值域. 7．（24-25高一下·河北石家庄·月考）在中，角所对的边分别为，已知且． (1)求角的大小． (2)若的面积为，求的周长． (3)若为锐角三角形，求的取值范围． 8．（23-24高一下·湖南衡阳·月考）在锐角中，内角的对边分别为，且. (1)求； (2)若是边上一点（不包括端点），且，求的取值范围. 类型二、几何图形中解三角形 解决三角形图形类问题的方法 方法一：两次应用余弦定理是一种典型的方法，充分利用了三角形的性质和正余弦定理的性质解题； 方法二：等面积法是一种常用的方法，很多数学问题利用等面积法使得问题转化为更为简单的问题，相似是三角形中的常用思路； 方法三：正弦定理和余弦定理相结合是解三角形问题的常用思路； 方法四：构造辅助线作出相似三角形，结合余弦定理和相似三角形是一种确定边长比例关系的不错选择； 方法五：平面向量是解决几何问题的一种重要方法，充分利用平面向量基本定理和向量的运算法则可以将其与余弦定理充分结合到一起； 方法六：建立平面直角坐标系是解析几何的思路，利用此方法数形结合充分挖掘几何性质使得问题更加直观化. 1．（25-26高一下·全国·课堂例题）如图，在梯形中，，，，，，求梯形的高. 2．（25-26高一下·全国·课后作业）如图所示，中，，是上一点，且．求的大小． 3．（25-26高一下·全国·课后作业）在四边形中，，，四个角A，B，C，D的度数的比为，求的长． 4．如图，在中，，，点在上，， . (1)求； (2)求. 5．如图，平面凸四边形中，，且是边长为2的等边三角形.    (1)若，求. (2)若线段（不含端点）上存在动点，满足，记，求关于的函数. 6．（2026高一下·全国·专题练习）记是内角，，的对边分别为，，．已知，点在边上，． (1)证明：； (2)若，求. 7．如图，在平面四边形ABCD中，．    (1)若，求四边形的面积； (2)求四边形面积的最大值． 1．（24-25高一下·吉林松原·期末）在中，已知，是边上一点，如图，，，，则（    ） A． B． C． D． 2．（23-24高一下·山西长治·期末）在中，角，，所对应的边分别为，，，，，则（    ） A． B． C．2 D． 3．已知的内角的对边分别为，若，则（    ） A． B．2 C．3 D．4 4．（24-25高一下·辽宁沈阳·期中）在中，角所对的边分别为，若，为边的中点，，则的取值范围是（    ） A． B． C． D． 5．（25-26高一上·福建莆田·期末）已知满足，，点在线段上，且，则______． 6．在中，角A，B，C所对边分别为a，b，c，且满足． (1)求角C的大小； (2)若点D在边AB上，且满足，求的值． 7．如图，的内角A，B，C的对边分别为a，b，c，，D为边BC上一点，且，． (1)证明：； (2)求的值； (3)求的面积． 8．如图，在四边形中，，，且的外接圆半径为4. (1)若，，求的面积； (2)若，求的最大值. 9．（24-25高一下·四川凉山·期中）已知. (1)求函数的单调增区间； (2)若，求的值； (3)在锐角中，内角的对边分别为，若，求的取值范围. 10．（25-26高一上·广东广州·期末）如图，在中，，点在线段上，，且． (1)求和的值； (2)的角平分线与相交于，求的长度． 11．记钝角的内角的对边分别为，已知． (1)若，求； (2)求的取值范围． 12．（23-24高一下·广西钦州·期末）记的内角，，的对边分别是，，，已知. (1)求角； (2)若，求面积的最大值； (3)已知点在边上，，，，求的长. 13．（24-25高一下·江苏无锡·期中）在中，角的对边分别为，已知． (1)求A的值； (2)若为锐角三角形，求的取值范围； (3)若为锐角三角形，且的面积为，求的取值范围． 1 / 10 学科网（北京）股份有限公司 $ 专题08 解三角形结合三角函数及几何图形问题 目录（Ctrl并单击鼠标可跟踪链接） 典例详解 1 类型一、解三角形结合三角函数公式应用 1 类型二、几何图形中解三角形 9 压轴专练 16 类型一、解三角形结合三角函数公式应用 1、两角和与差的正余弦与正切 ①； ②； ③； 2、二倍角公式 ①； ②； ③； 3、降幂公式 4、辅助角公式 （其中）． 5、三角形角的关系 （1）中，, = （2）， （3）， 1．