精品解析：北京三帆中学2025—2026学年度八年级下学期学情自测数学试题

初二下数学练习 注意：（1）时间80分钟，满分100分；（2）请将答案填涂、填写在答题卡上． 一、选择题（每题2分，共16分）每道题只有一个选项符合题意 1. 书法是我国传统文化的重要组成部分．下列是“马年吉祥”四个篆体字，其中可以看作轴对称图形的是（ ） A. B. C. D. 【答案】C 【解析】 【分析】如果一个平面图形沿一条直线折叠，直线两旁的部分能够互相重合，这个图形就叫做轴对称图形． 【详解】解：A、B、D选项中的图形都找不到一条直线，使两旁的部分完全重合，所以不是轴对称图形； C选项中的图形能够找到一条直线，使图形沿直线折叠，直线两旁的部分能够互相重合，所以是轴对称图形． 2. 下列运算正确的是（ ） A. B. C. D. 【答案】D 【解析】 【分析】本题主要考查了合并同类项，积的乘方，幂的乘方，同底数幂的乘法运算，根据各自的运算法则一一计算并判断即可． 【详解】解：．与不是同类项不能合并，故该选项不符合题意； ．，原计算错误，故该选项不符合题意； ． ，原计算错误，故该选项不符合题意； ．，原计算正确，故该选项符合题意； 故选：D． 3. 下列各组数中，以它们为边长的线段不能构成直角三角形的是（ ） A. 6，8，10 B. 8，15，17 C. 1，，2 D. 2，2， 【答案】D 【解析】 【分析】本题考查勾股定理的逆定理，只需验证每组数中两小边的平方和是否等于最长边的平方，即可判断能否构成直角三角形． 【详解】A. ∵，， ∴，能构成直角三角形，故本选项不符合题意； B. ∵，， ∴，能构成直角三角形，故本选项不符合题意； C ∵，， ∴，能构成直角三角形，故本选项不符合题意； D. ∵，， ∴，不能构成直角三角形，故本选项符合题意． 4. 下列式子中是最简二次根式的是（ ） A. B. C. D. 【答案】B 【解析】 【分析】根据最简二次根式的定义判断，最简二次根式需满足两个条件：被开方数不含分母，被开方数不含能开得尽方的因数或因式，逐个验证选项即可。 【详解】∵最简二次根式的定义为：满足被开方数不含分母，且被开方数不含能开得尽方的因数或因式的二次根式， 对选项A，=，被开方数含有分母，不是最简二次根式， 对选项C，分母含有根式，可化简为，不是最简二次根式， 对选项D，==，被开方数含有能开得尽方的因数，不是最简二次根式， 对选项B，的被开方数不含分母，也不含能开得尽方的因数，符合最简二次根式定义， ∴选B. 5. 下列式子变形中，正确的是（ ） A. B. C. D. 【答案】C 【解析】 【分析】根据分式的运算法则对各选项依次进行判断即可解答． 【详解】A．，故错误； B．，故错误； C．，故正确； D．,故错误；故选C. 【点睛】本题考查分式的变形，解题的关键是正确理解分式的运算法则. 6. 如图，在中，，点在边上且到边和边的距离相等．以点为圆心，线段的长为半径画弧交边于点，连接．下列结论中，不一定正确的是（ ） A. B. C. D. 【答案】B 【解析】 【分析】本题考查等腰三角形的判定与性质，角平分线的判定，平行线的判定与性质，根据作图得到，等边对等角，推出，进而得到，根据点在边上且到边和边的距离相等，得到平分，推出为等腰三角形，逐一进行判断即可． 【详解】解：由作图可知：， ∴， ∵， ∴， ∴， ∴， ∴， ∵点在边上且到边和边的距离相等， ∴平分， ∴， ∴， ∴，；故选项A，C正确，不符合题意； ∵， ∴（平行线间的距离处处相等）；故选项D正确，不符合题意； 无法得到； 故选：B． 7. 四元玉鉴是中国古代著名的数学专著，书里记载一道这样的题：“今有绫、罗共三丈，各值钱八百九十六文只云绫、罗各一尺共值钱一百二十文，问绫、罗尺价各几何？”题目译文是：现在有绫布和罗布，布长共丈（1丈尺），已知绫布和罗布分别全部出售后均能收入文；绫布和罗布各出售尺共收入文问两种布每尺各多少钱？若设绫布有尺，根据题意可列方程是（    ） A. B. C. D. 【答案】B 【解析】 【分析】本题考查了分式方程的应用，找出等量关系式，熟练掌握总价与单价和数量的关系，是解题的关键． 等量关系式：绫布出售一尺收入罗布出售一尺共收入文，据此列方程，即可求解． 