模拟卷01（联赛一试）高中数学全国通用

2026年全国中学生数学奥林匹克竞赛（预赛） 暨2026年全国高中数学联合竞赛 一试模拟试题1 一、填空题：本大题共8小题，每小题8分，满分64分． 1、设，若，则实数的取值范围为_____。 答案：。 解答：记，则，故所求a的取值范围为。 2、若是周期为2的奇函数，当，则_____。 答案：。 解答：因为，故根据条件知： 3、函数的值域为_____。 答案：。 解答：，则，也即、。故的值域为。 4、已知复数、满足如下条件：，则_____。 答案：。 解答：根据条件知：，于是 故所求。 5、已知在三棱锥中，，若点在平面上的投影恰好在上，则二面角的平面角的正弦值为_____。 答案：。 解答：如图，设在上的投影为，作于，则在上，且。因为，故，故E为AD中点。 设，则，故。进而知二面角C-AB-D的平面角的正弦值为。 6、已知抛物线的顶点在原点，焦点在轴上，三个顶点都在抛物线上，且的重心为抛物线的焦点，若边所在直线的方程为，则抛物线方程为_____。 答案：。 解答：设抛物线方程为，则。联立方程，即得，根据韦达定理知。 注意到的重心为，故 因为点A在抛物线上，故，解得。 综上所述，所求抛物线的方程为。 7、甲、乙两人各自掷六面体骰子，当掷出“6”时，停止掷骰子。记两人掷骰子次数至多相差一次的概率为，则_____。 答案：。 解答：根据条件，恰掷次骰子的概率为。 若甲掷一次便停止，则乙掷一次或两次：若甲掷次才停止，则乙掷、或次。于是知：，故所求的概率。 8、一个单位方格的四条边中，若有两条边染了颜色，另两条边分别染了异于色的另两种不同颜色，则称该单位方格是“色主导”的。如图，一个方格表的表格线共含10条单位长线段，现要对这10条线段染色，每条线段染为红、黄、蓝三色之一，使得红色主导、黄色主导、蓝色主导的单位方格各有一个。这样的染色方式数为_____。 答案：。 解答：对符合题意的染色方式，显然有以下结论： (1)当一个方格已有一边被染为某种颜色，若该方格为色主导，则另三边恰有种染法；若该方格为色主导，则另三边有3种染法； (2)当一个方格已有两边被染为颜色，该方格只可能为色主导，另两边恰有2种染法； (3)当一个方格已有两边被染为某两种颜色、，若该方格为色或色主导，则另两边恰有两种染法；若该方格为色主导，则另两边有唯一染法。 由对称性，仅需求出左、中、右方格分别为红色、黄色、蓝色主导的染色方式数，则本题结果为。将一种染色方式归为“类”，如果左边、中间方格的公共边染为颜色i，中间、右边方格的公共边染为颜色j。利用上述结论(1)、(2)、(3)，可知各类染色方式数如下表所示： 红—红：0 红—黄： 红—蓝： 黄—红： 黄—黄： 黄—蓝： 蓝—红： 蓝—黄： 蓝—蓝：0 因此，故满足条件的染色方式数为。 二、解答题：本大题共3小题，满分56分，解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤． 9、已知、是椭圆的左、右焦点，过右焦点的直线交椭圆于、两点，若，且，求该椭圆的离心率。 解答：根据条件知：。进而根据椭圆的定义知：。 根据斯特瓦尔特定理知： 故所求椭圆的离心率为。 10、已知，若无穷数列满足：，并且对任意自然数和，都有，求数列的通项。 解答：取，则由条件知，于是。 取，则由条件知，于是。 同理，一般地，有。 于是知，对于任意，有： 所以数列的通项。 11、在球面上给出个点、，试求的最大可能值。 解答：设该球面的球心为，定义向量，则。根据拉格朗日恒等式知： 取，则等号成立。 1 / 1 学科网（北京）股份有限公司 $ 2026年全国中学生数学奥林匹克竞赛（预赛） 暨2026年全国高中数学联合竞赛 一试模拟试题1 一、填空题：本大题共8小题，每小题8分，满分64分． 1、设，若，则实数的取值范围为_____。 2、若是周期为2的奇函数，当，则_____。 3、函数的值域为_____。 4、已知复数、满足如下条件：，则_____。 5、已知在三棱锥中，，若点在平面上的投影恰好在上，则二面角的平面角的正弦值为_____。 6、已知抛物线的顶点在原点，焦点在轴上，三个顶点都在抛物线上，且的重心为抛物线的焦点，若边所在直线的方程为，则抛物线方程为_____。 7、甲、乙两人各自掷六面体骰子，当掷出“6”时，停止掷骰子。记两人掷骰子次数至多相差一次的概率为，则_____。 8、一个单位方格的四条边中，若有两条边染了颜色，另两条边分别染了异于色的另两种不同颜色，则称该单位方格是“色主导”的。如图，一个方格表的表格线共含10条单位长线段，现要对这10条线段染色，每条线段染为红、黄、蓝三色之一，使得红色主导、黄色主导、蓝色主导的单位方格各有一个。这样的染色方式数为_____。 二、解答题：本大题共3小题，满分56分，解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤． 9、已知、是椭圆的左、右焦点，过右焦点的直线交椭圆于、两点，若，且，求该椭圆的离心率。 10、已知，若无穷数列满足：，并且对任意自然数和，都有，求数列的通项。 11、在球面上给出个点、，试求的最大可能值。 1 / 1 学科网（北京）股份有限公司 $