在中，内角的对边分别为，且，则（    ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】利用正弦定理化边为角，根据诱导公式和二倍角公式化简求出角，最后通过余弦定理确定选项. 【详解】由和正弦定理，可得， 因，则，故得，即， 因，则，故得，解得，故，故A，C错误； 由余弦定理可得，故B正确，D错误. 故选：B. 2．在锐角中，角的对边分别为，为的面积，，且，则的周长的取值范围是（    ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】利用面积公式和余弦定理可得，然后根据正弦定理及三角变换可得，再根据三角形是锐角三角形，得到的范围，转化为三角函数求值域的问题. 【详解】， ， ∴，即，为锐角， ∴，又， 由正弦定理可得， 所以 ，其中，， 因为为锐角三角形， 所以，则， 即：， 所以，又， ∴，即， 故的周长的取值范围是. 故选：C. 3．（24-25高一下·河南·月考）（多选题）在锐角中，内角，，的对边分别为，，，若，且，则（   ） A． B．的取值范围为 C．的最大值为2 D．的取值范围为 【答案】ACD 【分析】对A：转化已知条件求得，结合，从而求得；对B：利用正弦定理和角度关系，求得关于的函数关系，结合的范围，求其值域即可；对C：利用余弦定理，求得的齐次式，结合基本不等式，即可求解；对D：将转化为关于的函数，结合的范围，求其值域即可. 【详解】对A：，即，， 所以，故，又为锐角三角形，，故，A正确； 对B：由A可知，，故，由正弦定理，可得， 故可得，又，故，则； 由为锐角三角形可得：，解得，故， 则，则，故B错误； 对C：由余弦定理可得， 等式两边同除可得：，所以，解得， 当且仅当，即时取得等号，故C正确； 对D：，故， 故； 由B可知，又，故，，， 也即的取值范围为，故D正确. 故选：ACD. 4．钝角中，角的对边分别为，，，若，则的最大值是_________. 【答案】 【分析】根据题意，得到，结合是钝角三角形矛盾，得到，化简，结合三角函数的性质，即可求解. 【详解】因为，由正弦定理得， 又因为，可得，所以，则或. 当时，可得，与是钝角三角形矛盾，所以， 由，则，可得， 所以 ， 所以当时，的最大值为. 故答案为：. 5．（25-26高一下·全国·课后作业）在中，角A，B，C的对边分别为a，b，c，且. (1)求角A的大小； (2)若的外接圆半径，且，求的周长． 【答案】(1) (2) 【分析】（1）由题可得，从而得到，求出角A的大小； （2）由正弦定理及得，根据余弦定理列出关于的方程，求出，即可得的周长． 【详解】（1）， ， 即，， 又，． （2），， ， ∴由余弦定理，得， ，即 ，. ∴周长为． 6．（23-24高一下·湖南常德·期中）已知向量. (1)求的取值范围； (2)记，在中，角的对边分别为且满足，求函数的值域. 【答案】(1) (2) 【分析】（1）根据题意，求得，结合二次函数的性质，即可求解； （2）根据题意，求得，再由，利用正弦定理求得，得到，得到，进而求得的取值范围. 【详解】（1）（1）因为， 可得 ， 因为，所以. （2）解：由题意得 ，可得， 因为，由正弦定理得， 所以，所以， 又因为，则，且，所以， 因为，所以，所以，则， 则，所以函数的值域是. 7．（24-25高一下·河北石家庄·月考）在中，角所对的边分别为，已知且． (1)求角的大小． (2)若的面积为，求的周长． (3)若为锐角三角形，求的取值范围． 【答案】(1)； (2)； (3). 【分析】（1）由正弦边角关系及和角正弦公式得，再由三角形内角的性质及辅助角公式得，即可得； （2）由三角形面积公式得，再应用余弦定理求边长，即可得； （3）由题设得、，再应用三角恒等变换有，最后由正弦型函数的性质求范围. 【详解】（1）由题设及正弦边角关系，知， 又， 所以，又， 则，即， 因为，所以，所以，即； （2）由题设，则， 所以， 所以三角形周长为； （3）由（1）知，则，而，得， 所以， 而，故，则的范围为. 8．（23-24高一下·湖南衡阳·月考）在锐角中，内角的对边分别为，且. (1)求； (2)若是边上一点（不包括端点），且，求的取值范围. 