【详解】解：由绫布出售一尺收入罗布出售一尺共收入文，得方程为： ， 故选：B． 8. 如图，在锐角中，的面积为15，平分，若，分别是上的动点，当的最小值为6时，的长为（ ） A. 3 B. 4 C. 5 D. 6 【答案】C 【解析】 【分析】在上截取，证明，所以，则，当三点共线，且时，的值最小，为长，然后通过三角形面积公式求出长即可． 【详解】解：如图，上截取， ∵平分， ∴， ∵， ∴， ∴， ∴， ∴当三点共线，且时，的值最小，为长，如图， 即， ∵的面积为15， ∴，即， ∴． 二、填空题（每题2分，共16分） 9. 若分式有意义，则实数的取值范围是___________． 【答案】## 【解析】 【分析】根据分式的分母不为0即可求解． 【详解】解：分式有意义的条件是． 解不等式得． 10. 如果，那么___________． 【答案】 【解析】 【分析】先根据二次根式的被开方数为非负数求出的值，再代入求出，最后求即可． 【详解】解：二次根式的被开方数为非负数，， ， ， 将代入中，得， ∴． 11. 如图，相交于点O，，添加一个条件使得，可添加的条件是（添加一个即可）__________． 【答案】（答案不唯一） 【解析】 【分析】本题主要考查了全等三角形的判定定理，根据全等三角形的判定定理求解即可，全等三角形的判定定理有． 【详解】解：添加条件，结合条件，可利用证明， 添加条件，结合条件，可利用证明， 故答案为：（答案不唯一）． 12. 如图，是公元三世纪初我国古代数学家赵爽在注解《周髀算经》时给出的，人们称它为“赵爽弦图”，赵爽弦图指出：四个全等的直角三角形可以围成一个大正方形，中空的部分是一个小正方形，若，则小正方形的面积为___________． 【答案】 【解析】 【分析】本题考查了勾股定理，全等三角形的性质，熟练掌握勾股定理是解题的关键． 根据全等三角形的性质得到，根据勾股定理求得，即可得到结论． 【详解】解：四个全等的直角三角形可以围成一个大正方形， ， ， ， 则小正方形的面积为， 故答案为：4． 13. 如图，，，，若，则___________． 【答案】4 【解析】 【分析】过P点作于E，再利用平行线的性质得到，接着根据含30度的直角三角形三边的关系得到，根据角平分线的性质得到，从而得到的长． 【详解】解：过P点作于E，如图， ∴， ∵， ∴，， ∴， ∵， ∴， ∴， ∵， ∴． 14. 如图，在中，的垂直平分线交于点，交于点．若的周长为36，则的周长为___________． 【答案】20 【解析】 【分析】根据线段垂直平分线的性质可得，，从而得到，再根据的周长为36，计算的周长即可． 【详解】解：∵的垂直平分线交于点，交于点， ∴，．        ∵， ∴． ∵的周长为36， ∴的周长为． 15. 已知，若正方形的边长为，其面积记为，长方形的长为，宽为，其面积记为，用等式表示与的数量关系为___________． 【答案】 【解析】 【分析】本题考查了多项式乘多项式与图形面积，整式的混合运算的应用，掌握相关运算法则是解题关键．由题意可知，，，再计算即可． 【详解】解：由题意可知，，， 则 ． 即． 16. 如图，在中，，，D是边的中点，E是边上的动点（不与点A，C重合），连接，作，交于点F，连接．有下列三个结论： ①，②，③设，的面积分别为，，则． 其中正确的是______（填所有正确结论的序号）． 【答案】①③ 【解析】 【分析】连接，根据等腰直角三角形性质，推出，，，进而证明，结合全等三角形性质即可判断①，利用全等三角形性质，结合勾股定理即可判断②，设，根据等腰直角三角形性质，勾股定理，以及垂线段最短，推出与的面积关系，即可解题． 【详解】解：连接， ，， ， D是边的中点， ，，， ， ， ， ， ， ， 故①结论正确； ， ， ， ， ， ， 故②结论错误； 设， 则的面积为， ， ， 当时，最小， 此时，且的面积为， 当与重合时，最大， 此时，且的面积为， 不与点A，C重合， 的面积取不到， 即若，的面积分别为，， 则， 故③正确． 故答案为：①③． 【点睛】本题考查了等腰直角三角形性质，全等三角形判定与性质，勾股定理，垂线段最短，熟练掌握各知识点并灵活运用是解题的关键． 