【答案】(1) (2) 【分析】（1）根据题意，利用正弦定理和三角形的内角和定理，化简得到，进而求得，即可求解. （2）不妨设，在中，利用正弦定理，化简得到，根据题意，结合正切函数的性质，即可求解. 【详解】（1）解：因为，由正弦定理得， 又因为，可得，所以， 又由，可得，所以，所以， 解得或（舍去）， 因为，所以. （2）解：不妨设，则， 在中，可得， 因为是锐角三角形，所以且， 则，所以，可得， 所以，所以.    类型二、几何图形中解三角形 解决三角形图形类问题的方法 方法一：两次应用余弦定理是一种典型的方法，充分利用了三角形的性质和正余弦定理的性质解题； 方法二：等面积法是一种常用的方法，很多数学问题利用等面积法使得问题转化为更为简单的问题，相似是三角形中的常用思路； 方法三：正弦定理和余弦定理相结合是解三角形问题的常用思路； 方法四：构造辅助线作出相似三角形，结合余弦定理和相似三角形是一种确定边长比例关系的不错选择； 方法五：平面向量是解决几何问题的一种重要方法，充分利用平面向量基本定理和向量的运算法则可以将其与余弦定理充分结合到一起； 方法六：建立平面直角坐标系是解析几何的思路，利用此方法数形结合充分挖掘几何性质使得问题更加直观化. 1．（25-26高一下·全国·课堂例题）如图，在梯形中，，，，，，求梯形的高. 【答案】 【分析】根据平行可得，在中，由余弦定理可求得，进而可得梯形的高. 【详解】，，. 在中，，，， 由余弦定理，得 ， 即， 整理得， 解得或（舍去）. ，即梯形的高为. 2．（25-26高一下·全国·课后作业）如图所示，中，，是上一点，且．求的大小． 【答案】 【分析】利用已知角的余弦值结合三角形内角关系求出相应角的正弦值，再利用两角和的余弦公式计算求解． 【详解】已知，，， ，， ， ， ． 3．（25-26高一下·全国·课后作业）在四边形中，，，四个角A，B，C，D的度数的比为，求的长． 【答案】 【分析】先由四边形的四个角的度数比及内角和可得四个角的值，再通过连构造两个三角形，在中由余弦定理可得，进而在中用正弦定理可得所求边的值. 【详解】设四个角A，B，C，D的度数分别为，，，， 则由四边形的内角和定理有，解得， 所以，，，． 连接，在中，如图： 由余弦定理得， 所以，此时， 所以为直角三角形，，， 所以在中，，， 所以由正弦定理得， 所以的长度为． 4．如图，在中，，，点在上，， . (1)求； (2)求. 【答案】(1) (2) 【分析】（1）利用两角和差余弦公式可求得，根据余弦定理可求得结果； （2）利用两角和差正弦公式可求得，采用面积桥，结合三角形面积公式可构造方程求得结果. 【详解】（1），，， ， . （2）由（1）得：； ，， 即，解得：. 5．如图，平面凸四边形中，，且是边长为2的等边三角形.    (1)若，求. (2)若线段（不含端点）上存在动点，满足，记，求关于的函数. 【答案】(1) (2) 【分析】（1）利用余弦定理求出的长，再根据正弦定理即可求得结果； （2）利用余弦定理求得，根据动点的位置得出自变量的取值范围，可求得. 【详解】（1）由，，可知， 因此， 所以， 由正弦定理可得， 由可得. （2）如下图：    由题可知，又， 在中，由余弦定理可知， 因此可得，又在线段（不含端点）上，所以， 所以. 6．（2026高一下·全国·专题练习）记是内角，，的对边分别为，，．已知，点在边上，． (1)证明：； (2)若，求. 【答案】(1)证明见解析； (2). 【分析】（1）根据正弦定理的边角关系有，结合已知即可证结论. （2）由题设，应用余弦定理求、，又，可得，结合已知及余弦定理即可求. 【详解】（1）由题设，， 由正弦定理知：，即， ∴，又， ∴，得证. （2）由题意知：， 由余弦定理,， 同理， ∵， ∴，整理得，又， ∴，整理得，解得或， 由余弦定理知：， 当时，不合题意； 当时，. 综上，. 7．如图，在平面四边形ABCD中，．    (1)若，求四边形的面积； (2)求四边形面积的最大值． 【答案】(1) (2) 【分析】（1）连接，在中与中分别使用余弦定理，从而可得的值，再根据三角形面积公式求解四边形的面积； （2）结合余弦定理，三角面积公式以及正弦型三角函数即可得四边形面积的最大值． 【详解】（1）连接BD，    在中，由余弦定理可得， 在中，由余弦定理可得，则， 从而， 因此四边形ABCD的面积为：． （2）连接BD．在中，由余弦定理可得， 在中，由余弦定理可得， 则， 因为， 所以， 因为，所以， 四边形ABCD的面积， 则①， 由，则②， 联立①②，解得，则， 当且仅当时，等号成立，四边形ABCD的面积取得最大值． 1．（24-25高一下·吉林松原·期末）在中，已知，是边上一点，如图，，，，则（    ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】在中用余弦定理，求出，之后在中，用正弦定理计算的长度. 【详解】在中，,所以,. 在中, ，，由余弦定理可得， 代入数值：,整理得，解得(舍去负根)； 在中，,根据正弦定理：代入数值：. 故答案为：C 2．（23-24高一下·山西长治·期末）在中，角，，所对应的边分别为，，，，，则（    ） A． B． C．2 D． 【答案】B 【分析】先根据求出C，然后利用余弦定理求出b. 【详解】由 得 , , , , 又, 所以 所以， , ,解得, 故选：B. 3．已知的内角的对边分别为，若，则（    ） A． B．2 C．3 D．4 【答案】C 【分析】先对 进行化简，求出角 ，再利用正弦定理将 转化为边的关系，最后结合余弦定理求出 的值. 【详解】由 ，得 ，即 ， 因为， ， 所以 ，即 ，化简得， 因为 ，所以 ， 则 ， ； 由正弦定理可得 （ 为 外接圆半径）， 所以 ，即 ，所以 ； 因为 ，根据余弦定理得 ， ，可得 ， 又因为 ，所以 ，则 ， 将 和 代入 中，可得 ， 移项可得 ，即 ，所以 . 故选：C. 4．（24-25高一下·辽宁沈阳·期中）在中，角所对的边分别为，若，为边的中点，，则的取值范围是（    ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】根据题意，，由正弦定理得到，再由余弦定理，求得，求得，取的中点，连接，得到，设的外接圆的半径为，求得，设，得到，化简得到，结合，利用三角函数的性质，即可求解. 【详解】因为，由正弦定理得， 整理得到，即， 由于余弦定理，得， 又因为，可得， 如图所示，取的中点，连接，可得，所以， 设的外接圆的半径为，可得， 由正弦定理可得， 所以且， 设，则 则 ， 因为，可得，所以， 可得，所以， 所以的取值范围是. 故选：C. 5．（25-26高一上·福建莆田·期末）已知满足，，点在线段上，且，则______． 【答案】 【分析】利用几何法，作对称全等三角形，再结合等腰三角形性质，即可求解. 【详解】 取中点，连接，作三角形关于直线对称三角形， 然后再过点作，垂足为， 因为，， 所以， 又由，所以四边形是矩形， 即， 因为，所以， 即， 又因为，所以， 故答案为： 6．在中，角A，B，C所对边分别为a，b，c，且满足． (1)求角C的大小； (2)若点D在边AB上，且满足，求的值． 【答案】(1) (2) 【分析】（1）由半角公式、正弦定理、三角和的正弦公式对已知条件进行化简，得到，进而得到，求出角C的值. （2）过作于，则，又，所以 【详解】（1）因为，所以， 即，化简得， 又， 所以，又，，故， （2）如图：过作于，则，， ，又，所以. 7．如图，的内角A，B，C的对边分别为a，b，c，，D为边BC上一点，且，． (1)证明：； (2)求的值； (3)求的面积． 【答案】(1)证明见解析 (2) (3) 【分析】（1）由条件先求角，进而在中应用正弦定理即可证明； （2）在中应用正弦定理可得，进而结合可得的值； （3）结合（2）的结果利用余弦定理可求与的关系，进而利用面积公式求解即可. 【详解】（1）证明：由，，得. 在中，有，得 ，即. （2）在中，，所以，即， 又. 于是，即. （3）因为，，， 所以， 得，即. 则. 8．如图，在四边形中，，，且的外接圆半径为4. (1)若，，求的面积； (2)若，求的最大值. 【答案】(1)4； (2). 【分析】（1）在三角形中，根据正弦定理求得，再在三角形中，利用三角形面积公式即可求得结果； （2）设，在三角形中分别用正弦定理表示，从而建立关于的三角函数，进而求三角函数的最大值，即可求得结果. 