三、解答题（共68分，17、20~23题每题8分，18题15分，19题7分，24题6分） 17. 分解因式： （1） （2） 【答案】（1） （2） 【解析】 【分析】（1）先提出公因式3，再利用完全平方公式进行因式分解即可； （2）先提出公因式，再利用平方差公式进行因式分解即可． 【小问1详解】 解： 【小问2详解】 解： 18. 计算： （1） （2） （3）先化简，再求值：，其中． 【答案】（1） （2） （3） 【解析】 【分析】根据多项式乘以多项式、二次根式的乘除运算、分式的化简求值依次计算即可. （1）根据多项式乘以多项式的法则，进行计算； （2）根据二次根式的运算法则进行计算； （3）根据分式运算法则计算，可得：原式，再把代入化简后的分式进行计算． 【小问1详解】 解： ； 【小问2详解】 解： ； 【小问3详解】 解： ， 当时， 原式． 19. 解方程： 【答案】 【解析】 【分析】本题主要考查了解分式方程，首先把方程的两边同时乘以化为整式方程，解整式方程可得：，再把代入检验是否增根． 【详解】解：， 去分母得：， 解得：， 检验：当时，， 是原分式方程的解． 20. 如图， （1）证明：； （2）若点共线且满足，求的度数． 【答案】（1）见解析 （2） 【解析】 【分析】（1）先利用角度的和差得到，然后根据“”可证，根据全等三角形对应边相等即可证得结论； （2）先根据全等三角形对应角相等可得，然后根据等边对等角和三角形内角和定理可得，进而求得的度数，再由平角可得的度数，即可解答． 【小问1详解】 证明：∵， ∴，即， 在和中， ， ∴， ∴． 【小问2详解】 解：由（1）可知， ∴， ∵，， ∴， 又∵点共线且满足， ∴， ∴． 21. 如图，在中，． （1）用直尺和圆规完成以下作图：作线段的垂直平分线交于点，交于点，在直线上截取线段（点在下方），使得，连接；（保留作图痕迹，不写作法） （2）根据（1）中作图，若，证明：．补全以下证明过程： 证明：， ， ， ________________． 垂直平分， ，________． ． 在和中， ． ________．（________） ． 【答案】（1）见解析 （2）见解析 【解析】 【分析】本题主要考查了全等三角形的性质与判定，线段垂直平分线的性质及其尺规作图，熟知相关知识是解题的关键． （1）先根据线段垂直平分线的尺规作图方法作出点D和点E，再以点E为圆心，线段的长为半径画弧，交直线于F（点F在下方），再连接即可； （2）先导角证明，再由垂直平分，得到，．证明，得到，则可证明． 【小问1详解】 解：如图所示，即为所求； 【小问2详解】 证明：， ， ， ． 垂直平分， ，． ． 在和中， ． ．（全等三角形对应边相等） ． 22. 如果一个正整数能表示为两个正整数的平方差，那么称这个正整数为“智慧数”．小华和小明对“智慧数”进行了深入的研究． （1）小明的方法是从小到大逐一列举： 则小明列举的第8个“智慧数”是___________； （2）小华在小明列举的基础上，发现除1外，所有的正奇数都是“智慧数”，并进行了如下证明： 设是正整数， ， 又是正整数， 为大于或等于3的奇数． 除1外，所有的正奇数都是“智慧数”． 她还发现：除4外，所有能被4整除的正整数都是“智慧数”，参考上面的方法进行证明． （3）用含有的式子表示除1，2，4外的其它非“智慧数”___________（是正整数）． 【答案】（1）13 （2）见解析 （3） 【解析】 【分析】本题主要考查了数字类的规律探索，完全平方公式，正确理解“智慧数”的定义是解题的关键． （1）根据题意可得12和13都是“智慧数”，据此可得答案； （2）设n是大于1的正整数，则，根据是“智慧数”，即可证明结论； （3）根据（2）所求可知除1，2，4外的非“智慧数”除以4的余数一定为2，据此可得答案． 【小问1详解】 解：∵， ∴12和13都是“智慧数”， ∴小明列举的第8个“智慧数”是13； 【小问2详解】 证明：设n是大于1的正整数， 则 ， ∵n是大于1的正整数， ∴和都是正整数， ∴是“智慧数”， 又∵能被4整除， ∴除4外，所有能被4整除的正整数都是“智慧数”； 【小问3详解】 解：由（2）可知除1外的所有奇数是“智慧数”，除4外的所有能被4整除的正整数都是“智慧数”， ∴除1，2，4外的非“智慧数”一定是偶数且不能被4整除， ∴除1，2，4外的非“智慧数”除以4的余数一定为2， ∴除1，2，4外的非“智慧数”可以表示为． 23. 在中，，，点在上，连接，在的上方作，且，连接．作点关于的对称点，连接，交于点． （1）补全图1，连接，并写出___________（用含的式子表示）； （2）如图2，当时， ①求证：； ②写出与的数量关系，并证明． 【答案】（1）补全图见解析， （2）①见解析；②，证明见解析 【解析】 【分析】（1）根据三角形内角和定理可得到，再利用对称的性质得到，即可得到答案； （2）①连接，，根据、都是等边三角形，易证得，进而得到，再根据点A关于的对称点是点F，可得到； ②在上取点，使，连接，先证明，再证明，则，得到，即可证明． 【小问1详解】 解：如图， 中，，， 点A关于的对称点F， ∴； 【小问2详解】 解：①连接，， ，，，， 是等边三角形，是等边三角形， ，，， ． 即， ， ， ， ， ， 点A关于的对称点是点F， ， ∴， ， ． ②，如图 上取点，使，连接， 由①得，，， ∵， ∴ ∴，， ∵是等边三角形， ∴， ∵， ∴， ∴， ∵对称， ∴， ∴ ∴， ∵， ∴，即 ∵ ∴ ． 24. 在平面直角坐标系中，对于点和垂直于轴的直线，给出如下定义：若点关于直线的对称点的横坐标和纵坐标相等，则称点是直线的“等变换点”． （1）已知直线过点且垂直于轴．点是直线的“等变换点”，若，则___________；若，则___________． （2）已知点，，直线过点且与轴垂直，以线段为边向右侧作正方形，若该正方形上存在直线的“等变换点”，则的取值范围是___________； （3）已知直线过点且垂直于轴，过点作直线于点．若以线段为边向下作正方形，若该正方形上存在直线的“等变换点”，则的取值范围是___________． 【答案】（1）1， （2） （3）或 【解析】 【分析】（1）利用关于直线l的“等变换点”的定义求解即可； （2）先求得正方形的另外两个顶点为以及直线l为，设正方形上的点关于的对称点为，，即．然后根据“等变换点”的定义列不等式求解即可； （3）按照（2）的思路，并分和两种情况解答即可． 【小问1详解】 解：∵直线过点且垂直于轴， ∴直线为， ∵点是直线的“等变换点”， ∴点关于直线的对称点的坐标为． 由“等变换点” 定义，的横、纵坐标相等，即． 当时，，解得：； 当时，，解得：. 【小问2详解】 解：∵，，以线段为边向右侧作正方形， ∴正方形的另外两个顶点为， ∵直线过点且与轴垂直， ∴直线l为． 设正方形上的点关于的对称点为， ∴，即． 正方形上的点满足，代入得： ，即与有交集： ，解得：． 【小问3详解】 解：∵直线过点且垂直于轴， ∴直线l的方程为． 点作于G，则． 以线段为边向下作正方形，即将向下平移个单位长度， ∵正方形上的点关于的对称点为， ∴由“等变换点”可得，即． 当时，可得另外两个顶点为． 正方形上的点满足，代入得： ，即与有交集： ∴，解得：． 当时，可得另外两个顶点为． 正方形上的点满足，代入得： ，即与有交集： ∴，解得：． 综上，或． 【点睛】理解新定义并据此列出不等式组以及分类讨论思想是解题的关键． 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $ 初二下数学练习 注意：（1）时间80分钟，满分100分；（2）请将答案填涂、填写在答题卡上． 一、选择题（每题2分，共16分）每道题只有一个选项符合题意 1. 书法是我国传统文化的重要组成部分．下列是“马年吉祥”四个篆体字，其中可以看作轴对称图形的是（ ） A. B. C. D. 2. 下列运算正确的是（ ） A. B. C D. 3. 下列各组数中，以它们为边长的线段不能构成直角三角形的是（ ） A. 6，8，10 B. 8，15，17 C. 1，，2 D. 2，2， 4. 下列式子中是最简二次根式的是（ ） A. B. C. D. 5. 下列式子变形中，正确的是（ ） A. B. C. D. 6. 如图，在中，，点在边上且到边和边的距离相等．以点为圆心，线段的长为半径画弧交边于点，连接．