【详解】（1）因为，的外接圆半径为4，所以，解得. 在中，，则，解得. 又，所以； 在中，，，， 所以. （2）设，. 又，所以. 因为，所以. 在中，，由正弦定理得， 即，解得 . 在中，，由正弦定理得， 即，解得， 所以. 又，所以， 当且仅当，即时，取得最大值1， 所以的最大值为. 9．（24-25高一下·四川凉山·期中）已知. (1)求函数的单调增区间； (2)若，求的值； (3)在锐角中，内角的对边分别为，若，求的取值范围. 【答案】(1) (2) (3) 【分析】（1）先根据三角恒等变换化简，再根据正弦函数的单调性即可得解； （2）可得，再根据两角差的余弦公式及辅助角公式即可得解； （3）根据题意求出，再由结合正弦定理化边为角，再根据三角形内角和定理化简，进而可得出答案，注意三角形为锐角三角形. 【详解】（1） ， 令，则， 故函数的单调增区间为； （2），则， ， ； （3），则， 又，则， 故，即， ， 在锐角中，，则， 令， 则. 10．（25-26高一上·广东广州·期末）如图，在中，，点在线段上，，且． (1)求和的值； (2)的角平分线与相交于，求的长度． 【答案】(1) (2) 【分析】（1）根据正弦定理求出，然后根据勾股定理求出. （2）先求出，然后根据正弦定理求出的关系式，然后利用余弦定理求出. 【详解】（1）因为，所以根据正弦定理得. 所以. 因为. 所以，而，所以， 解得，所以，解得， 所以. 所以. （2）因为，所以. 所以，因为，那么. 由于，解得. 而. 在中，根据正弦定理可得，，. 所以. 由于，所以根据余弦定理得 ，代入数据得. 化简得，解得或（舍去） 所以. 11．记钝角的内角的对边分别为，已知． (1)若，求； (2)求的取值范围． 【答案】(1) (2) 【分析】（1）化简整理得到，结合求出，从而得到； （2）由（1）知，分与两种情况，利用正弦定理得到，由对勾函数可得解. 【详解】（1）由已知得，， 即， 即， 即． 若，则， 因为，故． 从而． （2）由得， 若，则，即，与为钝角三角形矛盾． 因此，得，故， 所以 ， 因为，所以，， 所以的取值范围为． 12．（23-24高一下·广西钦州·期末）记的内角，，的对边分别是，，，已知. (1)求角； (2)若，求面积的最大值； (3)已知点在边上，，，，求的长. 【答案】(1) (2) (3) 【分析】（1）根据正弦定理将边化成角，再将分解成，最后根据和角的正弦公式化简即可求解； （2）利用余弦定理和基本不等式求出的最大值，再根据三角形面积公式即可求解； （3）由余弦定理求出和，再利用诱导公式求，最后根据锐角三角函数求出，即得. 【详解】（1）由正弦定理得，， 所以， 所以， 又因为， 所以， 所以， 所以， 所以， 因为， 所以，即， 因为，所以. （2）由余弦定理得，即. 因为，当且仅当时，等号成立， 所以， 所以，即， 则的面积， 即面积的最大值为. （3）在中，由余弦定理得， ， 所以. 所以， 所以， 又因为， 所以， 所以，即， 又因为 所以，即， 因为， 所以 所以，即， 在中，由锐角三角函数得， ， 所以， 故. 【点睛】关键点点睛：本题主要考查了正弦定理，两角和的正弦函数公式，余弦定理，三角形面积公式在解三角形中的综合应用，解题的关键是合理利用正弦定理的边角互化，以及余弦定理列出方程求解. 13．（24-25高一下·江苏无锡·期中）在中，角的对边分别为，已知． (1)求A的值； (2)若为锐角三角形，求的取值范围； (3)若为锐角三角形，且的面积为，求的取值范围． 【答案】(1) (2) (3) 【分析】（1）根据题意，由正弦定理化简得到，所以，进而得到，即可求得的大小； （2）由正弦定理化简得到，再由为锐角三角形，得到，求得的范围，进而得到的取值范围； （3）由余弦定理得和，得到，化简，根据，得到，进而求得的取值范围. 【详解】（1）解：因为， 由正弦定理，可得， 所以， 因为， 所以， 因为，可得，所以，所以， 又因为，所以. （2）解：由正弦定理，可得 ， 因为为锐角三角形，可得，解得， 则，可得，所以. （3）解：由余弦定理，可得，即， 又由 则， 由 ， 因为为锐角三角形，可得，解得， 可得，则，即， 所以，即的取值范围为. 1 / 10 学科网（北京）股份有限公司 $