下列结论中，不一定正确的是（ ） A. B. C. D. 7. 四元玉鉴是中国古代著名的数学专著，书里记载一道这样的题：“今有绫、罗共三丈，各值钱八百九十六文只云绫、罗各一尺共值钱一百二十文，问绫、罗尺价各几何？”题目译文是：现在有绫布和罗布，布长共丈（1丈尺），已知绫布和罗布分别全部出售后均能收入文；绫布和罗布各出售尺共收入文问两种布每尺各多少钱？若设绫布有尺，根据题意可列方程是（    ） A. B. C. D. 8. 如图，在锐角中，的面积为15，平分，若，分别是上的动点，当的最小值为6时，的长为（ ） A. 3 B. 4 C. 5 D. 6 二、填空题（每题2分，共16分） 9. 若分式有意义，则实数的取值范围是___________． 10. 如果，那么___________． 11. 如图，相交于点O，，添加一个条件使得，可添加的条件是（添加一个即可）__________． 12. 如图，是公元三世纪初我国古代数学家赵爽在注解《周髀算经》时给出的，人们称它为“赵爽弦图”，赵爽弦图指出：四个全等的直角三角形可以围成一个大正方形，中空的部分是一个小正方形，若，则小正方形的面积为___________． 13. 如图，，，，若，则___________． 14. 如图，在中，的垂直平分线交于点，交于点．若的周长为36，则的周长为___________． 15. 已知，若正方形的边长为，其面积记为，长方形的长为，宽为，其面积记为，用等式表示与的数量关系为___________． 16. 如图，在中，，，D是边的中点，E是边上的动点（不与点A，C重合），连接，作，交于点F，连接．有下列三个结论： ①，②，③设，的面积分别为，，则． 其中正确的是______（填所有正确结论的序号）． 三、解答题（共68分，17、20~23题每题8分，18题15分，19题7分，24题6分） 17 分解因式： （1） （2） 18. 计算： （1） （2） （3）先化简，再求值：，其中． 19 解方程： 20. 如图， （1）证明：； （2）若点共线且满足，求的度数． 21. 如图，在中，． （1）用直尺和圆规完成以下作图：作线段的垂直平分线交于点，交于点，在直线上截取线段（点在下方），使得，连接；（保留作图痕迹，不写作法） （2）根据（1）中作图，若，证明：．补全以下证明过程： 证明：， ， ， ________________． 垂直平分， ，________． ． 在和中， ． ________．（________） ． 22. 如果一个正整数能表示为两个正整数的平方差，那么称这个正整数为“智慧数”．小华和小明对“智慧数”进行了深入的研究． （1）小明的方法是从小到大逐一列举： 则小明列举的第8个“智慧数”是___________； （2）小华在小明列举的基础上，发现除1外，所有的正奇数都是“智慧数”，并进行了如下证明： 设是正整数， ， 又是正整数， 为大于或等于3的奇数． 除1外，所有正奇数都是“智慧数”． 她还发现：除4外，所有能被4整除的正整数都是“智慧数”，参考上面的方法进行证明． （3）用含有的式子表示除1，2，4外的其它非“智慧数”___________（是正整数）． 23. 在中，，，点在上，连接，在的上方作，且，连接．作点关于的对称点，连接，交于点． （1）补全图1，连接，并写出___________（用含的式子表示）； （2）如图2，当时， ①求证：； ②写出与的数量关系，并证明． 24. 在平面直角坐标系中，对于点和垂直于轴的直线，给出如下定义：若点关于直线的对称点的横坐标和纵坐标相等，则称点是直线的“等变换点”． （1）已知直线过点且垂直于轴．点是直线的“等变换点”，若，则___________；若，则___________． （2）已知点，，直线过点且与轴垂直，以线段为边向右侧作正方形，若该正方形上存在直线的“等变换点”，则的取值范围是___________； （3）已知直线过点且垂直于轴，过点作直线于点．若以线段为边向下作正方形，若该正方形上存在直线“等变换点”，则的取值范围是___________． 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $